数学建模_传染病模型

第一篇：数学建模_传染病模型

传染病模

摘要: 本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。MATLAB不仅能绘制几乎所有的标准图形，而且其表现形式也是丰富多样的。MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。在面向对象的图形设计基础上，使得用户可以用来开发各专业的专用图形。help graph2d可得到所有画二维、三维图形的命令。

描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。

数学建模

问题重述

问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。

3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）

4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。

问题分析

1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。

2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。

3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素

：传染病模型

模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，并且每天每个病人有效的人数为常数增加，就有x(tt)x(t)x(t)t

再设t0时有x0有个病人，即得微分方dxdtx,x(0)x0(1)接触(足使人致病)考察t到tt病人人数的

程

方程（1）的解为

x(t)x0et(2)

结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。

建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。

模型2 SI模型

假设条件为

1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。

2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。

根据假设，每个病人每变为病人，因为病人数天可使s(t)个健康者为Ni(t)，所以每天共有Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是病人数Ni的增加率，即有NdidtNsi(3)Nsi就是

s(t)i(t)1i0，则didti(1i),i(0)i0(5)

(4)再记初始时刻(t0)病人的比例为方程（5）是Logistic模型。它的解为

11te11i0(6)i(t)~t和didt~i的图形如图1和图2所示。

数学建模

由(5),(6)式及图1可知，第一，当di达最大值，这个时刻为dtmi1/2时didt到

1tmln1i01(7)

这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻

tm与成反比，因为日接触率保健设施、提高卫生水潮的到来。第二，当人终将被传染，全变为实际情况。殊莫ª表示该地区的以改善卫生水平，越小卫生水平越高。所平可以推迟传染病高t时i1,即所有病人，这显然不符合

其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。

模型3 SIR模型

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。这种情况比较复杂，下面将详细分析建模过程。

模型假设

1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。病人的日接触率为，日治愈率为（与SI模型相同），传染期接触为 =/。

模型构成

：传染病模型

由假设1显然有

s(t)+i(t)+r(t)=1(12)根据条件2方程（8）仍然成立。对于病愈免疫的移出者而言有

NdrdtNi(13)

再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s00)和i0(i00)(不妨设移出者的初始值r00)，则由(8),(12),(13)式，SIR模型的方程可以写作disii,dtdssi,dti(0)i0(14)

s(0)s0

方程（14）无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们先作数值计算。

模型 4 SIR模型

SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。人员流动图为：S-I-R。

大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类

假设： 总人数为常数，且i（t）+s（t）+r（t）=n； 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）。单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比，比例系数l。称为恢复系数。

可得方程：

diksili,dt

dsksi,dti(0)i00s(0)s00初值r(0)r00

模型分析：

由以上方程组的：dids=p/s-1 p=l/k, 所以i=pln

s0-s+n.容易看出当

t无限大时

i(t)=0;而当s0p时，i(t)单调下将趋于零；上批示，i(t)先单调上升的最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象：p是一个门槛。从p的意义可知，应该降低传染率，提高回复率，即提高卫生医疗水平。

令t→∞可得： s0―s=2*s0(s0―p)/p 所以：δp s0=p+δ，当时，s≈2δ，这也就解释了本文开头的问题，即统一地区

数学建模

一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变。

模型的应用与推广：

根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法,是根据种群生长的特性,疾病的发生及在种群内的传播,发展规律,以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性,定量分析和数值模拟,来分析疾病的发展过程,揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。对于2003年发生的SARS疫情,国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势,研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用,为决策部门提供参考.有关SARS传播动力学研究多数采用的是SIR或SEIR模型.评价措施效果或拟合实际流行数据时,往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现.石耀霖[2]建了SARS传播的系统动力学模型,以越南的数据为参考,进行了Monte Carlo实验,初步结果表明,感染率及其随时间的变化是影响SARS传播的最重要因素.蔡全才[3]建立了可定量评价SARS干预措施效果的传播动力学模型,并对北京的数据进行了较好的拟合.参考文献：

