基于数学文化的教学案例设计述评

第一篇：基于数学文化的教学案例设计述评

-------------------基于数学文化的教学案例设计述评

张维忠/徐晓芳

【专题名称】中学数学教与学（初中读本）【专 题 号】G351 【复印期号】2008年10期

【原文出处】《浙江师范大学学报：自然科学版》(杭州)2008年9期第247～250页 【作者简介】张维忠 徐晓芳 浙江师范大学教师教育学院，金华 321004

与数学教育界呼吁将数学文化理念渗入数学教学实践的热切态度不同，中小学数学一线教师对于数学文化的反应更多的是茫然。笔者曾访谈了4所中学的16位数学教师，不少人觉得：“数学文化”虽是数学教育的一部分，但在注重升学率、注重分数的数学教育现实面前，实践应用不多。至于被问到“如何体现数学的文化价值”“在数学文化教育中遵循哪些教学方法、教学原则”等问题时，绝大多数教师表示由于平时多按以前的教法进行教学，所以对此没有做深入的思考，只是凭感觉上课，适当讲点数学史、数学应用等知识（有教师表示尝试的效果并不好，学生越来越懒了）。严峻的现状昭示了数学文化实践研究的迫切性！面对基于数学文化的教学案例（课例）设计进行研究是数学文化实践研究的重要组成部分。目前，对如何设计案例的研究较多，但对此的元研究却很少，导致教师虽能模仿具体的数学文化教学案例，但由于缺少反思，并不能形成数学文化教学的概观。基于此，笔者从元研究的角度出发，从多个方面对基于数学文化的教学案例设计进行深入的评述，同时阐明现阶段数学文化教育研究的问题与困难。

一、两种类别

近年来，数学文化与数学教育成为研究的热点问题，不仅许多数学教育学者结合数学文化理念设计了一些优秀案例，一批优秀教师也开始在数学课堂中进行实践，因此和数学文化理念有关的数学教学案例逐渐多了起来。除涌现的一些案例片断外，完整地将数学文化的丰富内涵与数学课堂教学实践相结合的案例大致可以分为两大类：一课一评式与专题研究式。

一课一评式，作者一般为中学教师，针对某一个数学内容设计了体现数学文化理念的一节课，文章在格式上比较统一：教师先指明设计理念、重点难点、设计思路等，然后以课堂实录的方式将详细的教学过程记录下来，最后结合教师自评、同事与专家的点评，写成课后反思附在后面。例如，《课例“轴对称图形”及其点评》[1]《〈探索勾股定理〉的教学设计》[2]《数学文化走进课堂的一次尝试》[3]等都是这样的格式。当然，这其中也有微小的差别，例如有些课例只是作者的教设想，没有经过课堂实践，等等。由于许多教师对数学文化的内涵以及如何体现数学文化的价值并不是很清楚，“一课一评式”案例的出现不仅可以促进设计者本人的教师专业发展，而且以操作性强、针对性强获得了其他数学教师的欢迎。

专题研究式。例如，《构建一种新型的数学课程文化——兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展》[4]《谈构建生动的数学学习环境——谈圆锥曲线概念的单元教学设计》[5]《高中解析几何教学策略——数学史的视角》[6]等。总的看来，与“一课一评式”教案相比，“专题研究式”案例设计的特点是：设计者一般是数学教育研究学者，常围绕一个主题展开，该主题可能涉及多个数学知识点，也可能只有一个，立足点较高，教学设计从全局出发，不仅将数学知识间的脉络清晰地呈现出来，而且对于数学内容与其他文化之间的-----------------

-------------------联系也挖掘得很充分。这样的数学文化专题案例往往创新味道十足，不仅指导理念新，设计思路、教学策略与方法也让人耳目一新。

二、多种视角

由于数学文化内涵的丰富性，所有符合数学文化理念的案例一般都具有多元的视角，即保留数学知识教授核心的同时，将数学课堂延伸到下面的领域：数学史、数学应用、数学游戏、数学与生活、数学与社会文化、数学美育、数学德育、多元文化数学、民族数学等，其中数学史、数学应用是体现数学文化最常用的两种载体，从这些案例可以看出，作者的出发点通常是基于（一项或几项）：培养学生探索能力、数学化能力、数学交流能力，培养学生数学学习兴趣，实现数学的人文关怀，建立数学知识点之间的联系（数学自身系统内的知识联系、数学与外部的联系），让学生学会数学思维、数学思考达到数学理解（对数学本质的理解），培养学生创造力等。另外，在访谈中，大部分教师不约而同地强调了学生的数学理解。

“一课一评式”在数学文化渗透教学的案例设计中数学科学味较重，但数学史、数学应用、教学与诗歌这样的与学生经验相联系的内容在课堂上所占比例远不及“专题研究式”，出现在课堂上的方式也较单一。为追求课堂效率，许多教师觉得不能在课堂上放得过开，“糖衣”是需要的，但是里面的“药”才是真正的根本。基于这种想法，他们的数学文化案例课总给人以“小心翼翼”的感觉。相对照下，“专题研究式”案例创新的尺度比较大。例如，《构建一种新型的数学课程文化——兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展》[4]，作者将小小的“对称”分成了“感受对称、对称的理解、对称的拓展性理解”三个阶段。每一个阶段都加载了大量的与学生经验相联系的数学史、数学应用、社会文化知识等等内容，还有专门的导入课、学生作业展示课，此时“糖衣”才能与“药”真正地融为一体。但这种欠缺“效率”的设计对许多中小学一线数学教师而言是很难实现的。

三、过程开放

从搜集到的案例归纳以及笔者在浙江省金华市南苑中学所进行的行动研究看，基于数学文化的数学课堂教学一般包括“情境导入—获得新知—练习、归纳（新知）—巩固、应用—小结”这5个环节。其中，“情境导入”形式多样，有以数学史导入、以民间传统文化导入、以故事导入等，往往一开头就抓住了学生的兴趣。在“获和新知”“练习、归纳”“巩固、应用”中也有生活形态浓郁的例子。最后总结的方法也多种多样，有以诗歌小结的、图画小结的、还有活动小结的„„。一节课下来，贯穿始终的是对学生主体的尊重以及对学生经验的开放接纳（如图1所示）。

图1 数学文化观下数学教学的一般流程

若将图1中的“学生个人经验、学生主体”视为“是由个人或社会构成的主体(S)”，“数学史、数学美、数学应用、其他学科知识、社会文化知识等”视为“是构成客观世界的-----------------

