基于电子白板下的立体几何最值问题教学探究[5篇模版]

第一篇：基于电子白板下的立体几何最值问题教学探究

基于电子白板下的立体几何最值问题教学探究

摘要：立体几何最值问题的求解是历年来高考的重要考点，并不只是单纯地考查学生对知识的掌握，更考查学生的空间想象能力、图形转化能力。如何突破这一重难点呢？交互式电子白板的运用能够将立体几何教学带入三维空间，更利于学生空间想象力与数学思维力的培养。

关键词：电子白板；立体几何；最值问题；三维空间

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）25-0184-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.25.120

立体几何中最值问题处于立体三维空间中，并不是可以直接运用公式与定理所能直接解决的，而是需要学生具备一定的空间想象能力以及运用运动变化观点的能力，掌握转化这一基本的数学思想，剥丝抽茧，层层深入地展开分析方能解决。这样的题型更能体现新课改下倡导的学生思维能力、想象能力的培养，是教学的重点与难点，更是各种考试的重要考点。这需要教师在思想上正确认识，在行动上加强探讨，以引导学生深入本质地掌握。使学生真正学会，会学，有效突破这一重难点。运用交互式电子白板可以改变以往单纯孤立、机械的知识点讲解，能够深入事物的本质，将教学带入三维空间之中，这样的教学更能弥补传统教学的不足，培养学生的空间想象能力，掌握基本的数学思想。现结合具体的教学实践对如何运用电子白板来展开立体几何中最值问题的教学展开论述。

一、立体呈现，增强学生空间想象能力

交互式电子白板不再是机械的语言讲解与静止的图形分析，而是将教学带入三维空间之中，这样可以有效弥补传统教学的立体感、空间不强的弊端，培养学生的空间想象能力，这正是学好立体几何的关键，也是最值问题求解的关键。运用电子白板不再是静止的模型或是单纯的讲解，而是将教学带入立体空间，以增强学生空间立体感，提高学生图形转化能力。

例1.已知四边形ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，且这两个平面相互垂直，点M是平面ABCD对角线AC上的动点，点N是平面ABEF对角线BF上的动点，如果CM=BN=a（0∠a∠），请解决下列几个问题：（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最小（；3）当MN的长度最小时，面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

这道题目涉及多个知识点，这三个小问题也是渐进的关系，第二个问题求最小值是解决此题的关键，第一个问题是解决第二个问题的前提，第三个问题则是在第二个问题基础上的延伸。乍一看题目，许多学生望题生畏，不知从何下手。为了便于学生的理解，进而让学生由这一道题解决这一类题，我们就要灵活运用电子白板的特殊功能，在白板上绘制立体图形，并通过旋转、放大等，将学生带入三维空间，然后在教师的步步启发下引导学生画出辅助线，从而将图形立体而动态地存在于学生的头脑之中，增强学生的空间想象能力，进而使学生运用相关的知识来展开解题。这样整个思维过程都是在电子白板所创设的立体、动态而直观的三维空间中展开，更能培养学生的空间想象能力与图形转化水平，为学生更好地掌握最值问题，更好地学习立体几何打下坚实的基础。

二、师生互动，构建有生命活力的课堂

新课改的核心理念就是实现以学生为中心，构建生本课堂，引导学生展开主动探究，在探究中促进学生知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的全面发展。这正是对以教师为中心的传统灌输式教学的根本性挑战。电子白板具有很强的交互性，我们正可以利用此特点来与学生展开积极的互动，带领学生走进科学探究的殿堂。

例2.圆柱底面半径为10cm，高度30cm，求解下列问题：（1）从底面圆周上一点绕侧面一周又回到原点的最短长度；（2）从底面圆周上一点绕侧面到达与底面相对的另一底面的点的最短距离；（3）从底面圆周上一点线侧面一周到达上底面，再绕一周又回到原点的最短距离。

