如何进行定理教学[样例5]

第一篇：如何进行定理教学

如何进行定理教学

——高职院校高等数学课程改革的反思与探索

刘新求

付丽

（湖南工程职业技术学院 基础科学系

湖南

长沙

410151）

摘要：高职院校的高等数学课程改革应该把握尺度，定理的教学应该根据学生和课程特点采取灵活多变和尽可能直观形象的方法，以微分中值定理进行个案设计。关键词：高职院校；高等数学；定理；

How to Teach Theorems

_____ Thinking and exploring to the reform of advanced mathematics in

higher vocational institutions

Liu xinqiu(the basic department of Hunan engineering vocational institution

changsha hunan

410151)1[1]

Abstract: The reform of advanced mathematics in higher vocational institutions must be careful.The teaching of Theory must be suitable to the students and the curriculum.The teaching way would be feasible and visuale.Key Words: higher vocational institutions;advanced mathematics;Theory 问题的提出

高职院校的高等数学课程改革正在全面进行，各种各样的专门为高职院校学生编写的高等数学教材不断涌现出来。改革的指导思想定位为：为专业服务，够用为度，淡化理论，注重应用。在这一指导思想之下，许多教材一再降低难度，尤其是略去了大部分定理的证明。针对现有的高职系列高等数学教材大幅缩减定理的证明这一现象，笔者在所任教的两个班（共96人）作一项关于高等数学学习的问卷调查时，设计了“你如何看待定理的证明”的问题，在备选答案“希望把定理的证明讲清楚”和“定理的证明不太重要，只要会做题就行了”中，有62%的学生选择“希望把定理的证明讲清楚”，这大大出乎我的意料之外，为此，我特意找了一部分学生进行访谈，大部分同学都认为如果不讲清楚定理的证明则没有说服力，会产生抵制情绪，也很难记住定理的结论。我们教学的对象是学生，学生的感受和体会应该是衡量我们教学成败的一个重要依据，高等数学课程的教学改革应该如何把握尺度，这是一个值得关注的问题。笔者就高职院校的高等数学课程如何进行定理的教学进行了反思和探讨。探索解决问题的途径

2.1 分析学生的心理

我们一般认为，学生不喜欢抽象的理论推导，对于数学基础较差的学生尤其如此。为什么调查中会有那么多学生认为应该讲清楚定理的证明呢？通过与学生访谈，我分析总结出以下三个方面的原因：（1）中学以来的数学教学模式所形成的思维定势。我国的数学教学一贯以来注重理论的严谨性，学生认为数学知识就是要言之有理，都必须要经过推导才能得出来。中小学因为内容少，难度小，课时充足，教师在教学中基本上作到了这一点，这是学生 刘新求：（1971-）女，湖南娄底人，硕士研究生，湖南师范大学在读博士，主要研究数学课程教学和图论。形成这样的数学观念的重要原因；（2）从学生学习数学的目的看，并不是狭隘的应用主义，相反比较倾向于能力方面的提高，有人做过这方面的调查，得出了相似的结论[1]。这一点似乎和改革的思路有出入，从社会文化背景的角度看，和我们中国人对数学学习的传统观念有关。（3）证明有助于理解定理的内容，记住定理的结论，从认知的观点来说就是易于把新知识同化到已有的认知结构中去。

从以上分析来看，学生对数学定理的证明所持的态度有传统教学方式和社会观念的影响，也有自身的价值取向，对此我们不能简单地肯定与否定，简单地迎合学生的心理将使得高等数学课程改革回到原点，这绝对不符合这一事物发展的规律；全盘否定更是会使得高等数学课程改革走入一种困境，十多年来高等数学课程改革因为各种因素而步履维艰，收效甚微，这是值得我们借鉴的。

