第一篇：数学序言课
数学序言课
一、教学目标：
1、对数学内容有个大致的概念；
2、了解数学的特点及其广泛的应用；
3、领略数学的美妙，学习数学的兴趣得到增强；
4、明确上好数学课的要求。
二、教学重难点：
1、让学生大致了解数学的特点及其广泛应用，增强学习数学的兴趣；
2、在如何学好数学上作一定的要求与指导。
三、教学过程：
1、引入：我们从小学甚至幼儿园就已经开始接触数学了，那么到底什么是数学呢？她包含了那些内容？请同学们说说看。
2、新课：
（1）数学的内容大致来说，数学分为初等数学与高等数学两大部分。我们初中与高中所学内容都主要是初等数学，初等数学主要包括几何学与代数学。几何是研究空间形式的，代数是研究数量关系的。
（2）那么数学有什么特点呢？
抽象性、精确性和运用的极其广泛性。
抽象性：比如1，可以代表1个人，一个苹果，一项工程，我们刚刚学过分数，知道1还可以代表10个苹果或100个苹果，只要把这些苹果看成单位1就行了。再比如一条线，可以代表一段公路，一个物体的边，运行轨迹。。
精确性：数学定义、性质的准确性、计算的准确性和推理的逻辑严格性。
应用的极其广泛性：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。--------华罗庚
（3）数学与人类文明：可以说，从有了人类开始，就有了数学。数学在人类文明进程中有着极其重要的地位。
①数学与重大发现。
万有引律：我们都知道一个苹果砸到了牛顿的脑袋上，使他发现了人类文明史上三大定律之一的万有引律，但是我想，如果苹果砸重的不是牛顿，而是其他一个不懂数学的人，那么他是不可能发现万有引律的。因为牛顿除了是一位伟大的物理学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上有着许多的重大贡献，他发现万有引力定律的思维方式其实就是数学的思维方式，所以他把他最重要的著作命名为“自然哲学的数学原理”。
相对论：爱因斯坦的相对论是宇宙观的另一次伟大革命，促使爱因斯坦作出这一伟大贡献的仍是数学的思维方式。
海王星的发现：太阳系最远的行星之一，因为它离的比较远，所以很难观测到。那么它是怎么被发现的呢？天文学家阿达姆斯发现了天王星运动不规律，通过引力法则和力学法则计算出有这样一个行星，还计算出这个行星位于何处，然后观察员通过望远镜发现了这颗行星。同学们想想看，这是多么伟大的发现呀，在茫茫的太空中，居然通过数学计算能这样精确的发现一颗星期，是多么的了不起，这个发现是数学计算的胜利。②一些数学故事
最早对自然数的理性认识，是古代著名的哲学家和数学家毕达哥拉斯，他创立了毕达哥拉斯教团，这个教团虽然有宗教的性质，但其实对自然数作了深入多方面的研究。他们把不仅把数字看成计数的工具，而且看成神圣、完善和友好的象征。比如，他们发现了完全数，即等于他真因数之和的数，比如6，6就成为了完美的象征。他们还发现了亲和数，即每个数是另一个数的真因数之和。比如284和220。
数学困惑：两条长短不一的线段，长的线段上的点比短的那条上的多吗？自然数比偶数多吗？
数学游戏：有三堆火柴棒，分别有3、6、9根，规定每次可去任何一队中的任意根数，拿到最后一根的人就输了，怎么拿才能取胜？
（4）如何学好数学？ ①同学们你们怎么想的？
②看看著名数学家华罗庚教授的建议：基本运算要熟、要快基本运算不但应当“会”，而且要熟、要快；要尽可能多做些习题应当尽可能地多做些习题，以达到熟能生巧的境地；学好书上内容，省去的思考过程也重要，从书上学好形式推理，而书上所没有的思考过程也要重视。
③老师的建议与要求： a、养成好的数学学习习惯
上课的要求
作业的要求
整理的要求 b、掌握方法，灵活运用
如果我们在数学学习中，既扎扎实实地学好了数学知识和技能，又牢固地掌握了数学思想和方法，而且能灵活应用数学知识和技能解决实际问题，那么，我们就走在了一条数学学习成功的大道上。
第二篇：序言课教案
序言课 学而不思则罔
上海市实验学校 蒋楠骏
学情分析
所授课的对象中一五班学生在上一学年暴露的一个重大的不足之处在于课堂上较少部分的同学在课堂上能够积极思考，然而其他同学更多的是被动的学习。语文学习需要听说读写，而学习这些技能的前提是有一个良好的学习习惯。故本学期旨在培养学生勤于思考、善于思考的学习方式。这节序言课的目的就是鼓励学生能在本学期改变思维方式上的陋习，真正达到绝大部分同学能参与到语文学习的课堂上来。
教学目标
知识与能力：感受封闭性思维的不足之处。初步熟悉文本阅读的科学性。
过程与方法：通过举出古今文本阅读的偏颇之处，暴露学生思维的局限性，提出作者-文本-读者的还原法解读方式，使学生感受科学、理性思维的重要性。
情感态度价值观：在正误解读的对比之中，感受语文的妙处，激发学生学习语文的热情以及鼓励学生养成勤于思考的、善于思考的学习方式。
教学过程 导入：
师：一个暑假过去了，见到你们非常高兴，不知道你们一个暑假过后，除了身高渐长，知识也有没有长进呢？新学期到来，我们又将面临一个漫长而又快乐的学习过程。有的同学认为学习伴随着痛苦，我说被动的学习一定会是痛苦的，而自己能够发现问题，解决问题的过程一定是愉快的。只有这样，才能攀登知识的高峰，“会当凌绝顶，一览众山小”。
师：老师倒想问问你们，放假期间你们看了些什么书呢？ 生：随意回答。
师：老师和你们一样，一个暑假过去，也读了不少书，发现自己的认识有了很大的改变。举例子（历史、物理、数学、汉语各个层面的常规认识截然相反，引起学生兴趣）这是为什么呢？
生：自由回答。
师：我们生活的世界都存在着一定的局限性，这种局限限制了我们的思维，我们上学期的语文课也时常掉入到这样的陷阱，大家还记得《背影》有过一道题目吗？问为什么朱自清只写父亲的背影呢？我记得老师给过你们答案，因为背影感人。你再仔细的想想，这样的回答有问题吗？ 生：思考。师：我举个例子，大家认为字典够不够权威啊？一定没有错误吧。字典有好多处解释有问题，比如说：
《现代汉语词典》
1679页【远近】解释为“远近的程度”。你觉得解释过了吗？不是应该改为两点之间的距离吗？
257页【大小】①名指大小的程度：这双鞋我穿上～正合适。释文改为：物体从长宽高三方面所形成的体积；物体所占据的一定空间。
这叫同语反复，说了等于没说。
我们再来看，朱自清为什么着重写背影呢？（他的潜在语言是什么）生：思考
师：其实不就是在问，为什么背影最感动朱自清呢？
你给我回答，因为背影最感人。那不就是和我问你什么是牛肉，你回答牛肉就是牛的肉一样的道理吗？牛肉为什么好吃？因为牛肉美味。这就是同语反复。试卷的答案会犯这种错误，连词典也会犯错误。是人，难免不犯错误。而犯错的前提就是不肯思考，懒得思考。
我们这个学期主要任务就是决绝这个问题。尤其是语文课堂上，怎么去解读文本。知识是死的，我们学习的课文没有一篇会在中考里考到，难道是白学吗？我们要学习的是科学的解读文本方式，从而不出现解读的错误，而这个过程最重要的就是学习中的思考。如果你不去思考，那么学习变成被动，变成死记硬背，效率固然就差。
提出方法
现在老师就提出方法，希望学生们一起开动脑筋，努力思考。我们一起由浅入深，把上学期这个问题解决。
师：我们学习语文的过程是由哪些媒介构成的呢？ 作者-文本-读者
师: 文字就是作者用来表达情感给读者的载体。读者常常无法完全领会到作者的意图，就好比我们学生往往无法做对阅读理解一样。因为我们总是用我们的思维去解决问题，从来不分析文本里面的信息。《背影》中朱自清感动的眼泪都要掉下来了，为什么我们不感动呢？因为时代不同，条件不同，这般大年龄的你们无法体会朱自清的感动之处。但是，我们就只能被动思考了吗？只能被动接受答案了吗？其实，深入文本，我们能得到很多信息。我们来一起由浅入深，品味文字的妙处。
方法实践（1）标点
师：一篇文章中最不起眼的是什么？ 生：思考
师：这个东西果然很不起眼，我们全班那么多人找，也很难找出。你们注意过标点吗？他的作用可大着呢！
高中教材里面有篇文章叫《荷花淀》，写的是白洋淀抗日战争的故事。
故事里面的水生要离开妻子，第一版的《荷花淀》教材里水生嫂这么对水生说话的。你去，我不拦你，可家里怎么办？ 你们认为水生嫂的态度是怎么样的呢？ 生：思考，讨论
师：孙犁知道后很愤怒，他的原文是这样的“你去，我不拦你。可家里怎么办？”你们看看有什么不同？ 生：思考，讨论。
很显然，前者不太愿意他去，后者坚持他去。
（2）字、词的关系
师：现代文如此，古诗又何尝不是？不知细叶谁裁出，二月春风似__刀。填什么呢？
生：剪刀。师：你们又死记硬背了吧，唐诗鉴赏字典上面这么说，因为这句话很形象生动地写出了春意。明显又是说了没说，为什么春意？风像剪刀？就有春意了？风的样子你看到过？为什么不是菜刀？
生：思考、讨论
师：因为前面有个“裁”字。语言之间是有语感联系的。
（3）文章
文章句子与句子有联系，语言有联系。我们学过朱自清的两篇文章，《春》和《背影》，你们觉得语言有什么不同呢？ 《春》