[1]姜启源 编辅导 课程

（九）主讲教师 : 邓 磊

[2]西北工业大学（数学建模）精品课程

[3]耀霖.SARS传染扩散的动力学随机模型[J].科学通报,2003,48(13)1373-1377

第二篇：数学建模 模型优缺点评价

模型评价：

模型优点：

建立的模型方法简单易行，且易中应用于现实生活。模型缺点：

考虑的影响因素较少，在处理问题时可能存在一些误差。仅使用一个月的数据具有一定的局限性，另外对外伤患者都按急症处理，考虑的情况比较简单。

模型评价：

优点：

1）模型具有坚实可靠的数学基础。很多数学理论已经证明这是设计中继站分布的最好的方法； 模型易于实现；

模型使中继站发挥最大的效能。2）3）不足：

1）我们的模型只适用于人口均匀分布的情形；

2）我们仅考虑中继站信号的服务范围能够根据我们的需要进行调整的情形。

.模型评价

模型一能比较准确的计算大区域环境下的中继站最少数量，且模型思想简单，通俗易懂，形式简洁能被大多数人所理解。

模型在中继站覆盖半径大于区域半径的0.2倍时出现与模拟值差6误差是其最不如人意的，也是其最大的缺点。其出现的原因是当初步判断正六边形的圈数n时，当第n层形成的正六边形的顶点完全包含在圆形区域内的情况下所造成的。可以，在其中增加一条选择约束

2n1r222(3r)()R 22

当其成立时在计算结果上加6，就可以解决差6误差。

模型二根据日常实际在通信当中的随机性，以及在圆的直径在各同心圆交点的密度与其半径成反比的事实。假设中继站的密度也与其到中心的距离成反比。又由需要建立的网络层数N和中继站的覆盖正六边形的面积A，该密度为N/A。在人口分不未知的情况下采取这种近似。其中的随意性比较大，且没有数学依据是该模型的致命缺点。

第三篇：数学建模：模型的评价和推广

模型的评价和推广

7.1 模型的评价 7.1.1模型的优点：

（1）在数据处理方面，我们详细分析了视频数据，引用了标准车当量数（PCU），引用了通流量，规范了数据的格式和可用性，为下一步解题提供了简洁的数据资料。（2）在视频数据统计方面，我们实行分阶段定点查数，在每隔30秒的时间内取值，符合上游路口信号配时，并满足了第一相位、第二相位的地理性。

（3）模型在图像处理和显示上，我们采用SPSS和MATLAB双重作图，拟合数据的变化趋势及正态Q-Q图，使问题结果更加清晰、条理和直观。

（4）从数据中筛选出发生堵车时的合理数据，融合排队论模型的核心思想，给出科学直观的显示结果。

（5）在模型建立上，提取了排队论模型和交通波模型的理论架构，同时简化了无用的模型公式，尽量贴近数学建模“用最简单的方法解决最难问题“的思想。7.1.2 模型的缺点

（1）在视频数据采样上，采用的是人工读取，虽然大大提高了灵活性，但也容易使数据出现人为的偏差和不精确；视频中从小区从进入到道路上的车辆并没有进行确切的统计。

（2）在问题一中，只采用了一种分析方法，结果比较单一，没有系统和全面地分析横断面通行能力的变化过程。

（3）问题三的所建立的关系模型中没有明确体现横断面实际通行能力，这也就使我们的关系模型不能准确地反应变量之间的关系。

（4）在统计完全堵车时的汽车数量时没有明确的标准规定，只是单纯地用主观认识确定完全交通拥堵。7.2 模型的推广

依据题目中提供的视频数据和附录，建立了车祸横截面通行能力的通行量模型，并利用排队法的相关知识，确定了车辆排队长度、事故排队时间、路段上游车流量的函数关系，对城市中交通事故的处理方面有一定的参考价值。

模型中分析问题、解决问题的一些独到方法，排队法数据取样的总体思想，对其他数学问题及一般模型仍可使用。

另外，针对路边停车、占道施工等因素导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象，我们的方法对于交通管理部门可以作为分析解决问题的一种参考。

