2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案

第一篇：2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案

2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3

d(Anx,Anx1)

1、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记ansup

d(x,x1)xz

若an，则映射A有唯一不动点。

n1（第七章：P216，#18）

证明 因n1an，则必有N，使aN1。这样对任意x, x1X,若xx1,则

d(ANx,Anx1)aNd(x,x1)

NNNN这样由压缩映射原理A有不动点x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不动点。AN的不动点是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不动点。

若x’是A的任意一个不动点，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn1x’=…= A x’= x’。这样x’也是A的不动点，由于A的不动点是唯一的，因此x*= x’。即A的不动点也是唯一的。证毕。

2、按范数xmaxj，x1,2,n成赋范线性空间，问Rn的共轭空间是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 记R按范数xmaxi组成赋范线性空间为R，R按范数x性空间为Y，我们来证明X  Y。

定义X 到Y的映射。任意fX，Tffe1,fennnni1ni组成赋范线

，其中ei0,0,1,0,,0i1,2,,n。i对任意xe，fxfefemaxiinnniiiiTfx

于是fTf

nni1i1i1反之，对任意y1nY。定义fX：对任意xe，fx，则

iiiii1i1Tfy。因此T是 X到Y的映射 若y 0,,0，则显然f0，则Tff0。若y1n  0,,0令xnsigne，则

iii1nx 1

因此f fx i1iyTf。从而Tff。于是T是从X 到Y的同构映射。在同构的意义下XY。证毕

3、设X是Hilbert空间，MX，并且 M，证明M最小闭子集。（第九章：265，#6）

是X中包含M的证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若yY，则存在xnspanM，使xny设xM，则y,x limxn,x0，因此yMn闭子空间，且MY，则Y M，从而M，即YM又Y是X中

Y= Y，所以YM。证毕

4、设T为Hilbert空间X上正常算子，TAiB为T的笛卡儿分解，证明：

1T2A2B

222T2T。

（第九章：P265，#15）

证明：（1），因为

ATTTT,B22i及TTTT，得A2B22TTTTTTTTTT442，所以ABTTT。

222T22T2T2TTT，即T2T2。证毕。

45、设T是Hilbert空间X中的有界线性算子，T1，证明：

xTxxxT证明 若Txx，则xxx。

2（第九章：P265,#12）

2Tx,xx,Tx x Tx x‘ 因此，x,TxxTx。由第一节引理1，Tx与x线性相关，设Txx。由x,Txx,x，可得

1，即

Tx。这样，xTxxxTxxxTxxxTxx。

即xTxx xTxx。证毕 

6、用闭图像定理证明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

证明

设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。

T1的图像G(T1){(y,T1y)yY}，若(yn,T1yn)(y0,x0)，则

yny0,T1ynx0(n)。

设T1ynxn，则xnx0，Txny0。因为T是连续的，所以Tx0limTxny0，即

nT1y0x0。这样(y0,x0)G(T1)。于是我们证明了G(T1)在Y×X中是闭集，故T1是闭算子。再由闭图像定理，T是有界的，证毕。



17、X为距离空间，A为X中子集，令f(x)infd(x,y),xX,.证明f(x)是X上

yA连续函数。

（第七章：P215，#10）

证明

设d(E,F)o。令 o{x|d(x,E)},G{x|d(x,F)} 22则EO,FG,且OG，事实上，若OG，则有

zOG，所以

〈)存在E中的点x使d(x,z2〈)，F中点y使d(y,z2〈)，于是d(x,y)d(x,z)d(y,z矛盾。证毕 此与d(x,y)d（E，F）

8、设T1是 X1 到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1 到X3的全连续算子。（第 十一章：P319，#10）

证明 若x(x1,x2,xn,)，定义An:Anx(xakj1k1njk)ej： 则An是有界秩算子，且

(AAn)x2jn1k1xak2jk

2kjn1k1(x)(ajk)

k12jk2jn1ak12x

所以AAnjn1ak12jk0(n)。

由本章§3定理2，A是全连续算子。证毕

第二篇：(3修改后)2010年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3答案

2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习3

d(Anx,Anx1)