2.2 反思高等数学课程开设的意义

高等数学课程在各级各类学校的地位都是一门公共基础课程，承担着提高学生文化素质和为专业服务的双重任务。笔者认为，这两重目的应该处于一个并列的地位，以前过分强调前者不对，现在如果纯粹强调后者也会走入一条死胡同，数学本身的特点决定了这一点。数学的应用是一种最广泛意义上的应用，日本数学教育家米三国藏曾指出“数学精神和数学思想方法”将长期在学生的生活和工作中发挥作用[2]。对于职业技术学院的学生来说，高等数学课程既为专业学习提供语言和工具，同时也是增长知识，提高素质一条重要途径。狭隘的实用主义思想之下，势必会把那些所谓有用的知识简单罗列呈现给学生，期望学生尽快掌握它，应用它，高等数学知识抽象而联系紧密，要做到这一点实属不易。另外，数学知识的应用扎根于它最初的发生发展过程之中，也就是说，绝大分数学知识最初的发生发展就是因为实际的需要，所以用适当的方式展示数学知识的本质和形成过程是必要的，证明定理就是一种有效的教学途径。2.3 解决问题的思路

高职院校的高等数学课程如何进行定理的教学？我们既要考虑高职学生的实际需要，又要结合高等数学课程的特点，我们应该有区别地对待不同的定理，有所取舍，同时采用灵活多变、尽可能直观形象的教学方式：（1）定理本身在课程中的地位相当重要，定理的证明过程包含了最普遍、最本质、最原始的数学思想方法，体现出定理结论发现过程的，尽量详细地论证，而对那些相对处于次要地位或证明过程表现为一种技巧和发现结论后的一种说明的，证明过程可以相对简化，有些甚至可以不加证明；（2）证明的方法应该多样化，几何直观，物理背景，举例分析，反例验证，整体思路说明，局部证明等都是可以应用的方法，这些方法不一定是严格完整的证明，但却要能从不同侧面说明定理的实质。尤其对于那些抽象难懂的定理应灵活地运用多种方法来进行生动形象地说明解释，不应拘泥于教材（教材往往表现为相对严谨的形式）。例如“最值定理”我们可以采用几何直观和举反例的方法来说明：为什么要是闭区间？为什么一定要连续？是不是必要条件？等等。又如“二元函数取得极值的充分条件”我们可以采用局部证明的方法：学生往往对判别式“ ”感到很抽象，不理解，而要严格证明这条定理有确实有困难，一般非数学专业的教材中都没有证明，只举例说明 的情况。我们可以引导学生思考函数 在的二阶导数必须同号的问题，指出：如果和异号，则表明函数在不同的变化方向取得极值的情况不同，分别取得极大和极小，所以从整体上看就不取得极值，此时判别式。这虽然算不上是完整的证明，但也能从某种程度上反映二元函数取得极值的实质是点 从不同方向趋近于点时都应该取得极大（小）值，函数才取得极

大（小）值，这对学生理解定理是有好处的。教材也许不好灵活变动，但具体的教学过程确实可以变通的。3 个案设计

为了能更好地说明笔者的思路，下面以微分中值定理的教学为例进行个案设计。微分中值定理是微积分中处于基础地位的重要定理，包括3条定理：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，根据这三条定理各自的特点我们应该采取不同的教学方法和策略。3.1证明罗尔定理

罗尔定理是证明其他两条定理的基础，况且罗尔定理的证明过程反映出连续可导函数变化的规律：函数值从增加到减少，或从减少到增加，连续可导函数在其间必定经历一个稳定点，即导数为零的点，这是导数应用的基础！相比之下，后面拉格朗日定理和柯西定理的证明虽然比较简洁，但是却相对表现为一种技巧，方法，更像是发现结论之后的一种说明，所以后两个定理的证明反而显得没有那样重要（有些高职教材上却略去了罗尔定理的证明）。具体的教学过程可以分4个步骤进行：

（1）引导学生画出符合罗尔定理条件的各种图形。

如果照本宣科地证明罗尔定理，既引不起学生的兴趣，学生也不能深刻理解罗尔定理。所以根据高职学生的特点，为了展示罗尔定理本质和形成过程，在呈现了罗尔定理的内容之后可以要学生画出符合定理的曲线。于是引导学生分析：第一个条件表明这是一条连续的曲线，第二个条件表明这是一条光滑的曲线，第三个条件则表明曲线在端点处的函数值相等。学生在画图的过程中能够注意到符合罗尔定理的图形有可能有各种不同的形式并体会到极值点的存在性。（2）证明费马定理

怎样从理论上证明极大值点或极小值点的导数为零呢？实际上就是证明引理费马定理，证明了费马定理就是理解了罗尔定理乃至中值定理的实质，所以这里必须充分展示定理结论的形成过程。