野花遍地是：有名的，没名字的，散在草丛里像眼睛，像星星，还眨呀眨的。
吹面不含杨柳风，不错的，像母亲的手抚摸着你。
鸟儿将巢安在繁华嫩叶当中。呼朋引伴地卖弄着清脆的喉咙。
坐着，躺着，打两个滚，踢几脚球，赛几趟跑，捉几回迷藏。风亲悄悄的，草软绵绵的。
这是一个孩子还是朱自清呢？
《背影》的语句又是怎么样的呢？
朴实，难道就没有情感了吗？作者为什么要写背影呢?这个就留给大家回去再仔细地看看书本。
作业
小组共同研究讨论，《背影》为何感人。
第三篇：预备序言课
初二 序言课
一、自我介绍，了解各班情况
1、本学期为预备年级第二学期，预备1—6班的授课教师为王喆，健美课授课教师为施丽娜。
2、自我介绍
3、了解本班情况、认识体育委员、班长。
二、介绍本学期的目标
1、课程目标：身体发展、知识技能、心理发展、社会适应。总目标：健康第一，以学生的发展为本。
2、个人目标：受遗传等影响，体质、素质的个体差异是很大的，基础好的一定会在运动中感受到乐趣；而体育不太行的同学不必自卑，重在参与，自我培养兴趣。
3、阶段目标：加强基本功的训练，打好基础，细水长流，为初三加试准备。
4、课堂目标：要改变学习方式，要主动、自主、创造性地学习，开动脑筋，重在参与。
5、教学内容：
篮球：原地双手胸前投篮（考核）排球：一抛一垫（考核）实心球：（考核）耐力：800米（不考核）排球：高低垫球（不考核）50m跑：（考核）
三、课堂具体要求：
1.教学常规：
① 着装（包括衣、裤、鞋、帽、围巾等）舒适的运动鞋，长围巾不允许带。② 出席率：学期结束算总账，期末平时分数扣分，不要用体育课看牙或外出（例假不请假，运动量可自行掌握）
③ 请假制度：-请假要开请假条、没有请假条要当面请假
④ 两分钟集合：尽量不要迟到，若迟到要报告，并说明原因，体育委员应先到场。讲一下整队汇报人数的方法。-整队报数报告人数缺勤情况
⑤ 下课必须集合，体育委员负责清点器材，同学应予配合，小组长协助。⑥ 老师请同学示范时应大方。⑦ 课中要求相互学习交流、观察、模仿、帮助、合作、创新。老师将给予同学自主学习的时间和空间。
⑧ 统计原市
三、运动员、免修人数
2、体锻课的要求：准时、人员齐、服装符合要求、纪律有保障、爱护器材
3、上课的场地：在田径场
4、遇天雨：在教室等待；场地潮湿：体育委员提前到体育组询问
第四篇：《〈宽容〉序言》说课教案
《〈宽容〉序言》说课教案
我今天所说课的篇目是《宽容》序言，它是人教版全日制普通高级中学语文教材第二册第三单元的第四篇课文。
一、新教材对高中语文阅读教学的要求
人教社的高中语文新教材（试验本），打破了传统的阅读与写作、说话、听话混合编排的模式，改为阅读与写作、口语交际分编；各个单元的教学重点相当明确。高中语文新大纲中明确规定，高中语文教学要让学生“掌握语文学习的基本方法，养成自学语文的习惯”，“为继续学习和终身发展打好基础”，提出了“以阅读教学为龙头带动整个语文教育是一个标本兼治的通途”，“要重视学生的实践活动，让学生在教学过程中主动学习、探究。语文教学以阅读为本，改革旧的耗散性讲析模式，注重阅读教学的整体感悟，突出广泛而自主的大量阅读，突出全方位的阅读技巧和能力的指导与训练，以多种渠道培养良好的阅读习惯，以阅读带动听说写能力的全面提高。突出学生的文化背景积淀，突出语文教育的人文熏陶”。
二、课文特点及在教材中的地位
《〈宽容〉序言》是房龙为他的《宽容》一书所作的序言，该序言的写法很特别，是一篇散文诗式的寓言。作者以丰富的想象和联想，虚构了一个“创新”与“守旧”两大势力斗争的故事，从而生动形象地说明了《宽容》一书的精髓。该文被安排在第二册第三单元第四课应出于以下考虑：
1、本单元的学习重点是分析评价，借鉴吸收。对课文的分析评价，可以全面涉及它的内容和形式，也可以着重就某一个方面做出恰当的评价。该单元前三课要求分别为：对《黄鹂》的哲理作一点评价、分析评价《咬文嚼字》的观点、体会并借鉴《我与地坛》对生命的认识，而第四课则是通过前三课的学习，培养学生自己分析评价、借鉴吸收的能力。
2、结合高中阶段学生的年龄和心理特点，对哲理的分析和借鉴，有助于学生树立正确的人生观和价值观，有助于培养良好的分析问题、解决问题的能力。
3、是继第一单元的“整体把握、筛选信息”和第二单元的“研究探讨、深入领会”之后的对阅读能力的进一步提高。
三、学生情况分析
我们所教班级的高中学生由于社会教育的大环境影响，习惯了传统的填鸭式的教育，缺少对人生、对社会的独立思考，因而课文的理解会停留在表面，流于形式。另一方面，由于高中学生处于自身人格趋于形成的时期，又会过于强调“创新”而否定传统，产生认识上的误区，因此，引导学生正确对待课文蕴含的哲理使该课应该注意的四、教学目标与教学重点
根据以上分析，我认为该课的教学目标应确定为：
1、把握和评价故事中蕴含的哲理。
2、理解“无知山谷”、“知识的小溪”等事物的象征意义，理解故事中“先驱者”、“守旧老人”、“无知的人们”三种形象的典型意义
3、培养学生思维的深刻性，能正确、全面、透彻的看待问题。教学重点为：透过本文主旨，进行创造人格的熏陶，培养对新事物理解、宽容的态度。
五、教学方法与教学手段的运用
“强化阅读，整体把握，深入体会，正确评价”是本人在该课教学中的指导思想，在处理教材时，结合配乐朗读使学生在总体上感觉、感知作者深邃的思想，通过多媒体补充，让学生展开联想的羽翼，领会宽容的要义，达到内化的目的。运用点评法正确引导学生理解文章的寓意，引导学生正确对待“创新”和“守旧”，“创新”和“传统”的关系。在教学中充分调动学生的积极性，采用朗读、词段点评、讨论、质疑、等方式使学生独立思考，并把握和评价故事中蕴含的哲理。
六、教学过程设计
（见《〈宽容〉序言》教案）
第五篇：立体几何序言课教案设计j
立体几何序言课教案设计
一、充分认识序言课的重要性，是上好立体几何序言课的前提。
立体几何序言课以课本中的“引言”为主要教学内容，让学生对立体几何这门功课有一个粗略的整体性了解，在学习具体内容之前有一个积极的思想准备。通过序言课的教学，学生明白了立体几何研究的内容及学习立体几何的目的，就能为以后的学习打下一个良好的基础。
然而有的老师对序言课却不够重视，把已经十分抽象概括的“引言”进一步抽象概括，开课后草草几句便开始了“平面”的教学。教师急急匆匆，学生稀里糊涂，极易给后继学习带来消极影响。
由此可见，教师在充分认识序言课重要性的前提下，认真组织教学，努力完成序言课的教学任务，对提高立体几何课的教学效益是至关重要的。
二、排除心理障碍，激发学习兴趣，是立体几何序言课的主要任务。部分学生认为立体几何比平面几何难学，存在畏惧心理；多数学生对能不能学好这门功课信心不足，对怎样学习这门功课心中无数。这种消极心理状态必然会给学习造成消极影响。因此在序言课教学中，应把排除上述心理障碍，激发学生学习立体几何的兴趣作为首先任务。
1.尽量引用实例。
“引言”中指出，“建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形的问题。”为了使学生真正认识到立体几何是一门应用广泛的基础学科，我们在序言课上展示学校教学楼的建筑图纸，学生争相观看，兴趣盎然，并能辨认出：“这就是我们的教学楼！”教者由此指出：“没有立体几何知识，这张图纸是画不出来的。”“同学们能从图纸上看出是我们的教学楼，这说明大家已具有一定的空间想象能力，这正是学习立体几何的基础。有这样好的基础，何愁学不好它？”听到这些鼓励，学生常露出自信的微笑。
2.巧用教具、模型。
要求学生自制简单几何体的模型这样在序言课上就可以让学生观看前届学生自制的各种模型。那些自制的模型，有纸质的，有木质的，有用铅丝做的，也有用粘土做的，看颜色，五彩缤纷，望形状，新颖别致。学生看了这些精美的并留有制作者姓名的模型后，赞叹不已，大有“跃跃欲试”之势。
借助模型还可以帮助学生克服学习习近平面图形时产生的思维定势的消极影响。例如，在黑板上画出图1，不少学生乍一看认为这是一个平面图形，当教师指出这是一个空间图形的直观图时，有的学生认为小平行四边形凹在后面，有的学生认为小平行四边形凸在前面，因而引起了激烈的争论，但很快意见趋于统一：两种情况都可能存在。接着教师出示用硬纸板做的模型，学生观物思图，看图想物，终于形成了强烈的立体感。然后教师在黑板上画出图2和图3，并用模型示范，学生不仅分清了两种不同的情况，更重要的是感受到了学习立体几何新鲜有趣，就能变“要我学”为“我要学”。
3.加强知识联系。
立几知识与学生已掌握的平面几何知识有密切的联系。序言课中有目的地加强这种联系有助于消除学生怕学、厌学的心理障碍，增强学好立体几何的信心。当教师把模型放上讲台时，学生认出模型中的正方体、圆柱体、圆锥体„„教师指出：“这些几何体在小学大家就已经学过，现在学习立体几何，就是要进一步研究这些几何体的性质。”这样学生就会感到立体几何并不陌生。教师还可以问学生：“两条直线相交有几个交点？两个平面相交有几条交线？”用教具演示后学生很快就能掌握。再问：“几个点可以确定一条直线？几个点可以确定一个平面？”学生会不加思索回答：“两个点可以确定一条直线，两个点也可以确定一个平面。”这时教师用两个指头试图将一块硬纸板顶住，但是无论怎样变化位置总不能成功，引得学生一阵哄笑，不少学生也拿出作业本做试验。教师抓住这一时机告诉学生：“立体几何与平面几何有密切的联系，它们研究的对象虽然不同，但研究的方法和研究的内容（性质、画法、计算和应用）基本相同。”这就能使学生认识到学习立几是学习习近平几的自然延续。