1、设X为完备度量空间，A是X到X中的映射，记ansup

d(x,x1)xz

若an，则映射A有唯一不动点。

n1（第七章：P216，#18）

证明 因n1an，则必有N，使aN1。这样对任意x, x1X,若xx1,则

d(ANx,Anx1)aNd(x,x1)

NNNN这样由压缩映射原理A有不动点x，即x=Ax。由于Ax=AAx=Ax, Ax也是

*******AN的不动点。AN的不动点是唯一的，因此x*= Ax*，即x*是A的不动点。

若x’是A的任意一个不动点，即A x’= x’。于是Ax’=ANNNn1x’=…= A x’= x’。这样x’也是A的不动点，由于A的不动点是唯一的，因此x*= x’。即A的不动点也是唯一的。证毕。

2、按范数xmaxj，x1,2,n成赋范线性空间，问Rn的共轭空间是j什么？

（第八章：P236，#8）

解 记R按范数xmaxi组成赋范线性空间为R，R按范数x性空间为Y，我们来证明X  Y。

定义X 到Y的映射。任意fX，Tffe1,fennnni1ni组成赋范线

，其中ei0,0,1,0,,0i1,2,,n。i对任意xe，fxfefemaxiinnniiiiTfx

于是fTf

nni1i1i1反之，对任意y1nY。定义fX：对任意xe，fx，则

iiiii1i1Tfy。因此T是 X到Y的映射 若y 0,,0，则显然f0，则Tff0。若y1n  0,,0令xnsigne，则

iii1nx 1

因此f fx i1iyTf。从而Tff。于是T是从X 到Y的同构映射。在同构的意义下XY。证毕

3、设X是Hilbert空间，MX，并且 M，证明M最小闭子集。（第九章：265，#6）

是X中包含M的证明：X中包含M的最小X闭子集是Y，若yY，则存在xnspanM，使xny设xM，则y,x limxn,x0，因此yMn闭子空间，且MY，则Y M，从而M，即YM又Y是X中

Y= Y，所以YM。证毕

4、设T为Hilbert空间X上正常算子，TAiB为T的笛卡儿分解，证明：

1T2A2B

222T2T。

（第九章：P265，#15）

证明：（1），因为

ATTTT,B22i及TTTT，得A2B22TTTTTTTTTT442，所以ABTTT。

222T22T2T2TTT，即T2T2。证毕。

45、设T是Hilbert空间X中的有界线性算子，T1，证明：

xTxxxT证明 若Txx，则xxx。

2（第九章：P265,#12）

2Tx,xx,Tx x Tx x‘ 因此，x,TxxTx。由第一节引理1，Tx与x线性相关，设Txx。由x,Txx,x，可得

1，即

Tx。这样，xTxxxTxxxTxxxTxx。

即xTxx xTxx。证毕 

6、用闭图像定理证明逆算子定理。（第十章：P296，#19）

证明

设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。

T1的图像G(T1){(y,T1y)yY}，若(yn,T1yn)(y0,x0)，则

yny0,T1ynx0(n)。

设T1ynxn，则xnx0，Txny0。因为T是连续的，所以Tx0limTxny0，即

nT1y0x0。这样(y0,x0)G(T1)。于是我们证明了G(T1)在Y×X中是闭集，故T1是闭算子。再由闭图像定理，T是有界的，证毕。



17、X为距离空间，A为X中子集，令f(x)infd(x,y),xX,.证明f(x)是X上

yA连续函数。

（第七章：P215，#10）

证明

设d(E,F)o。令 o{x|d(x,E)},G{x|d(x,F)} 22则EO,FG,且OG，事实上，若OG，则有

zOG，所以

〈)存在E中的点x使d(x,z2〈)，F中点y使d(y,z2〈)，于是d(x,y)d(x,z)d(y,z矛盾。证毕 此与d(x,y)d（E，F）

8、设T1是 X1 到X2的全连续算子，T2是X2到X3的有界线性算子，则T2T1是X1 到X3的全连续算子。（第 十一章：P319，#10）

证明 设{xn} 是X1 中有界点列。因为T1全连续，所以{T1xn}中必有收敛子列。我们记之为{T1xnk}。又因为T2有界，所以{T2T1xnk}也收敛，因此{T2T1xn}有收敛子列。这就证明了T2T1是全连续算子。证毕。