（3）理清思路，简要写出证明过程

提问：符合罗尔定理条件的图形一定在 内有极值点吗？从理论上怎样来保证这一点？引导学生回忆闭区间上连续函数的性质：闭区间上连续的函数在该区间取得最大值和最小值 引导学生完整地写出证明过程，在此过程中学生又将感受到数学的严密性（分情况讨论的过程），但决不会因此而掩盖数学的本质（函数变化的性质）。（4）画出一些不符合罗尔定理条件的图形

为了加深对罗尔定理的理解，可以利用几何图形从反面加以论证和说明。3.2 结合图形分析拉格朗日定理

拉格朗日定理的证明重点在于构造辅助函数，证明则直接建立在罗尔定理的基础之上，所以证明基本上是算是一种技巧或方法，证明过程本身并不直接反映函数变化的规律。然而其结论更具有普遍性，应用也更为广泛，从而拉格朗日定理的教学和罗尔定理相比有所区别。首先提问：罗尔定理的第三个条件较为苛刻，如果没有这个条件，函数曲线将是什么情形？画出各种可能的情形。

一般教科书上只画出了左边的图形，但这个图形不能体现出拉格朗日定理和罗尔定理的结论上的区别，因为它同样存在 内某一点的导数为零，所以还应画出函数单调递增或递减的图形。

观察后得出：至少存在一点 这点的切线平行于弦AB，也就是，变形为

和罗尔定理的联系：罗尔定理是拉格朗日定理 时的特殊情形，罗尔定理的弦AB平行于x轴，故结论为。

对于拉格朗日定理，我们可以不用教学严格的证明，转而采用直观的方法来说明它：如图把坐标轴旋转到平行于弦AB的位置，则罗尔定理的条件符合，从而定理获证，这虽然不是严格地证明，但学生却很容易理解。

3.3 大致了解柯西定理

柯西定理在三条定理中最为抽象，它的几何意义却不如前面两条那么明显，所以很多教科书上都没有说明柯西定理的几何意义，而是直接采用辅助函数证明其结论，有些高职类的教材则干脆不证。笔者认为，无论采用何种方法构造辅助函数证明柯西定理，对学生理解柯西定理的实质并不是十分有效的，虽然证明过程本身并不难懂，然而学生很自然地问：为什么会想到这样证？定理的结论表达了的意义是什么？为什么要 的条件？等等。鉴于高职学生的特点和任务，可以只要分析柯西定理和拉格朗日定理的联系，指出当 时，结论即为拉格朗日定理，至此，学生对三条定理有了较为深刻全面的了解，建立了整体的联系。

参考文献：

[1] 杨晓萍等.关于高等数学教育的调查报告[J].上海应用技术学院学报，2002，11.[2] 侯维民.“数学精神”与数学教育[J].数学教育学报，2004，13（3）.[3] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1988.[4]同济大学应用数学系编著.高等数学[M].上海：同济大学出版社，2002.[5]曾庆柏主编.高等数学[M].北京：中国财经大学出版社，2004.

第二篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（学案）

【学习要求】

1．发现并掌握正弦定理及证明方法。

2．会初步应用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面积公式

【学习过程】

1.正弦定理证明方法：（1）定义法（2）向量法（3法四：法一：（等积法）在任意斜△ABC当中，S△ABC=absinCacsinBbcsinA.两边同除以abc即得：

法三：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD2R.同理2R =＝.可将正弦定理推广为：abc== =2R（R为△ABC外接圆半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC径）.2.正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，都

等于这个三角形的外接圆的直径，即

注意：正弦定理本质是三个恒等式：

三角形的元素：a,b,c,,,C

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

3.定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

abcabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinAsinBsinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解决的问题：

（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角．（常见：大一小二）

5.常用面积公式：

对于任意ABC，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三边的对角，则三角形的面积为：

111①SABC_____ha(ha表示a边上的高）.②SABCabsinCacsinB____________ 22

2例1：在ABC中，已知A45,B30,c10,求b.例2：在ABC中，已知A45,a2,b2,求B

例3：在ABC中，已知B45,a,b2,求A,C和c

总结：（1）已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性

（2）应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由sinC求角C时，讨论角C为锐角或钝角的情况.例4不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(l)a=5,b=4，A=120（2）a =7,b=l4,A= 150(3)a =9,b=l0,A= 60（4）c=50,b=72,C=135练习：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosAbcosBB、asinAbsinBC、asinBbsinAD、acosBbcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，则cosB=___________.4．在△ABC中，已知a2,b2,A30，解三角形。

