泛函分析教学大纲

第一篇：泛函分析教学大纲

一、教学目的

通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。

二、教学重点

线性算子的谱及分类，全连续算子。

三、教学难点 紧集和紧线性算子的谱。

四、讲授要求

通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。

五、讲授要点

谱集及分类，有界线性算子谱的性质，紧集合全连续算子，紧线性算子的谱。

第二篇：泛函分析教学大纲

课号：218.116.1

泛 函 分 析 教 学 大 纲

(Functional Analysis)

学分数 3 周学时 4

一.说明

1.课程名称: 泛函分析(一学期课程)，第五学期(3+1)*18=72.2.教学目的和要求:

(1)课程性质: 本课程是数学系专业基础课, 为数学系本科三年级学生所必修。

(2)基本内容: 本课程主要内容: 度量空间中点集分析，赋范空间上算子与几何，内积空间中几何与算子，线性算子谱理论。

(3)基本要求: 通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。

3.教学方式: 课堂授课。

4.考试方式: 考试。

5.教材: 《泛函分析》讲义，郭坤宇，徐胜芝编

参考书: 《实变函数与泛函分析》 夏道行等编, 高等教育出版社。

二.讲授纲要

第一章 度量空间中点集分析

1.1 度量空间(3学时)

1.2 度量拓扑(2学时)

1.3 数值函数(2学时)

1.4 紧~~~与极值(2学时)

1.5 贝尔纲论(3学时)

1.6 函数空间(2学时)

本章要求: 通过学习度量空间的基本点集理论, 读者应能熟悉紧集与其应用, 熟悉纲理论及其应用, 掌握映射的连续性与数值函数的上半连续与下半连续性及其特征.第二章 赋范空间上算子与几何

有界线性算子(3学时)

连续线性泛函(3学时)

弱收敛与共轭(2学时)

一致有界原理(2学时)

开映射与闭算子(3学时)

凸集与超平面(2学时)

本章要求: 通过学习有界线性算子的基本理论, 读者应能掌握线性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析与几何上的应用;一致有界原理及其应用;开映射原理与闭图像定理的应用等.第三章 内积空间上几何与算子

内积空间(2学时)

共轭算子(2学时)

投影算子(2学时)

基与维数(2学时)

赋范代数(2学时)

本章要求: 通过学习内积空间的几何, 掌握投影定理与投影算子的应用,直交基的确立及其应用.第四章 线性算子谱理论

正则点与谱点(3学时)

紧算子谱分析(3学时)

有界正规算子(2学时)

无界线性算子(2学时)

谱测度与积分(3学时)

指标理论初步(2学时)

本章要求: 通过学习线性算子谱理论, 读者应能计算一些典型线性算子如单向平移和乘法算子等的谱, 提高利用Gelfand谱理论分析谱的能力, 掌握正规算子谱分解及其应用, 能分析紧算子的谱并掌握Fredholm算子指标的应用.

第三篇：泛函分析

1.设X,d为距离空间。证明：d

2.（1）收敛点列为柯西列。

（2）柯西列为有界列。dx,y也是距离。1dx,y（3）有收敛子列的柯西列是收敛列。

3.（1）叙述压缩映射定理。

（2）作业的应用。

4．证明：u,vau(x)v(x)dx是一个内积。

5．利用Schwarz不等式证明：x满足三角不等式。

6．利用内积证明平行四边形公式。7．X,Y为Banach空间。T:XY线性。证明：T有界T连续。

8.H为Hilbert空间，fH线性有界泛函。

（1）证明零空间vf是闭集。

（2）叙述Riesz定理。

（3）证明：Nf是一维子空间。

9.证明投影算子，P为线性有界算子，并且P2P,P1 10.ufx,uW01,2,若fL2 ,证明解存在且唯一 b

第四篇：实变函数与泛函分析-教学大纲

实变函数与泛函分析教学大纲

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

适用专业：信息技术专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4 课程性质：专业核心课

开课系部：数学与计算机科学院 使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版 曹广福.高等教育出版社 参考书

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。

三、考试形式

考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配

第一章 集合与点集 要求

1、掌握集合的势，可数集

2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

主要内容

集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理

重点

集合的势，可数集 课时安排（4学时）

1、集合的势，可数集

2学时

2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

2学时

第二章 Lebesgue测度 要求

1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质

2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

3、熟练掌握可测函数的收敛性

主要内容：

Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性

重点

外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性 课时安排（12学时）

1、外测度、可测集以及它们的性质

4学时

2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

4学时

3、可测函数的收敛性

4学时

第三章

Lebesgue积分 要求：

1、熟练掌握可测函数的积分及性质

2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理

主要内容：

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理

重点

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理 课时安排：（16学时）

1、可测函数的积分及性质

6学时

2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

6学时

3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理

4学时

第四章

L空间 要求：

1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

2、熟悉L空间的内积，标准正交基

3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：

p

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换

重点

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性 课时安排（10学时）

1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

4学时

2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法

4学时

3、卷积与Fourier变换

2学时 pp

第五章 Hilbert空间理论 要求：

1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱

主要内容：

距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。课时安排（16学时）

空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投

1、距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

4学时

2、Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

6学时

3、共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱 6学时

第六章 Banach空间理论 要求：

1、掌握Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

2、熟悉开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

3、熟悉连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach定理

4、弄清弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

主要内容：

范数、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子，开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理，Hahn-Banach定理，弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