第三篇：实变函数与泛函分析-教学大纲

实变函数与泛函分析教学大纲

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

适用专业：信息技术专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4 课程性质：专业核心课

开课系部：数学与计算机科学院 使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版 曹广福.高等教育出版社 参考书

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。

三、考试形式

考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配

第一章 集合与点集 要求

1、掌握集合的势，可数集

2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

主要内容

集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理

重点

集合的势，可数集 课时安排（4学时）

1、集合的势，可数集

2学时

2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

2学时

第二章 Lebesgue测度 要求

1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质

2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

3、熟练掌握可测函数的收敛性

主要内容：

Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性

重点

外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性 课时安排（12学时）

1、外测度、可测集以及它们的性质

4学时

2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

4学时

3、可测函数的收敛性

4学时

第三章

Lebesgue积分 要求：

1、熟练掌握可测函数的积分及性质

2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理

主要内容：

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理

重点

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理 课时安排：（16学时）

1、可测函数的积分及性质

6学时

2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

6学时

3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理

4学时

第四章

L空间 要求：

1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

2、熟悉L空间的内积，标准正交基

3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：

p

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换

重点

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性 课时安排（10学时）

1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

4学时

2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法

4学时

3、卷积与Fourier变换

2学时 pp

第五章 Hilbert空间理论 要求：

1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱

主要内容：

距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。课时安排（16学时）

空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投

1、距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

4学时

2、Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

6学时

3、共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱 6学时

第六章 Banach空间理论 要求：

1、掌握Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

2、熟悉开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

3、熟悉连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach定理

4、弄清弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

主要内容：

范数、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子，开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理，Hahn-Banach定理，弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

重点

Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛

课时安排（14学时）

1、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

4学时

2、开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

6学时

3、连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach

4学时

《实变函数与泛函分析》考试大纲

院 系：数学与计算机科学学院

课程名称：实变函数与泛函分析（第二学期）使用专业：数学与信息科学专业

学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0 学 分：4

一、设课目的：

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力.二、课程教学内容和教学目标：

通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基本概念、基本原理，使学生较好的掌握集合论基础、Lebesgue测度与Lebesgue积分、线性赋范空间与Hilbert空间的基本理论和有界线性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：

本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试

（一）形成性考核

形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。

学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。

（二）课程期末考试

期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：集合的势，可数集；外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性；可测函

p数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理；L空间的范数、完备性、收敛性、可分性；距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱；Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛.四、考核的组织：

