初中函数教学初探

第一篇：初中函数教学初探

初中函数教学初探

戴超吾

威远县小河镇复立小学校

教务主任

中学一级

邮编：642462

电话：0832-8950025

函数是数学中重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。初中数学中的函数知识，是培养学生的数学思想，提高学生的学习能力的重要载体，也是学生进一步学习的基础。初中数学课程标准明确指出，要让学生“体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。”面对如此重要的学习内容，由于学生没有相应的认知基础，多数学生感到难以入门。为了解决这个矛盾，我在初中函数的教学中主要从以下几方面着手，现将我的体会提出来与广大同行交流。

一、回归生活，激发兴趣

大家都知道，“兴趣是最好的老师”。著名教育家布鲁纳也说：“要使学生对一个学科有兴趣的最好方法是使他感到这个学科值得学习。”

为了让学生感到学习的东西在生活中有用，我在进行函数的教学时，遵循“实际问题——数学问题——实践探究——实际问题”的步骤。先用实际生活中的事例让学生认识到函数产生的必然性，建立函数的概念；在学生通过探究获得了关于函数的一些知识后，让学生通过调查，用所学知识解决水费、电费、电话费的收取，计程车收费等问题。学生经历了数学知识“从生活中来，到生活中去”的过程，学习兴趣大大提高。

二、运用图象，加深理解

数形结合是一种十分重要的数学思想，也是函数的本质特点。在教学中，充分运用图象，在学和教的过程中始终把对图象的观察和理解放在重要的位置，就等于掌握了进入函数之门的钥匙。

函数的几种表示方法各有所长，图象法的好处就是形象直观。它能直观地反映函数值与自变量取值的对应关系、函数值随自变量的变化而变化的规律。函数与方程、不等式的联系，求函数图象的交点，一元二次方程的解的几种情况等问题，如果仅仅只是让学生对几个式子进行计算，这显然只是浅层次的模仿。只有结合函数图象进行观察、比较、分析，学生才能加深对函数及相关知识的理解，形成数形结合的思想。

三、引导探究，培养能力

荷兰数学家费赖登塔尔说过：“学习数学唯一正确的方法是实行‘再创造’，也就是学生本人把要学的东西自己发现或创造出来。”

初中函数中的很多内容都很适合学生进行探究式学习。比如“直线平行与其解析式中k、b的关系”这一内容，教师只需演示几条互相平行的直线，让学生观察它们的解析式中k、b的取值，学生基本上能够概括出其中的规律，再让学生举一两个k不相同的例子验证就行了。

在教学中，以学生为主体，让学生在教师的主导下充分发挥其主体作用，通过观察、分析、交流、归纳，建构起属于自己的知识，正是“学习不是为了占有别人的知识，而是为了‘生长’自己的知识”的现代教育观的体现。

四、注重联系，化繁为简

一是函数知识本身的联系。在一次函数的学习中，让学生比较同一直角坐标系中的直线y=3x,y=3x+2和y=3x-2，得出“直线y=kx+b，当k相同时，它们互相平行，而直线y=kx+b可以看成直线y=kx向上平移b个单位而来”的结论后，只需知道正比例函数的知识，一次函数的直线经过的象限、一次函数的增减性等问题就迎刃而解了。

二是与方程、不等式的联系。让学生通过函数的解析式和图象，让学生明确函数与方程、不等式是相互联系并互相转化的。比如，y=kx+b（k、b是常数，k≠0）是一次函数的一般形式，但它本身就是一个二元一次方程；当y等于常数m时就转化为一元一次方程；当y大于或小于常数m时，就转化成了不等式。代数式kx+b的值与m相比，只有大于、等于和小于三种情况，而函数y=kx+b就包括了这三种关系。

三是与其他学科的联系。在适当的时候，可以让学生用所学的函数知识探究物理、化学的一些问题。比如让学生通过一些数据探究电流、电压、电阻三者之间的关系，这既可以增强学生的学习兴趣，提高探究能力，又可以促进其他学科的学习。

