C语言关于自然数的和以及自然数n次方的和

第一篇：C语言关于自然数的和以及自然数n次方的和

计算：

（1）1+2+3+4+5+6+7+8=？

（2）1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8=?

（3）1*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+5*5*5+6*6*6+7*7*7+8*8*8=?

程序如下：

#include #include void main(){ int i,j;int sum;for(i=1;i<=3;i++){ sum=0;for(j=1;j<=8;j++)sum=sum+pow(j,i);printf(“%dn”,sum);} }

模型的推广：

计算：

1+2+…+n=?

… …

1*1*1*…1+…+n*n*n*…n=?

程序如下：

#include #include void main(){ int i,j;int sum;int n;scanf(“%d”,&n);for(i=1;i<=n;i++){ sum=0;for(j=1;j<=n;j++)sum=sum+pow(j,i);printf(“%dn”,sum);} }

第二篇：自然数的N次方和

自然数的N次方和

小学的时候，那个著名的高斯的故事深深影响着我们，就是那个1+2+……+100的那个故事，尽管这个故事发没发生过都搞不清楚，就好像苹果砸牛顿脑袋就砸出一个万有引力定律的故事一样。尽管真假已难知晓，但是我们宁愿他是真的。

我们从高斯的故事知道了下面的公式：

在后面的学习中，我们又接触到了下面的公式：

出于人类思维的本能，我们自然就会想到对于一般的k，下面式子的和的公式：

不过很遗憾，到目前为止，对于这样的式子是没有公式的，不过有幸，我们有关于这个式子的递推公式

这个递推公式叫阿尔哈曾公式，不用说，肯定就是阿尔哈曾这个人提出的。如果你对上面的公式有点乱的话，那么下面的阿尔哈曾分割图就比较明显说明上面式子的含义：

这个就是非常好的一个分割，大长方形的高为n+1，红色框部分的面积等于大长方形面积减去其余部分面积，这刚好就是我们上面的阿尔哈曾公式。利用他可以来推导其他的次方和公式，正如你们所需要的，只要你想要，只要你不怕累，就一定可以推导出来，比如我们来推导14+24+34+……+n4的求和公式，为了方便，我们设fk(n)=1k+2k+3k+……+nk,我们就可以根据这个而来：

大伙可以根据上面的递推公式，或者是那张分割图，得到自己想要的公式，不过处理过程就有点麻烦。

第三篇：自然数N次方的尾数周期变化情况

自然数N次方的尾数周期变化情况：

2n是以“4”为周期进行变化的，分别为2，4，8，6…… 3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1…… 7n是以“4”为周期进行变化的，分别为7，9，3，1…… 8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6…… 4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6…… 9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1…… 5n、6n尾数不变。

【例3】22007+32007+42007+52007+62007+72007+82007+92007的值的个位数为是多少？ A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】D。这道题的每个指数都很大，而求的是最终值的个位数，因此只要根据自然数N次方的尾数周期变化情况就可以判断。例如，22007是以“4”为周期变化的，于是用2007除以4，可得余3，因此22007=23=8，个位数是8。以此类推将后面几个数的个位数算出来相加即可：原式等价于23+33+41+5+6+73+83+9，所以最终值的尾数是4。

顺逆水问题常用的公式有：

（1）顺水速度（V顺）=船速（V船）＋水速（V水）（2）逆水速度（V逆）=船速（V船）－水速（V水）由（1）和（2）公式推导可以得出：

（3）船速（V船）=[顺水速度（V顺）＋逆水速度（V逆）]÷2（4）水速（V水）=[顺水速度（V顺）－逆水速度（V逆）]÷2（3）、（4）两个公式是顺逆水问题中最核心最常用的两个公式，同学应该将该公式熟记于心。记忆的时候可以这么理解：船速一般要大于水速（不然船就无法在逆水中前行），所以船速是“顺逆相加除以二”、水速是“顺逆相减除以二”。

