一元二次函数性质的应用[精选合集]

第一篇：一元二次函数性质的应用

教案二

课题：一元二次函数性质的应用.教学目标：1．巩固一元二次函数的图象和性质.2．加深对一元二次函数图象和性质的理解.3．培养学生的逻辑思维能力、运算能力和作图能力，培养学生综合解题和灵活解题的能力，渗透数形结合的思想方法.4．培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点和具体问题具体分析的观点处理问题.教学重点：一元二次函数的图象和性质的具体应用.教学难点：应用性质解综合题.教学方法：讲练结合法.教学手段：三角板、投影仪、胶片.课时安排：1课时.课堂类型：练习课.教学过程：课件1 课件2 课件

3一、复习导入

1．复习提问：(学生回答)一元二次函数的图象和性质是什么？

2．导入新课：(老师口述，板书课题.)为加深对二次函数图象和性质的理解，今天我们通过具体实例，研究二次函数的性质的应用.二、讲授新课

1．二次函数的图象和性质.(投影，加深印象.)

(≠0)

＝，其中，.(1)函数的图形是一条抛物线，抛物线顶点的坐标的(－，)，抛物线的对称轴是直线＝－；

(2)当＞0时，函数在＝－处取最小值＝减函数，在[－，＋∞)上是增函数；

(－)，在区间(－∞，－]上是

(3)当＜0时，函数在＝－处取最大值＝增函数，在[－，＋∞)上是减函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

2．例题分析：

例3(板书.)求函数上是增函数，哪个区间上是减函数.的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间

解：(启发学生思考、分析，讲解、板书.)∵

＝，∴.函数图象的对称轴是直线＋∞)上是增函数.，它在区间(－∞，－]上是减函数，在区间[－，例4已知二次函数(图3-12)试问：

(1)取哪些值时，＝0；

(2)取哪些值时，＞0，取哪些值时，＜0.解：(启发学生思考，分析讲解，板书.)(1)求使＝0的值，即求二次方程的所有根，方程的判别式Δ＝(－1)－4×1×(－6)＝25＞0.解得 ＝－2，＝3.这就是说，当＝－2或＝3时，函数值＝0.(2)画出简图，从图象上可以看出，它与轴相交于两点(－2，0)(3，0)，这两点把轴分成3段，当∈(－2，3)时，＜0，当∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，＞0.从这个例子我们可以看到，一元二次方程和一元二次不等式有着密切的关系，如求一元二次方程的解，就是求一元二次函数＜0(＞0)的解集，就是求使一元二次函数于零)时，的取值范围.三、课堂练习(投影，启发学生思考、练习，分析讲解，分组讨论，老师总结订正.)

1．用配方法求下列函数的最大值或最小值： 的根；求不等式的函数值小于零(大

(1)；(2)；

(3)；(4).2．求下列函数图象的对称轴和顶点的坐标，并画出图象：

(1)；(2).3．已知函数：

(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；

(2)已知，不直接计算函数值，求；

(3)不直接计算函数值，试比较与的大小.4．已知函数(－3)和(3)的大小.，不直接计算函数值，试比较(－2)和(4)，5．第90页练习第4(1)、(2)题.四、课堂小结

这节课主要掌握二次函数图象和性质的应用，学会准确灵活地应用性质解题.五、布置作业(投影、说明.)

1．复习这节课所学的内容，熟记题型和解题方法.2．第90页练习第1，2，3，4(3)、(4)，5题.3．预习作业：预习3.6待定系数法.预习问题：在什么情况下可以用待定系统法求解.

第二篇：一元二次函数的性质教案专题

教案一

课题：一元二次函数性质.教学目标：1．掌握一元二次函数的图象和性质.2．掌握研究一元二次函数性质的方法.3．培养学生的观察分析能力、逻辑思维能力、运算能力和作图能力.培养学生用配方法解题的能力.渗透数形结合的思想方法.4．使学生掌握从特殊到一般的认识规律和认真仔细的态度，培养学生用对立统一的观点、全面的观点、联系的观点、运动变化的观点和具体问题具体分析的观点处理问题.教学重点：研究二次函数性质的方法.教学难点：探索二次函数的性质.教学方法：讲练结合法、演示法.教学手段：三角板、投影仪、胶片、计算机.课时安排：1课时.课堂类型：授新课.教学过程：课件1 课件