四是与几何知识联系。在待定系数法的教学中，我先让学生通过一次函数的一般形式y=kx+b认识到，需要两组x和y的对应值或者是两个点的坐标才能求出其具体解析式。相当一部分学生只是仿照例题进行计算，并不能真正理解。我又让他们想，一次函数的图象是直线，而要“两点”才能确定一条直线，这时学生都能理解了。

五、使用课件，提高效率

在教学与图形有关的知识时，多媒体课件具有传统教学媒体不可比拟的优势，在教学中合理使用会大大提高教学效率。

在教学“平面直角坐标系”时，用教参配套光盘中的平面直角坐标系“积件”进行演示，建立坐标系的过程一目了然，省去了老师很多讲解。

在引导学生探究“函数的增减性”时，用动画演示图象上的点从左至右的运动，再显示出相应的坐标，那么学生对y随x的变化而怎样变化就了然于胸了。

函数内容的学习是初中学生的一道“门槛”，只要教师合理地引导帮助，学生顺利地跨过这道槛，就可以登堂入室了。

第二篇：初中正比例函数教学设计

正比例函数教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1．初步理解正比例函数的概念及其图像的特征； 2．能够画出正比例函数的图像；

3．能够判断两个变量是否构成正比例函数关系。

（二）过程与方法

1．通过正比例函数图象的学习和探究，感知数形结合思想； 2．能按要求运用“列表法”和“两点法”作正比例函数的图像； 3．会利用正比例函数解决简单的数学问题。

（三）情感态度与价值观

1．结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯； 2．通过正比例函数概念的引入，使学生进一步认识数学是由于人们需要而产生的，与现实世界密切相关，同时渗透热爱自然和生活的教育。

二、教学重难点

（一）教学重点 正比例函数的概念。

（二）教学难点 正比例函数图象的特征。

三、教学方法

讲授法、演示法、课堂讨论法、启发法。

四、教学过程

活动一：问题的引入

提问同学们：（1）你知道候鸟吗？它们在每年的迁徙中能飞多远？

（2）候鸟燕鸥的飞行路程与时间之间有什么样的数量关系？

教师用投影仪展示燕鸥飞行距离示意图，1996年，鸟类研究者在芬兰给一直燕鸥套上标志环，4 月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它。让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚的位置，并将两处用直线连接。然后让学生稍作思考，自主解答教科书上的三个问题：

（1）燕鸥每天飞行的路程；

（2）燕鸥总行程y（千米）与飞行时间x（天）的关系式；（3）燕鸥飞行1个半月的行程。

在讲解第二小题时路程和天数是近似的，但是它依旧反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律。指出自变量是飞行时间，自变量取值范围是0到127天，因变量是总行程，将两点带入近似计算得出自变量的函数为y=200x。第三题将x=1.5带入关系式即可求出。

活动二：正比例函数概念的学习

教师在投影仪上出示教科书23页上的4个实例：（1）圆的周长l随半径r的大小变化而变化；

（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化；

（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摆在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；

（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度为T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。

给学生5分钟时间相互讨论，得出：（1）找出变量对应关系表达式；（2）说出表达式中的自变量、自变量的函数。教师抽取几个学生回答每个实例的两个小题，在黑板右侧写下答案，对回答进行分析评价。

提问学生甲：这4个函数有什么共同点？ 学生甲答：都是常数和自变量函数的形式。教师口述并在黑板左侧写上板书正比例函数的概念：

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k为比例系数。让学生看书，在定义下画线，并提问：这里为什么强调k是常数且k≠0?让学生们讨论，相互举例补充。讨论后需要再次强调：不要误以为表达式中的字母都是表示变量；能对表达式中的自变量、比例系数、函数关系进行正确的解释。

让学生举几个例子。

教师口述并在黑板中间写下问题：（1）以下表示梯形和圆的面积的函数式是否是正比例函数？在什么情况下是？①S（2）

1(ab)h；②Sr2。2在上面的实例（4）中，由函数解析式T=-2t,当冷冻时间不超过1小时，物体的温度最低可达多少度？

活动三：画正比例函数图像

问题：我们知道了怎样用解析式表示正比例函数，能否用图像来表示它呢？怎样在直角坐标系中画出正比例函数的图像？

在黑板左侧演示用描点法画出y=2x的图像。接着要求学生独立画出y=-2x的图像，请两个同学到黑板上画。最后和学生一起简要总结列表画图象的主要步骤：列表、描点、连线。让学生观察分析两个图象的异同之处，填写PPT上所发现的规律：两图象都经过原点，两个图象都是直线，函数y=2x的图象从左向右上升，经过第三、一象限；函数y=-2x的图象从左向右下降，经过第二、四象限。

