平面解析几何

第一篇：平面解析几何

 《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的学习心得体会

本人学习了《“平面解析几何”复习教学的目标与设计》的视频，感触很深。授课老师能深入浅出的分析函数与导数高三复习的方法及注意点，并对相关知识的专题内容进行分析，并对体系进行很好整理。在培养学生函数意识、掌握函数的思维方法、学会运用函数思想解决问题方面提出见解。对函数与导数专题蕴含的核心观点、思想和方法进行剖析。通过学习，我认为在今后的数学教学中，要努力做好如下几方面的工作。

 

一、《解析几何》的教育价值

随着时代的发展，人们对数学和数学教育本质的认识在不断地发展、变化与更新，数学已经从单纯的工具演变提升为所有公民所必备的一种精神、一种文化、一种观念、一种思维方式，因此数学教育纯粹向学生传授知识和解题方法的单一化目标正在被包含“文理融合，德智兼顾，完善人格，提高素养”在内的多元化、立体化目标所取代.《解析几何》正是在这些方面显示出非凡的教育价值. 美国应用数学家M·克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出：“数学是一种精神，一种理性的精神.正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.”

 《普通高中数学课程标准(实验)》[1]在开头也明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分”，“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用.”

 提到数学的理性精神，不能不说说爱因斯坦震撼人心的论述：“为什么数学比其它一切科学更受到特殊的重视？一个理由是，它的命题是绝对可靠和无可争议的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中.”《解析几何》的所有命题就具有“连上帝”都认为“绝对可靠”与“无可争议”的理性特征. 世界文明全方位的进步越来越离不开数学理论、数学技术与数学思维.不仅自然科学与技术依靠着数学，就是社会人文科学也大量应用着数学的理念、方法与思维方式.正如日本著名学者、数学教育家米山国藏所说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，通常是出校门不到

一、两年就很快忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于脑中的数学精神，数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们终生受益.”精辟深邃的见解在《解析几何》中得到淋漓尽致的体现. 文[2]说：“数学在人类文明史中一直是一种主要的文化力量.„人类历史上每一个重大事件的背后都有数学的身影：哥白尼的日心说，牛顿的万有引力定律，无线电波的发现，三权分立的政治结构，„等都与数学思想有密切的联系.”  十六、七世纪，许多数学家在思考，能否找到一种可以解决所有数学问题的统一方法.虽然许多数学家没有获得成功，但在长期思索、探寻的过程中孕育着一项超越前人的，数学发展史，乃至科学发展史上划时代、里程碑式的伟大成果，这就是法国数学家笛卡儿创立的《解析几何》. 笛卡儿长期思考用代数方法来研究几何问题.1619年11月10日傍晚，他在朦胧中观察蜘蛛在墙角结网，那纵横交错的蛛丝网络引发了他的灵感，那不正是“用代数方法来研究几何问题”的绝佳工具吗？基于此种构想，平面直角坐标系以及解决几何图形问题的坐标法、解析法应运而生，“数”和“形”神奇地结合了起来，函数、方程实现了视觉化、形象化；曲线与几何图形实现了数量化.点、线和曲线的运动与数量变化融为一体，并达到完美的境界，“动”与“静”的辨证关系被刻画得惟妙惟肖.对此，恩格斯给予了极高的评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分立刻成为必要的了.”[3]

 有了平面直角坐标系，在函数的研究中可充分发挥其图像的优势，在方程的研究中又可发挥对应图形的优势，真是数形结合，优势互补，如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐标系，可以将复数a+bi(a，b∈R)表示在平面内，构建出复平面，使复数的研究逐步提升能到一个前所未有的高度.有了平面直角坐标系，随着函数研究的逐步深入，发明了导数，于是推动现代化科学技术发展的微、积分诞生了.有了平面直角坐标系，人们又将平面向量表示成坐标(x，y)，那么平面向量的所有运算都可以实现坐标化，使有关问题的解决变得更加简捷流畅，这是向量研究的重大突破.平面直角坐标系又发展到空间直角坐标系，于是诞生了空间向量、空间解析几何.完全可以说，对大到宇宙天体中各种星球的运行，小到物质的分子原子的结构以及电子运动的研究，都可以归结为对函数及其图像、曲线及其方程的研究，都是以坐标系为重要工具，都与《解析几何》结下了不解之缘.下面的框图以浓缩的方式揭示的就是源于坐标系而发展成的“一棵参天大树”.   

 进入高中的学生，随着知识、技能、思想和阅历的逐渐丰富，思维水平的长足提升，审美意识的开始树立，辨证唯物主义世界观的逐步形成，将实现从幼稚蒙昧的少年“破茧化蛹成蝶”的巨变，在学生整个人生发展的这个非常关键的时期，《解析几何》的教学正是促进学生这种巨变的重要推动力. 数学思维是人的综合素质中最重要的组成部分，广阔性、深刻性、敏捷性、缜密性、创造性、批判性等数学思维的各种特性在《解析几何》中都有极为丰富的背景内容.从《解析几何》中提炼出的各种数学思想可在极大的程度上丰富学生的大脑.从《解析几何》中反映出的数学美是随处可见的，问题是要能去发现、揭示和欣赏，并用这种美激发兴趣，引发思维的创造.数学中充满辨证法，对立统一的法则、矛盾的普遍性与特殊性、偶然性与必然性、矛盾双方在一定条件可以互相转化、量变到质变等哲学基本原理，在《解析几何》中都可以找到大量生动鲜活的实例.教师高瞻远瞩、纵横捭阖，巧妙地将这些内容编织进课堂教学之中，学生在感到赏心悦目、情趣盎然的同时，更会觉得自己的“思维得以运用到最完善的程度”，这是思维与各种能力趋于成熟的标志. 