本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。

五、教材

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.六、其他有关说明或要求

第四篇：病句复习练习题及答案3分析

病句复习练习题及答案

（三）姓名

选出下列各组语句中句意明确、没有语病的一句。1.（）

A、经过计算机教研室的老师们一个暑假的奋战，一间以“奔腾4”装备的、高标准的计算机教室终于如期投入使用。

B、英雄事迹报告会给我增强了与困难斗争的无比力量。

C、南北朝时，由于北方民族的大融合，江南经济的发展，为隋的统一创造了条件。

D、他学习上进步较快，事业上取得成功，人生的理想取得实现，关键是内因起决定作用。

2.（）

A、文件对经济领域中的一些问题，从理论上和政策上作了详细的规定和深刻的说明。

B、随着我国人民生活水平的日益提高，糖尿病患者日益增多，并向中青年段年龄者伸出魔爪。

C、从全国3824种社科类期刊中遴选出102种被确定为“全国百种重点社科期刊”。

D、各级干部是否廉洁奉公，是关系到党和国家命运的大问题。

3.（）

A、对于这种盲目投资、虚掷钱财的行为，迄今在有些部门仍未得到制止。

B、在滴水成冰的冬季，筑路大军冒着料峭的北风在工地上紧张地劳动着。

C、我们20多个职工的子女今年要考大学或升高中。

D、以计算机、通讯技术为核心的现代信息技术，与文字、电报、电话、广播等传统信息手段相比，具有独特性。

4.（）

A、他瞒着老师和同学悄悄地把卫生包干区打扫得干干净净。

B、去年八九月间，香港特区政府对金融巨鳄绍罗什的进攻是早有准备的。

C、一行人在总经理的带领下，来到希望小学，给我们的同学送去了一万元现金和一批捐赠物。

D、作家只有深深的扎根于生活的泥土里，才能写出反映我们时代的作品。那种离开泥土的天才作家是没有的。

5.（）

A、最近我这位朋友去了一趟南方回来，结果他的思想依然如故。

B、由于生产厂家众多，质量.服务不能与国际市场接轨的现象，使得中国的小家电市场没有形成大名牌优势。

C、今日的首都令每个到过这里的人感到惊叹和赞赏，使每个首都人感到骄傲和自豪。

D、有关负责人强调，必须把制止有偿新闻、买卖书号等当作一项长期任务长抓不懈。

6.（）

A、像照耀每一个城市一样照耀赫尔辛基的阳光因为空气层的清净而格外灿烂，500年古城的厚石砖路上，行人与出租车一律地流动着通向未来的电波。

B、美国的人权报告充满了颠倒是非、隐瞒和捏造事实以及对中国人民的恶毒污蔑和深刻仇恨。

C、现在，许多青年男女不再以财产多寡和门第高低为条件，而以能劳动、有科学文化知识为标准去选择自己的伴侣。

D、鉴于动物有上述特点，我们可以预测，随着科学技术的不断发展，在未来的战争舞台上，将有越来越多的“动物兵”出现。

7.（）

A、传销这一商品流通形式被禁止，这是应当的，因为这不符合我国国情。

B、抗洪英雄的代表受到中央首长的亲切接见和赞扬，并一起合影留念。

C、在营房传达室坐着的两位来探亲的人，是二排战士严卫国、王晓理的父亲。

D、主管领导同意占用耕地建房要给予必要的纪律处分。

8.（）

A、对于普通人来说，每天喝温的或凉的白开水，能很快被人体吸收，补充机体所需的水分，促进新陈代谢，增强人体的免疫力，是一种方便简捷的美容和养生之道。

B、为了使教师能更有充裕地进行备课和科研，校领导对教师的教学.进修和科研的时间作了调整。

C、我省研制的食用菌，用棉籽壳、玉米芯、木屑、甘蔗渣以及麦秸、稻草作原料，菌质良好，价格低廉。

D、思想政治课，要把政治常识和培养学生良好品德结合起来。

