四年级奥数第四讲_等差数列(一)_教师版

第一篇：四年级奥数第四讲_等差数列(一)_教师版

小学四年级奥数一对一讲义 教师版

等差数列

（一）解题方法

若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中

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例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。

引申

1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。

2、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。

3、计算100+99+98+…+61+60的和

例题4 计算（1+3+5+…+l99l)-（2+4+6+…+1990）

引申

1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)

2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)

3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。

例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中

第二篇：奥数等差数列练习题

等差数列

1.一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？

2.自1开始，每隔两个数写一个数来，得到数列：1,4,7,10,13，….，求出这个数列前100项只和？

3.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位。最后一排有94个座位。问这个影剧院共有多少个座位？

4.小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看的页数相同，第25天看了97页刚好看完。问：这本书共有多少页？

5.已知数列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，….，这个数列的第30项是哪个数字？到第25项止，这些数的和是多少？

植树问题

1.在一段公路的一旁栽95棵树，两头都栽，每两棵树之间相距5米，这段公路长多少米？

2.有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处，需要3分钟，全部锯完需多少时间？

3.一座楼房每上一层要走16个台阶，到小英家要走64个台阶。她家住在几楼？

第三篇：四年级奥数第五讲_等差数列(二)_教师版

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引申

1、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？ 答案：2485根。

2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?

解:如果把图中最上端的一个三角形看做

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引申

1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?

解：59+58+57+„+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)

2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 答: 一共有8把锁的钥匙搞乱了。

3、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,

第四篇：四年级奥数

一个木器厂要生产一批课桌，原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌?

(1)电视机厂接到一批生产任务，计划每天生产90太，可以按期完成。实际每天多生产5台，结果提前一天完成任务。这批电视机共有多少台？

(2)小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前两天看完。这本故事书有多少页？

(3)修一条公路，计划每天修60米，实际每天比计划多修15米，结果提前4天完成。一共修了多少米？

有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，从甲盒中拿出多少只放入乙盒，才使两盒中的图钉树相等？

（1）有2袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二代面粉有18千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋，才能使两袋中的面粉质量相等？

（2）有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，每次从甲盒中拿4只放入乙盒，拿几次后才能使两盒图钉数目相等？

（3）有两袋糖，一袋68粒，另一袋28粒。每次从多的一袋中拿出6粒放入少的一袋里，粒几次才使两袋糖的数目同样多？

第五篇：等差数列认识 (教师版)三年级 奥数

2013春季

第一讲

等差数列认识

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2013春季

教学目标

1、认识简单的数列；

2、掌握什么是等差数列；

3、会求解简单的等差数列和；

知识点拨

1、如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列，这个数叫做等差数列的公差。

2、等差数列求和：（首项+末项）×项数÷2

3、求项数：（末项-首项）÷公差+1

4、求末项：首项+（项数-1）×公差

(一)课堂引入

1.学生学情分析：

（1）三年级暑假对数列有过认识，并且三年级孩子比较喜欢找规律，并且对找规律比较擅长，所以可以从此入手，让孩子认识等差数列。此为切入点！

（2）数列计算和中，学生已经经历了凑整求和，所以在学习等差数列求和时，并不陌生，可以以此切入！此为难点！

2.引入-高斯‘神速求和’的故事

讲故事：高斯出生于一个贫困家庭，幼时家境贫困，但是异常聪明。就在像大家这么大的时候，一次老师出了一道非常难得数学题：把1到100的自然数加起来，和是多少？正在同学们苦思冥想的时候，高斯略加思索就说出了答案。同学们你们知道答案是多少吗？你们知道高斯用了什么方法巧妙地计算出来的吗？

情景1：学生对高斯的故事可能会比较熟悉，或许会清楚1到100的自然数之和，对于这种情况，可以根据学生回答的情况，提问——你们谁知道高斯用了什么方法巧妙地计算出来的呢？