二、《解析几何》的教学建议

对《解析几何》教育、教学价值的深刻理解，可使教师形成一种高屋建瓴的磅礴气势，能高瞻远瞩地洞悉整个教材的体系，以便将《解析几何》当作一部“长篇巨著”，然后再将它创编为一集集既相互独立，又有内在联系的“电视连续剧”，设计并实施科学性与艺术性双具的一节节教学精品，以取得最大限度的教育、教学效益.为此，提出《解析几何》教学的一些建议.  1 突出主线 副线交叉 和谐统一

《解析几何》的灵魂是“解析”，即用代数方法研究几何图形的坐标法，这是贯穿于《解析几何》教学的一条主线.但这条主线又与多条副线交叉组合，构成了和谐统一的有机系统.(1)认识并处理好函数及其图像与曲线及其方程的联系与区别.虽然这两者都是以坐标系为纽带，但函数y=f(x)与二元方程F(x，y)=0有着本质的区别.直线x=a与函数y=f(x)的图像最多只能有一个公共点，而直线x=a与方程F(x，y)=0的曲线的公共点却可以超过一个.在一定条件下，曲线方程可以转化为函数.如由方程x2+y2=R2可解得，但这却不能称为函数，只有

与

 才能称为函数.在这里，函数与方程、函数的图像与方程的曲线实现了沟通.在解决有关弦长、图形的面积、直线的斜率、离心率的问题中，常转化为对目标函数的求解与研究.可见函数与《解析几何》结下了不解之缘，函数堪称《解析几何》中的一号副线.(2)一般方程堪称《解析几何》中的二号副线.在研究曲线位置关系的问题中，常转化为对一元二次方程的讨论，判别式△的几种情况、根与系数的关系就成了解决《解析几何》中的“常客”.(3)不等式堪称《解析几何》中的三号副线.不等式的性质、不等式的求解、不等式的证明、均值不等式的应用与《解析几何》的综合问题常处于各级各类考试试卷的把关位置.(4)三角函数堪称《解析几何》中的四号副线.直线倾斜角、直线方程中x、y的系数中常含三角函数、圆的方程x2+y2=R2与椭圆方程 

a＞b＞0)的参数形式 等

都与三角函数有着密切的亲缘关系.(5)平几知识的频繁介入.求动点的轨迹、解决有关图形的问题，常与平几图形联袂，“小小的”平几知识常成为解决大问题的杠杆.直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、线段的中点常在《解析几何》问题中扮演着重要“角色”.(6)《解析几何》的问题常与平面向量的运算、平行、垂直、夹角等携手组成绚丽多姿的综合题.(7)《立体几何》与《解析几何》的综合.近年来发现一些与《立体几何》有关的轨迹问题，是“立体”与“解析”两大几何的联手，值得关注.在高中数学的选修部分，更进一步揭示了圆锥曲线与圆锥的渊源关系，是拓宽学生数学视野、丰富数学手段、发展思维的良机.

 (8)数列知识的介入.虽然这类问题不是太多，但也应值得重视.2 重研究对象，更重数学方法

 从对象看，《解析几何》研究的无非是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，但在研究它们的各种性质与解决有关问题的过程更要重

     视数学方法的构建与应用.最重要的、处于核心位置的 数学方法当属坐标法，如右面的 框图所示.以直角坐标系为工具，实现几何条件的代数化，得到曲线(动点的轨迹)的方程，又在直角坐标系中结合方程研究曲线的性质，深入理解这个方法的精髓，所有研究对象的性质将成为显然的几何事实，记忆、掌握与运用就变得十分自然、顺畅. 以坐标法为枢纽，还要辅以若干重要的支线，总结一些另外的典型方法也是十分必要的.(1)设直线l：y=kx+b与曲线 C：F(x，y)=0，常消去y，得到一个关于x的一元二次方程，那么研究直线l与曲线C的位置关系就转化为对这个方程的解的研究.当△＞0时，直线l与曲线C有不同的两个交点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|=

.特别地，当k=1时，|AB|=， =图形中出现了等腰直角三角形. 这就是著名的弦长公式，给长度、面积、最值，特别是求范围等问题的解决提供了方便.但思维不可僵化，有时直线l的方程也可设为x=my+a，则可巧妙地避免对直线的斜率是否存在的繁琐讨论，当然这时的弦长公式就变为|AB|=

.

 类似的结论固然须牢固掌握，但更重要的是要带领学生一起来追寻它们形成的“历史足迹”，重视与突出其推导过程.(2)增强应用圆锥曲线定义的意识.现以椭圆为例.在坐标系xOy中，设定点F1(-c，0)、F2(c，0)，若动点M(x，y)满足|MF|+|MF|=2a(a＞c＞0)①  