9.（）

A、在今后很长一段时间内，我国因为人口基数大，劳务市场劳动力供大于求的矛盾将长期存在。

B、前不久有一篇文章，具体地讲述了一个流氓恶棍在伏法前16年横行乡里的罪恶，其行径实在令人发指。

C、如果贵公司不能履行本协议中规定的义务，那么又有谁能担保我们之间的贸易不会出现逆转呢？

D、李老师退休前一年的夏天，学校特意安排他到疗养院去休养了半个月。10.（）

A、全球化经营已成为当今大公司的发展战略，而企业兼并则是它们调整经济结构和生产布局的重要手段。

B、蒿甲醚注射液系红细胞内期疟原虫杀灭剂，是抢救恶性疟的良好的抗疟药。

C、如果美国政府不履行它在中美贸易协定中所承担的义务，那么，任何人也不能肯定中美两国之间的贸易不会出现逆转。

D、“太平洋保险公司”主要参与社会灾害性事故处理，化解风险，安定社会生活的责任。

11.（）

A、吉林、山西、安徽，分别召开工会代表大会，选举产生三省总工会领导机构。

B、吃一堑，长一智。每次灾害使人类遭受重大损失，同时也使人类提高对灾害的认识，汲取教训，增强防灾减灾的能力。

C、他未按学生会的决定，把比赛日期告诉给对方，以致产生了误会。

D、记得当年我认识他的时候，还只是一个七八岁的小孩子，天真烂漫，无拘无束。

12.（）

A、对于旧乐式，他一生都非常保守地并毫不客气地打乱使用，注入鲜活的活力和激情。

B、比赛起点在天安门金水桥前，沿着长安街、二环路等规定路线跑完全程42.195公里。

C、调查显示，我国近90%左右的青少年认为“诚实守信”、“助人为乐”是优秀的传统美德。

D、十五年前，在第二届全国青年美展中，罗中立的《父亲》震动了全国美术界，也深深扣住了青年人特别是大学生的心。

13.（）

A、我国农村人口占全国总人口的六分之五，土地宽广，地域辽阔，是我国工农业原料的基地。

B、“有偿新闻”应当受到严肃批评，这是极其错误的。

C、徐经理一走进瑞芳的办公室，马上给她拉到了靠窗户的小圆桌前。

D、看乔丹打球，就像是欣赏一门不可多见的艺术，它会把人带离凡尘。

14.（）

A、一个人能否有作为，取决于他是否受过良好教育，是否有理想抱负，是否刻苦努力，还要看机遇与环境怎样。

B、我们必须拿出自己的正版计算机软件，否则，拿不出新软件，就难于抵制不健康的盗版软件。

C、当法国队齐达内接角球，头球破门之后，巴西队似乎才对法国队引起重视，从此加快进攻速度，以求扳平比分，或反败为胜。

D、荆州市公安局破获一起价值200余万元的特大银行抢劫团伙案。15.（）

A、一个人是否浮躁，关键在于他的政治修养、思想修养、理想志趣、责任感和使命感是否强。

B、一种为家庭提供烹饪劳务的计时服务近日在海滨市格外走俏，为下岗职工再就业提供了一条门路。

C、老胡看到我们非常惊讶，连忙把别后的情况告诉我们，还热情地拉我们上他家去。

D、一个外商投资的木材加工厂今年底将要建成投产。

16.（）

A、在嵇康生活的时代，以他那样的出身和与世不可调和的性格，其不免于祸是不可能的了。

B、那位军官用绳子含着眼泪捆紧了妻子的双手，用了整整一天时间，把她从雪地里拖上了山。

C、几个讨债的股民来到了商场经理部，经理赵林东派副经理和他的助手接待了他们。

D、该协会打算把一尊高10米左右的黄帝巨型铜像，在今年重阳节前夕敬立于黄帝陵。

17.（）

A、2月18日，最后一批滞留巴拿马的古巴难民被遣返美军在古巴的关塔那摩基地。

B、长期以来，社会上总是以升学率作为评价学校以及教师的硬性指标，尽管中央一直反对这样做。

C、球赛马上就要开始了，观众们争先恐后地鱼贯入场。

