《泛函分析》课程学习要求（样例5）

第一篇：《泛函分析》课程学习要求

《泛函分析》课程学习要求

课程英文名称： FunctionalAnalasisy

课程编号：405012080适用专业：

学时数：44学分数：4执笔者：郝 英

一、总体要求

要求学生比较系统地理解泛函分析的基本概念、基本结论,具备一定的概括能力、计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力；并能综合运用理论知识解决实际问题。

二、具体内容

1、度量空间和线性赋范空间

（1）深刻理解度量空间的相关概念，能够验证度量定义中的三个条件；熟悉常见的度量空间及在其上度量的定义；

（2）掌握稠密性与可分性的概念并且能够证明稠密性与可分性；通过学习度量空间的完备化定理能够证明一些空间的完备性；

（3）熟悉第一及第二类型的集、闭集套定理、准紧集、紧集、全有界集、有限开覆盖、有限交性质、不动点的概念；

（4）掌握并理解压缩映射定理及其证明思路；

（5）掌握线性赋范空间、巴拿赫空间等概念，深刻理解依范数收敛及范数的几个性质。

2、线性有界算子和线性连续泛函

掌握线性算子、线性泛函、线性有界算子、线性算子空间、共轭空间等概念，能够验证算子的线性性质和有界性。

3、内积空间与希尔伯特空间

（1）熟练掌握内积空间的相关概念以及常见希尔伯特空间中内积的定义；理解內积导出的范数；

（2）自伴算子、酉算子、正常算子的概念，（3）掌握并会应用施瓦茈不等式正交定义、投影定理、直交系，会应用贝塞尔不等式等。

4、巴拿赫空间中的基本定理

（1）熟练掌握巴拿赫空间中基本定理的内容，了解它们的证明思路；

（2）第一纲集第二纲集Bair纲定理；

（3）强收敛、弱收敛和一致收敛，三种收敛性之间的关系。

三、需提交的材料

1、最后交一篇学习泛函分析中某些概念的理解或学习心得。

第二篇：泛函分析

1.设X,d为距离空间。证明：d

2.（1）收敛点列为柯西列。

（2）柯西列为有界列。dx,y也是距离。1dx,y（3）有收敛子列的柯西列是收敛列。

3.（1）叙述压缩映射定理。

（2）作业的应用。

4．证明：u,vau(x)v(x)dx是一个内积。

5．利用Schwarz不等式证明：x满足三角不等式。

6．利用内积证明平行四边形公式。7．X,Y为Banach空间。T:XY线性。证明：T有界T连续。

8.H为Hilbert空间，fH线性有界泛函。

（1）证明零空间vf是闭集。

（2）叙述Riesz定理。

（3）证明：Nf是一维子空间。

9.证明投影算子，P为线性有界算子，并且P2P,P1 10.ufx,uW01,2,若fL2 ,证明解存在且唯一 b

第三篇：泛函分析学习心得

泛函分析学习心得

学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度.在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue可测集的结构、可测函数、LP空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：

第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n维欧氏空间Rn中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义：

设X为一集合，是XX到Rn的映射，使得使得x,y,zX，均满足以下三个条件：

（1）x,y0，且x,y0当且仅当xy（非负性）（2）x,yy,x（对称性）

（3）x,zx,yy,z（三角不等式），则称X为距离空间（或度量空间），记作X,，x,y为x,y两点间的距离.学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间Rn，离散度量空间，连续函数空间C[a,b]，有界数列空间l，p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间Lp[a,b](p1)，均满足距离空间的性质.2.距离空间的完备性

设X,是距离空间（或赋范空间），如果X中的点列xn满足

xn,xm0

n,m

则称xn是X中的基本列（或Cauchy列），若X中任意基本列都在X中收敛，则称X,是完备的距离空间（或赋范空间）.在上学期学习《实变函数论》时我们已讨论过LP1空间的完备性，除此之外，我们可知道Ca,b按距离x,ymaxxtyt是完备的、atblp1是完备的.第一章第三节的内容是内积空间，与高等代数中的欧式空间类似，但又不一样，在n维欧式空间中，向量的“夹角”是利用内积来定义的.两个向量u,v的夹角指的是arccos于u,vuv，其中u,v是u与v的内积，u是u的模或长度，它等u,v.如果抛开Rn中内积的具体形式，将其性质抽象出来，就可得到抽象空设X是复数域上的线性空间，,是XX到复数域C的二元函数，使得间上的内积概念：

对任意x,y,zX及C满足：

(1)x,x0,且x,x0当且仅当x0

(2)xy,zx,zy,z(3)x,yx,y(4)x,yy,x

则称,为X上的内积，称X为具有内积,的内积空间，也记为X,,.在学习了内积空间的定义后，我们知道若在L2E上定义

f,gEfxgxdx

f,gLE

2则L2E是内积空间.还有其他的内积空间需要我们去探究和研究.以上是我对本学期学习的《泛函分析》的一小部分内容的理解，学习了《泛函分析》后发现这是一门很值得学习和研究的课程，同时是一门相对比较深奥的课程，需要我们更用心去学习.这门课程与其他数学学科有密切的联系，但又有本质的区别，我会在日后更加努力认真学习，去研究和探究其与其他学科的联系与区别，希望能运用《泛函分析》的知识和观点去解决其他学科的问题.