三、引导学生探讨如何学好立体几何是序言课教学的落脚点。
有些老师常在序言课上板着面孔提出要“认真听讲，认真做好作业，课前要预习，课后要复习”的要求，这些自学生跨进校门之日起就听惯了的老调，并没有多少效果。我们的做法是让学生自由讨论，各抒己见。因为通过以上活动，学生对立体几何的兴趣被点燃以后，便自然想到：“我们怎样才能学好立几知识呢？经过讨论以后，教师再归纳得出学好立几的主要方法：①加强与平几知识的联系，注意用对比的方法区别异同，掌握实质；②注意对实物、教具和模型的观察和分析，培养空间想象能力；③自己动手制作模型，以加深对立几知识的理解和应用。为了学好第一章，我们要求学生准备好硬纸板三块（代平面用），竹针或铅丝四根（代直线用），在学习中随时进行模型演示，以逐步建立起空间观念。
平面
立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力．
平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础．平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．“平面”是空间图形的基本元素，很多空间图形的面都是平面图形，平面图形及其性质是初中平面几何的主要学习内容，因此，要建立起“空间问题平面化”的观点．
2．虽然日常生活中的平面物体有一定的局限，但作为立体几何中的“平面”无大小之分，是无限延展的．
3．平面可用图形表示，也可用符号表示，应理清与其它图形表示法的联系与区别．
（二）能力训练点
1．通过“平面”概念的教学，初步培养空间想象能力，如平面的无限延展性．
2．由叙述语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力．
（三）德育渗透点
通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象，特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点．
二、教学重点、难点及解决办法 1．教学重点
（1）从客观存在的平面物体抽象出“平面”概念．
（2）掌握点、直线、平面间的相互关系，并会用文字、图形、符号语言正确表示．
（3）理解平面的无限延展性． 2．教学难点
（1）理解平面的无限延展性．
（2）集合概念的符号语言的正确使用． 3．解决办法
（1）借助实物操作，抽象出“平面”概念．
（2）运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性．
三、课时安排 1课时．
四、学生活动设计
准备好纸板三块，纸盒一个，小竹签四根．纸板作为平面的模型，纸盒用于观察平面的位置，以便同画出的图形比较，小竹签用于表示直线．
五、教学步骤
（一）明确目标
1．能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”． 2．理解平面的无限延展性．
3．正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系．
（二）整体感知
“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力．
本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等．而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点．在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）．在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
A．引言
师：以往我们所学的几何是平面几何，研究的是平面图形的性质、画法、计算、应用．今天我们开始学习一门新的学科——立体几何．立体几何的研究对象是空间图形的性质、画法、计算及应用．它使得我们的学习内容从二维平面上升到三维空间，因此，需要我们在学习过程中通过严密的逻辑推理把三维空间图形问题转化为二维平面图形问题，这也是学好立体几何的一个重要方法． 《立体几何》一书共分两章：第一章“直线和平面”是立体几何的基础知识和理论基础；第二章“多面体和旋转体”是理论知识的运用，并被广泛地应用于日常生产生活之中．
B．平面
1．平面的特点
师：现在我们来看手中的纸盒，它是由几个面构成的？ 生：6个面．
师：对，这六个面给我们以平面的形象，还有哪些面留给我们平面的形象呢？ 生：桌面、黑板、地面、海平面等．
师：对，这些物体是生活中所说的平面，但还不能算是数学意义上的平面，因为它们是有限的面．再如海平面上有波涛，当我们想象它是一平如镜时，它有什么特点呢？
生：很大、很平．
师：对，平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点．一个平面可以把空间分成两部分，这正如直线是无限延伸的，一条直线可以把平面分成两部分，我们所画的只是一条直线的一部分．因此，刚才所说的物体如果是平的，也只是它所在平面的一部分．
2．平面的画法
师：同学们从小就会画平面，是否记得用什么图形来表示？ 生：平行四边形．
师：对，通常画平行四边形来表示平面，但有时不，如四面体（图1-1），又如三个平面相交且交于一点（图1—2）．
注意，在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面，通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍（图1-3）；如果是非水平平面，只要画成平行四边形，如直立平面（图1－4）；如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图1-5）．请看课本中有关内容．
3．平面的表示法
师：平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图1－
3、图1－5）；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图1－4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图1-4）．
4．点、直线、平面之间的基本关系
师：空间图形的基本元素是点、直线、平面．从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示．规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示（以下各种情形要用小竹签和纸板示范）．参图1—6．
师：可见，集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关
与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． 【练习】
[练习一]1．能不能说一个平面长4米，宽5米？为什么？能不能说矩形长3米，宽2米？“这个矩形是平面的一部分”的说法是否正确？
2．观察图1－
7、图1－8的甲、乙两个图形，用模型来说明它们的位置有什么不同，并用字母表示各平面．
附注：加以区别．
1）讲评图1－7时，用书作示意，对直线的可见部分与不可见部分（（2）讲评图1－8时，出示模型，对可见棱与不可见棱加以区别． [练习二]试用集合符号表示：
（1）点A在直线l上，点B不在直线上；（2）点A在平面α内，而点B不在平面α内．
（四）总结、扩展
通过这一节课的学习，我们知道了立体几何是在学习了平面几何的基础上对几何的继续研究，研究的对象是空间图形，主要研究空间图形的画法、性质、计算以及应用．今天首先学习了平面的画法和表示法，以及点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换，为下一节课学习习近平面的基本性质作准备．
六、布置作业
1．阅读立体几何课本有关“平面”的内容．