 经代数化，得 ②

 则可化得椭圆的标准方程.  椭圆的标准方程又可变形为在将②式化为标准方程的过程中，有一个过度式

③，

  进而可化为 ④

结合图1，那么①②两式以不同的形式展示了椭圆的第一定义，④  式展示的是椭圆的第二定义，③式即，展示的是椭圆

 的另一定义，不妨称之为椭圆的第三定义.由④式还可得|MF2|=a-ex，其中

 的就是椭圆的离心率.这样就将椭圆的三个定义与椭圆的准线、离心

 率、椭圆的焦半径公式融为一体，组成一个完整的知识体系.不过，在③式中，由于x≠±a，所以必须增补点(a，0)与(-a，0)，才能得到一个完整的椭圆.(3)“将几何条件代数化”当然是求动点轨迹的最重要的基本方法，但此外还要总结另外一些典型的方法，如定义法、参数法、反代法.现仅以反代法为例，阐述其基本形式. 设已知曲线C：F(x，y)=0上的一动点P(x0，y0)，Q(x，y)是与P相关的动点，则求点Q的轨迹方程按以下步骤进行：

 1o正代：由已知得F(x0，y0)=0 ①

o

求相关

条件方程组：由P与Q的相关条件得





 3o求反代式：由上述方程组解得用x、y表示x0、y0的反代式 

 4o反代置换：将反代式代入①式，即得Q点的轨迹方程F(h1(x，y)，s1(x，y))=0.(4)曲线的切线越来越受到重视.圆的切线自不必说，其他曲线的切线，一方面可用上面(1)所说的△=0来解决，但更值得关注的是有关抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的切线的问题，常用导数方法来解决.(5)一个典型奇特的方法，即同构式的应用.限于篇幅，这里仅举一例. A、B是抛物线y=x2的上的两个动的动点，O是原点，若OA⊥OB，过O作OH⊥AB于H，求H点的轨迹方程.     设A(t1，)、B(t2，)，由OA⊥OB易得t1t2=-1 ①

.②

③ 以OA为直径的圆的方程是化为

同理，由以OB为直径的圆的方程，得②③两式中，只是t的下标数字不同，其余的结构完全相同，两式一“碰撞”，下标消失，得

 

④

则t1、t2是关于t的方程④的两根，所以t1t2=-(x2+y2)，结合①式，立即得x2+y2=1(x≠0).这就是欲求的H点的轨迹方程.②③两式叫做同构式，从初中到高中，无数问题的解答都可以仰仗同构式的奇特功能.这里展示的是同构式的最单纯的形式，当然还有许多变化，但再复杂的相关问题其基本原理与之是一致的. 

  3 体现学生的“四个主体”

“四个主体”指的是树立学生的主体精神，强化学生的主体意识，确立学生的主体地位，发挥学生的主体作用.弘扬学生的“四个主体”，但决不意味着削弱教师的主导作用，反而对教师的主导作用提出了更高层次的要求.仅举一个课例：《直线的倾斜角和斜率》. 在讲授选择倾斜角的什么三角函数值为直线的斜率时，学生会质疑，为什么不选正弦或余弦，而偏要选正切？教师不可用“这是规定”来搪塞，而要发动学生进行深入的讨论、争辩，教师以平等的身份参与其中，用诙谐幽默的语言进行点拨、启发、诱导和评析. 直线倾斜角的取值范围是，现在分别画出y=sinx、y=cosx、y=tanx在区间上的图像(如图2、3、4)，让它们来个“公开、公平、公正、透明的竞聘”，看到底哪个函数能“胜出”.  y=sinx在区间上的值都是非负的，且对于不同的角，可能有相同的函数值，它失去了“当选”的资格；y=cosx在区间上的值域为-1，1]，且=0，而当倾斜角为时，直线垂直于x轴，此时说“直线的斜率为0”，不合情理，它也不具备“胜出”的条件；可是y=tan在与上分别是增函数，对应于直线斜率从负无穷逐渐增大到0；从0逐渐增大到正无穷，而当垂直于x轴，tan情合理地认定tan 

时，直线

不存在，即直线的斜率不存在，直线就一点也不倾斜了，多么自为直线的斜率.然与和谐！学生哈哈大笑，在笑声中领悟了多方面知识的实质，并达成了共识，合4 优化思维品质是教学的核心内容

数学是思维的科学，数学教学的根本任务就是优化学生的思维品质，所有知识、技能、思想的理解、接受、掌握与运用都有着思维活动的深刻与丰富的背景，所以在《解析几何》教学的始终都要将这个重要目标放在首位. 前文中的所有框图虽然不必向学生讲述，但只有当教师深刻理解后才能做到“底气足”、理直气壮.选择倾斜角的正切函数作为直线的斜率涉及覆盖了众多的知识与技能.体现的是思维广阔性. 关于椭圆的三个定义的讨论，将原本似乎彼此无关的内容纳入到一个体系之中，反映的是思维的深刻性.在不同的问情境中迅速识别、判断与检索，如应用反代法、同构式，是思维敏捷性的体现.在求动点轨迹方程时，需要去掉那些点，补上哪些点，以保证轨迹与方程的完备性与纯粹性，反映的是思维的缜密性.直线方程设为x=my+a、由方程②③判断t1、t2是关于t的方程④的两根，不拘一格、别出心裁，显示的是思维的创造性.检验轨迹和方程是否保证完备性与纯粹性、抛物线等圆锥曲线的定义中的“定点”必须在“定直线外”、椭圆定义中的“定长”必须“大于|F1F1|”等，显示的都是思维的批判性.