2一、复习导入

1．复习提问：(学生回答，启发学生通过配方得出结论.)函数函数？图象如何？如何化为

＝(＋)＋的形式？

叫什么

2．导入新课：(老师口述；板书课题.)在初中学习的基础上今天我们继续学习和研究二次函数的图象和性质.二、讲授新知

1．引例分析：

例1(板书)求作函数的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)

.由于对任意实数，都有≥0，所以≥－2.当且仅当＝－4时取等号，即作＝－2.(－4)＝－2，该函数在＝－4时取最小值－2，记

当＝0时，＝－6或＝－2，函数的图象与轴相交于两点(－6，0)、(－2，0).＝－6或＝－2也叫做这个二次函数的根.以＝－4为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：

在直角坐标系内描点画图(图3－8):

结论：(投影，说明)该函数的图象关于直线＝－4对称，开口向上，有最低点(－4，－2)，最小值为－2；函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数.例2(板书)求作函数＝－－4＋3的图象.解：(启发学生思考，分析讲解，归纳结论.)＝－[(＋2)－7]＝

＝－－4＋3＝－(＋4－3)－(＋2)＋7

由－(＋2)≤0得，该函数对任意实数都有号，即＝7，该函数在＝－2时取最大值7，记作

≤7，当且仅当＝－2时取等＝7.以＝－2为中间值，取的一些值，列出这个函数的对应值表：

在直角坐标系内描点画图(图3－9)：

结论：(投影，说明)该函数关于直线＝－2对称，开口向下，有最高点(－2，7)，最大值为7；在区间

(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，＋∞)上是减函数.2．一元二次函数的性质(启发学生归纳性质，板书.微机显示，说明.)

一般地，对任何二次函数(≠0)，都可通过配方，化为，其中，到二次函数的一般性质：，由此可得

(1)函数的图形是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(－，)，抛物线的对称轴是直线＝－；

(2)当＞0时，函数在＝－处取最小值＝减函数，在[－，＋∞)上是增函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

(3)当＜0时，函数在＝－处取最大值＝增函数，在[－，＋∞)上是减函数.(－)；在区间(－∞，－]上是

三、课堂练习(投影.启发学生思考、练习.老师总结订正.)

求作函数＝－＋4－3的图象，并回答下列问题：

(1)指出曲线的开口方向；

(2)当为何值时，＝0；

(3)求函数图象顶点的坐标和对称轴.四、课堂小结(口述)

本节课主要掌握研究二次函数性质的方法，熟记二次函数的图象和性质.五、布置作业(投影、说明)

1．复习本节课所学内容.2．书面作业：第93页习题3－2第3题.3．预习作业：预习第89页，例

3、例4及课后练习.六、板书设计：

第三篇：扫盲：一元二次函数2

扫盲：一元二次函数

1．形如y=ax²+bx+c(a≠0)的函数，叫做一元二次函数。

2.一元二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线。开口由a决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；对称轴是直线x=-b/2a；顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a))

相关习题： 1.2.抛物线y=x²+2x-4的开口方向是——————，——————，对称轴是顶点坐标为

——————

二、求二次函数的解析式（待定系数法）

（1）一般式 ：y=ax²+bx+c(a≠0）。已知图像上三点或三对的值，通常选择一般式；

（2）顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0）。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；

（3）交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。已知图像与x轴交点（x1,0）、（x2，0），通常选择点式。

相关习题：

(1)、某二次函数的图象经过（0，1），（1，-3）和（1，3）三点，求此函数解析式。此抛物线解析式。

(3)、某二次函数的图象经过（1，0），（3，0）和（-1，16）三点，求此函数解析式。

(4)、y=ax²+bx+c

(a≠0）的图像如下，求此函数解析式。

(2)、某抛物线顶点（-2，-3），且过点（1，6），求

三、画y=ax²+bx+c(a≠0）的图像步骤：

1.判开口方向，由a的正负决定;

2.找对称轴，计算x=-b/2a；

3.找顶点坐标，计算f(-b/2a)或用公式(4ac-b^2)/4a;4.找与y轴的交点。令x=0,可得y=c;

5.找与x轴的交点。令y=0,解方程ax²+bx+c=0，可得x1,x2;6.用光滑的曲线连接成图。注意：多次修改，使其光滑、曲线。能穿坐标轴的要穿，使其具有延伸性。

相关习题：略

第四篇：二次函数与一元二次方程教案

22.5二次函数与一元二次方程（教案）

一、教学目标

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时函数有两个交点、一个交点和没有没有交点.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.二、教学重点和难点