解决此类最值问题的要点就在于将立体几何问题转换成平面几何问题，即平面内两点之间线段最短。以往以教师的讲解为中心，由教师直接告诉学生解题要点，学生只能是被动地学习，机械地记忆，往往是听懂了一道题，但题目稍有变化就不知从何下手。根本原因就在于学生主体地位与独立思考的缺失，这些知识只是强行外加的，并未经过自身独立思考深入事物本质的真正理解。为了让学生更加深刻地理解与掌握，教师就要善于运用电子白板强大的交互功能创设互动平台，与学生一起展开积极的探究活动。首先我让学生走上讲台，利用电子白板的动态功能将以上三种情况中绳子绕行的轨迹用不同颜色的线标注出来，进而帮助学生理清题意。教师可以通过旋转、放大等让学生在立体图形中直观认识，在此基础上引导学生展开充分的交流与讨论，进而使学生认识到要将立体几何转化成平面几何。此时教师将圆柱的侧面展开。让学生认真观察在立体几何图形中那几个轨迹在平面图形中分别对应着什么。这样，通过电子白板直观而动态的演示，引导认真观察与独立思考，从而令学生自主地认识到题目（1）中的最小值即为底面周长，题目（2）中的最小值即圆柱的侧面展开图中的对角线；题目（3）中的最小值即为侧面展开图的对角线的两倍。由此，学生所获得的就不再是现成的结论，机械的记忆定理，而是在自身独立思考与积极探究基础上透过表象直达本质的规律性认知，理解更深刻，运用起来自然也会更灵活。即使题目再变化，学生依旧可以透过现象运用规律性认知来解决问题，真正达到了触类旁通的效果。

总之，电子白板有着丰富的信息资源库，为教师教学提供方便。教师在讲解这一知识点时，可以灵活地从资源库中来调取相关的题目，如截取历年的高考题以及练习册上的题目。同时，教师也可以将自己讲解问题的过程保存下来，上传到资料库，实现资源的共建共享。这样更能促进教师利用电子白板来展开富有活力与针对性的教学。将交互式电子白板运用于立体几何最值问题的教学中改变了以往单维的教学模式，将学生带入三维空间中，这样更能增强学生的空间想象能力与图形变换能力，更有效地突出重难点，从而使学生更加深刻而灵活地掌握这一类问题。

参考文献：

[1] 张运中.探究拓展习题构建高效课堂――小议立体几何中的最值问题[J].中学教学参考，2013（14）：24-24.[2] 王怀学.十种策略求解立体几何的最值问题[J].中学数学研究，2012年（3）：40-44.[3] 郑丹，魏兆祥.立体几何的最值问题的求解策略[J].高中数学教与学，2014（3）.[4] 王晓燕.基于电子白板的高中立体几何图形教学研究[J].山东师范大学，2014.

第二篇：立体几何中的最值问题

立体几何中的最值问题

上犹中学数学教研组刘道生

普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学习中形成。立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，查遍近几年全国各省市的高考题中，与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现，并且成增长趋势。下面举例说明解决这类问题的常用方法。

策略

一、公理与定义法

例

1、在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，S

底面边长为2，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）B

A.55 B.255 C.2D.1【解析】如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ

P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，2。又

5等于OQ的长为2，也就是异面直线BD和SC的 5

公垂线段的长。故选B。

策略二建立函数法

例2正ABC的边长为a，沿BC的平行线PQ折叠，使平面APQ平面BCQP，求四棱锥的棱AB取得最小值时，四棱锥ABCQP的体积。

分析：棱AB的长是由A点到PQ的距离变化而变化，因此我们可建立棱AB与点A到PQ的距离的一个函数关系式，从而求出棱AB的最小值，进而求出体积。

【解析】如图所示，取PQ中点o，显然AOPQ，即AOPQ



由平面APQ平面BCQP，则AO平面BCQP，如图建立直角坐标系Oxyz，设

3

1，得 AOx，因正ABC的边长为a，易知A0,0,x,O0,0,0,Bax,a,022311

AA0,0,xax,a,0ax,a,x 2222

3125

2ax22x2axa22xaxaa2248

即当x

3a时，ABmina 4

423113133a2SBCPQAOaaa 33442464

VABCPQ

评注：对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后不变的数量关系和图形关系；同时还

要仔细观察翻折前后图形的性质。很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。策略三；解不等式法

例3求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。

分析:要使球内接正三棱锥的体积最大,则需正三棱锥的边或高最大,而高过球心,则可寻球高与半径之间的关系。

【解析】如右图所示，设正三棱锥高O1A=h,底面边长为a由正三棱锥性质可知O1B

又知OA=OB=R则在RtABC中，2a)R2(hR)2 a23h(2Rh)