巩固练习画图象：学生独立练习，在同一坐标系中画出y图象，让学生观察分析这两个图象异同之处。活动四：正比例函数图象特征的探究

教师提问：从以上作图过程可以发现正比例函数的图像有什么特征？

通过对比正比例函数解析式观察分析，我们可以发现当k＞0时，函数y与自变量x同号；当k＜0时函数y与自变量x异号。

学生对正比例函数图象观察分析，知道其图象是一个随x增大而增大或减小的直线。

学生看到第25页中间段结论：正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我称它为直线y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过第三、11x与yx的22一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

看到思考题：经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？让学生分组讨论。

讨论时提醒学生从解析式入手，探究当x=0时和x=1时，函数y的值分别是几；正比例函数的图象为什么一定过（0,0）和（1，k）这两点；因为两点可以确定一条直线，因此，画正比例函数时只须过原点和（1，k）画一条直线即可。

做教科书26页练习：用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：①y3x；2②y3x。请两名学生分别上台画这两幅图，其余学生自己画图。（教师关注：学生画图中是否采用的是“两点法”；这两点是否最简单。）活动五：小结，布置作业

问题：本节课学了哪些内容？你认为最重要的是什么？学生精加思考后分组讨论，请3至4名学生回答。最后师生共同小结，明确正比例函数的概念、图象特征的效果。

布置作业：教科书习题11.2第1、2、6、7题。结束语：同学们，下课！

第三篇：初中函数数学教案

函数初中数学教案

教学目标：

1：是学生分清楚变量与常量，以及会判断哪些量是变量

2：理解函数的概念，分清自变量以及应变量，同时会判断一个变量是不是另一个的函数，3：能从实际题目中抽象出函数关系，并且会列出函数解析式 4：理解函数的定义域，并会求函数的定义域，以及函数值 5：理解函数的记号yf(x)

教学重点：

1：函数的概念

2：由题目写出函数解析式以及会求定义域和函数值

教学难点：

1：函数的概念

2：函数的本质：一个变量取定一个值，另一个变量有且只有唯一的一个值与之对应 3：函数的记号：yf(x)

教学过程

1:量、数、数量

在物理中我们学过很多“量”，比如说：质量，长度，重量，面积，体积，密度，速度，路程，时间等等很多，而“量”是表示事物的某些属性，比如：质量

同时我们用“数”来表示“量”的大小，将“数”与“度量单位”合在一起就是“数量”，比如说：一个物体质量为5kg，一个圆的半径是5cm等等 2：变量与常量

请同学们看课本52页的问题1 题中的r0是一个不变的值，而r和a都是可以取不同的值，正如我们以前学的用字母表示数，这个字母可以表示不同的数，它是一个变化的，不是确定的。而这样的在我们的研究过程中，可以取不同数值的量叫做“变量”，与之相对的保持数值不变的量叫做“常量”（或常数）

a2此题中我们可以得到：rr0(米)，我们可以看出r与a是有关系的，也就是说在a在变化时r也在变化，当a确定时，r也随之确定，即：r与a之间存在一种依赖关系。同学们再看53页的问题2 请同学回答 问题3

如图等腰直角三角形ABC，其

中∠C=90°，AB=10cm，E为BC上一点，设BE等于x，求阴影部分的面积y，并求x 的取值范围

3：函数的概念

通过三个问题我们引出函数的概念：

一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，且对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们就说，变量y是变量x的函数.X称为自变量，y称为应变量（因变量），我们知道问题1,2,3中的两个变量就是一种函数关系。

