数学：2.2等差数列 教案一(新人教A版必修五)

第一篇：数学：2.2等差数列 教案一(新人教A版必修五)

等差数列教学设计

一、教学目标：

知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想

过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。

二、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。

三、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

四、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。

五、教学过程：

（一）创设情境，课题导入

复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子）⑴、0 5 10 15 20 „ „ ⑵、48 53 58 63 ⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5 ⑷、10072 10144 10216 10288 10360 教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。（学生积极讨论。得到结论，教师指名回答）

共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。

师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。

（二）设置问题，形成概念

等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。

师：等差数列的概念中的几个关键点是什么？

生（思考、讨论）：第2项、每一项与它的前一项、同一个常数

教师在进一步强调。

师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？

学生讨论后得出结论：

数学语言：anan1d(n2）或

an1and(n≥1)

(学生通过讨论，从而不断完善自己的认知结构)

师：同学们能否举一些等差数列的例子？

（学生争先恐后地发言，教师随机指定两名学生回答。）

理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练习第4题，教师总结。

（三）等差数列的通项公式

师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。数列⑴、⑵、⑶、⑷的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

（师生一起探讨）

师：若一个无穷等差数列｛an｝，首项是a1，公差为d，怎样得到等差数列的通项公式？（引导学生根据等差数列的定义进行归纳）

a2a1d 即：a2a1d

a3a2d 即：a3a2da12d

a4a3d 即：a4a3da13d

„ „

至此，让学生自己猜想通项公式是什么，使学生体会归纳、猜想在得出新结论中的作用。

生：ana1(n1)d

师：此处由归纳得出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用数学归纳法的知识，在这里，我们暂且先承认它，我们能否再探索一下其他的推导方法？

（然后学生在教师的引导下一起探索另外的推导方法）叠加法：｛an｝是等差数列，所以：

anan1d

an1an2dan2an3d

„ „

a2a1d

两边分别相加得：ana1(n1)d

所以：ana1(n1)d 迭代法：｛an｝是等差数列，则：

anan1dan22dan33d = „ „=a1(n1)d

所以：ana1(n1)d

由以上关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)dam(m1)d(n1)d

=am(nm)d

即得等差数列的第二通项公式：anam(nm)d

（四）通项公式的应用：

观察通项公式并提出问题：

师：要求等差数列的通项公式只需要求谁？

生：a1和d

师：通项公式中有几个未知量？ 生：a1、d、an、n

师：要求其中的一个，需要知道其余的几个？ 生：3个。

举几个简单的例子让学生求解（屏幕显示）：

等差数列｛an｝中，⑴已知：a1

2d

3求an ⑵已知：a13 an

d2 求n

⑶已知：a18

a627

求d ⑷已知：d

1a78

求a1 3（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。）例题讲解：（屏幕显示，学生讲解）

例一：

1、求等差数列8、5、2„ „的第20项

解：由a18

d58n20得：

a208(201)(3)49

2、401是不是等差数列

5、

9、13„ „的项？如果是，是第几项？

解：由a1

5d9(5)4得an54(n1)4n1

由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：

4014n1成立

解得：n100即401是这个数列的第100项。

例二：某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

师：此题是一个实际应用问题，可抽象为那种数学模型？

生：可以抽象为等差数列的数学模型。

师：模型中提供的已知量有哪些？

生：4km处的车费记为：a111.2公差d1.2

师：要求量是谁？

生：当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求a11

所以：a1111.2(111)1.223.2 例三：数列an3n5是等差数列吗？

（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看anan1(n2)是不是一个与n无关的常数。）

生：anan13n3(n1)5所以：｛an｝是等差数列

引申：已知数列｛an｝的通项公式anpnq，其中p、q为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？