-------------------各个真实部分(R)”，“新知”视为“关于这些真实的理论知识(T)”[7]，则数学文化观下的数学教学流程图圆满地实现了教学三因素的统整，对数学教育有重要的意义。

将流程图（图1）具体到数学文化的“专题研究式”则稍有不同，“专题”的理念更体现在教学阶段（每个阶段课时不一）的设置上。例如，《构建一种新型的数学课程文化——兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展》[4]包括“感受对称阶段—对称的理解阶段—对称的拓展性理解阶段”；《谈构建生动的数学学习环境——谈圆锥曲线概念的单元教学设计》[5]则由“观察操作、直观感知—图形分析、形成概念—折纸活动、数学应用”组成；《高中解析几何教学策略——数学史的视角》[6]从教学策略上可分为“文化驱动（导言课）、核心概念统领（奠基课）、思想结构分析、双向模式转化”4个阶段。归纳起来，“专题研究式”围绕数学本质，先通过各种活动调动学生的经验；然后将学生经验与数学本质联系起来；最后在学生获得新知的基础上，设计活动将知识与体验升华（如图2所示）。

图2 数学文化观下的专题教学流程

四、设计“人”性化

基于数学文化的数学教学案例的设计思路是：从数学本质（数学的文化本质）出发，通过建立数学与数学史（或数学文化史）、社会文化、数学应用、民族传统等等的联系（即创立文化关联），将数学本质与学生主体经验相联系（如图3所示）。基于数学文化的教学案例要让学生感受到数学学习的开放性及其向其他各个领域的广泛渗透性，体验到资源对其经验的支撑，领悟到学习者之间的互动交流对于知识构建的意义，进而体验到“数学本质上是一种文化”，从而使学习者达到对数学学习的深刻文化陶醉与心灵提升。

图3 数学文化观下教学案例设计思路

基于数学文化的数学教学案例的设计理念则是：在学生主体地位得到日益重视的今天，数学教育应回归“人性”，不仅要着眼于未来的“人性”（适应未来社会的人才要求），还应考虑现时的“人性”（即人的需求、个性、爱好、经验等等）；不仅要关注知识的建构、数学地理解，同时也要关注生活、关注生命、关注全人发展。传统数学教育中分裂的极点（“日常经验”与“学校数学”“科学知识”与“人文知识”“学习者”与“现实世界”以及-----------------

-------------------“理论知识”、短期目标与长远目标等）应该在数学文化教育下趋于融合。

基于数学文化的数学教学案例的相关理论基础为：数学教育家对数学文化的各种理解。克莱因界定“数学文化应该包括两个方面：作为人类文化子系统的数学文化，它所涉及的是数学与其他文纯、与整个文明的关系；另一方面就是数学本身作为一个文化系统，它的发生、发展及其结构”[8]；黄秦安也认为“数学文化可以表述为以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统。其基本要素是数学各个分支领域及与之相关的各种文化对象、各门自然科学、几乎所有的人文社会科学和广泛的社会生活”[9]；郑毓信认为“数学文化是一个开放的系统”[10]；张奠宙认为“数学文化应当‘文而化之’”[11]„„可以说，以上观点在设计思路中都得到了充分的体现。

五、两大问题

在实践当中，数学文化观下的数学教学设计容易遭遇以下问题：一是将“数学文化”庸俗化、简单化；二是用单一的表现形态展示数学文化系统的多元性、开放性。

将“数学文化”庸俗化、简单化。譬如认为“数学文化就是文化（人文意义上的）”、或“数学文化教学就是数学史加数学应用”。在缺乏深刻理解的前提下，教师按照自己头脑中想当然的方式去教，结果常常丢失了数学文化的“神”，异化了数学文化教育，由此得出“实践中行不通”的结论也就不奇怪了。例如，有此教师将数学的“文化性”理解为追求表面的热闹，却忽略了培养学生深层的数学思维，没有意识到数学知识是数学文化的基础；又或者拉着数学文化的旗帜打幌子，本质上仍然是传统的数学教育理念与方式。如果学生没有体验到“数学本质上是一种文化”“数学是科学文化与人文文化的桥梁”，那么这样的数学文化教育是不成功的。

用单一的表现形态展示数学文化系统的多元性、开放性。例如，课堂上“讲”数学史太多，利用历史相似性原理指导学生“做”数学史太少；用一题多解代替多元文化数学教学太多，提供背景让学生感受各国传统文化的精髓、实现多元文化的关怀太少„„数学文化是一个丰富的内涵，多元的切入视角也需要灵活的呈现策略。

最后也是最重要的，数学文化教育要想真正在教学实践中取得效果，没有一个宽松的教育环境是很难实现的。只要社会、学校、教师“唯分、唯高考”的心理状态不改变，数学文化实践之路必定艰难！

【参考文献】

[1] 吴伟英，周均华.课例“轴对称图形”及其点评[J].中学数学教学参考：初中版，2007,(10):15～18 [2] 金益洪，胡艳.《探索勾股定理》的教学设计[J].中学数学杂志：初中版，2007,(6):45～48 [3] 钟向军，周均华.数学文化走进课堂的一次尝试[J].数学教学研究，2008,(2):21～23 [4] 吕林海，赵健.构建一种新型的数学课程文化——兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展[J].中学数学教学参考，2004,(5):1～3 [5] 董林伟.谈构建生动的数学学习环境——谈圆锥曲线概念的-----------------

-------------------单元教学设计[J].中国数学教育：高中版，2007,(10):9～11 [6] 李铁安，宋乃庆.高中解析几何教学策略——数学史的视角[J].数学教育学报，2007,16(2):90～94 [7] 徐斌艳.数学教育展望[M].上海：华东师范大学出版社，2001.16 [8] M·克莱因.西方文化中的数学[M].张祖贵，译.上海：复旦大学出版社，2004.23 [9] 黄秦安.数学文化观念下的数学素质教育[J].数学教育学报，2001,10(3):12～17 [10] 郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2003.155 [11] 张奠宙，赵小平.数学文化就是要“文而化之”[J].数学教学，2007.(4)：封底^