  5 用数学的人文精神关怀学生的人文发展

数学虽然是理科，但其中饱含的人文精神对于学生综合素养的提高起着举足轻重的作用.关键是要做到有机结合、潜移默化、润物无声.前文谈到笛卡儿创立了《解析几何》，竟将时间精确到年、月、日与“傍晚”时刻，使这个故事更具震撼力与穿透力.教师还可“借题发挥”：笛卡儿的创造看似偶然， 但必然性包含在偶然性之中，偶然的创造发明是长期殚精竭虑、思索探寻的必然结果.请问笛卡儿是在多大岁数时作出了这项创造？学生会回应：23岁！那么“有志不在年高，无志空长百岁”的箴言则跃然纸上. 恩格斯说：“数学中充满辨证法.”又说：“数学：辨证的辅助工具和表现形式.”[4]，所以文[1]规定了高中数学教育的一项重要目标，那就是树立学生的“辩证唯物主义的世界观.”

 “学生听不懂所讲解的辩证法”，这种担心是多余的，只要你理解透彻了，结合具体鲜活形象的事例，运用通俗浅显的语言，学生是能领会的.如直线l：y=kx+b，若k是变量，b是常量，则直线l就在平面内围绕点(0，1)作旋转运动；若b是变量，k是常量，则直线l就在平面内作斜率为定值的平行移动.这种“动中寓静，变中求定”的特征就是对立统一法则的生动体现. 再如“量变到质变”的基本原理，在《解析几何》中可找到无数生动的事例.点与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、曲线与曲

  线的位置关系，都能深入浅出地揭示这一原理.再如图5，设平面内的一 条定直线l以及l外的一个定点F，平面内的动点P、Q、R到直线l的距

 离分别为PN、QN、RN，若，则P点的轨迹是椭圆；若1，  则Q点的轨迹是抛物线；若，则R点的轨迹是双曲线.量的不断

积累，超越一定的界值，就会发生质的变化，或说飞跃，浅显之中反映的是深刻的道理，且能引发诸多联想.另外，数学美对于情操的熏陶、数学美对于创造思维的诱发、优良的意志品质在解决问题过程的巨大作用、对科学真理不懈的追求与舍命的坚持、为全球人类造福的献身精神，都可以巧妙地融入《解析几何》的教学之中.

 行文至此，深深地感到，通过《解析几何》的教学，可实现师生的互惠双赢。

第二篇：有关平面解析几何的心得体会（xiexiebang推荐）

心得体会 有关平面解析几何

上周六有幸听张老师老师的课，感悟颇深。虽然自己一直研究的是数学，但并没有真正思考如何在教学中灌输给学生数学思维。同时也发现自己的知识处于一种混乱的状态，虽然每次都能把题解出来，但仔细一想其实不然。当自己不是一个学生，而是教学生如何学习数学，如何解决一道数学题甚至是一道高考题的时候，自己更应深入思考数学带给我们什么，难道仅仅是解对一道题而已吗？数学到底是什么？当意识到这个问题后，再次面对数学题的时候，我们更应该关注的是题目背后的内容，当某天不在为了解决一道数学题的时候，我们收获了什么？

在自己之前的教学中学生不乏出现这样的情况：哎呀，这道题昨天还会解呢，今天就忘了；这个知识点怎么不记得了......，而且有时自己碰到一时想不起如何解题的时候，也会这么问自己，听了张鹤老师的课后，顿然大悟—数学不应该是用记得，是需要理解的，不存在忘与不忘的问题，只有理解与不理解的问题。当一个知识点彻底的搞明白原理和涉及到的数学思维时，无论碰到什么样的变式题，都应该做到万变不离其宗的境界，当然了，这个境界对学生来讲是很高的。目标很高，难道我们就不去做了吗？不然，学生的学习和思维过程是一个循序渐进的过程，在教学过程中，我们应该不断的灌输给学生的是数学思想和思维，让学生明白的不仅仅是这个知识点可以解决什么类型的题，而且更应该明白的是这个知识点为什么这样呈现，它所呈现的思维特点和方法是什么。

拿平面解析几何来说，它的基本思想是用代数方法解决几何问题。何为代数方法？就是将如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等这些基本的几何对象代数化，在平面直角坐标系中建立它们的方程，从几何特征转化到代数计算。在这个基本思想指导下，学生学完平面解析几何后，遇到题目，脑子里第一闪过的不应该是联立方程，解方程这种机械的解决方法，而应该是归纳概括出要解决的几何对象的几何特征，从几何背景、几何图形的特征入手，然后在考虑下一步。回到实际情况中，要想让学生熟练的归纳出要解决几何对象的几何特征，不像说这句话这么容易。在实际教学中，常常会出现这样的情况：学生知道要这么做，要这么思维，在草稿纸上罗列了一堆几何特征，可就是想不出解决问题所需要的几何特征！这个问题暴露出来的就是做题量不够，要想熟练掌握数学思维，不能仅仅知道有什么数学思维就行了，更重要的是在实践中感悟这种思维，在题目中它是怎么体现的，这需要学生做大量的题，从实践中自己归纳出来，这才是最重要的。

第三篇：高中平面解析几何有效教学策略分析オ

高中平面解析几何有效教学策略分析オ

平面解析几何是高中数学的基础内容之一，它是一门锻炼学生解析能力、计算能力和作图能力的综合性学习内容，同时也是体现数形结合解题思想的思维锻炼性学科.本文通过图例结合的方式，联系实际教学，详细地阐述了高中平面解析几何的教学策略和教学方式.高中解析几何是高中数学学习中的重点和难点，由于它的题目思维锻炼量大，题型灵活，所以部分同学难以完全理解平面解析几何的解题方式，这也给老师的教学带来了较大的困难.想要做到有效的教学，就应该做到数图结合，总结归纳简洁明了的教学策略.这样才能促进教学进程的推进.一、灵活利用平面几何中的定义进行解答