注：自变量不一定都用x表示，应变量不一定都用y表示，x、y是常用的表示

问题1,2,3中的两个变量之间是用数学式子表示出来的，我把这种用数学式子表示出两个变量之间的函数关系的式子称为函数解析式

提问：是不是所有的函数都可以用函数解析式表示呢？ 同学们请看例题1、2：请同学回答

CEADB例1中的变量就是t和T 注：例题1、2告诉我们不是所有的函数关系都可以用数学式子表示出来的，表示函数的表示方法有三种：图像法（例题1），列表法（例题2），解析法（问题1,2,3）例题：课本55页的第4题

4：函数的定义域和函数值

考虑：函数y2x5和yx

对第一个函数x可以取任意实数，但是第二个函数的x不能去负数，因为在实数范围内，当x<0时yx没有意义。

我们前面在叙述函数的定义的时候提到一句话：如果在变量x的允许取值范围内 我们把：函数的自变量允许取值的范围，叫做函数的定义域

每个函数都有定义域，对于用解析式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数的定义域是能使这个函数解析式有意义的所有实数，但是在实际问题中，除了是函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义。

例

1、求下列函数中自变量x的取值范围．（使解析式有意义的x的取值范围）

2（1）y5x

3（2）y3x

1x11xx2

2（3）y

（4）y

（5）yx

1（6）y2xa

（7）y1x2x82 例

2、问题3中x的取值范围就是定义域

例3、57页的例题4，（使实际问题有意义的x的取值范围）解：yx10，定义域为：4x10

例

4、如图，用一个30米长的篱笆围成一个长靠在20米长墙的矩形羊圈，设宽为x，面积为y，写出函数解析式，并求出定义域。解：yx(302x)2x230x

定义域：5

在例4这个函数中，取x=6时，y=108 取x=10时，y=100 我们可以看出：在定义域：5

如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值，同样：一个函数所有函数值组成的范围叫做值域 5：函数的记号yf(x)

“y是x的函数”用记号yf(x)来表示，其中x表示自变量，f表示表示y随着x变化而变化的规律，即y与x之间的对应关系，比如：例3，例4中

注：在同一问题中同时研究几个不同的函数时，表示函数的记号中，括号外的字母课采用不同的字母，如：f、g、h以及大写的F、G、H等 补充：函数的三要素：定义域、对应关系f、值域

在例4这个函数中，取x=6时，y=108，有了记号yf(x)后，我们就可以更简单的记为 f(6)108，即：我们用f(a)表示当x=a时的函数值。

x例5：课本57页中的例题5（先求出函数的定义域）

例6：课本58页的练习2 例7：已知f(x)2x3x4,g(x)x5,定义h(x)f(x)g(x)，求h(4),h(11)以及h(x)的表达式和定义域

第四篇：初中函数教学要注意的几个问题

初中函数教学要注意的几个问题

朔州市开发区第一中学

刘振

函数是初中数学中不可缺少的一部分，也是初中数学的核心内容。对初中函数的学习，既能促进学生思维的扩展，同时还会对物理、化学等多个科目起到一定的促进作用。初中函数的内容，都是一些比较基础的知识，是为将来学习高中函数而作准备的，只有完全掌握初中函数，才能为高中函数的学习打下坚实的基础。那么，教师在初中函数的教学中，应该注意以下几方面的问题。

一、教师要有效地引导学生认识函数

函数是数学知识体系发展中必不可少的组成部分，同时也是为了满足客观的实际需要而存在的。在教师进行初中函数教学时，首先要让学生对函数有充分的了解和全面的把握，这是学生学习函数的首要任务。

教师在对函数进行讲述时，最先要做的就是让学生了解函数的含义和本质，教学过程可以通过引用生活实例来进行讲解，加深学生对函数的理解，从函数的概念来看，让学生明白自变量的取值范围，由实际问题出发，三角形的面积等于底乘以这个底上高的积的一半，如果给定这个底，取不同的高，就会得到不同的三角形，显然三角形的面积也不同，此时高就是自变量，而它的取值应该是正数。一般而言函数确定自变量取值范围最重要。在平面直角坐标系里，任意一个点都可以用一对有序数对来表示，接下来可以采取“数形结合”的方法，用图像将函数变量展现出来，进一步加深学生对函数的理解，使学生对函数有一个整体的、基础的把握，为进一步的学习做好充分的准备。