（指定学生求解）

解：取数列｛an｝中任意两项an和an1(n2)

anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p

它是一个与n无关的常数，所以｛an｝是等差数列？

并且：a1pq

dp

师：上节课我们已学习过数列是一种特殊的函数，那么由此题启示，等差数列是哪一类函数？

生：等差数列是关于正整数ｎ的一次函数。师：一定是一次函数吗？ 生（茫然，讨论）：还可以是常数函数，当ｄ＝０的时候。师：那么等差数列的图像有什么特征？

生：是均匀分布在一条直线上的一群孤立的点。

师：通过例三，我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？

（学生讨论、回答，教师补充）

一是利用定义：anan1d(n2）或

an1and(n≥1)二是利用通项公式：anpnq(pR)是关于ｎ的一次函数或常数函数。课堂检测反馈：

１、求等差数列

10、８、６„ 的第２０项。

２、－20是不是等差数列０、3.5、－7„ 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。３、等差数列｛an｝中，已知：a510

a12

31求a1和d ４、等差数列｛an｝中，已知：a56

a8

求a14

５、等差数列｛an｝中，已知：a1a69

a47 求a3、a9

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

１、等差数列的定义：anan1d(n2）或

an1and(n≥1)２、等差数列的通项公式：ana1(n1)d或anam(nm)d

（六）课后作业：

课本45页习题2．2（A组）

3、4

第二篇：数学：2.2《等差数列》教案(新人教A版必修5)

§3.2 等差数列（2－１）

教学目标

１．理解等差数列的概念．

２．掌握等差数列的通项公式．

３．并能用等差数列通项公式解决一些简单的问题． 教学重点

等差数列的概念及等差数列的通项公式． 教学难点

等差数列“等差”的特点及通项公式的含义．

教学过程

一．新课引入

我们先看数列：（1）： 4，5，6，7，8，9，10，„„（2）： 3，0，3，6，„„

（3）： 1，2，3，4，„„（4）： an123(n1)12，9，6，3，„„ 2101010 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”．

二．新课

1．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差（常用字母d表示）．

注意：(1)从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数．(2)等差数列可用“AP”．．．．．．．．．．表示．(3)若d0 则该数列为常数列．

2．等差数列的通项公式． 已知等差数列an的首项a1，公差d，求an

等差数列的定义知：an1and

a2a1d a3a2d(a1d)da12d

a4a3d(a12d)da13d 由此归纳为ana1(n1)d．强调：当n1时 a1a1（成立）

注意: 1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成AP． 证明：若anAnBA(n1)AB(AB)(n1)A．它是以AB为首项，A为公差的AP． 3 公式中若 d0 则数列递增，d0 则数列递减． 4 图象： 一条直线上的一群孤立点．

3.例题：

例1：⑴求等差数列8,5,2,的第20项．

⑵-401是不是等差数列5,9,13,的项？如果是，是第几项？

例2：在等差数列an中，已知a510,a1231求首项a1与d公差．

例3：梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．

容易知道：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外），都是它前一项的等差中项．

例4：已知数列的通项公式为anpnd,其中p,q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

三．课堂练习

课本P117练习（1、2、3)

四．补充例题：

1．在等差数列an中，若a5a a10b 求a15 解：2a10a5a15 即2baa15 ∴ a152ba 2．若a3a8m 求 a5a6

解：a5a6=a3a8m

3.若 a56 a815 求a14

解：a8a5(85)d 即 1563d ∴ d3

从而 a14a5(145)d69333

4.若 a1a2a530 a6a7a1080 求a11a12a15

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 „„

∴ 2a6a1a11 2a7a2a12 „„

从而(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10)

∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5)=2×8030=130 5．已知两个等差数列a1, a2, a3, a4, a5和b1, b2, b3, b4, b5, b6,其中a 1=b2,a5=b5,求是多少？提示：a5－a1=4d1, b5－b2=3d2, ∴4d1=3d2，b6b4的值a3a2b6b42d28==．

3a3a2d1

五．小结

本堂课的重难点为等差数列概念和通项公式，并能运用等差数列的通项公式求一些简单的问 题．

六．作业

课本P5习题1.1(2)