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第二篇：初中数学教学设计案例

初中数学教学设计案例

课题 正比例函数

一 教学目标

1.通过案例理解正比例函数，能列出正比例函数关系式 2.教会学生应用正比例函数解决生活实际问题的能力

二 教学重点

理解正比例函数的概念

三 教学难点

利用正比例函数解决生活实际问题

四 教学过程 【提出问题】

1.《阿甘正传》是一部励志影片。片中阿甘曾跑步绕美国数圈，假设他从德州到加州行进了21000千米，耗费了他150天时间。（1）阿甘大约平均每天跑步多少千米？

（2）阿甘的行程y(km)与时间x（天）之间有什么关系？（3）阿甘一个月（30天）的行程是多少千米？ 【生】 列算式回答 【师】 点评总结

2.写出下列变量间的函数表达式

（1）正方形的周长l和半径r之间的关系

【进一步抽象问题让学生思考】（2）大米每千克四元，则售价y元与数量x(kg)的函数关系式是什么？（3）下列函数关系式有什么共同点？（小组合作）

【分析共同点和不同点，找出规律】（1）y=200x

(2)l=2∏r(3)m=7.8V 【生回答，师点评】 【引入新课】

1.正比例函数的概念：

一般地，形如y=kx(k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.【板书概念，引导学生分析正比例函数的定义】 2 【例题讲解】

例1 在同一坐标系里，画出下列函数的图像： y=0.5x y=x y=3x 解： 【略】

【掌握函数图像的画法：列表，描点，连线】 3．练习

（1）已知正比例函数y=kx.当 x=3 时 y=6。求 k的值

(2)一种笔记本每本的单价为3元。则销售金额y元与销售量x之间的关系式是怎样的？ 当销售金额为360元时，则售出了多少本这种笔记本？

四 小结 五 课外作业

【反思】

由于函数的概念比较抽象，学生不容易理解。而理解函数的概念是教学的重点。这节课首先通过实例，回顾函数的概念，其次抽象提出正比例函数关系式，由学生观察得到特点，然后引出正比例函数的概念和特点，再通过练习加以巩固，最后通过小组讨论利用正比例函数解决生活中的问题。

第三篇：小学数学案例教学设计

教学设计 课题名称

组合图形的面积

科目

数学

年级

五年级

教学时间

2011-11-12

执教者

王冬梅

一、教材内容分析

《组合图形的面积》是义务教育课程标准实验教科书（北师大版）五年级上册数学第五单元中的一节内容（北师大版义务教育课程标准实验教科书五年级上册75——76页的内容，这一内容是在学生已经学习了长方形与正方形，平行四边形、三角形与梯形的面积计算的基础上,进一步探讨研究图形的面积，也是日常生活中经常需要解决的问题。设计理念：

数学课的教学应当以注重引导学生亲历数学知识探究过程、突出思维训练为主要目标。主要设计理念是：一是以学生为课堂学习的主体，关注学生已有的学习基础和学习经验，选择适合学生的学习素材、设计适合学生的教学活动，让学生自主的投入学习，教师是学生课堂学习的引导者、合作者。二是以活动为课堂教学的载体，注重学习情境创设，引导学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，去探究数学知识，亲历数学知识探索过程，感受成功的快乐。三是以问题为思维训练的源泉，教学中注重引导学生发现问题、提出问题和解决问题，在解决问题中激活思维。四是以生活为学习数学的基础，数学生活化，让学生在生活中感知数学知识，从生活中发现数学问题，在生活经验的基础上解决数学问题，并用所学知识解决生活中实际问题。

二、教学目标分析

1、知识与技能：使学生理解组合图形的含义，理解并掌握组合图形的计算方法，并能正确地计算组合图形的面积，并能运用所学的知识，解决生活中有关组合图形面积的实际问题。

2、过程与方法：自主探究、合作交流。让学生在自主探索的基础上进行合作交流，培养学生的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力。

3、情感态度与价值观：结合具体的题例，使学生感受到计算组合图形面积的必要性，产生积极的数学学习情感。

三、教学重、难点

重点

教学重点：学生能够通过自己的动手操作，掌握用割、补法求组合图形面积的计算方法。

难点

教学难点：割补后找出相应的计算数据解决问题。

四、学习者特征分析

现在的家庭，独生子女偏多，生活条件优越。很多孩子不知道努力读书，缺少竞争意识与自悟能力。由于五年级的学生已经有了一定的理解和分析问题的能力，而且他们也较容易被引导，根据学生已有的生活经验，通过直观操作，对组合图形的认识不会很难。所以在探索组合图形面积的计算方法时，我通过自主探索、合作交流等方式达到方法的多样化。重视让每个学生都积极地参与到活动中来，让活动有实效，真正让学生在数学方法、数学思想方面有所发展．

五、教学策略选择与设计

（1）多媒体教学法

在教学中，我充分利用多媒体教学课件引发学生的兴趣，调动学生的情感投入，激活学生原有知识和经验并以此为基础展开想象和思考，自觉地构建良好的知识体系，特别是分割图形的几种方法通过课件的演示，学生一目了然，直观形象，印象深刻，从而使计算方法水到渠成，更好的突出了教学重点、突破了教学难点。（2）自主探索和合作交流教学法

动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式，转变教师角色，给学生较大的空间，开展探究性学习，让他们在具体的操作活动中进行独立思考，并与同伴交流，亲身经历问题提出、问题解决的过程，体验学习成功的乐趣。

六、教学环境及资源准备

实验（演示）教具

图画，图片，教科书，粉笔，教学支持资源

课件，投影，幻灯片

网络资源

多媒体教室

七、教学过程

教学过程

教师活动

学生活动

设计意图及资源准备

创设情境、复习导入

让学生猜一猜（学习过的平面图形），说一说（面积公式），看一看（给出的图案像什么）

学生在猜，说，看的过程中巩固旧知，引入新知。让学生在猜一猜，说一说，拼一拼，看一看，的过程中充分调动多种感官参与到学习中来，在浓厚的学习氛围中感受到知识来源于生活，而又服务于生活,明确生活中的很多问题都和组合图形的面积有关.自主探索、合作交流

学生独立与小组合作交流解决组合图形面积计算问题。小组汇报学习情况

汇报时用多媒体将学生的学习成果演示出来，会出现下面几种情况:

3、师生总结分割法填补法。

学生合作交流，探讨解决组合图形面积计算的方法。板书并计算面积 总结方法，学以致用

这一环节中我真正的转变们了教师的角色，给学生足够的时间和空间，积极主动地参与到学习中，获取更多的解题方法。让他们都有成功的掌握“分割法”和”添补法”这两种计算方法.让学生明确分割图形越简洁，解题方法越简单。与此同时，教师要适时提醒学生们要考虑到分割的图形与所给条件的关系，有些图形分割后找不到相关的条件就是失败的。这样做有利于突破本节课的教学重点和难点。