二、教师要让学生掌握“相互联系，运动发展”的数学理念

初中数学中，函数能够有效地将两个变量之间相互依存的关系表现出来，这两个变量之间，一个变量会随着另一个变量的变化而产生变化，并且可以互相牵制、互相影响。所以说，教师在进行初中函数教学时，一定要培育学生们数学学科中相互联系、相互影响的理念，用运动发展的思维进行函数的学习。

在函数教学中，教师可以通过举例子、打比方的方式，采用形象的比喻来向学生展现函数中两个变量互相影响的关系，比如小学数学中最简单的求路程的问题，用速度乘以所用的时间，就是所求的路程，在这一问题中，时间或者是速度的变化都会引起路程的变化，也就是说，路程是随着时间和速度的变化而变化的，即我们所说的“一个量会随着另一个量的变化而变化”。这样的例子，很容易就会让学生理解函数的基本理念，并且迅速理解变量与自变量之间的关系，进而对函数的学习有了最基本的学习理念。

函数中的变量之间的关系，与其他科目的关联性也是极大的，对函数的学习，会在很大程度上促进学生对其他科目的学习，进而提高学生对各个学习领域的融会贯通，全面提高学生的学习水平。

三、教师要让学生明确函数中抽象与具体之间的关系

任何一个学科中，都存在抽象与具体两种形式，函数也不例外。同数学中其他的概念相同，函数这一概念本身是具有抽象性的，它是对感性认识的高度提练。首先，函数在现实中将数学的特征提炼出来，在这些特征中又抽取出一种抽象的关系，最终建立起函数关系，并对问题加以分析解决。

函数能够解决许多现实的问题，例如上文中我们提到的求路程问题，函数将时间和速度等数据带入到函数的变量之中，进而求出路程这一变化结果。时间和速度可以是具体的一些量，当速度一定时，路程是时间的函数，而当时间一定时，也可以说路程是速度的函数，两者之中有一个是确定的，抽象出来的是函数。在教师对学生进行函数教学时，要充分考虑学生的知识水平和认知能力，并且采用丰富的教学方式，引用现实生活中的实例，尤其采用先进的多媒体教学方法对学生进行讲授，将这种抽象性和具体性有效地结合在一起，并指导学生能够将函数运用到实际生活中去，把它作为一种模具和架构，进而解决实际问题。

四、采用“数形结合”的有效教学方法

“数”和“形”是数学知识体系中两种最基本的概念。在函数教学中，教师通常采用“数形结合”的方法进行教学，将数量关系与图形有效地结合在一起，使它们能够互相表现、互相映衬，更好地将函数的变量关系表现出来。

在初中函数中，由于学生的知识积淀和认知能力受到年龄、生活环境等多方面因素的限制，对函数抽象性和具体性的理解是相当具有难度的，这就需要教师用学生最能理解、最能接受的方式进行教学。而“数形结合”就是一种最有效的教学方法，一方面，函数的变量关系能够在绘制的图形中真实有效的被反映出来，另一方面，变量关系中也隐含着图像中所表达的信息，二者之间是互相体现、互相映衬的密切关系。数形结合的核心就是直角坐标系的建立，由自变量的取值范围中，取出一部分值，确定对应的函数值，在坐标系中找到这些有序数对在平面直角坐标系里的点，用平滑曲线连接各点，得到函数的图像。在初中函数教学中，教师将“数”与“形”进行有效地结合、灵活地转化，使学生能够多角度、多层次地掌握函数知识，对函数知识有全面的把握，为学生日后的学习打下基础。

五.关注学生能力的培养,淡化纯理论的函数学习

数学是一门基础课程，它是所有课程的基础，学好数学就可以用数学模型的知识来解决生活中的实际问题，如最短路程，费用最低，利润最大化等生活中问题，都可归为函数的最大值和最小值的问题，因此教师要帮助学生建立对应的目标函数模型用函数知识来解决，在这种函数教学与实际生活相结合的实践过程中，可以激发学生的学习兴趣和学习态度，让学生感觉学习数学的重要性和实用性，逐步提高学生解决问题的能力。