D、唐代贾岛“僧推月下门”中对“推”“敲”的故事，宋代王安石“春风又绿江南岸”中对“绿”字的锤炼，我们都很熟悉。

18.（）

A、我的思路被窗外小贩的叫卖声不时的打断。

B、随着世界各国交往逐年增多，各国输出劳工、侨民的人数也随之增加，从而使全球侨汇金额猛增。

C、那个老外在去机场途中才发现遗失在饭店房间里的三个钻石戒指。

D、我们兄弟手足情深，怎能丢下残疾的哥哥和弟弟去观看精彩的演出呢？

19.（）

A、他们两人““二诊”成绩悬殊如此之大，大家都感到难以理解。B、本届人大代表提案截止到大会闭幕当天下午六时以前。

C、校长请来了著名的天文学家，让他来指教同学们学习中碰到的疑难问题。

D、传真通讯能按原样通过有线或无线通讯线路，把文字、图表迅速准确地传到远方。

20.（）

A、在原始文化遗址水洞沟，人们发现了略加磨制的鸵鸟蛋穿孔饰件和骨片制成的骨锥，这是磨制技术的萌芽，在人类生产发展史上具有重要意义。

B、王艳毕业后去了深圳，按她的话说她现在只想挣很多钱来证明自己的价值。

C、随着世界各国交往逐年增多，各国输出劳工、侨民的人数也随之增加，从而使全球侨汇金额猛增。

D、封龙山又叫飞龙山，位于石家庄市区22公里处，早在战国时期就已见诸史册，汉唐以来一直是河北名山。

21.（）

A、完善国债市场，主要是在国债的发行规模、期限、方式、利率、无纸化程度等方面进行改革，实现全国国债市场联网。

B、在创作《李清照》时，作者细腻的渲染和抒发了李清照在燕尔新婚、惨遭离乱、忧国伤时几个不同环境中的思想感情。

C、造成环境污染的重要原因，是由于资源、能源的流失和浪费。

D、这种将企业各方的权利义务用合同、章程等方式加以明确，对于职工行使民主权利无疑是一种基本保障。

22.（）

A、一些作家笔下的文化散文一直努力以现代人的眼光重新打量曾被形形色色的政治弄得迷离恍惚的历史。

B、人民文学出版社出版的小说《漂泊》，作者是一位蛰居海外20多年的毛里求斯籍华裔作者之手。

C、反革命分子的阴谋活动是应当加以揭露，而且能够把他揭露的。

D、制止和规范权力消费行为已经成为反腐败斗争中迫在眉睫的课题。

23.（）

A、优秀共产党员、著名爱国将领吉鸿昌的女儿吉瑞芝给我们作了一个生动的报告。

B、父亲已经走了，但那番语重心长的话语时时在我心头回响。

C、雷阵雨过后，乌云渐渐消散，空气清新湿润，夕阳斜照，西边天空出现弯弯的彩虹，把人间装点得如同仙镜一般。

D、使用300电话不需要专用的电话机，如果能牢记自己的卡号和密码，您可以不必随身携带300卡，因此它比磁卡更加方便。

24.（）

A、理工科大学先学基础课，再学专业基础课，然后学专业课，这样循序渐进的学习，可以获得较为系统的基础理论知识。

B、草原上姑娘们的衣裳像洁白的云霞一般，亮丽动人。

C、理工学院的研究人员正在开发用于探测引起事物中毒的微生物的生物传感器。

D、我们并不否认《药》这篇小说没有透露出希望，而是说这希望很渺茫。

25.（）

A、知识经济学，主要研究知识与经济发展的关系，探索如何依靠知识的进步实现经济发展、财富增加的规律。

B、这个结尾，含蓄自然，使读者感到蓦然而来，悠然而逝，而又余音缭绕。

C、自卫还击战英模报告团到沪的喜讯，把大家的思绪重新带到了炽热沸腾的边防哨所，回忆起他们在那里慰问演出时的情景。

D、本届”挑战杯"竞赛从参赛高校数及参赛作品都有了明显的提高。

参考答案：

1、A（B “增强”“无比力量”搭配不当。C 去掉“由于” D “关键”与“决定”重复。）

2、D（A 词序不当，将“深刻的说明”放到“详细”的前面。B“伸出”的主语是“糖尿病患者”，动宾搭配不当。C主语残缺，原句改作“„„选出的102种期刊被„„”。）