情景2：这个问题，学生回答会比较困难，在此情况下，问:同学们想不想像高斯这样厉害，掌握这种巧妙的方法呢？

那么，我的小高斯们，下面我就先来认识下等差数列。

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(二)探索新知

(一)等差数列的认识

例题精讲

例1：1、3、5、7、9、（）

【教学建议】 等差数列的认识。

先让孩子去找规律填数，并让孩子去总结其中的规律所在，并能用合适的语言表达。从中提炼出两点：（1）相邻两数之间的差相同

（2）数依次增大

巩固练习： 20、17、14、11、8、5、（）

对于练习题：提炼出两点：（1）相邻两数之间的差相同

（2）数依次减少

总结：通过例与练，让孩子们认识了等差数列的两种类型。等差数列：（1）相邻两数之间的差相同（2）数依次增加或者减少

提出知识点：公差，项（首项、末项），项数

回到例题与练习：让学生分别指出其中的公差，项（首项、末项），项数 目标：达到初步的认识

(二)通项求解

例2：（1）2、5、8、11、14„。按这样的规律排列的一串数，其中第21项是多少？

（2）把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【教学建议】 在认识等差数列的基础上，让学生们有意识结合这种特殊的规律解题。并总结出通项公式！

让学生独立探索完成，然后收集学生的解题方法，学生可以会出现的情况： A、采用最笨的办法，直接按照规律，直接写到第21项 B、通过心算，直接写出第21项数，但无法列出算式 C、能过根据已知的数，列出算式（数出增加的公差）——（属于概括能力强的孩子，或者孩子学过）

D、通过列出正确的算式，也明白算理（一般很少，一个班最多1-2个）总结：

A、找出完成得比较好的学生，说出他们的算法，如果有完成C与D的学生，可以让他们当老师来讲讲计算的方法。

B、根据学生回答情况，引导出第21项的变化情况（从第一项，共增加了多少个公差），并让学生列出算式

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C、扩展为其它项时，公差的增加情况，并让学生列出算式 D、总结通项公式（让学生先总结）

项=首项+公差*项数差

巩固练习： 有一堆按规律摆放的砖。从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖······按照这样的规律，第19层有多少块砖？

【教学建议】 在学习例2的基础上，鼓励学生用例2总结出的结论计算本题。并让学生说出计算方法，以及算理，巩固等差数列的通项公式！

例3：已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？ 【教学建议】

加深对等差数列，及公差的理解，并让学生活用通项公式求项。

项=首项+公差*项数差

引导学生灵活使用等差数列，灵活使用公式“项=首项+公差*项数差”，灵活确定首项，并能正确求解项数差！

巩固练习：冬冬先在黑板上写了一个等差数列，刚写完阿奇就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73。你能算出这个等差数列的公差和首项吗？

【教学建议】 层次在例3的基础上，更进一层。

让学生熟练，如何寻找公差，进一步理解等差数列中项的变化！难点：求公差！

巩固点：求项（灵活确定首项与项数差）

注：通过前面的学习，同学们可以达到的目标，（1）熟练确认等差数列，并轻松找出公差；（2）熟练运用通项公式求项；(三)项数求解

15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完。请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？

【教学建议】 问题1(1)在知道首项、末项与公差的基础上，如何求项数。

| 三年级·提高班·教师版 | 第1讲 例4：小悦读一本课外书，第一天读了

(2)题目比较形象，同学们可以自己探索完成问题1(3)同学们完成问题1的可能性有：A-通过列出每天看的页数，找出天数（天数较少，同学们极容易用这种方法解题）B-通过寻找增加的公差数与项数的关系找出天数（达到此水准的孩子，比例较低）(4)跟据学生对问题1的完成情况，适当提示并翻译本题：A-每天看的页数组成等差数列；B-天数为项数；C-引导向增加的了多少个公差，说明这是第几项，即第几天？(5)让学生跟据所引导，列出算式。

总结—根据同学们列出的算式总结出公式：（末项-首项）÷公差+1 问题2（1）涉及等差数列求和公式，因为本题中的重点是求项数，如果涉及过多知识点，学生容易厌烦，学习率不高，所以对于问题2，可以让学生用基础的方法算出，鼓励用好方法计算。但不做细讲，提示这就是等差数列求和，将在下面重点讲解。15+18+21+24+27+30+33+36 巩固练习：体育课上老师指挥大家排成一排，小叮当站排头，小叮咚站排尾，从排头到

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排尾依次报数。如果小叮当报3，小叮咚报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？

【教学建议】 对于项数求解的巩固。

注：经过前面的讲解，学生对于公差数与项数的关系有比较清晰的认识，完成此题，难度不大，可以出现在列式上。老师可以加以提示，与纠正。

(四)简单的等差数列求和

1.高斯求和故事引出-等差数列求和 2.着重点明高斯求和，并引出倒加法。思路：

揭晓高斯故事答案：5050 揭晓高斯巧妙方法：1+2+3+4+……+100（用彩虹桥讲解—即同学们熟知的首位相加）

注：这种方法，大部分同学都知道，讲解起来不算新鲜。

疑问：高斯所计算的这个等差数列，项的个数是偶数，刚好可以成对相加；如果这个等差数列是奇数相时，能够刚好成对相加吗？那这种方法似乎并不适用于所有的等差数列，那么有没有一种适合所有等差数列的方法呢？ 提示：讲解“倒加法“ 总结：学生自主总结。