5.（1）在ABC中，已知b,B600,c1,求a和A,C

（2）ABC中，c,A450,a2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a求△ABC的面积。00

第三篇：19.1.2命题与定理教学反思

§19.1.2命题与定理教学反思

本节课的主要内容是命题、定理，是以后学习推理证明的基础，更是培养学生有条理的思考和表达的一个重要环节。为此，我做了如下思考：在课前延伸部分，我让学生利用已学知识将学生所未知的命题补充完整，让学生在不知不觉中已体会到命题的因果联系。而创设情境的引入部分，考虑到本课以有关命题的概念为主，所以将命题的引入和语文联系起来，激发了学生的好奇心，引起学生的兴趣。自主探究过程中，教师提出问题，学生共同讨论。整个过程以学生与学生、学生与教师之间的“对话”、“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。对于练习的设计，本课内容比较简单，但概念太多，因此在学习之后设计了大量练习，让学生在练习中巩固所学知识，加深对概念的理解和运用。反思本课的不足之处：《19.1.2命题与定理》的主要内容就是命题的定义以及命题的结构。涉及的新概念新名词较多，在概念的传授上，我没能做到一个成功的引导者，虽然有引导的内容，但实际效果不佳。在判断一些较难命题的一般形式时引导的不够，如“等角的余角相等”，学生很容易理解成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”，应该引导学生自己往正确的方向理解，而不是告诉他们这样是错误的，应该理解成“如果两个角分别是相等的两个角的余角，那么这两个角相等”。还有，本课的例题没有太多的新意，显得课堂的内容比较平淡，没有亮点。最后对定理部分的内容介绍太少，要加强。另外就是在涉及本课的难点时，留给学生思考的时间太短。

第四篇：《正弦定理》教学反思

通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果：

1、学生对于正弦定理的发现、证明正弦定理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。

2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。

3、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。

第五篇：正弦定理 教学设计

《正弦定理》教学设计

郭来华

一、教学内容分析

“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。

本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学生学习情况分析

学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。

三、设计思想

培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标

1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，体验数学发现和创造的历程。

3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

五、教学重点与难点

重点：正弦定理的发现和推导 难点：正弦定理的推导

六、教学过程设计

（一）设置情境

利用投影展示：如图1，一条河的两岸平行，河宽d1km。因上游暴发特大洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度v15km/h，水流速度v13km/h。【设计意图】培养学生的“数学起源于生活，运用于

（二）提出问题

师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的五个问题：

1、船应开往B处还是C处？

2、船从A开到B、C分别需要多少时间？

3、船从A到B、C的距离分别是多少？

4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少？

5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。

师：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题1，需要解决问题2，要解决问题2，需要先解决问题3和4，问题3用直角三角形知识可解，所以重点是解决问

A图 1BC生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。题4，问题4与问题5是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题4和5。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生1：船从A开往B的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角：

|v||v1||v2||v1||v2|35, 22BDEC534，22v1vFAv2图 2sin 用计算器可求得37

BDv1vv2AF图 3EC船从A开往C的情况如图3，|AD||v1|5，|DE||AF||v2|3，易求得AEDEAF45，还需求DAE及v，我还不知道怎样解这两个问题。

师：请大家思考，这两个问题的数学实质是什么？ 部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数学意识。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？ 生3：不知道。

师：图2的情形大家都会解，但图3的情形却有困难，那么图2与图3有何异同点？

生4：图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。但图2中ADE是直角三角形，而图3中ADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。

师：图3的情形能否转化成直角三角形来解呢？

【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定理做好铺垫。

生5：能，过点D作DGAE于点G（如图4），|DG||v1|sinDAG|DE|sinAED|AG||v1|cosDAGBDv1vAGv2EC，|EG||DE|cosAED

F图 4sinDAG|DE|sinAED|v1|3sin4553210

|v||AG||GE|

师：很好！采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？

【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的共同成长。

（三）解决问题

1、正弦定理的引入

师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例，先在直角三角形中试探一下。

师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同研究。

（1）学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研究。

（2）展示学生研究的结果。

【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备；同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。