重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的情况.难点：利用图象法探究交点个数的判别方法.三、教学方法 自主探究、合作交流

四、教学设计

1.旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）

一元一次方程x＋2＝0的根为________

（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________ 通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？

结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根 2.新课引入：

2.1问题导出：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么关系？ 动手操作：请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x－2x－3的图象 观察思考：你的图象与x轴的交点坐标是什么？ 解一元二次方程： x－2x－3＝0

你发现了什么？ 发现的结论：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根

（2）二次函数的问题可以转化为一元二次方程去解决 反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标

（1）y＝x＋4x－5；（2）y＝－x＋6x－9；（3）y＝2x＋3x＋5

通过计算发现问题：不是所有的二次函数与x轴都有两个交点！有的函数只有一个交点，有的没有交点（借助图象的平移说明这个事实）

2.2设想：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的个数有关系 我们在学习一元二次方程时是用什么来判断解的个数的？ 回顾判别式：对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0 b－4ac＞0 b－4ac＝0 b2－4ac＜0 22

2方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根

那么，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？学生归纳： b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b－4ac＜0 2函数与x轴有两个交点 函数与x轴有一个交点 函数与x轴没有交点

反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）

2.3联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？

例如，二次函数y＝x－2x－3和一次函数y＝x＋2有交点吗？有几个？

分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，列出方程组，消去y后再利用判别式判断即可.反馈练习3：二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝x＋b有唯一公共点，求出b的值.3.交流总结

4.作业 2

第五篇：二次函数与一元二次方程教学设计

二次函数与一元二次方程教学设计

留格初中

黄美娜

一、教材分析

1、教材所处的地位和作用：

《二次函数与一元二次方程》是初中数学（山东教育出版社）九年级上册《二次函数》的一节内容。本节内容体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;通过这节的学习，学生将掌握二次函数与一元二次方程的关系，本节是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。2.教学目标

知识与技能目标：理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．

过程与方法目标：体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根； 情感态度与价值观：培养学生热爱数学、主动探究的能力

教学重点：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系． 教学难点：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一

步的理解．

二、教学策略：

1、教学手段：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索

本节课以学生的自主探索为主，老师主要通过演示引导启发学生得出结论，这样有利于学生提高学习兴趣，获得成就感。在教学中可以放手让学生自己去画图象，讨论研究出函数与一元二次方程的关系，以提问的形式与学生互动，通过练习加深学生对函数性质的理解和应用。

2、教学方法及学法：自主探索 观察发现 合作交流 对比归纳

三、学情分析：

学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了认识二次函数图象、求二次函数解析式、利用建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。

【学习过程】

环节一：学生预习,教师导学：

我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么(1)h和t的关系式是什么？

(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.【设计意图】：通过设置问题，帮助学生体会二次函数与实际生活密不可分的关系；初步感受二次函数与一元二次方承的联系。

环节二：学生合作，教师参与：

1.在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 例题讲解

1、在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?

2、二次函数y=ax+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?

【设计意图】：这是本节的重点，比较抽象，因此通过画图让学生能够清楚形象的解决问题，并且能够培养学生总结问题的能力。环节三：学生展示，教师点拨： 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是

.2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（）

A 两个交点

B 一个交点

C 没有交点

D 画出图象后才能说明 3 不画图象，求抛物线y=x2-x-6与x轴交点坐标.【设计意图】：本环节是对本节知识的巩固应用，是对新知识点生华，培养学生数学思维的严谨性

环节四：学生探究，教师引领：（给同学充分的时间考虑，1号同学发言交流，教师引导补充）

2如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3(x﹥0).柱子OA的高度是多少米？若不计其它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？

【设计意图】：本环节目的是为了培养优生，锻炼学生的发散思维能力。环节五：学生达标，教师测评：

1．这节课我们主要学习了哪些知识？（提示：鼓励学生交流收获，视情况给小组加分）2．检测：

（1）抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数是

（2）抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标为

【设计意图】：本环节是为了检测学生一节课的收获，使教师能够全面了解学生的接收受情况，以备个别辅导。

教学反思：

本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

本节课，在引入问题的设计中做的不够充分，知识的生成没能有效呼应，没有达到预设的课堂效果。我要在以后的课堂教学中，加强对教材的研读，合理把握重难点，在情景引入和知识生成的问题设计上多下功夫，力争使自己的教育教学水平有新的突破