3.2等差数列

主 讲 人: 王 存 国

桐 柏 县 第 一 高 级 中 学

2008年9月

第三篇：高中数学 2.2《等差数列》教案 新人教A数学必修5

2.2等 差 数 列(1)教学目标 1．明确等差数列的定义．

2．掌握等差数列的通项公式，解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

3．培养学生观察、归纳能力． 教学重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教学方法 :启发式数学,归纳法.一.知识导入

1.观察下列数列,写出它的一个通项公式和递推公式,并说出它们的特点.1)2，4，6，8，10 … 2）15，14，13，12，11 … 3）2，5，8，11，14 … 2.课本41页的三个实际问题

【归纳】共同特点:每一个数列，从第二项起与前一项的差相同。二．等差数列

1.定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。以上三个例子的公差d分别为2,-1,3.定义说明:1)同一个常数的含义.2)公差d的取值范围.2.等差数列的通项公式: 设数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列.由定义有:思路1: a2a1a3a2anan1d

a2a1d

a3a2da12d

a4a3da13d……………

anan1da1(n1)d,nN*

思路2: a2a1d a3a2d

a4a3d

……………

an1an2d

anan1d

两端相加:

ana1(n1)d nN故等差数列的通项公式为:

*

ana1(n1)d nN其中:

*

an为第n项,a1为首项,d为公差.(共有四个量,知三求一)利用等差数列的通项公式验证三个引例.广义通项公式: anam(nm)d

3.等差数列的递推公式: an1and,nN*

三.例题分析

1.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

2.在等差数列{an}中,已知a510,a1231求首项a1与公差d

3.已知数列{an}的前n项和公式(1)求数列{an}的通项公式.(2)证明

Snn2n

2{an}是等差数列.m1,m3,m9 4.已知等差数列的前三项分别为(1)求m的值.(2)求该数列的第10项.5.梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33, a12=110，n=12 ∴a12a1(121)d,即时10=33+11d

解之得：d7

因此，a233740,a340747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a1096,a11103, 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.四.小结 五.作业

1.已知下列等差数列,求通项公式(1)1,4,7,10…

(2)32, 26, 20, 14…(3)127, , … 35152.已知等差数列{an}中(1)a34,a716,求a1,d ,11a,d求a5(2)232(3)

an

a32,d4,an30求n

2S2n4n 3.数列{an}中,前n项和n(1)求通项公式an

(2)证明{an}是等差数列

【探究】设{an}是首项为m公差为d的等差数列，从中选取数列的第*kN（）构成一个新的数列{bn}，你能求出{bn}的通项公式吗？

4k1项，

第四篇：高二数学 2.2《等差数列》(2课时)教案(新人教A版必修5)

课题: §2.2等差数列

授课类型：新授课

（第２课时）

●三维目标

知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。●教学重点

等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）

2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d

(anam(nm)d或an=pn+q(p、q是常数))3．有几种方法可以计算公差d ① d=an－an1 ② d=

ana1aam ③ d=n

n1nmⅡ.讲授新课

问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由定义得A-a=b-A

，即：A反之，若Aab 2ab，则A-a=b-A 2aba,b,成等差数列 由此可可得：A2 [补充例题] 例

在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9.分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手„„

第五篇：高二数学 2.2《等差数列》(1课时)教案(新人教A版必修5)

课题: §2.2等差数列

授课类型：新授课

（第1课时）

●三维目标

知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。●教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式。●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。课本P41页的4个例子： ①0，5，10，15，20，25，„ ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

a2a1d即：a2a1d

y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

Ⅲ.课堂练习

课本P45练习1、2、3、4 [补充练习] 1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.评述：关键是求出通项公式.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15，∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－3说明理由.1，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，2177

∴此数列的通项公式为：an=－n+, 222777747令－n+=－20,解得n=

因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数22227解：由题意可知：a1=0,d=－3列的项.Ⅳ.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最