综合实践、学以致用

1，为了巩固新知，我设计了不同层次的练习，使不同层次的学生都有提高。前面情景导入时几个生活中的数学问题解决了一个，剩下的我放在练习里。2设计一个组合图形的草坪，面积大约45平方米。

学生在画图程序中，自己设计出组合图形的图画，并涂上漂亮的颜色。让学生把掌握的知识拓展到实际生活中去。

我注重对学生自信心的培养，让不同的学生都有不同层次的提高，让他们充分体验到成功的快乐，从而信心百倍，勇于向困难发出挑战。同时我还注重对学生学习兴趣的培养和思维能力的培养

总结收获、小结全课

学习这节数学课，你有什么收获，或者有什么心得？

学生自由说，畅所欲言

学生可以说知识上的收获，也可以说情感上的收获，既发挥了学生的主动性，又将本堂课的内容进行了总结.也可以评价他人的学习表现，生生互动评价，学生既认识自我，建立信心，又共同体验了成功，促进了发展。

教 学 过 程 流 程 图

八、教学评价

形成性检测与评价

1、是否能够通过自学、掌握平面图形的面积公式。

2、是否能正确计算简单的基本图形的面积。

3、是否能够积极参与课堂上的学习活动。

4、是否能够与老师同学交流心得体会。

5、是否能够倾听他人发言。

6、是否能够理解，掌握组合图形的面积计算。

九、教学总结与反思

“组合图形的面积”是北师大教材五年级上册第五单元第一课时，是在学生积累了一定的学习经验，认识了一些平面图形的基础上安排学习的。本节课是以学生已经学习过的长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形等基本图形面积计算为基础，结合实际情境和具体的图形来探索组合图形面积的计算方法，不仅能够巩固已学的基本图形面积的计算方法，培养学生的分析问题和解决问题的能力，而且也有利于发展学生的空间观念，提高学生的综合能力。在本节课的教学过程中，我注重了以下几个方面：

1、创设情景，激发学习情感。

好的开始等于成功的一半。本课一开始我就从谈论生活中的各种组合入手，进而出示七巧板拼图让学生观察得出这些图形都是一些组合图形，使学生充分感受到数学与生活的密切联系。为下一步探究组合图形做好铺垫。

2、注重方法的指导与总结。

授人以鱼,不如授人以渔。组合图形，从不同的角度认识，每个图形均可分为相应的几个部分。学生在解答中也将产生不同的思考方法。因此，在本课的教学过程中，我十分注重分析、解题方法的指导，在层层深入,环环相扣的学习过程中,始终坚持为学生创设自主探索的情境，启发学生多角度、多方向、多层次挖掘新奇思路、各自提出有价值的分割方法，让学生通过一题多解的训练，培养发散思维，体验成功的愉悦．

3、问题来源于学生，回归于学生。学生在探索的过程中，放手让他们拼图，画图，分割图，并自行解决提出的问题。让学生在拼一拼、画一画，分一分的活动中，初步形成“组合”的概念，从而对“组合图形”的意义有了更深一层的理解。

新课程理念强调：人人在数学学习中有成功的体验，人人都能得到发展。数学知识、数学思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展。本节课的教学始终贯穿着学生的自主参与，我只是辅助学生参与到整个过程中，学生由探究到发现到总结，思维活跃，兴致勃勃。课堂成为师生、生生的互动过程，培养了学生自主探究、合作学习的能力，在数学知识技能的形成、情感态度的发展、思维能力的培养等方面均取得了较好的效果。

当然也还有很多细节的地方需要改进，比如教师语言的精练度，课堂教学时间的掌控、学生操作的方式，以及汇报的形式等等，这都有待于在今后的教学中进一步加以完善。

第四篇：钱穆文化哲学思想述评（范文）

钱穆文化哲学思想述评

摘要

钱穆先生是中国20 世纪著名的历史学家、哲学家、思想家、教育家, 是对中国传统文化深入研究又加以创造的国学大师。中国学术界尊其为“一代宗师”，更有学者谓其为中国最后一位士大夫、国学宗师。他一生写了1700多万字的史学和文化学著作，在国内外学术界有着很大的影响。

钱穆先生关于文化的定义，文化与文明的区别以及文化的特征都有着自己的看法，而钱穆先生关于文化发生论的自然环境决定论也十分合理。

钱穆先生一生都没有停止对中国文化进行阐扬。钱穆先生一生以教育为业，五代弟子，冠盖云集，余英时、严耕望等人皆出门下。

关键词：钱穆；文化；文化发生论；中国文化；文化哲学

1.钱穆 1.1钱穆简介

钱穆（1895年7月30日-1990年8月30日），字宾四，江苏无锡人，吴越国太祖武肃王钱缪之后。中国现代历史学家，国学大师，笔名公沙、梁隐、与忘、孤云，晚号素书老人、七房桥人，斋号素书堂、素书楼。

七岁入私塾，1912年辍学后自学，任教于家乡的中小学。1930年因发表《刘向歆父子年谱》成名，被顾颉刚推荐，聘为燕京大学国文讲师。后历任北京大学、北平师范大学、西南联大、齐鲁大学、华西大学、四川大学、云南大学、江南大学教授。钱穆居北平八年，授课于燕京大学、北京大学等名校。并在清华、北师大兼课，与学术界友人时相切磋。抗战军兴，辗转任教于西南联大、华西大学、齐鲁大学、四川大学、台湾大学等各大学。撰写《国史大纲》，采取绵延的观点了解历史之流，坚持国人必对国史具有温情和敬意，以激发对本国历史文化爱惜保护之热情与挚意，阐扬民族文化史观，被公推为中国通史最佳著作。1949年秋，出任香港亚洲文商学院（夜校）院长。1950年秋，在香港创办新亚书院，使流亡学生得以弦歌不辍。因办学有成，获香港政府尊崇，于1955年获香港大学名誉博士学位。1960年应邀讲学于美国耶鲁大学，学期结束，耶鲁大学特颁赠人文学名誉博士学位。1965年正式卸任新亚书院校长，应聘马来西亚大学，前往讲学。1967年10月，钱穆应蒋介石之邀，以归国学人的身份自港赴台。次年，迁入台北市士林区外双溪之素书楼，同年，膺选“中研院”院士。晚年专致于讲学与著述，虽目力日弱仍随时提出新观点，赖夫人诵读整理出版，谦称为《晚学盲言》。谢世后，家人将其骨灰散入茫茫太湖，以示归家。中国学术界尊其为“一代宗师”，更有学者谓其为中国最后一位士大夫、国学宗师。他一生写了1700多万字的史学和文化学著作，在国内外学术界有着很大的影响。钱穆先生一生以教育为业，五代弟子，冠盖云集，余英时、严耕望等人皆出门下。