3hh2Rh1hhR3 2V=2h(2Rh)

(2R

h)2233

(当且仅当

h4

2Rh，即hR时，取等号)正三棱锥体积最大值为

策略四；变量分析法

例4 如图已知在ABC中，C90，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，当AP=AB=2，AEF，当变化时，求三棱锥P-AEF体积的最大值。

分析：的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的，要求三棱锥P-AEF的体积，则需找到三棱锥P-AEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。

【解析】∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC∴ PA⊥BC

又∵BC⊥AC，PA

AC

∴ BC⊥平面PAC，AF平面PAC，∴ BC⊥AF，又∵ AF⊥PC，PCBCC∴AF平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴ PE⊥平面AEF

在三棱锥P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE2，AE2，AF2sin，1112

sin2 EF2cos，VPAEFSAEFPE2sin2cos2

3326

∵0

，∴02，0sin21∴ 当



时，VPAEF取得最大值为

。6

策略五：展开体图法

例5.如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，A

C

则四边形PQRS的周长的最小值是（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.a+b+c

D

图

5【解析】如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各

侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共线，D、B、D’共线，AA'DD'2BD。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同

一点。因而当P、Q、R在S’S上时，′

′

S'PPQQRRS最小，也就是四边形

SPQRS周长最小。又S'ASA'，所以最小值LSS'DD'2BD2b。故选B。策略六 布列方程法

例

6、棱长为2cm的正方形体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要 使流出来的水量最多，这个铁球的半径应 该为多大？

【解析】：过正方形对角线的截面图如图所示，AC12，AO

3ASAOOS1设小球的半径r，tanC1AC

2在AO1D中，AO1r，∴ASAO1O1S∴13rr，解得r23（cm）为所求。

策略

七、极限思想法

【解析】三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x是否有最值；2若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值。

解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是 P、A重合，取值为0，若PBC绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P,A,B,C共面时，PA为菱形ABPC

第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。故P、O重合时，侧棱取最小极

PO无穷大时，侧棱也无穷大。可知两题所问均无最值。策略

八、向量运算法

例8.在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。

【解析】以A为坐标原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示

，0，x)，的空间直角坐标系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则BP(x1

GP(x1，1，x1)，那么

GPPB2x24x32x22x

122

2211x0

2(x1)20222

2112

x0可以看成x轴正半轴上一点式子(x1)0（x，222

0，0）到xAy平面上两点1

2112，0、，的距离之和，其最小值为。所以0222

2GP+PB的最小值为2

22。2

[规律小结]

建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等。

公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短。球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等。如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径。

解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变

a2b

2ab量的特殊不等关系求解：如

ab

ab

最小角定理所建立的不等关系2

等等。

展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易。

变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法。

除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：布列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过前述实例感受其精彩内涵与真理所在。

在解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径。

第三篇：复杂最值问题剖析

复杂最值问题剖析

华图教育 王小欢

行测中有题目是一类常见的题目是最值问题，这类题目一般情况下包括三种：第一种为最不利构造，题目特征是至少„„保证„„，做题方法是找出最不利的情形然后再加1；第二种为多集合反向构造，题目特征是至少„„都„„，做题方法三步走：反向，求和，做差；第三种题目是构造数列，题目特征是最„„最„„，做题方法是构造出一个满足题目的数列。如果在平时练习或考试的过程中，遇到了这三种题目，可直接按照相应的方法进行求解。但是，还有一些最值问题并不像上面三种问题叙述的那么简单，往往涉及的项目还比较多，需要先进行分析讨论。遇到这样的题目怎么分析，举两个例子剖析一下。