2．试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a经过不属于平面α的点A，且a不在平面α内；（3）平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P；（4）直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M．
4．预习“平面的基本性质”．
七、板书设计
平面的基本性质
（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．
1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．
3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．
（二）能力训练点
1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力． 2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力． 3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．
（三）德育渗透点
借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．
二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点
（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．
（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题． 2．教学难点
（1）对“有且只有一个”语句的理解．
（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线． 3．解决办法
（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．
（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．
三、课时安排 2课时．
四、学生活动设计
准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．
五、教学步骤
（一）明确目标
（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．
（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．
（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．
（二）整体感知
本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．
三、教学重点、难点的学习与完成过程
A．公理
师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．
问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？ 问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？
（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）
这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？
生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．
师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示
11）．
这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．
在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？
生：不是，因为平面是无限延展的．
师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．
现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？
生甲：只有一个公共点．
生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．
师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？
生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论 是：它们有且只有一条过这个点的直线．
师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．
公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法． 下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）： 问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？ 问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？ 问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？
（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？
生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．
A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．
以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．
B．推论
师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．
生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．
求证：经过a和A有且只有一个平面．
证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．
∴A、B、C三点不在同一直线上．
∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）． ∴B∈α，C∈α．
即过直线a和点A有一个平面α．
“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．
∴B∈β，C∈β．
∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．
∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．
这里证明“唯一性”时用了反证法．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
其条件、结论分别是什么？
生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面． 师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A． 求证：经过a、b有且只有一个平面． 证明：“存在性”．
在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．
∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面． “唯一性”．
设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内． ∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β． ∴平面α与平面β重合． ∴过直线a、b的平面只有一个． 这里证明唯一性时，用的是“同一法”．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）
C．练习
1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α． B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．