被誉为“中国最后一位国学大师”的钱穆先生是中国现代学术史上少见的通儒,其一生著述宏富,总计80余部,1700万言。1918《论语文解》，1919《朱怀天先生纪念集》，1925《论语要略》(国学小丛书)，1926《孟子要略》，1930《墨子》(万有文库)，《王守仁》，《刘向歆父子年谱》，1931《国学概论》，《惠施公孙龙》，《周公》，1932《老子辨》，1935《先秦诸子系年》上下册，1937《中国近三百年学术史》，1940《国史大纲》，1942《文化与教育》，1943《中国文化史导论》，《清儒学案》（全稿成后，被国立编译馆遗失，幸留有序目），1945《政学私言》(人人文库)，1948《孟子研究》，1949《中国人之宗教社会及人生观》，1950《中国社会演变》，1951《中国知识分子》，《中国历史精神》，《庄子纂笺》，1952《文

化学大义》，《中国历代政治得失》，《中国思想史》，1953《国史新论》，《宋明理学概述》，《四书释义》，1954《黄帝》，1955《阳明学述要》，《中国思想通俗讲话》，《人生十论》，1957《秦汉史》，《王阳明先生传习录及大学问节本》，《庄老通辨》，1958《学龠》，《两汉经学今古文评议》，1960《湖上闲思录》，《民族与文化》，1961《中国历史研究法》，1962《史记地名考》，1963《孔子论语新编》，《中国文学讲演集》，《论语新解》，1968《中华文化十二讲》，《中国文化传统的潜力》，1969《中国文化丛谈》，1970《史学导言》，1971《中国文化精神》，《朱子新学案》，《朱子学提纲》，1973《中国史学名著》，1974《理学六家诗钞》，《孔子传》，《孔子与论语》，1975《孔子略传<论语>新编》，《八十忆双亲》，《中国学术通义》，1976《灵魂与心》，《中国学术思想史论丛》一至八册，1977《世界局势与中国文化》，1979《从中国历史来看中华民族性及中国文化》，《历史与文化论丛》，《人生三步骤》，1981《双溪独语》，《中国通史参考资料》，1982《古史地理论丛》，《中国文学论丛》，1983《八十忆双亲师友杂忆合刊》，《宋明理学三书随札》，1984 《现代中国学术论衡》，1987《晚学盲言》，1989《中国史学发微》，《新亚遗铎》，1998 台北联经出版事业公司出版的《钱宾四先生全集》全部完成，分甲编学术思想、乙编史学、丙编文化人生及其他杂著，共五十四册。

1.2近十年来钱穆思想研究现状

近年来关于钱穆思想研究的文章数量非常多。大致说来，因研究者切入问题的视野各自不同,可分为以下三类：其一，从研究钱穆的教育思想入手。邓子美、孙群安对于钱穆独特的传统与现代相结合的人文教育理念进行了详细的阐述，他们认为钱穆独特的与人生信仰相结合的教育理念，既是国学人文精神淋漓尽致的体现，也对当代中国教育如何寻回自己失落的精神家园具有启示。[1]谭徐峰就钱穆的教育思想与实践结合的结果作了探讨，他认为钱穆所提倡的乃是自由主义教育，重人格完善与德性修养，留意培养学人，昌明学术以传承中国文化、沟通世界文化为使命，可谓是具有民族精神与时代精神的内发的人文主义。[2]在钱穆看来，“一个人自小至老，时时在学，最快乐的就是学‘做人’，人生下来第一个职业，也是我们人最伟大、最高贵的知识和技能，就是那敬业乐群四个字。”[3]其二，从研究钱穆的哲学观念入手。徐国利针对钱穆的历史认知论和宇宙观进行了深入研究，他认为钱穆继承和发展了中国传统哲学的认识论思想，阐发了在人文界认识的体用不二性和人文性，即重经验、直觉和综括，寓价值观与仁慈心，这和自然科学认识方式是绝然不同的。[4]朱寰先生就钱穆的“天人合一”观念作了细致的探讨，他认为钱穆早年倾向于从人与自然、人与人关系的角度解读“天人合一”，将儒家精神理解为道德人文精神，体现出他作为史学家注重经验事实、轻视形而上学的特点，不过晚年钱穆对“天人合一”有了新认识，即从超越的、形而上的角度理解儒家精神，体现出浓厚的宗教内涵，这是他侧身新儒家之列的重要佐证。[5]廖建平对钱穆的人类生命观进行了分类探讨，其内容有三：一是探讨人类生命与自然的关系，认为人类生命是从宇宙大生命中分得的小生命；二是探讨个体生命与人类生命、他人生命的关系，认为人类生命寄托在个体生命中，要通过个体生命表现出来；三是认为精神属性是人类生命的最高属性。[6]钱穆曾云，“心生命必寄存于身生命，身生命投入于心生命，亦如大生命必寄存于小生命，而小生命亦必投入此大生命，中华四千年文化，是中国人一条心的大生命，而至今仍寄存表现在当前吾中国人每一人之心中，只有深浅多少之别而已。”[7] 其三，从研究钱穆的文化思想入手。郑大华对于抗战时钱穆的文化复兴思想作了详细的分析，他认为抗战时钱穆的文化复兴思想主要体现在三个方面：一是对历史虚无主义的批判，主张对中国历史文化要有“温情与敬意”；二是对中国文化与欧洲文化在政治、经济、人生观念和宗教等方面的不同进行了比较，并提出了自己独特的中国文化演进过程的四期说；三是对文化复兴之路的探索，主张以“儒家思想为中心”来接纳和吸收西方的科学。[8]赖功欧则对钱穆的“文化进化论”思想提出了自己的看法，他认为钱穆是一个真正的文化进化论者，由钱穆创发的三大范畴“人文演进”、“文化生命”、“协调动进”，构成了一个完整的有进化意义与现代价值取向的历史文化观，而且人文演进观还展显出钱穆作为文化进化论者所具有的超越的“世界史”眼光。[9]在钱穆看来，文化是可以进化的，只不过这种进化须奠基于“故常”之上，即“所变者我，能变者亦我，变而成者依然为我。总体而言，近些年有关钱穆学术思想的研究取得了很大的成就，在诸多领域有了新的进展，为学界进一步深入探讨和分析宏大庞杂的钱穆学术思想体系提供了可能。[10]