定义是数学的基础，根据长时间的教学经验，能够灵活利用定义并严谨遵循定义进行解题的学生，往往在碰见变化多样的难度较高的题型时，同样可以做出漂亮的答案.就以下面的平面解析几何中的最值问题为例.已知直线a满足4x-3y+11=0，直线b满足x=-1，同时，一个动点P在曲线C：y2=4x上运动，求动点P到直线a、b距离之和的最小值.根据定义，我们可以迅速画出曲线图.从P点向直线b作垂线段PQ，连结PF，动点P到直线b的距离可以转化为线段PF，这样便可看出距离和的最小值为F到直线a的距离d=3.所以，定义法是平面解析几何中的金钥匙，因为在定义法中明确的标明了定直线与定点以及定点与顶点间距离不变的关系，想要用最简洁方便的方法解出这道题的答案，就应该熟练掌握定义，并巧妙地加以运用，迅速找到最值问题中的突破口.而突破口一旦找到，问题也就迎刃而解.定义在数学中是最严谨的存在，一切问题的延伸都依靠着定义的支撑.而定义有时却是最绕口难懂，让学生们最容易忽略的存在.部分老师有时甚至会在课堂上说“要是定义不懂就算了，能解题就行”之类的话，这样不仅是给学生们一个错误的导向，更是大大降低了学生们的探知欲望.由此可见，定义的了解是多么重要，老师们在平时的教学中同样也需要加以重视.[HJ]

三、不忽略备课的过程

对于高中平面几何的教学，一般老师都拥有较多的参考书，上课讲解的题目一般也是直接从参考书上照搬下来，有些老师不进行备课，直接按照数学书上的步骤讲解，不给学生进行解题方法的拓展，甚至有时部分老师会直接让学生看着书理解.这样做不仅不能提高教学的效率，还会打击学生的学习热情.俗话都说“磨刀不误砍柴工”，想要帮助学生“砍去”平面解析几何这棵大树，就不应该荒废教学备课这个“磨刀”的过程.同时，也只有备好课，认真筛选上课时讲解的内容，才能在课堂上用最精简的时间，教出最好的效果，学生也能最大可能的吸收最多的知识.所以，想要在平面解析几何中达到最有效的教学，备课是不可缺少的部分.高中平面几何不仅是以后大学几何学习中的基础，学习习近平面几何更是能够锻炼到学生们的空间能力和思维能力.平面几何带给学生们的有利影响是长久性的.想要学生学好平面几何，除了平时的练习，更离不开老师的有效教学.老师在引导学生的道路上任重而道远.

第四篇：解析几何

清华大学校长毕业致辞

字号: 小 中 大 发布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 评分(6 / 0)/ 我要评论(3)个人分类: 心意小语

清华校长送给毕业生5句话——未来的世界：方向比努力重要，能力比知识重要，健康比成绩重要，生活比文凭重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

现在是讲究绩效的时代，公司、企业、政府，需要的是有能力且能与企业方向共同发展的人，而不是一味努力但却南辕北辙的人。自己适合哪些行业，哪些职业，有很多东西是先天决定的，只有充分地发掘自己的潜力，而不是总与自己的弱点对抗，一个人才能出人头地，就像现在很多企业招聘的时候，他们相信通过培训和教育可以让火鸡学会爬树，但是还是觉得选只松鼠方便一些。方向不对，再努力、再辛苦，你也很难成为你想成为的那种人。

能力比知识重要

知识在一个人的构架里只是表象的东西，就相当于有些人可以在答卷上回答如何管理企业、如何解决棘手的问题、如何当好市长等等，但是在现实面前，他们却显得毫无头绪、不知所措，他们总是在问为什么会是这种情况，应该是哪种情况等等。他们的知识只是知识，而不能演化为能力，更不能通过能力来发掘他们的潜力。现在很多企业都在研究能力模型，从能力的角度来观察应聘者能否胜任岗位。当然，高能力不能和高绩效直接挂钩，能力的发挥也是在一定的机制、环境、工作内容与职责之内的，没有这些平台和环境，再高的能力也只能被尘封。

健康比成绩重要

成绩只能代表过去，这是很多人已经认同的一句话。对于毕业后走入工作岗位的毕业生，学生阶段的成绩将成为永久的奖状贴在墙上，进入一个工作单位，就预示着新的竞赛，新的起跑线。没有健康的身心，如何应对变幻莫测的市场环境和人生变革，如何应对工作压力和个人成就欲的矛盾？而且在现代社会，拥有强健的身体已经不是最重要的，健康的心理越来越被提上日程，处理复杂的人际关系、承受挫折与痛苦、缓解压力与抑郁，这些都将成为工薪族乃至学生们常常面对的问题。为了防止英年早逝、过劳死，还是多注意一下身体和心理的健康投资吧。

生活比文凭重要

曾经有一个故事，说有个记者问放羊的小孩，为什么放羊？答：为了挣钱，挣钱干啥？答：盖房子，盖房子干啥？答：娶媳妇，娶媳妇干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