其中命题和叙述方法都正确的是．
[
] 2．下列推断中，错误的是
[
]
D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共
3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．
4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）
四、总结、扩展
本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．
五、布置作业
1．复习课本有关内容并预习课本例题． 2．课本习题（略）．
3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．
4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？
六、答案
练习：1．D，2．C，3．图1－18． 作业：3．图1－19．
七、板书设计
平面的基本性质
（二）平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据．以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础．
一、素质教育目标
（一）知识教学点
掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．
1．证明若干点或直线共面通常有两种思路
（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②．
2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2． 3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习．
（二）能力训练点
通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力．
（三）德育渗透点
通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性．特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风．
二、教学重点、难点、疑问及解决办法 1．教学重点
（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题．（2）证明过程的书写格式与规则． 2．教学难点
（1）画出符合题意的图形．（2）选择恰当的公理或推论作为论据． 3．解决办法
（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式．（2）利用实物，摆放成符合题意的位置．
三、学生活动设计 动手画图并证明．
四、教学步骤
（一）明确目标
1．学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”． 2．论据正确，论证严谨，书写规范．
3．掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论．
（二）整体感知
立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段．首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证．其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面．由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式．教师在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
A．复习与讲评
师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？（生回答公理1，教师板画图1－20示意．）
师：具备哪些条件可以确定一个平面？（生4人回答，教师板画图1－21示意．）
师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程．
已知：直线a∥b．
求证：经过a、b有且只有一个平面． 证明：“存在性”． ∵a∥b，∴a、b在同一平面α内（平行线的定义）．“唯一性”——在直线a上作一点A．
假设过a和b还有一个平面β，则A∈β． 那么过b和b外一点A有两个平面α和β． 这与推论1矛盾．
注：证唯一性，用了“反证法”．
B．例题与练习
师：先看怎样证几条线共面．
例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．
（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q． d∩c＝R，a、b、c相交于点O． 求证：a、b、c、d共面． 证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）． 同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ． ∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．
∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O． ∴α、β、γ重合． ∴a、b、c、d共面．
注：本题的方法是“同一法”．
（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a ∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．
求证：a、b、c、d共面 证明：∵d∩a＝P，∴d和a确定一个平面α（推论2）． ∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．
∴a、b、c、d四线共面．
注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系． ②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏． ③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．
例2如图1－25，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．
求证：P在直线BD上．
分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．
已知：EF∩GH＝P，E∈AB、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求证：B、D、P三点共线． 证明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．
∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD． 同理，P∈平面BCD．
∴平面ABD∩平面BCD＝BD． ∴P∈BD即B、D、P三点共线．
注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．
练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p． 求证：p∈a． 证明：∵b∩c＝p，∴p∈b． ∵β∩γ＝b，∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a，∴p∈a．
师：以上例、习题分别证明了四线共面．三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路和方法．除了例
1、例2两类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条用幻灯显示）．
（四）总结、扩展
本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想．证明依据是平面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法．在证明的书写中，要求推论有据，书写规范．
五、布置作业 1．课本习题（略）．