2.钱穆的文化观 2.1关于文化的内涵界定

钱穆先生关于文化的论著主要是《中国文化史导论》、《文化学大义》等。钱穆先生书中的文化主要指：文化只是人生，只是人类的生活，惟此所谓人生，并不指个人人生而言。每一个人的生活，也可以说是人生，却不可以说是文化。文化是指集体的大群的人类生活而言，在某一地区，某一集团，某一社会，或某一民族之集合的大群的人生，指其生活之各部门各方面综合的全体性而言，始得之曰文化。文化既是指的是人类生活之综合的全性而言，此必有一段相当时期之绵延性与持续性。因此文化不是一平面的，而是一立体的，即在一空间性的地域的集体人生上面，必加进一时间性的、历史的发展与演进。文化是指时空凝合的某一大群的生活之各部门各方面的整一全体。

2.2文化与文明

钱穆曾在《中国文化史导论》中提到：“文化可以产出文明来，文明却不一定能产出文化来。”钱穆说，“文化”和“文明”是两个相互联系的不同概念。不论是文化还是文明，都是指人类的群体生活。文明侧重于外，属物质方面。文化侧重于内，属精神方面。所以文明可以传播，可以接受，文化则必须产生于群体内部的精神积累。钱穆举例说，比如近代的工业机械，都是由欧美人发明的，这表现了近代欧美人的文明，也就是它的文化精神。但是，此等工业机械一经发明，便到处都可以使用。我们可以说欧美近代的工业文明已经传播到世界各地，或者说世界各地均已接受了欧美人的近代工业文明，却不能说欧美近代文化已在各地传播或接受。因为产生机械的是文化，应用机械而造成的人类生活的是文明。[11] 正如工业革命时期，蒸汽机被传播到各个国家，每个国家都在使用它，但是，它只是文明，并不可以称为文化。再比如，现在很多国家的人民开始学习中国儒家文化，如《论语》，这时就可以称之中国文化被其他国家所接受和学习。

2.3文化的特征

在界定文化的基础上，钱穆阐释了文化的一般特征。第一：复杂性。文化有许多错综复杂的枝枝节节，但研究文化又不能单独着眼在枝节上，应该放宽胸怀，通视其大体，这是与文化的第二个特征紧密相连的。第二：完整性。文化具有复杂性，但复杂的文化是一个整体，其内在要素彼此相连，息息相关。钱穆举例说，这就好像砌七巧板，板片并不多，但一片移动，片片都得移，否则搭不成样子。中西文化各有体系，举大端而言，从物质生活起，如衣、食、住、行,到集体生活，如社会、政治组织，以及内心生活，如文学、艺术、宗教信仰、哲学思维⋯

⋯相互间都是息息相通，迁一发而动全身，一部门变异，其他部门亦必变异。第三：发展性。文化就像生命一样，它会不断地向前发展，处在一种永恒的动态之中。按照钱穆的话说：“文化与历史之特征，曰‘连绵’，曰‘持续’。惟其连绵与持续，故以形成个性而见为不可移易。惟其有个性而不可移易，故亦谓之有生命、有精神。”[12]

2.4文化发生论：自然环境决定论

钱穆说:“一民族文化与历史之生命与精神，皆由其民族所处特殊之环境、所遇特殊之问题、所用特殊之努力、所得特殊之成绩，而成一种特殊之机构。”“各地文化精神之不同，穷其根源，最先还是由于自然环境有分别，而影响其生活方式。再由生活方式影响到文化精神。”钱穆展开论证说，人类文化从源头上看，不外乎三种类型：一是游牧文化，二是农耕文化，三是商业文化。游牧文化发源于高寒的草原地带，农耕文化发源于河流灌溉的平原，商业文化发源于滨海地带以及近海之岛屿。三种自然环境，决定了三种生活方式，三种生活方式，形成了三种文化类型。这三种文化类型，又可概括为两类，游牧、商业文化为一类，农耕文化为另一类。

中国是典型的农耕社会，因此，中国文化也必然是典型的农耕文化。农耕社会的最大特点就是自给自足，这也就决定了农耕文化的特点——自足的、独立的。钱穆说：“中国因其环境关系，他的文化，自始即走上独立发展的路径。”一般来讲，中国文化发生在黄河流域。其实黄河本身并不适于灌溉与交通。中国文化的发生，精确地说，并不依藉于黄河本身，它所依凭的是黄河的各条支流。“每一支流之两岸和其流进黄河时两水相交的那一个角里，却是古代中国文化之摇篮。⋯⋯唐、虞文化是发生在现在山西省之西南部，黄河大曲的东岸及北岸，汾水两岸及其流入黄河的桠杈地带。夏文化则发生在现在河南省之西部，黄河大曲之南岸，伊水、洛河两岸，及其流入黄河的桠杈地带。周文化则发生在陕西省之东部，黄河大曲之西岸，渭水两岸，及其流入黄河的桠杈地带。⋯⋯在今安阳县(旧彰德府)附近，便有漳水、洹水流入黄河，这里是古代殷、商氏族的政府所在地。”[11]综上所述，中国古代的农业文化，是先发展在诸多小水系上，然后渐渐扩大蔓延，最终弥漫于整个大水系。因此，他具备农耕文化的特征——自足、独立。

还有另一个例子可以充分证明钱穆先生自然环境决定论的文化发生论，那就是西方哲学的始祖泰勒斯，他曾提出水是世界的本原。不可否认，泰勒斯之所以可以提出这个命题，很大的一部分原因就是他居住在沿海地区。

因此，我认为，对于文化发生论，虽然不可以说只由自然环境所决定，但是，自然环境一定是文化发生的一大重要原因。

2.5钱穆与中国文化

钱穆一生都在阐扬中国文化，正如他在告别他七十五年教书生涯的最后一次课上，仍然殷切地嘱托听众:“你是中国人，不要忘了中国，不要一笔抹杀自己的文化，做人要从历史里探求本源，在大时代的变化里肩负维护历史文化的责任。”[13]