师：请说出你研究的结论？ 生7：asinAbsinBcsinC

师：你是怎样想出来的？

生7：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边c。

师：有没有其它的研究结论？（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确与否，或留课后进一步深入研究。）

师：asinAbsinBcsinC对一般三角形是否成立呢？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。那么生9：成立。师：对任意三角形

asinAbsinBcsinCasinAbsinBcsinC对等边三角形是否成立呢？

是否成立，现在让我们借助于《几何画板》做一个数学实验，„„

【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”的思维方式，进而形成解决问题的能力。

2、正弦定理的探究（1）实验探究正弦定理

师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。

结论：asinAbsinBcsinC对于任意三角形都成立。

【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。

师：利用上述结论解决情境问题中图3的情形，并检验与生5的计算结果是否一致。

生10：（通过计算）与生5的结果相同。

师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。”的问题就简单多了。

【设计意图】与情境设置中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。

（2）点明课题：正弦定理（3）正弦定理的理论探究

师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。探究方案：

直角三角形——已验证； 锐角三角形——课堂探究； 钝角三角形——课后证明。

【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形，有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。师：请你（生11）到讲台上，讲讲你的证明思路？

生11：（走上讲台），设法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与生5的办法一样，如图5作BC边上的高AD，则ADcsinBbsinC，所以

bsinBcsinCAcabB，同理可得

asinAbsinBCD图 5 锐角三角形

师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系从而达到证明的目的。注意： csinBbsinC表示的几何意义是三角形同一边上的高不变。这是一个简捷的证明方法！

【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。

师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？ 学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直径不变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系作为基础又得出了如下两种证法：

证法二：如图6，设AD、BE、CF分别是ABC的三条高。则有

ADbsinACB，BEcsinBACCFasinABCAFcaD图 6 EbCB。

bcsinBACc12casinABC12SABCa12absinACBbsinABC

AsinBACsinACB

cB

a证法三：如图7，设BD2r是ABC外接圆的直径，则BAD90，ACBADB

BD2r

sinADBab2r同理可证：sinBACsinABCsinACBasinBACbsinABCcsinACBccb

D

C图 7 三角形外接圆

【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式 及asinAbsinBcsinC2r一并牵出，使知识的产生自然合理。

、BC、CA间有什么关系？ 师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？

师：任意ABC中，三个向量AB生12：ABBCCA0

师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由ABBCCA0转化成数量关系？

师：在ABBCCA两边同乘以向量j,有(ABBCCA)j0,这里的向量j可否任意？又如何选择向量j?

生14：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑让向量j与三个向量中的一个向量（如向量BC）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。生13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。

师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什么问题？

教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过小组代表作完成了如下证明。

证法四：如图8，设非零向量j与向量BC垂直。

因为ABBCCA0，所以(ABBCCA)j0 即ABjCAj0 B|AB||j|cosAB,j|CA||j|cosCA,j0 c|j|cos(90B)b|j|cos(90C)0 c|j|(sinB)b|j|sinC0

AcjbaC图 8 向量所以bsinBcsinC，同理可得

asinAbsinB

师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考）

师：ABjCAj0有什么几何意义？

生15：把ABjCAj0移项可得CAjBAj义可知CA与BA在j方向上的投影相等。，由向量数量积的几何意生16：我还有一种证法

证法五：如图9，作ADBC，则AB与AC在AD方向上的投影相等,即ABADACAD

|AB||AD|cos(90B)|AC||AD|cos(90C)C

csinBbsin 师：请你到讲台来给大家讲一讲。（学生16上台板书自己的证明方法。）

AcBDabC图 9 向量故bsinBcsinC，同理可得

asinAbsinB

师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明了正弦定理，方法非常简捷明了！

【设计意图】利用向量法来证明几何问题，学生相对比较生疏，不容易马上想出来，教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解，有利于学生理解接受。

（四）小结

师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。

（五）作业

1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；

2、思考：证法五与证法一有何联系？

3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？

4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。

【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布置也为下节课做一些必要的准备。

七、教学反思

为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。我想到了“情境——问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境——问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修4）》（人教版）第二章习题2.5 B组第二题，我将其加工成一个具有实际意义的决策型问题）；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题4与5时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。

总之，整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”——“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。