2．求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内．
3．已知：△ABC在平面α外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交α于M、N、R，求证：M、N、R三点共线．
4．如图1－27，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面．
（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．）
六、板书设计
平行直线
一、素质教育目标
（一）知识教学点 1．公理4，即平行公理． 2．等角定理及推论．
（二）能力训练点
1．利用联想的方法，掌握并应用由平面内引伸到空间中的平行公理． 2．充分利用构造的方法证明等角定理，为下一节两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性．
3．通过本节课的学习，让学生认识到在平面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证明．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：让学生掌握平行公理及其应用． 2．教学难点：等角定理证明的掌握及其应用．
3．教学疑点：正确理解等角定理中命题的条件：两个角的两边分别平行且这两个角的方向相同．
三、课时安排 1课时．
四、教与学的过程设计
（一）复习两条直线的位置关系（幻灯显示）师：空间中两条直线的位置关系有哪几种？
生：三种：相交、平行、异面．异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．相交直线和平行直线也称为共面直线． 师：异面直线的画法常用的有哪几种？ 生：三种．如图1－38，a与b都是异面直线． 师：如何判定两条直线是异面直线？
生：（1）间接证法：根据定义，一般用反证法．
（2）直接证法：根据例题结论：过平面外一点与平面内一点的
（二）平行公理
师：在平面几何中，如图1－40，若a∥b，c∥b，则a与c平行吗？
生：平行．
师：也就是说，在平面中，若两条直线a、c都和第三条直线b平行，则a∥c．这个命题在空间中是否成立呢？ 师：实际上，在空间中，若a∥b，c∥b，则a∥c也成立．我们把这个结论作为一个公理，不必证明，可直接应用．
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
如图1－41，三棱镜的三条棱，若AA′∥BB′，CC′∥BB′，则有AA′∥CC′．
下面请同学们完成下列的例题，巩固应用平行公理．
例已知四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的图1-41四边形），E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD
师分析：要证明四边形EFGH是梯形，即要证明四边形EFGH的一组对边平行，另一组对边不平行；或证明一组对边平行且不相等．具体用哪一种方法，我们来分析一下题意：E、H分别是边AB、AD的中
证明：如图1－42，连结BD． ∵EH是△ABD的中位线，根据公理4，EH∥FG，又∵FG＞EH，∴四边形EFGH是梯形．
（三）等角定理
师：平行公理不仅是今后论证平行问题的主要依据，也是证明等角定理的基础．
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
已知：∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同． 求证：∠BAC＝∠B′A′C′．
师分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．
证明：对于∠BAC和∠B′A′C′都在同一平面内的情况，在平面几何中已经证明．下面我们证明两个角不在同一平面内的情况．
如图1－43，在AB、A′B′，AC、A′C′上分别取AD＝A′D′、AE＝A′E′，连结AA′、DD′、EE′，DE、D′E′． ∵AB∥A′B′，AD＝A′D′，∴AA′DD′是平行四边形．
根据公理4，得：DD′∥EE′． 又可得：DD′＝EE′
∴四边形EE′D′D是平行四边形．
∴ED＝E′D′，可得：△ADE≌△A′D′E′． ∴∠BAC＝∠B′A′C′．
师：若把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论．
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．
从上面定理的证明可以知道：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用．
下面请同学们完成练习．
（四）练习（P．14练习1、2．）
1．把一张长方形的纸对折两次，打开后如图1－44那样，说明为什么这些折痕是互相平行的？
答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的．
△ABC≌△A′B′C′．
∴四边形BB′C′C是平行四边形． ∴BC＝B′C′．
同理可证：AC＝A′C′，AB＝A′B′． ∴△ABC≌△A′B′C′．
（五）总结
这节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论．平行公理是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础．等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了基础．这节课我们还明确了在平面几何中成立的结论或定理等，在用于非平面图形时，须先证后用．
五、作业
教材P．17习题二4、5、6、7、8．
两条异面直线所成的角
一、素质教育目标
（一）知识教学点 1．两异面直线所成角的定义及两异面直线互相垂直的概念．
2．两异面直线的公垂线和距离的概念及两异面直线所成角及距离的求法．
（二）能力训练点
1．利用转化的思想，化归的方法掌握两异面直线所成角的定义及取值范围，并体现了定义的合理性．
2．利用类比的方法掌握两异面直线的公垂线和距离等概念，应用在证题中体现了严格的逻辑思维，并会求两条异面直线所成角与距离．
（三）德育渗透点
进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：两异面直线所成角的定义；两异面直线的公垂线及距离的概念；两异面直线所成角和距离的求法．
2．教学难点：两异面直线所成角及距离的求法．
3．教学疑点：因为两条异面直线既不相交，但又有所成的角，这对于初学立体几何的学生来说是难以理解的．讲解时，应首先使学生明了学习异面直线所成角的概念的必要性．
三、课时安排 1课时．
四、教与学的过程设计
（一）复习提问引入课题
师：上新课前，我们先来回忆：平面内两条相交直线一般通过什么来反映它们之间的相互位置关系？
生：通过它们的夹角．如图1－46，a、b的位置关系与a′、b′的位置关系是不一样的，a、b的夹角比a′、b′的夹角来的小．
师：那么两条异面直线是否也能用它们所成的角来表示它们之间相互位置的不同状况．例如要表示大桥上火车行驶方向与桥下轮船航行方向间的关系，就要用到两条异面直线所成角的概念．
（二）异面直线所成的角
师：怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？
生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示．如图1－47，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．
师：针对这个定义，我们来思考两个问题．
问题1：这样定义两条异而直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？
答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的．若在空间中，再取一点O′，过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等．即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性．注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上．
问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否有矛盾？