记得去年在人大听一个教授讲管理学基础课，他说你们虽然都是研究生，但很多人本质上还是农民！大家惊愕，窃窃私语。他说你们为什么读研究生，很多人是不是想找个好工作，找好工作为了什么，为了找个好老婆，吃喝住行都不错，然后生孩子，为了孩子的前途更光明，这些不就是农民的朴素想法吗？哪个农民父母不希望自己的子女比自己更好？说说你们很多人是不是农民思想，什么时候，你能突破这种思维模式，你就超脱了。当这个社会看重文凭的时候，假文凭就成为一种产业，即使是很有能力的人，也不得不弄个文凭，给自己脸上贴点金。比起生活，文凭还重要吗？很多人找女朋友或者男朋友，把学历当作指标之一，既希望对方能够给他/她伴侣的温暖与浪漫，又希望他/她知识丰富、学历相当或更高，在事业上能蒸蒸日上；我想说，你找的是伴侣，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，这个人适合你，即使你是博士他/她斗大字不识一个，那也无所谓，适合就会和谐融洽，人比文凭更重要。很多成功的人在回头的时候都说自己太关注工作和事业了，最遗憾的是没有好好陪陪父母、爱人、孩子，往往还伤心落泪，何必呢，早意识到这些，多给生活一些空间和时间就可以了。我们没有必要活得那么累。

情商比智商重要

这个就很有意思了。大家忽然一下子对情商重视了起来，因为在新的世纪，情商将成为成功领导中最重要的因素之一。比如在许多员工和自己的亲人因恐怖袭击丧生的时刻，某公司CEO Mark Loehr让自己镇定下来，把遭受痛苦的员工们召集到一起，说：我们今天不用上班，就在这里一起缅怀我们的亲人，并一一慰问他们和亲属。在那一个充满阴云的星期，他用自己的实际行动帮助了自己和他的员工，让他们承受了悲痛，并把悲痛转化为努力工作的热情，在许多企业经营亏损的情况下，他们公司的营业额却成倍上涨，这就是情商领导的力量，是融合了自我情绪控制、高度忍耐、高度人际责任感的艺术。曾经有个记者刁难一位企业家：听说您大学时某门课重考了很多次还没有通过。这位企业家平静地回答：我羡慕聪明的人，那些聪明的人可以成为科学家、工程师、律师等等，而我们这些愚笨的可怜虫只能管理他们。要成为卓越的成功者，不一定智商高才可以获得成功的机会，如果你情商高，懂得如何去发掘自己身边的资源，甚至利用有限的资源拓展新的天地，滚雪球似得积累自己的资源，那你也将走向卓越。在世界上出人头地的人，都能够主动寻找他们要的时势；若找不到，他们就自己创造出来！

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第五篇：《高中数学平面解析几何教学研讨》学习小结

《高中数学平面解析几何教学研讨》学习小结

一、对“解析几何”数学知识的深层次理解

（一）感悟解析几何的学科特点

解析几何学科的特点是运用代数的方法来研究几何图形的性质.具体的说：过去研究两条直线是否平行，我们通常是使用平行线的判定定理：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行.在解析几何中，判断两条直线的位置关系，则是依据两条直线的斜率，当两条直线的斜率存在时，依据斜率与截距就可以判断两条直线是否平行；再例如，过去判断直线与圆是否相切，依据切线的判定定理；现在则可以通过联立直线与圆的方程，通过解方程组，得出方程组的解得个数确定直线和圆的位置关系.平面直角坐标系不仅能够使平面上的点与有序数对建立一一对应的关系，还可以将曲线与方程之间建立一一对应的关系，这种关系可以进一步将图形的几何性质和一些数量之间的关系建立起一种对应的、必然的、因果的关系.（二）“解析几何”知识结构

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，是高中数学的经典内容．其实质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想．高中解析几何的学习大致分成三个阶段：学生在高一阶段的必修2中学习“平面解析几何初步”，进入高二年级，在选修1-1或2-1中学习“圆锥曲线与方程”．理科还要学习选修 4-4“坐标系与参数方程”，高三阶段，我们还对这些构成解析几何的经典内容进行系统的梳理和复习．可以看出，对解析几何的学习不是一步到位的，体现了循序渐进的原则，符合认知规律的螺旋上升．那么，贯穿解析几何的教学的主线在每个学段如何体现？如何让学生从接触解析几何的第一天起，就感受到其内容的核心与精华，了解这段内容的学习方法和研究方法？通过学习《高中数学解析几何教学研讨》这门课程后，我学到很多理论，并结合平日的教学实际，对以上的几个问题我有了更深层次的想法。

二、“解析几何初步”的教学策略以及学生学习中常见的错误与问题的分析与解决策略

（一）重视曲线与方程的教学

曲线与方程的概念是解析几何学科的理论基础.这部分内容在教材中的位置是发生过变化的.课标之前的教材基本上是将这部分内容安排在直线的方程之后.学生对曲线与方程的概念有了初步的直观的认识之后再提出理论上的要求.新的课程标准是将这部分移到选修 2列.这样的做法目的有两个，首先是让学生增加了直观感受，在正式学习概念之前，有大量的实例作铺垫.在学习了直线和圆的方程之后，才接触曲线方程的概念.这样学生在理论上认识曲线与方程的概念之前就已经有两种曲线的感性的认识.认识的基础比以前更加雄厚了.第二个目的就是改变了文、理科学生相同的要求的现象.课程标准之前的教学大纲对文科、理科的学生在这方面的要求是相同的.现在文科学生的选修 1-1 中删去了曲线与方程的内容，一方面不影响文科学生对圆锥曲线的研究，另一方面体现了文科、理科学生在数学学习上要求的差异.对于理科学生从理论上尽可能的完善，而对文科学生的要求则侧重在具体的曲线特性的研究.曲线与方程的概念一共两句话，曲线上每一个点的坐标都适合方程；以方程的任一组解为坐标的点都在曲线上.在学习曲线与方程的概念的时候，教师一般都会注意纯粹性与完备性，会从各个不同的角度设计例题，来巩固落实概念.然而在结合具体的曲线学习的时候，教师对曲线与方程的概念的强调会有不同程度的削弱.（二）体会用代数的方法研究几何图形的过程