综上所述，初中函数是学生对函数学习的起步阶段，打好学习函数的基础是保证日后对更深层次函数学习的首要任务和根本性要求。对初中函数的学习，一方面需要学生能够认识到函数的重要性，积极主动地学习函数。另一方面，也是必不可少的重要内容，就是教师的有效教学。教师要结合初中函数教学中应该注意的问题，采用丰富的教学手段，让学生多层面、多角度地了解函数，明确函数的概念和实质，以提高他们对函数的学习能力。

函数是连接初中数学与高中数学的纽带，起着承上启下的作用。除此之外，函数还能够将多个学科和现实生活有效地结合在一起，在社会各个领域都发挥着不同程度的作用。总之，函数是初中教学中的重中之重，函数思想的形成不仅对学生学习具有重要作用，同时对于学生以后的生活也具有重要的意义，因此，教师选择适当的教学策略就显得极为重要。

第五篇：初中函数知识点总结

千承培训学校

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

（一）平面直角坐标系

1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系

2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

3、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P（x,y）的几何意义： 点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为

8、两点之间的距离：

X轴上两点为A(x1,0)、B(x2,0)|AB||x2x1|

x2y2 Y轴上两点为C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

|y2y1|

(x2x1)2(y2y1)

29、中点坐标公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M为AB的中点

则：M=(x2x1yy1 , 2)2210、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）； 将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）； 将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）； 将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

（二）函数的基本知识： 基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（三）正比例函数和一次函数

1、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k不为零)① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零 当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

2、一次函数及性质

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b(k不为零)① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-

b，0）两点的一条直线，我们称它为直k线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)（2）必过点：（0，b）和（-

b，0）k（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

k0k0直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 b0b0k0k0直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 b0b0注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k决定着直线的变化趋势

① k>0 直线从左向右是向上的 ② k<0 直线从左向右是向下的

2、b决定着直线与y轴的交点位置

① b>0 直线与y轴的正半轴相交 ② b<0 直线与y轴的负半轴相交

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：

1、k>0，b>0

2、k>0，b<0

3、k<0，b<0

4、k<0，b>0

4、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为

5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

与 y轴交点坐标为(0，b)．

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.6、两条直线交点坐标的求法：

方法：联立方程组求x、y 例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？

7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作

.特别地，轴记作直线

8、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.10、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.11、一次函数与二元一次方程组

（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=acx的bb图象相同.（2）二元一次方程组a1xb1yc1ac的解可以看作是两个一次函数y=1x1和

b1b1a2xb2yc2y=a2cx2的图象交点.b2b212、函数应用问题（理论应用 实际应用）

（1）利用图象解题 通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.（2）经营决策问题 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知题.(四)反比例函数

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

取值范围： ① k ≠ 0;②在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数;③函数 y 的取值范围也是任意非零实数。反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

反比例函数的性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0和 x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0和x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|K| 5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴

y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2 +4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.(第5点的同义不同表述)

10.反比例上一点m向x、y轴分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

（五）二次函数

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般式(已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.)

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；

顶点式(已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.)

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

交点式(已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式)

y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 顶点

抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。开口

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。（左同右异）

c的大小决定抛物线当①时，∴抛物线,与与

轴交点的位置.与

轴有且只有一个交点（0，）： ,与

轴交于负半轴.，抛物线经过原点;②轴交于正半轴；③直线与抛物线的交点（1）（2）与(,轴与抛物线轴平行的直线).得交点为(0,).与抛物线

有且只有一个交点（3）抛物线与轴的交点 二次函数程根的判别式判定：

①有两个交点

抛物线与轴相交；

抛物线与轴相切； 的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 ②有一个交点（顶点在轴上）③没有交点

抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交的两点，由方程组

①方程组有两组不同的解时一个交点；③方程组无解时的解的数目来确定： 与与

有两个交点;②方程组只有一组解时没有交点.与

只有（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线，由于、是方程

与轴两交点为的两个根，故

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