【例1】一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？

A.34 C.40

B.37 D.43 【解析】求班级第6名和第15名之间的分差最大，则第6名的成绩要尽可能的接近第5名的成绩，且前5名的成绩差距要尽可能的小，即前6名成绩是连续的自然数，第15名的成绩要尽可能的接近第16名的成绩，且后5名的成绩差距要尽可能的小，即后6名的成绩是连续的自然数。又由于班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，则前5名的成绩决定了后5名的成绩。而同时满足这些条件的数列有多组，则可以使前5名的成绩为100、99、98、97、96，则第6名的成绩为95，由此，后5名得成绩为51、50、49、48、47，则第15名得成绩为52，此时与平均分为79分不矛盾，所以第6名和第15名之间的分差最大为95-52=43。因此，本题答案选择D选项。

【例2】有20人测验及格率是95%，平均分88，得分都是整数并且每人得分都不相同，问排名第十的人得分最低是多少？

A.88 B.89 C.90 D.91 【解析】为了使得排名第十的人的分数尽可能的低，应当使得其余排名的人的分数尽可能高。根据及格率为95%可知，有一人未及格，而未及格的人的分数最高为59分。因此19名及格的考生总成绩为88×20－59＝1701分。

前九人的分数最高分别为100分，99分，98分，97分，96分，95分，94分，93分，92分，因此第十至第十九人的分数总和为1701－（100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92）＝837分。假设这十个人的分数分别为91分至82分，那么这十个分数的和为865分，比实际分数多了865－837＝28分。如果第十个人的分数减去1分，那么其余九个人的分数依次减去1分，这样他们的总分就要减去10分。由此可见第十个人的分数只能减去2分达到89分，这样才使得十个人的分数总和可能为837分。如果第十个人的分数为88分，那么这十个人的分数总和最多为835分。因此第十个人的分数最低只能是89分。

通过这两个例子，大家会发现，这样的最值问题也不过是“纸老虎”，看起来题目比较长，跟问题直接相关的信息又比较少，一般思路是考虑问题的反面作为出发点，如“求班级第6名和第15名之间的分差最大，则第6名的成绩要尽可能的接近第5名的成绩”，再如“为了使得排名第十的人的分数尽可能的低，应当使得其余排名的人的分数尽可能高”，一步步，抽丝剥茧般形成习惯性的套路，这样的问题自然就迎刃而解了。

第四篇：初一数学 最值问题

专题19

最值问题

阅读与思考

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：

1、通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式（组）逼近求解.4、借用几何中的不等量性质、定理等.解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.例题与求解

【例1】

若c为正整数，且，，则（）（）（）（）的最小值是

.（北京市竞赛试题）

解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.【例2】

已知实数a，b满足，则的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全国初中数学竞赛试题)

解题思路：对进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.【例3】

如果正整数满足=，求的最大值.解题思路：不妨设，由题中条件可知=1.结合题意进行分析.【例4】

已知都为非负数，满足，记，求的最大值与最小值.（四川省竞赛试题）

解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示.【例5】

某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）

解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.【例6】

直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为，，求++的最大值和最小值，并求当++取最大值和最小值时，P点的位置.（“创新杯”邀请赛试题）

解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.能力训练

A

级

1.社a，b，c满足，那么代数式的最大值是

.（全国初中数学联赛试题）

2.在满足的条件下，能达到的最大值是

.（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，则的最大值是

.（全国初中数学联赛试题）

4.已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范围是

.（数学夏令营竞赛试题）

5.在式子中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整数，b是正整数，且满足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全国初中数学联赛试题)

7.已知则代数式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江苏省竞赛试题)

8.已知，均为非负数，且满足=30，又设，则M的最小值与最大值分别为（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非负实数，满足，记.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀请赛试题）

10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？

（江西省无锡市中考试题）

第五篇：二次函数最值问题

《二次函数最值问题》的教学反思

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

反思三：教学应当促进学生成为学习的主人，离开了学生积极主动学习，老师讲得再好，学生也难以接受，或者是听懂了，但不会做题的现象。传统的教学“五环节”模式已成为过去，新的课程标准需要我们用新的理念对传统的教学模式、教学方法等进行改革，让学生成为课堂的主角。