3、D（A主语残缺，去掉“对于”。B“滴水成冰”与“料峭”矛盾。C“20多个职工的 子女”有歧义。）

4、D（A谁打扫有歧义。B谁进攻谁有歧义。C词序不当，“送去”改为“送来”。）

5、D（A前后句无因果关系。B主语残缺，去掉“由于”、“的现象”。C去掉“和赞赏”。）

6、D（A 最后的分句表意不明。B原句改为“美国的人权报告颠倒是非、隐瞒和捏造事实，充满了对中国人民的恶毒污蔑和刻骨仇恨 ”。C 两面与一面不对应。）

7、C（A“这”改为“那”。B 与谁“一起合影留念”有歧义。D “处分”的对象有歧义。）

8、C（A 前后主语不一致。B去掉“有”。D“政治常识”前面加“讲授”。）

9、C（A“因为”放“我国”之前。B动宾搭配不当，“具体的讲述”改为“详细的揭露”。D“退休前一年”有歧义。）

10、A（B去掉“抢救恶性疟的”。C“所”后加“应”。D 主谓不搭配，去掉“的责任”，在“参与”前面加上“责任是”。）

11、B（A“三省总工会领导机构”有歧义。C“学生会的决定”有歧义。D用词不当，改“节约能源”为“省电”或改“能源”为“用电”。）

12、D（A“非常保守”与“毫不客气”矛盾。B主语不一致。C“近”与“左右”矛盾。）

13、D（A主语不一致。B“这”改为“那”。C“工资”有歧义。）

14、A（B“否则”与“拿不出新软件”重复。C 一方对另一方才用“引起”。D“价值200余万元”作“团伙案” 的定语修饰不当。）

15、B（A “修养”“志趣”与“强”不能搭配。C 谁惊讶不明确。D “木材加工厂”的定语有歧义。）

16、D（A“不可能”改为“肯定”。B“用绳子”放在“眼泪”后。C“他的助手”有歧义。）

17、A（B 改“以”为“把”。C“鱼贯”是“一个接一个”，与“争先恐后”矛盾。D去掉前一个“对”。）

18、B（A“不时”放在“被”之前。C不合常理。D有歧义。）

19、D（A“悬殊”与“大”重复。B去掉“以前”。C“指教”不当。）

20、B（A“饰件”“骨锥”是“萌芽”主宾不搭配。C “输出侨民”动宾不搭配。D“位于”改为“距”，去掉“处”。）

21、A（B“细腻的渲染”修饰不当，作者也不可能抒发李清照的感情。C去掉“由于”。D “明确”后加“的做法”。）

22、A（B去掉“作者之手”。C 前后半句主语不统一。D此处用“规范”不当。）

23、D（A“优秀共产党员”修饰对象有歧义。B“音容笑貌”“回响”不能搭配。C “夕阳斜照”时西天看不见彩虹。）

24、C（A后面所得与前面所学不符。B“洁白的云霞”修饰不当。D否定过多，说反话。）

25、A（B“蓦然而来，悠然而逝”表意不清。C“回忆”缺主语。D“作品”“提高”搭配不当。）

第五篇：实变函数与泛函分析初步-江苏教育考试院范文

高纲0871

江苏省高等教育自学考试大纲

0201

2实变与泛函分析初步

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

一 课程性质及其设置目的与要求

（一）课程性质与特点

实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容.总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.（二）设置目的与要求

课程内容包括：本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（L积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。

本课程设置目的是使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。

二 课程内容与考核目标

第一章

集合

（一）课程内容

集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。

（二）学习与考核要求

1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.第二章

点集

（一）课程内容

度量空间与n 维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直上开集、闭集、完备集的构造.（二）学习与考核要求

1、理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d及用邻域u来描述），掌握两集之距离，一集之直径及n维区间等概念.2、掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.3、掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.4、掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.5、掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.6、掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c、测度为零等）.第三章

测度论

（一）课程内容

外测度，可测集，可测集类。

（二）学习与考核要求

1、掌握勒贝格外测度的定义（m* E）及其基本性质（包括非负性，空集外测度规定、单调性和可次可加性等）.能够根据勒贝格外测度的定义来证明性质和验证零测度集.2、了解勒贝格内测度（m* E）概念、勒贝格可测集的第一定义

**mEmEm*（），理解对于区间I有I|I|及mI|I|的结论.了解不可测集的存在性.3、掌握勒贝格可测集的第二定义：

对任意点集T: m*Tm*(TE)m*(TCE)测集的第一、第二、定义的等价性.成立.能够用第二定义证明某些集的可测性.了解可

4、掌握可测集的两个充要条件定理.5、掌握两可测集之并为可测集定理，可列个可测集之并为可测集定理，并能够正确地证明它们.6、掌握两可测集之交为可测集定理，可列个可测集之交为可测集定理.7、掌握递增可测集列

{Sn}之极限可测定理及递减可测集列{Sn}之极限可测定理.并能够正确证明它们,还要能够用反例说明后一个定理中mS1的重要性.8、掌握波雷耳集,集,还是G型集、F型集等概念.能够根据概念正确判别具体集合是G型F型集.G型集、F型集的关系.9、掌握可测集与开集及闭集的关系;可测集与

第四章

可测函数

（一）课程内容

可测函数及性质，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛。

（二）学习与考核要求

1、掌握全体有限实数R上、下确界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}内的四则运算的意义及法则.2、掌握可测函数的定义及其等价性定理.3、掌握定义在任意点集E上连续函数的概念及连续函数可测性定理.掌握简单函数的概念及其可测性叙述.4、掌握可测函数的性质（包括可测子集上的可测性，并集上的可测性，函数四则运算及取绝对值的可测性，可测函数列的上、下确界函数的可测性、上、下极限函数可测性、极限函数可测性等）

5、掌握可测函数与简单函数关系定理.6、掌握叶果洛夫定理的引理.7、掌握叶果洛夫定理和鲁津定理，能够对应地写出与某些可测函数的“基本上”相等的连续函数.8、掌握依测度收敛的概念，能够用实例说明依测度收敛与收敛概念的不同性.9、掌握黎斯定理及勒贝格测度收敛定理.掌握依测度收敛在几乎处处意义下的唯一性定理.能够应用相关定理证明一些简单命题.第五章