答：没有矛盾．当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广． 师：在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直（出示模型：正方体）．例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面．
（三）两条异面直线的距离
师：（出示模型）观察模型，思考问题：a与b，a′与b所成角相等，但是否就表示它们之间的相互位置也一样呢？
生：不是．它们之间的远近距离不一样，从而得到两条异面直线的相互位置除了用它们所成的角表示，还要用它们之间的距离表示．
师：那么如何表示两条异面直线之间的距离呢？我们来回忆在平面几何中，两条平行线间的位置关系是用什么来表示的？
生：用两平行线间的距离来表示．
师：对．如图1－50，要知道它们的距离，先要定义它们的公垂线，如图1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，则a、b与a′、b′的公垂线分别为c、c′，且线段AB、A′B′的长度分别是a、b与a′、b′之间的距离．
对两条异面直线的距离，我们可以应用类似的方法先定义它们的公垂线． 定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线． 师：根据定义，思考问题．
问题1：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
答：无数条．因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．
问题2：两条异面直线的公垂线有几条？
答：有且只有一条（出示正方体骨架模型），能和AA′、B′C′都垂直相交的只有A′B′一条；能和AB与面A′C′内过点A′的直线都垂直相交的直线只有一条AA′．
师：有了两条异面直线公垂线的概念，我们就可以定义两条异面生成的距离． 定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．
如图1－52中的线段AB的长度就是异面直线a、b间的距离． 下面，我们来完成练习和例题．
（四）练习
例设图1－53中的正方体的棱长为a，（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线？
（2）求直线BA′和CC′所成的角的大小．（3）求异面直线BC和AA′的距离．
解：（l）∵A′平面BC′，而点B，直线CC′都在平面BC′
∴直线BA′与CC′是异面直线． 同理，直线C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直线BA′成异面直线．
（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角． ∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂线段． ∵AB=a，∴BC和AA′的距离是a．
说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．
【练习】
（P．16练习1、3．）
1．（1）两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面．
（2）垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面．
3．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线． 解：
（五）总结
本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面直线间的距离和有关概念．并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决．
五、作业
P．17-18中9、10．
两条异面直线所成的角练习课
教学目标
1．记忆并理解余弦定理；
2．应用余弦定理来求异面直线所成的角． 教学重点和难点
这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦．这节课的难点是使学生初步理解当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，当cosθ=0时，θ=90°，当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°．
教学设计过程
一、余弦定理
师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？ 生：余弦定理有两种表述的形式，即：
a2=b2＋c2-2bccos A b2=c2+a2-2cacos B
c2=a2＋b2-2abcos C
第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．
师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．
在余弦定理的第二个形式中，我们知道b＋c可以等于a；也可以小于a；也可以大于a2．那么，我们想当b2+c2=a2时，∠A等于多少度？为什么？
生：当b2＋c2=a2时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°． 师：当b2＋c2＞a2时，∠A应该是什么样的角呢？ 生：因为cosA＞0，所以∠A应该是锐角． 师：当b2＋c2＜a2时，∠A应该是什么样的角呢？ 生：因为这时cosA＜0，所以∠A应该是钝角．
师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cosθ=0时，θ=90°，θ是直角；当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：
生：θ等于60°，等于120°． 师：这时θ和 是什么关系？ 生：θ和 是互为补角． 师：再回答下列问题：
生：θ1等于45°，θ2+ 2=180°．
1等于135°，θ1+ 1=180°；θ2等于30°，2
=150°，师：一般说来，当cosθ=-cos 时，角θ与角 是什么关系？ 生：角θ与角 是互补的两个角．即一个为锐角，一个 为钝角，且θ＋ =180°．
（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）
二、余弦定理的应用
例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）
师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？ 生：因为CD1∥A1B，所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．
师：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三边，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．
师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．
例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）
师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理．
生：因为BC1∥AD1，所以AB1与BC1所成的角即为∠D1AB1．根
师：现在我们来看例3．
例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）
师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法．在直观图中，根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角？
生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BE∥A1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即为A1M与C1N所成的角．