前面已经提到教师可以适当增加平面几何问题的解析法证明.有一些教师因为工作需要一直在高中任教，缺乏对整个中学教材的全面了解.在对教材的把握上很难做到得心应手，翻转自如的境地.特别是数学的许多内容，初中、高中的教学内容有千丝万缕的联系，把握不好，教学中教师就陷入被动的地步.例如：初中阶段学生已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数的知识，对于上述函数的图像已经比较熟悉，如果我们在高中讲解直线方程的几种形式时，把学生的认知基础当成零来处理教材，显然是不恰当的.如果我们适量的引入一些几何证明的问题，学生会觉得亲切，与以往的知识建立了联系.如果题目选的恰当，恰当的标准是所选的题目使用传统的、学生熟悉的演绎推理的方法很难解决，但是使用解析法很简单，想要做到这一点，需要教师研究初中的教材，积累相应的资料，才能在教学中得心应手.三、通过课例来谈谈不同学段对解析几何思想方法的探究实践

我们重温了课标对解析几何的教学要求，在此基础上讨论了教材体系和教学内容与过去大纲版的变化。如教材的分层设计，这种处理方式体现了循序渐进的原则，关注学生初高中的衔接．我们认真揣摩各学段的教学要求，在此基础上，以解析几何的思想方法为主线，以课例为载体，增加一线教师操作的可行性和实效性，对各学段解析几何的教学内容、要求、教法进行具体、深入的探索研究．把理性的思考和具体的课例结合起来，开展了此次校本教研活动．三个年级的研究课题是的课题分别为：高一：直线与圆的位置关系；高二：直线与圆锥曲线；高 三：解析几何专题研究

设计例说：

课例1：直线与圆的位置关系 研究教材：

“平面解析几何初步”的重点是帮助学生初步体会解析几何的思想历程：将几何问题代数化——处理代数问题——分析代数结果的几何含义——解决几何题．在平面直角坐标系中，点、直线和圆都有了代数形式，我们就可以用代数的方法来研究几何问题了．这与初中阶段我们直接借助几何图形来研究其形状、大小、位置关系不同．实际上我们是在用代数方法研究平面几何问题．另一方面，用代数方法研究问题也不是全新的、没见过的，初中已经将点和有序实数对建立了一一对应关系，只是没有系统地接触解析几何的思想方法罢了．在这里体现了初高中在知识上的的衔接．

教法学法分析：

在本章的前半部分，学生已经学习了直线与圆的方程，知道在直角坐标系中，直线和圆可以用方程表示，（从形到数）．通过方程，我们研究了直线间的位置关系，点到直线的距离等，（用数研究形）．这些处理问题的方法的共性是都需要把几何问题代数化，先用方程表示直线和圆，然后再通过代数运算解决有关问题.结合对例题的讲解分析，我们突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.对解析几何的思想方法有了初步体验．这是我们继续研究直线与圆的位置关系的基础．

作为承上启下的部分，这也是后面学习圆锥曲线的基础．由于学习内容由低到高有递进关系，我们希望前一层级的学习对后一层级有积极影响，即学生遇到新问题时，能在已有知识的基础上展开探究，找到新旧的联系，主动解决后面问题．

主要教学环节：

1、对解析几何的研究对象、研究方法的回顾：

让学生初步体验解析几何的研究方法，为以后学习圆锥曲线奠定基础．

2、设置情境、问题新知：

（1）在初中，怎样判断直线和圆的位置关系？

这个问题是与初中知识的衔接，回忆平面几何中如何判定直线与圆的位置关系的．

（2）通过直线和圆的方程怎样判断它们的位置关系？

让学生认识到我们是用代数方法研究几何问题．有利于保持学生知识结构的连续性，同时开拓视野，激发学生的学习兴趣．也让学生体验研究位置关系的方法的多样性．平面直角坐标系成为沟通平面几何、解析几何的纽带，对同一个问题可以从不同的角度去认识.我们总结出两种判断方法：

从几何角度，圆心到直线的距离与半径的大小关系刻画直线与圆位置关系；这样把几何位置关系转化为距离的代数计算．

从方程观点．利用直线与圆的方程组是否有解研究曲线间的位置关系． 本质上说，两种方法都是用坐标法解决问题．

我们认为两种方法无所谓优劣，强调在掌握共性（方程的方法）的基础上注意个性（圆心距与半径的关系）．前者更好地挖掘了圆特有的几何特征，简化了代数运算，比联立方程组的方法快捷．可以看出用解析法解几何题时，对几何对象的几何特征的不同挖掘，转化的代数形式不尽相同，带来的解法是互异的，这在学生的后续学习中体现得更明显．联立方程组的解法有着很好的认知基础和可持续发展性．学生可以根据求两条直线交点问题的经验，想到判断直线与圆的交点个数也可以通过研究方程组的解来解决．把形的问题（求直线和圆的交点）转化为方程组的实数解的问题（数的问题）．充分体现了解析几何中利用代数方法解决几何问题的思想方法．这个解法又成为后续研究直线与圆锥曲线位置关系的“通法”．

所以这里的讲授突出了两点：几何要素（确定直线和圆的几何要素、确定直线与圆位置关系的几何要素）以及在几何要素引导下的代数变形，最终要回到几何上，体现对几何问题的研究．例题围绕这两点设计：