中华民族的历史文化是一大生命；中国文化以儒学为主脉为中心；中国文化与儒学以心性论为中心，并由此心性论的阐发，抉显而展现出其哲学思想的重大观念；本中国文化之根据开现代化，这是钱穆阐扬中国文化的四大基本观念。这四大观念，表现出他中国文化观的自信、开放、超越、内省的心态与精神。[14]

钱穆在解释他的文化感情与文化自信时曾说：“我认为中国不仅不会亡，甚至我坚信我们的民族，还有其更是伟大光明的前途。证据何在呢？我敢说，我这一个判断，固然是挟着爱国家爱民族的情感的成份，然而并不是纯情感的，乃是经过我长时期的理智检讨，而确实有其客观的证据。”

2.6钱穆的文化哲学

在钱穆的思想世界里，文化即是历史，文化即是人生，研究文化则是一种哲学。[15]20世纪以来，国内学者对文化哲学的理解有三种不同的向度。一种理解为文化的向度，即从文化向哲学靠拢，不断走向深层，目的在于寻求文化的元理论，最终走向了文化哲学；一种理解为哲学的向度，即哲学向文化接轨，把文化纳入哲学思考的框架；还有一种综合、调和的向度。[16]作为史学家和哲学家的钱穆始终坚持以历史和哲学的眼光来研究文化，强调研究文化必须有哲学智慧。文化本身是一部历史，但研究文化则是一种哲学。我认为钱穆先生的这种观点值得所有人学习，只有用历史和哲学的眼光来看文化，才能充分地学习文化，研究文化，发展文化。

在《中国文化史导论》中，钱穆把人文科学的基础称之为文化哲学。钱穆认为，中西文化的差异就在于中国人和西方人对外界的兴趣不同，西方人似乎偏爱于以数学和几何为基础的自然科学，所以西方寻求向外扩张，自然科学突飞猛进；中国人更偏爱在人文科学的圈子里用心，所以注重人生实际经验之总结与会通，主张向内充实，寻求人与自然的适应与协调。在钱穆看来，这种文化心理和文化精神的差异，乃由人类对于天地间种种智识之一个长序列之某一端即自然科学之基本数学与几何，至此序列之别一端即人文科学之文化哲学，之相差而形成。[17]

钱穆还详尽地阐述了研究文化的其他方法和态度：

一、应根据历史真情。

二、求其异，不重在指其同。

三、自大处看，不专从小处看。

四、从汇通处看，不专从分别处看。

五、看得远，不可专从一横切面只看眼前。

六、不可专寻短处，应

多从长处着眼。[15]钱穆先生的这六大方法也对研究文化有着重要的指导意义，第一点和钱穆先生用历史的眼光研究文化相呼应。第二点强调找到不同的地方，这重在找到每个研究对象的特殊之处，这才是对研究最有意义的部分。第三点强调了统览全局，要从整体出发，抓住主要方面。第五点注重长远发展，并不拘于眼前的东西。最后一点大概是很多人都忽略的一点，很多人只喜欢找到缺点，并不注意找到有点，长处。在研究文化时，一定要参考钱穆先生的这几点方法，对研究文化一定有很大帮助。

钱穆称：文化乃群体大生命，与个己小生命不同。中国古人谓之‘人文化成’，今则称之曰文化。此皆一大生命之表现，非拘限于物质条件者之所能知。[18] “只有有目的有意义的人生，我们将称之为人文的人生，或文化的人生，以示别于自然的人生，即只以求生为唯一目的之人生。”[19]关于文化结构，钱穆依据人生的三类,划分了文化的三层次。钱穆认为，文化既是人类生活的整体，我们要开始研究文化，必须先将这个复杂多样的整体进行分析解剖。分析解剖的方法，有两大步骤：第一，是把此多方面的人生试先加以分类；第二，是把此长时期的人生试先加以分段。前者是对人类文化一种横剖面的研究，也可说是平面的研究。后者是对人类文化一种纵割性的研究，亦可说是直线的研究。但人类文化又是时空交融的一个整体，因此我们的分类分段，横剖纵割，又须能使两者紧密配合，以达到较为自然的效果。根据以上原则，钱穆把文化划分为三个层次：第一是物质的，亦可说是自然的人生，或经济的人生。此是人类生活最先必经的一个阶段，我们可称之为文化的第一阶层。其次是社会的人生，或称政治的人生、集团的人生。这是第二阶段的人生，我们称之为文化的第二阶层。最后才到达人生的第三阶层，我们称之为精神的人生，或说是心灵的人生，这是一种无形累积的人生，是一种历史性的、超时代性的哲学化的人生。[20]

3.总结与评价

社会各界人士对钱穆先生的评价不一。顾颉刚说：“钱宾四先生，在北大任历史讲席已越10年，学识淹博，议论宏通，极得学生欢迎。其著作亦均缜密谨严，蜚声学圃，实为今日国史界之第一人，刚敬之重之。”林语堂说：“钱先生学问精纯，思想疏通知远，文理密察，以细针密缕的功夫，作为平正笃实的文章。” 唐君毅说：“钱先生自幼以中国读书人之本色，独立苦学，外绝声华，内无假借，30年来，学问局面一步开展一步，而一直与中国甲午战败以来之时代忧患共终始。”牟宗三说：“钱先生在北大，课讲得很精彩，学生们都很欢迎他。讲秦汉史以钱宾四先生为最好，研究秦汉史莫不以钱先生为宗师。”杨联升说：“钱先生的中国学术思想史研究博大精深，并世无人能出其右。”严耕望：“近六十年来，中国史坛甚为兴盛，名家大师辈出。论根底深厚，著作宏富，不只先生一人；但先生才气磅礴，识力深透，文笔劲悍，几无可伦比。”余英时说：“钱先生是开放型的现代学人，承认史学的多元性；但同时又择善固执，坚持自己的路向。他毕生以抉发中国历史和文化的主要精神及其现代意义为治学的宗主，生平著述之富及所涉方面之广，近世罕见其匹。”美国耶鲁大学校长在授予钱穆以人文学名誉博士学位时，称赞钱穆是一个古老文化的代表者和监护人，把东方和智慧带出了樊笼。