积分论

（一）课程内容

黎曼积分，勒贝格积分定义及性质，一般可积函数，积分极限定理，富比尼定理。

（二）学习与考核要求

1、掌握可测分划D，关于D的Darboux大和及Darboux小和、有界函数F{x}在E上的上、下积分、在E上的（L）积分概念.掌握有界函数（L）可积的两个充分条件定理.2、掌握有界函数F(x)在[a.b]上（R）可积时（L）积分与（R）积分相等的定理并且能够正确地证明之.3、掌握有界函数的（L）积分的性质（包括和、差、积、商、取绝对值的可积性、可测子集上函数可积性、线性、不等号性质、绝对值放大性质，被积函数几乎处处为零的充分条件及绝对连续性.）

4、掌握一般非负函数（L）积分概念，一般函数（L）积分概念.掌握一般函数积分确定时或可积时的全部性质.能够证明积分绝对连续性.5、掌握（L）可积函数是具有绝对可积性的结论，能够用函数是否（R）绝对可积来判别其是否（L）可积的.6、掌握积分的极限定理（包括L-控制收敛定理和推论，列维定理，L-逐项积分定理，积分可数可加性定理，法都引理、积分号下求偏导定理）并能应用这些定理证明题目.7、理解直积、截面和下方图形等概念及性质.理解截面定理、直积测度定理、非负可测函数积分的几何意义定理及其推论.8、掌握富比尼定理,能够用富比尼定理来检验函数的不可积性.三 有关说明

（一）教材：

自学教材：程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003年。

（二）补充资料

自学和命题以考试大纲为主要依据，但考虑到本课程的定理证明较难，故对本课程参考课本中的主要定理证明不作要求，但定理结论的和定理结论本身的内容必须掌握，并能利用定理来计算和判断一些命题。故须补充一些定理应用的例子和习题。具体内容可以参考下列教材：

赵静辉主编：《实变函数简明教程》，华中理工大学出版社，1996版。

烟台师范学院等九院校编著：《实变函数论简明教程》，山东科学技术出版社，1985版。

（三）自学方法的指导

本课程作为一门专业课程，逻辑性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：

1、学习前，应仔细阅读课程大纲的第一部分，了解课程的性质、地位和任务，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。

2、所配教材只是一个参考，自学中应结合本课程大纲、补充习题、多做练习，熟练掌握基本概念，能利用基本概念定理计算判断，从而切实提高自身的数学分析问题能力和解决问题能力。

（四）对社会助学的要求

1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。

2、对应考者进行辅导时，除了以指定的教材为基础外，应以考试大纲为依据，注意补充练习，注重提高学生应用概念定理分析问题、解决问题能力的发展。

（五）关于命题和考试的若干规定

1、本大纲各章所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。

2、试题难度结构要合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为3：5：2。

3、本课程考试试卷可能采用的题型有：单项选择题、填空题、简答题、计算题、证明题等题型（见附录题型示例）。

4、考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。

附录：题型举例

选择题 1．设是有理数，则下列正确的是（B）

A． 填空题： [0,1]； Ｂ．[0,1]；

Ｃ．[0,1]；

Ｄ．以上都不正确。

2．康托尔集P的测度为mP 0。集合A简答题：

4．叙述叶果洛夫定理？

[0,1]的测度为mA 0。

参考答案： 设mE,fn是E上一列几乎处处收敛于一个几乎处处有限的函数f的可测函数，则对任意0，存在子集EE,使得fn在E上一致收敛，且m(EE)。计算题： ,1,x[1,2]5．设f(x) 求f(x)dx？

[1,2]0,x[1,2].参考答案：由于m([1,2])0，据L积分的可加性及绝对连续性可得

证明题： [1,2]f(x)dx0dx[1,2]f(x)dx[1,2]f(x)dx[1,2][1,2]1dx0。

6．证明：Ea2b|a,b为可数集。

参考答案：令:a2b(a,b)，其中a2bE,(a,b),显然是单

射，故Ea。另外，显然，Ea。即Ea2b|a,b为可数集。