等差数列求和：（首项+末项）×项数÷2

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同学们得到了高斯的智慧，于是乎，你们都成了小高斯。所以，小高斯们，赶快去试试吧。

例5：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

[教学建议] 例5和练习，项数不多，可以试着在原算是下面，反写一遍数列。得到直观地计算，让学生练习等差数列求和公式。

学生先试着独立完成，老师提示引导，并订正。巩固练习：11+12+13+14+15+16+17+18+19 总结：回忆等差数列公式（学生回忆），并提示公式中，必须要知道的量。

例6：计算：

（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30（2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1

[教学建议] 经过例5和练习的锻炼，对等差数列求和与倒加法有了一定的熟悉。所以例6，着重让学生们在不重新写出反数列的情况下，利用等差数列计算。

巩固练习：计算：（1）5+11+17+···+77+83（2）193+187+181+···+103

[教学建议]（1）项数未知，需要学生经过比较复杂的计算，题目比较综合。

（2）第一题，在学生试着去完成后，老师带着学生完成此题。让学生提升等差数列公式的运用能力，能够根据等差数列，去寻找未知项。（本题，少项数）（3）第二题，让学生独立尝试完成。订正。总结：回忆等差数列（学生回忆），强调运用等差数列求和时，需要知道的量，如果有某个量未知，需要设法求出，再利用等差数列求和。

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例7：已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71。请问：（1）这个等差数列的第1项是多少？

（2）这个等差数列前10项的和是多少？

[教学建议] 经历了通项公式、项数公式、等差求和的学习，学生已经对这些知识点的记忆比较模糊了，所以先回忆通项公式、项数公式。

（1）通项公式：项=首项+公差*项数差（强调：需要知道公差）（2）项数公式：（末项-首项）÷公差+1 [思路导航] 问题1：

先让学生独立完成其中第一个问题。并通过老师讲解，进一步复习通项的求法。问题2：

求前10项和，根据等差数列公式，还需要知道“首项、末项”，也就是需要知道第一项与第10项。

（1）先让学生独立思考，根据学生完成情况，提问学生等差数列公式？还需要知道的量？

（2）让学生根据老师的提示，列出算式，求出和。

注：本题综合性比较强，一方面需要学生综合分析能力，一方面需要学生熟练运用通项公式、项数公式、等差数列。

经历了例7的学习，已经对等差数列的综合运用有了初步的学习。

巩固练习：体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？所有人报的总和是多少？ [教学建议] 问题1：

学生独立完成，此为项数公式的运用。问题2：

求等差数列的总和，题目相对比较简单些，首项、末项、项数都清楚，所以大部分学生能够独立完成。

(五)奇数项等差数列求和公式

刚才说了，双数项等差数列可以通过配对求和，但是奇数项等差数列是否有独特的求和公式呢?(1)列出奇数项的等差数列，探寻配对和除以2后的值与最中间的数，即最后单独的数之间的关系；

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可以发现，最中间的数就是这列数的平均数。总结出奇数项等差数列的求和公式： 中间数*项数=总和。

(2)反过来，强调知道奇数项数列的总和，可以求出中间数。下面，高斯们，我们来试试。

例8：有一串连续单数的数列，前7个数的和是105，问第10项是多少？

[教学建议] 本题主要是联系奇数项等差数列的求和特点，解决此题，题目比较综合。采用学生独立完成，老师引导，并订正的方案。目的：提高学生的综合分析能力。

巩固练习：有一串连续双数的数列，前11个数的和是374，问第25项是多少？

[教学建议] 类同例8，在例8的基础上，学生自主练习，增强学生的综合分析能力。

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课后练习1、41、44、47、50、（）、（）2、3、6、9、12、15···这个按照一定规律的一串数，其中第20项是多少？150项呢？

3、（1）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为23，求末项是多少？

（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少？

4、有一堆粗细均匀的圆木，已知最上面一层有6根，共堆了25层。请问：这堆圆木共有多少根？

5、小王和小高同时开始工作，小王第一个月得到1000元工资，以后每个月都会比前一个月多得60元；小高第一个月得到500元工资，以后每个月都会比前一个月多得40元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？

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