重点

Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛

课时安排（14学时）

1、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

4学时

2、开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

6学时

3、连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach

4学时

《实变函数与泛函分析》考试大纲

院 系：数学与计算机科学学院

课程名称：实变函数与泛函分析（第二学期）使用专业：数学与信息科学专业

学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0 学 分：4

一、设课目的：

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力.二、课程教学内容和教学目标：

通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基本概念、基本原理，使学生较好的掌握集合论基础、Lebesgue测度与Lebesgue积分、线性赋范空间与Hilbert空间的基本理论和有界线性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：

本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试

（一）形成性考核

形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。

学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。

（二）课程期末考试

期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：集合的势，可数集；外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性；可测函

p数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理；L空间的范数、完备性、收敛性、可分性；距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱；Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛.四、考核的组织：

本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。

五、教材

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.六、其他有关说明或要求

第五篇：泛函分析学习心得

泛函分析学习心得 10数本6***2010224216

泛函分析是数学系基础数学专业的一门重要必修基础课程。是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。也由于它研究的对象导致它是一门比较抽象的课程，不像我们以前所学习的知识那样容易理解而有实体，所以，如果我们要学好这门课,那就必须讲究学习方法。除此之外，泛函分析也是数分与高代综合的抽象，所以想学好泛函分析就要有良好的基础，而作为上册的实变也是其中起着关键作用的基础。泛函分析的特点是它的抽象化，把概念和方法几何化。比如，课本中第一章讲的距离空间，如章前引导的，解微分方程所引发的各种疑问促使人们将函数集合作为一个整体看待，在其上引入线性运算、距离等概念，从而得到抽象的距离空间，也就是把不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

由于这门课程比较抽象，所以要学好这门课程，对于我们来说，还是有点难度的。但是，只要我们掌握了好的学习方法，我们还是一样可以吧这门课程学好的。那怎样的学习方法才能让我们学好这门抽象的课程呢？下面，我就说说我的看法。

首先，我们一定要适应大学的教学模式，尽快进入角色，毕竟大学跟我们中小学的课堂教学模式是完全不一样的。大学是以学生自学为主，老师指导为辅。要想学好泛函分析这门课，更多的是需要我们学习的自主性。

其次，就是我们的课前预习。我们要对课本的相关教材熟悉，初步把握好教材内容的重难点。在上课的时候，带着问题就听老师讲课，这样对于我们的课堂效率就能有很大的提升。我们也能很轻松的跟着老师节奏走，对于泛函分析的抽象问题，我们也就比较容易想象它的模型，消化起来自然也就相对轻松很多。

再次，在课堂上，我应该根据老师课程的讲解，参与老师的互动。虽然大学的课堂有点“满堂灌”的形式，但是，在老师给我们讲解的时候，我们是可以跟着老师讲课的节奏，主动思考，适当的提出自己的疑问，以及自己对这节课知识内容的理解的想法。这对老师讲解的概念定理，有关证明的思路、技巧及定理中关键条件的作用的深刻理解，启发我们我们队定理条件进行反思和提问，进一步运用知识去分析解决问题。

最后，是课后的复习以及习题的巩固。在学习泛函分析这门课程中，我们难学的问题不仅体现在内容的抽象、难于理解，也体现在理论方法的难于运用。理论方法的运用，是需要我们通过适量的练习来领悟其中的奥妙和技巧的。只有通过习题的巩固复习，我们才能领悟泛函分析中理论知识的精髓，提高论证推理能力。通过练习适量的习题，能培养我们的抽象思维能力，及逻辑推理能力，并提高我们分析问题和解决问题的能力。

在大学，我们要学习的知识理论是比较多的，对于学习泛函分析这一比较抽象的课程，我的学习心得，主要是以上的这三点。对于其他类似泛函分析这种比较抽象性德课程，我们也是需要做到上面的这三个方面的，但这并不意味着我们只有学习抽象性课程的时候才需要这样的学习方法去学习。通过泛函分析的学习，我发现，不管是哪一门课程，只要我们把握好上面的这三点学习方法，我们都可以学习的很轻松的。

对于学习泛函分析，虽然说大学的教学模式，只要是以学生自己为主的。但对于泛函分析这中抽象性比较大的课程，我觉得老师在把握教学进度的同时，应多注重跟我们学生之间的互动。毕竟，“填罐式”的教学方式，对于我们对知识点的理解与把握是有点困难的。但是有教师的互动，对我们理解教材的知识点，是有很大帮助的。这样我们，我们学习起来，也会相对轻松很多。