第四篇：数学建模数学建模之雨中行走问题模型

数学建模

雨

中

行

走

模 型

系别：

班级：

姓名：

学号：

正文：

数学建模之雨中行走问题模型

摘要：

考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；

若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。① 当vrsin时,淋在背上的雨量为

.pwDrhsinvhv,雨水总量CpwDdrcoshrsinvv② 当vrsin时,此时C20.雨水总量CpwDdrvcos,如300,C0.24升

这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③ 当vrsin时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度rsin.此时将不断地赶上

pwDhvrsin雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量C2关键词：

v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度

1.问题的重述

人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；

二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=0，=90时的总淋雨量；

0 2

三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w ,  之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；

四、以总淋雨量为纵轴，对

（三）作图，并解释结果的实际意义；

五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。

3.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

1.设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.2.设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.3.设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为 4.视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）

3.2符号说明

a:代表人颈部以下的高度 b:人身体的宽度 c:人身体的厚度 d:起跑点到终点的距离 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨线方向与人体夹角 S:人的全身面积

t= d/vm:雨中行走的时间

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向

首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的时间t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=1042/18(m/s), 所以总的淋雨量Q=stw2.4L。

（2）雨从迎面吹来

雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为。如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算 =0， =30时的总降雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋雨量.顶部的淋雨量Q1= bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usin +v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin +v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin +v）/uv，所以总淋雨量

bdwcucosa(usinv)QQ1Q2 uvv=vm时Q最小。0时，Q=1.2L；=30，Q1.6L。

0 4

(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）

雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算 =30的总淋雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋雨量。

顶部的淋雨量Q1=bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usinav，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin -v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin -v）/uv，所以总淋雨量：

bdwcucosa(usinav)bdwu(cosaasina)av,vusinauvuvQbdwcucosa(vusina)bdwu(cosaasina)av,vusinavuvu若ccosa0m

asina即tana>c/a，则v=usina时Q最小，否则，v=v时Q最小，当a30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q0.24L最小，可与v=vm，Q0.93L相比。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对三作图（考虑 a的影响），并解释结果的实际意义

雨从背面吹来，只要 不太小，满足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m时，> 即可），v=usina，Q 最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化

再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。

5.模型的评价

（1）在不考虑风向情况下：

此时，你的前后左右和上方都将淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大约为2.44升。结论表明:淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小（2）在考虑风向及雨量的情况下: 当v=usinθ时，Q取到最小.表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

当v﹥usinθ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的胸膛。

6.模型的结果分析

综合上面的分析，我们得到的结论是：

1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。

2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。

参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

第五篇：数学建模常用模型方法总结

运筹学模型（优化模型）

数学建模常用模型方法总结

无约束优化 线性规划 连续优化 非线性规划 整数规划 离散优化 组合优化 多目标规划 目标规划 动态规划 从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 数学规划模型

图论模型存储论模型排队论模型博弈论模型

可靠性理论模型等…

运筹学应用重点: ①市场销售 ②生产计划 ③库存管理 ④运输问题 ⑤财政和会计 ⑥人事管理 ⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价 ⑧工程的最佳化设计 ⑨计算器和讯息系统 ⑩城市管理

优化模型四要素：①目标函数 ②决策变量 ③约束条件

④求解方法(MATLAB--通用软件 LINGO--专业软件)

聚类分析、主成分分析因子分析

多元分析模型 判别分析

典型相关性分析 对应分析 多维标度法

概率论与数理统计模型

假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析

贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归

微分方程模型

传染病模型 马尔萨斯人口预测模型

人口预测控制模型

经济增长模型 Logistic 人口预测模型 战争模型等等。

灰色预测模型 回归分析预测模型

预测分析模型 差分方程模型

马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型

系统动力学模型(SD)

综合评价与决策方法 灰色关联度

主成分分析

秩和比综合评价法理想解读法等

旅行商(TSP)问题模型背包问题模型车辆路径问题模型

物流中心选址问题模型经典 NP 问题模型 路径规划问题模型

着色图问题模型多目标优化问题模型

车间生产调度问题模型最优树问题模型二次分配问题模型

模拟退火算法(SA)

遗传算法(GA)智能算法

蚁群算法(ACA)

(启发式)常用算法模型 神经网络算法

蒙特卡罗算法元胞自动机算法穷

模糊综合评判法模型数据包络分析

举搜索算法小波分析算法

确定性数学模型

三类数学模型 随机性数学模型

模糊性数学模型