毫无疑问，钱穆先生被称为“一代宗师”是当之无愧的，他一生都在为中国文化奉献，都在为阐扬中国文化而奋斗。

钱穆先生的80余部著作,1700万言，是留给我们的巨大财富。钱穆先生的每一个观点都值得我们研究。

参考文献

[1]邓子美,孙群安.论钱穆独特的人文教育理念[J].无锡教育学报,2005,25(3):11-14,32.[2]谭徐峰.钱穆人性化教育思想与实践[J].人文杂志,2002,(6).[3]钱穆.为学与做人[A].新亚遗铎[M].北京:三联书店,2004.[4]徐国利.钱穆的人文历史认识思想述论[J].求是学刊,2002,29(1):110-115.[5]朱寰.钱穆天人观的转变[J].青岛大学师范学院学报,2004,21(1):12-16.[6]廖建平.钱穆的人类生命观及其意义[J].江汉论坛,2003,(11):66-68.[7]钱穆.生命的认识[A].钱穆.灵魂与心[M].台北:联纪出版事业公司,1976.[8]郑大华.抗战时期钱穆的文化复兴思想及其评价[J].齐鲁学刊,2006,(2):26-31.[9]赖功欧.作为文化进化论者的钱穆———“人文演进”观绎论[J].江西社会科学，2006，(2):118-126.[10]梁民愫,戴睛.近二十年中国大陆学界关于钱穆学术思想研究的新取向[J].上饶师范学院学报，2009,29（4）.[11]钱穆.中国文化史导论[M].北京:商务印书馆,1994.[12]钱穆.国史大纲[M].北京:商务印书馆,1994.[13]罗义俊.钱宾四先生传略[A].无锡县政协.钱穆纪念文集[C].上海:上海人民出社,1992.[14]罗义俊.论钱穆与中国文化[A].[15]钱穆.中国历史研究法[M].北京:三联书店,2001.[16]朱人求.近期国内文化哲学研究综述[J].学术界,2001(3).[17]钱穆.中国文化史导论[M].北京:商务印书馆,1994.[18]钱穆.晚学盲言:上[M].桂林:广西师范大学出版社,2004.[19]钱穆.人生十论[M].桂林:广西师范大学出版社,2004.[20]钱穆.文化学大义[A].钱宾四先生全集:第37册[C].台北:联经出版事业公司,1998.

第五篇：数学弦教学设计案例1

数学教学设计案例

课题名称：余弦定理 教学年级：高一年级（下）

（一）教学内容分析 1．教学主要内容

本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。余弦定理是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。2．我的思考

《余弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力(培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用问题开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。

为此我们根据“问题教学”模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为主线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。

（二）教学目的

1．掌握余弦定理及其证明方法．体会向量的工具性.2．通过对余弦定理的研究和初步应用,培养观察发现、合作交流能力和探索精神.（三）教学重难点

教学重点：余弦定理及其应用 教学难点：证明余弦定理

（四）教学过程

一、复习

提问1：上节课，我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角.三角形中还有怎样的问题没有解决？

已知两边和夹角；已知三边.首先分析最特殊的三角形——直角..已知两边a,b及夹角C90，能否求第三边？

勾股定理c2a2b2

二、引入

提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？ 在△ABC中，当C90时，有c2a2b2．

实验：若a,b边的长短不变，C的大小变化,c2与a2b2有怎样的大小关系呢？

三、定理证明

探求c2与a2b2及∠C的大小关系.提问3：如何利用向量解决：（1）探求c2与a2b2及∠C的大小关系.边a,b与∠C有怎样的位置关系？（2）边c的所在直线向量怎样用a,b所在直线向量表示出来？

如图，向量的点乘公式：CBCAabcosC（引导学生选择合适的向量方向）

向量的减法法则：ABCBCA.2222cAB(CBCA)CB2CBCACA2ab2abcosC.22

c2a2b22abcosC.同理可得

a2b2c22bccosA.b2c2a22accosB.图4 这就是余弦定理.它在实际测量中有很好的作用.16世纪，法国数学家韦达利用三角法证明余弦定理.一些教材还介绍了利用解析法证明.事实上还可以利用几何法证明.对勾股定理的证明目前有40多种，而对余弦定理的证明方法却不多见，这正我们同学积极思考和创造的机会.留给同学课后研究.四、定理研究

提问4：余弦定理中有什么特点、规律？蕴藏什么秘密？等待着我们探索发现，分4人一小组合作完成.小组代表发言，一组一条不重复.学生对定理的研究： 表示关系：1．边角关系

2．三边和一角

文字表述：3．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式作用：4．已知两边和它们的夹角的大小，可求第三边的大小；

5．已知三边，求三个角.基本练习：（1）a2,b3,C60，求c.定理推广：6．勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.当c90时，c2a2b2.定理推广：7．直角三角形中的锐角三角比是余弦定理的特例

b2c2a22b2b 当c90时，cab，cosA2bc2bcc定理联系：8．若①+②得：cbcosAacosB.这是三角形中的射影定理.222判断三角形的形状：

9．判断钝角三角形的充要条件：有一边的平方大于另两边的平方和.10．判断锐角三角形的充要条件：任意两边的平方和大于第三边的平方.„„

五、定理应用

例1．（课本p33例题）在ABC中，已知a2.730,b3.696,C8228,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到1）

提问5：已知什么条件，求什么，先求什么，再求什么.（1）已知两边及夹角，先求第三边；（2）通过三边，求角A；（3）求角B180AC.六、小结

提问6：这节课我们学习了什么知识、它有什么作用、利用了什么数学思想或方法.（1）本节课我们研究余弦定理.它有两种表现形式，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．

（2）余弦定理的作用通过它的两种形式直接表现：已知两边及夹角求第三边；已知三边求三内角．它和正弦一起解决了解三角形中各类问题.（3）本节课我们利用向量法证明定理，体现向量法的灵活运用.七、作业

基础性巩固练习1．课本p133, 3.4.2．在△ABC中，已知下列条件,求解三角形（1）a1,b32,C150．（2）b42,a5,A45．（3）a16,c19,C120.独立性探求问题

3．写出三角形为锐角三角形的一个充要条件.合作性研究问题

研究利用几何法、三角法、解析法或创造新的方法证明余弦定理.教学课后反思与总结

在下面几个方面很好地完成教学任务和实现教学目标：

1．课题引入：研究一般三角形的一类问题，目标明确.由特殊的直角三角形开始研究，探讨斜三角形中一边的平方和另两边平方和及夹角的关系.展现知识发生和发展过程.2．定理证明：利用向量证明定理，条理清晰、思路轻松自然.3．定理研究：创造学生自主探究的氛围，让学生（细心）观察、（小组）讨论、（交流）合作、（代表）报告.充分调动学习的积极性，促进不同层次的学生合作交流.4．思想总结：本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。创设数学情境是“问题教学”模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。这种教学模式主张以问题为“主线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。