师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？ 生：当BE∥A1M后，可取C1C中点G，连BG，则BG∥C1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4．
例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）
师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。
生：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，定理，得
师：想一想第二个解法
生：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即
一可知：
师：想一想第三个解法．当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角．有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线．
生：延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．（如图5）连EC1，在
由余弦定理，得
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角．（异面直线所成的角的邻补角）
今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角．
作业 补充题
3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点．求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离．
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAB1=∠B1A1C1=30°．求：（1）AB与A1C1所成的角的度数；（2）A1A与CB1所成的角的度数；（3）AB1与A1C1所成的角的余弦．
直线和平面平行的判定与性质
（一）一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．直线和平面平行的定义．
2．直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法． 3．直线和平面平行的判定．
（二）能力训练点
1．理解并掌握直线和平面平行的定义．
2．掌握直线和平面的三种位置关系，体现了分类的思想．
3．通过对比的方法，使学生掌握直线和平面的各种位置关系的图形的画法，进一步培养学生的空间想象能力．
4．掌握直线和平面平行的判定定理的证明，证明用的是反证法和空间直线与平面的位置关系，进一步培养学生严格的逻辑思维。除此之外，还要会灵活运用直线和平面的判定定理，把线面平行转化为线线平行．
（三）德育渗透点
让学生认识到研究直线与平面的位置关系及直线与平面平行是实际生产的需要，充分体现了理论来源于实践，并应用于实践．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：直线与平面的位置关系；直线与平面平行的判定定理． 2．教学难点：掌握直线与平面平行的判定定理的证明及应用．
3．教学疑点：除直线在平面内的情形外，空间的直线和平面，不平行就相交，课本中用记号a≮α统一表示a‖α，a∩α=A两种情形，统称直线a在平面α外．
三、课时安排
1.7直线和平面的位置关系与1.8直线和平面平行的判定与性质这两个课题安排为2课时．本节课为第一课时，讲解直线和平面的三种位置关系及直线和平面平行的判定定理．
四、教与学过程设计
（一）直线和平面的位置关系．
师：前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系，今天我们开始研究空间直线和平面的位置关系．直线和平面的位置关系有几种呢？我们来观察：黑板上的一条直线在黑板面内；两墙面的相交线和地面只相交于一点；墙面和天花板的相交线和地面没有公共点，等等．如果把这些实物作出抽象，如把“墙面”、“天花板”等想象成“水平的平面”，把“相交线”等想象成“水平的直线”，那么上面这些关系其实就是直线和平面的位置关系，有几种，分别是什么？ 生：直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内；直线和平面相交；直线和平面平行．
师：什么是直线和平面平行？
生：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行． 师：直线和平面的位置关系是否只有这三种？为什么？
生：只有这三种情况，这可以从直线和平面有无公共点来进一步验证：若直线和平面没有公共点，说明直线和平面平行；若直线和平面有且只有一个公共点，说明直线和平面相交；若直线和平面有两个或两个以上的公共点，根据公理1，说明这条直线在平面内．
师：为了与“直线在平面内”区别，我们把直线和平面相交或平行的情况统称为“直线在平面外”，归纳如下：
直线在平面内——有无数个公共点．
师：如何画出表示直线和平面的三种位置关系的图形呢？
生：直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内，直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边；直线a与平面α相交，交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画；直线a与平面α平行，直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行．如图1-57：
注意，如图1-58画法就不明显我们不提倡这种画法．
下面请同学们完成P.19．练习1．
1．观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面，铁轨和桥面、水面的位置关系：（图见课本）
答：立柱和桥面、水面都相交；铁轨在桥面内，铁轨与水面平行．
（二）直线和平面平行的判定
师：直线和平面平行的判定不仅可以根据定义，一般用反证法，还有以下的方法．我们先来观察：门框的对边是平行的，如图1-59，a∥b，当门扇绕着一边a转动时，另一边b始终与门扇不会有公共点，即b平行于门扇．由此我们得到：
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
求证：a∥α．
师提示：要证明直线与平面平行，只有根据定义，用反证法，并结合空间直线和平面的位置关系来证明．
∴ a∥α或 a∩α＝A． 下面证明a∩α＝A不可能． 假设a∩α＝A ∵a∥b，在平面α内过点A作直线c∥b．根据公理4，a∥c．这和a∩c＝A矛盾，所以a∩α＝A不可能．
∴a∥α． 师：从上面的判定定理可以知道，今后要证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行，就可断定这条已知直线必和这个平面平行，即可由线线平行推得线面平行．
下面请同学们完成例题和练习．
（三）练习
例1 空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点． 求证：EF∥平面BCD．
师提示：根据直线与平面平行的判定定理，要证明EF∥平面BCD，只要在平面BCD内找一直线与EF平行即可，很明显原平面BCD内的直线BD∥EF．
证明：连结BD．
性，这三个条件是证明直线和平面平行的条件，缺一不可． 练习（P.22练习1、2．）
1．使一块矩形木板ABCD的一边AB紧靠桌面α，并绕AB转动，AB的对边CD在各个位置时，是不是都和桌面α平行？为什么？（模型演示）
答：不是．
2．长方体的各个面都是矩形，说明长方体每一个面的各边及对角线为什么都和相对的面平行？（模型演示）
答：因为长方体每一个面的对边及对角线都和相对的面内的对应部分平行，所以，它们都和相对的面平行．
（四）总结
这节课我们学习了直线和平面的三种位置关系及直线和平面平行的两种判定方法．学习直线和平面平行的判定定理，关键是要会把线面平行转化为线线平行来解题．
五、作业
P.22中习题三1、2、3、4．
六、板书设计
一、直线和平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点． 直线在平面外
二、直线和平面平行的判定 1．根据定义：一般用反证法．
2．根据判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
直线和平面的位置关系：
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