第四篇：泛函分析学习心得

泛函分析学习心得 10数本6***2010224216

泛函分析是数学系基础数学专业的一门重要必修基础课程。是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。也由于它研究的对象导致它是一门比较抽象的课程，不像我们以前所学习的知识那样容易理解而有实体，所以，如果我们要学好这门课,那就必须讲究学习方法。除此之外，泛函分析也是数分与高代综合的抽象，所以想学好泛函分析就要有良好的基础，而作为上册的实变也是其中起着关键作用的基础。泛函分析的特点是它的抽象化，把概念和方法几何化。比如，课本中第一章讲的距离空间，如章前引导的，解微分方程所引发的各种疑问促使人们将函数集合作为一个整体看待，在其上引入线性运算、距离等概念，从而得到抽象的距离空间，也就是把不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

由于这门课程比较抽象，所以要学好这门课程，对于我们来说，还是有点难度的。但是，只要我们掌握了好的学习方法，我们还是一样可以吧这门课程学好的。那怎样的学习方法才能让我们学好这门抽象的课程呢？下面，我就说说我的看法。

首先，我们一定要适应大学的教学模式，尽快进入角色，毕竟大学跟我们中小学的课堂教学模式是完全不一样的。大学是以学生自学为主，老师指导为辅。要想学好泛函分析这门课，更多的是需要我们学习的自主性。

其次，就是我们的课前预习。我们要对课本的相关教材熟悉，初步把握好教材内容的重难点。在上课的时候，带着问题就听老师讲课，这样对于我们的课堂效率就能有很大的提升。我们也能很轻松的跟着老师节奏走，对于泛函分析的抽象问题，我们也就比较容易想象它的模型，消化起来自然也就相对轻松很多。

再次，在课堂上，我应该根据老师课程的讲解，参与老师的互动。虽然大学的课堂有点“满堂灌”的形式，但是，在老师给我们讲解的时候，我们是可以跟着老师讲课的节奏，主动思考，适当的提出自己的疑问，以及自己对这节课知识内容的理解的想法。这对老师讲解的概念定理，有关证明的思路、技巧及定理中关键条件的作用的深刻理解，启发我们我们队定理条件进行反思和提问，进一步运用知识去分析解决问题。

最后，是课后的复习以及习题的巩固。在学习泛函分析这门课程中，我们难学的问题不仅体现在内容的抽象、难于理解，也体现在理论方法的难于运用。理论方法的运用，是需要我们通过适量的练习来领悟其中的奥妙和技巧的。只有通过习题的巩固复习，我们才能领悟泛函分析中理论知识的精髓，提高论证推理能力。通过练习适量的习题，能培养我们的抽象思维能力，及逻辑推理能力，并提高我们分析问题和解决问题的能力。

在大学，我们要学习的知识理论是比较多的，对于学习泛函分析这一比较抽象的课程，我的学习心得，主要是以上的这三点。对于其他类似泛函分析这种比较抽象性德课程，我们也是需要做到上面的这三个方面的，但这并不意味着我们只有学习抽象性课程的时候才需要这样的学习方法去学习。通过泛函分析的学习，我发现，不管是哪一门课程，只要我们把握好上面的这三点学习方法，我们都可以学习的很轻松的。

对于学习泛函分析，虽然说大学的教学模式，只要是以学生自己为主的。但对于泛函分析这中抽象性比较大的课程，我觉得老师在把握教学进度的同时，应多注重跟我们学生之间的互动。毕竟，“填罐式”的教学方式，对于我们对知识点的理解与把握是有点困难的。但是有教师的互动，对我们理解教材的知识点，是有很大帮助的。这样我们，我们学习起来，也会相对轻松很多。

第五篇：泛函分析教学大纲

课号：218.116.1

泛 函 分 析 教 学 大 纲

(Functional Analysis)

学分数 3 周学时 4

一.说明

1.课程名称: 泛函分析(一学期课程)，第五学期(3+1)*18=72.2.教学目的和要求:

(1)课程性质: 本课程是数学系专业基础课, 为数学系本科三年级学生所必修。

(2)基本内容: 本课程主要内容: 度量空间中点集分析，赋范空间上算子与几何，内积空间中几何与算子，线性算子谱理论。

(3)基本要求: 通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。

3.教学方式: 课堂授课。

4.考试方式: 考试。

5.教材: 《泛函分析》讲义，郭坤宇，徐胜芝编

参考书: 《实变函数与泛函分析》 夏道行等编, 高等教育出版社。

二.讲授纲要

第一章 度量空间中点集分析

1.1 度量空间(3学时)

1.2 度量拓扑(2学时)

1.3 数值函数(2学时)

1.4 紧~~~与极值(2学时)

1.5 贝尔纲论(3学时)

1.6 函数空间(2学时)

本章要求: 通过学习度量空间的基本点集理论, 读者应能熟悉紧集与其应用, 熟悉纲理论及其应用, 掌握映射的连续性与数值函数的上半连续与下半连续性及其特征.第二章 赋范空间上算子与几何

有界线性算子(3学时)

连续线性泛函(3学时)

弱收敛与共轭(2学时)

一致有界原理(2学时)

开映射与闭算子(3学时)

凸集与超平面(2学时)

本章要求: 通过学习有界线性算子的基本理论, 读者应能掌握线性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析与几何上的应用;一致有界原理及其应用;开映射原理与闭图像定理的应用等.第三章 内积空间上几何与算子

内积空间(2学时)

共轭算子(2学时)

投影算子(2学时)

基与维数(2学时)

赋范代数(2学时)

本章要求: 通过学习内积空间的几何, 掌握投影定理与投影算子的应用,直交基的确立及其应用.第四章 线性算子谱理论

正则点与谱点(3学时)

紧算子谱分析(3学时)

有界正规算子(2学时)

无界线性算子(2学时)

谱测度与积分(3学时)

指标理论初步(2学时)

本章要求: 通过学习线性算子谱理论, 读者应能计算一些典型线性算子如单向平移和乘法算子等的谱, 提高利用Gelfand谱理论分析谱的能力, 掌握正规算子谱分解及其应用, 能分析紧算子的谱并掌握Fredholm算子指标的应用.