•一个公式：工作效率×工作时间=工作总量

•一个技巧：设工作时间的最小公倍数为工作总量，再求工作效率 只要牢牢掌握以上两个点，工程问题都可以很快解出。我们可以通过几个例题来理解这一个公式和一个技巧。

【例3】一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10 小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12 小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译4 小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12 小时才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要()小时能够完成。A.15 B.18 C.20 D.25 【解析】A。第一步，设工作总量为60，;第二步：求工作效率，甲乙的效率和为6，乙丙的效率和为5，第三步：求解，丙干了12小时，可以看成与甲、乙分别合干4小时，又单干4小时，与甲合干4小时完成24份工，与乙合干4小时完成20份工，剩余的16份工由乙4小时完成，因此乙的效率为4，总的工作时间为15，选A。

溶液、溶剂、溶质和浓度的关系如下∶

•溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量

•浓度=溶质质量÷溶液质量

•溶液质量=溶质质量÷浓度

•溶质质量=溶液质量×浓度

难度较低的溶液问题只要通过以上几个公式就可以列方程求解，而对于一些较复杂的浓度问题，就要通过“十字交叉法”来求解。

十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。凡是一般的二元一次方程组（Aa +Bb = c(A +B)关系式）的习题，均可用十字交叉法。

该法解题的关键是准确找出平均值。其解题原理为： Aa＋Bb＝(A＋B)×c 整理变形后可得(a>c>b)

其中c为平均值

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

【例3】把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的浓液50升，已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的浓液用量的2倍，浓度为30%的溶液用量是多少升（）

A、18 B、8 C、10 D、20 【解析】D。用十字交叉法计算，假设2%的溶液为L升，则30%的溶液为2L升，先将20%和30%的酒精混合，混合后的浓度为20%*L+30%*2L/L+2L=4/15 设50%浓度的溶液为Y升

溶液1：4/15 7/50 50-Y

36% 溶液2：50% 7/75 Y 因此7/50÷7/75=3/2=50-Y/Y，推出Y=20。故选D。

一、概率问题公式

加法原理：m1+m2+……+mn

乘法原理：m1×m2×……×mn 注意：分类用加法，分步用乘法。

二、排列组合公式

注意：有顺序用排列，无顺序有组合。

第四篇：怎么求1→n→1连续自然数的和

怎么求1→n→1连续自然数的和

我们要求１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１，有什么简单的方法吗？大家来看下面这个具体例子。

求１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１

要计算这个和一般的方法将其看成两个等差数列，然后根据本节中学到的等差数列求和公式：Ｓ＝(（首项＋末项）×项数)/２，求和。

即１＋２＋３＋４＋５＝(（１＋５）×５)/２＝１５,４＋３＋２＋１＝(（４＋１）×４)/２＝１０

把他们相加便得出所求的和为１５＋１０＝２５

要问除了这个方法求和外，还有什么简捷的方法吗？大家仔细观察，如果大小搭配，易的：１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１＝５２＝２５

我们在观察一例

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝？

同理可得：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝７２＝４９

这样一来我们就德：１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１的和等于中间最大自然数的平方，即：１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１＝ｎ２

第五篇：关于自然数数列前n项和公式证明

自然数平方与立方数列前n项和公式证明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。

一、证明：Sn=k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2证：(略)

二、证明：Sn=k2=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

k1k1nn

证：(n＋1)³－n³=(n³＋3n²＋3n＋1)－n³=3n²＋3n＋1，则：

2³－1³=3×1²＋3×1＋1（n从1开始）

3³－2³=3×2²＋3×2＋1

4³－3³=3×3²＋3×3＋1

5³－4³=3×4²＋3×4＋1

6³－5³=3×5²＋3×5＋1

…

(n＋1)³－n³=3×n²＋3×n＋1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n＋1)³－1³=3×[1²＋2²＋3²＋…＋n²]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n (n＋1)³－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n

Sn=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6

三、证明：Sn=k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

k1n

证：(n+1)4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1则：

24-14=4*13+6*12+4*1+1（n从1开始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...(n+1)4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n+1)4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(1²＋2²＋3²＋…＋n²)+4*(1+2+3+...+n)+n4*(13+23+.....+n3)=(n+1)4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2

Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2