3、例题研究： 例1．（1）直线：（2）直线：（3）直线：围

对于（3），分析优解：直线与圆恒有公共点圆上或圆内．突出对图形的认识．

本题的设计意图是让学生熟知直线和圆中参数的几何意义体会参数对求法的影响．强调画图．不是纯代数的推导．

我们还可以引导学生思考：围绕直线和圆，还会产生哪些新问题（如求切线、弦长等）如何解决等．

课例2：直线与圆锥曲线的位置关系 研究教材：

我们继续采用高一学段研究直线与圆所用的坐标法，通过方程组研究直线与圆锥曲线的位置关系．直线和圆的位置关系作为直线和圆锥曲线的位置关系中的一种，在必修学段已经做了比较系统的研究，其研究方法、研究思路、研究内容等可以类比、借鉴，用来处理直线与其他圆锥曲线的位置关系．

椭圆作为三种圆锥曲线的重要代表，直线与椭圆的位置关系更是解析几何的经典内容．由于它的几何性质比圆更复杂，所以直线与椭圆的位置关系比直线与圆的位置关系更难把握．

鉴于高三阶段我们还要对这部分知识做系统的复习和提炼，所以这节课肩负着承上启下的任务．

研究学生：

在学习了平面解析几何初步的基础上，学生已经掌握了直线和圆的几何要素和它们的代数表示．掌握了确定这些基本图形位置关系的几何要素，以及如何运用代数的方法讨论这些图形之间的位置关系，学生积累了一定的用坐标法研究几何图形的经验．

直线经过的定点（0，1）在和和

和C：C：

C：，判断直线与圆的位置关系． 的位置关系（）恒有公共点，求m的范在本模块中，学生完成了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、基本性质的学习，再次体验了几何要素代数化的过程．体会了几何直观带来的好处．

主要教学环节：

1、回顾复习，唤醒回忆：

（1）在必修2中我们研究了直线与圆的哪几种位置关系？如何判断直线与圆的位置关系呢？

前一学段的学习是后一学段的基础，前面的知识会在后续学习中得到巩固、拓展和深化．学生的学习就是在这种多次反复、螺旋上升中完成的．

（2）用解析几何的方法研究问题的思路是什么？

一节数学课应该体现知识的核心内容，包括思想方法的渗透，也是数学作为一种理性文化的核心所在．上述流程图是解析几何最核心的部分，理应沉淀下来并在后续的学习中体现认识的螺旋上升．

2、例题选讲与练习：

我们拟从直线与封闭曲线（圆、椭圆）、直线与非封闭曲线（抛物线、双曲线）两方面探索直线与圆锥曲线的位置关系．

例

1、已知直线：位置关系．，椭圆：，试判断直线和椭圆的意图1：体会几何特征是怎样转化成代数形式的；

意图2：通过实例总结判断直线与圆锥曲线交点个数的方法： 直线与圆锥曲线交点个数

直线与圆锥曲线组成的方程组解的个数．最终转化为一元二次方程的根的个数问题．

练习：已知直线，椭圆 的长；（1）试判断直线和椭圆的位置关系；（2）若相交，求弦分析：（1）点（0，-2）在椭圆上．与高一的课例1中，处理圆的相关问题类似．说明直线与圆锥曲线的位置关系还可以利用数形结合、以形助数的方法来解决．体现衔接．

（2）方法1：求出交点坐标，用两点间距离公式求弦长 方法2：设对交点设而不求，简化运算．

回顾处理圆中弦长问题的方法：由于椭圆没有圆的完美对称性，故在圆中利用半径、半弦、边心距组成的直角三角形求弦长的方法失效了．但弦长公式也适用于求与圆有关的弦长．，推导弦长公式，弦长

=

，例2：已知直线中点为，椭圆，相交于A、B两点，若弦的，求中点P的轨迹方程．

思考1：如果是直线与双曲线或抛物线，位置关系如何判断？ 思考2：对例2的进一步研究．如，直线和椭圆的方程不变，继续提问:（2）若（3）若弦为坐标原点，且的中点为，且，求直线的方程；，求直线的方程.（4）当k=1时，问椭圆上是否存在一点，它到直线的距离的最小？最小距离是多少？

设计意图：再次体会如何用代数方法研究几何问题．以点带面，解决多种相关问题．

课例3：直线与圆锥曲线复习背景分析：

高三的复习是在高

一、高二学习基础上的再认识．本节课的教学设计应从整体、系统的高度把握知识，注重知识之间的联系，建构自己的认知结构．我们可以以专题研究的方式避免复习在低思维层次上重复：

专题1：几何对象如何代数化

分析体验对几何特征的不同角度的挖掘，转化成的代数问题不同，解决问题的难易程度也不同．2010年北京高考题就是很好的示范． 专题2：化解代数运算的常见思路

思想方法的学习是一个“渐悟”的过程，经过前两个学段润物细无声的渗透，力求高三阶段有所“顿悟”．以专题的形式突破难点，彻底解决学生“听得懂、想不到”、见到解析几何题就联立方程组，算到最后无疾而终的问题．让学生在实践中体会解一道解析几何题，如何在前面的流程图的指引下，不仅知道该做什么，更知道怎样做！效果立竿见影。

总之，解析几何是高中数学的重点内容，对它的研究时，我们应该关注学生的学习起点和生长点，强调教学资源的整合和教学目标层级要求的落实，这样才能使学生真正掌握好此块内容。