三年级奥数等差数列求和教学设计（合集五篇）

第一篇：三年级奥数等差数列求和教学设计

《等差数列求和》教学设计

【教学目标】：

1、通过学习，初步建立配对求和的逻辑推理，简便计算的能力。

2、培养学生的观察和思考的能力。

3、学习本课知识有助于养成全面地，由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯。【教学重点】

用配对求和的简便方法解决问题，推导等差数列的求和公式。【教学难点】

等差数列求和公式的推导。【教学过程】

一、激趣引入

老师：同学们，如果，我说的是如果。你们第一次来上课老师奖励你们没人一块钱，第二次奖励两块，第三次奖励三块，„„请问，到第10次课后，你们每人得到了多少钱？（学生在草稿纸上计算，老师板书；1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）老师：你们有什么简便的方法计算出这个式子的结果吗？ 学生：凑十法！老师：怎么凑？

学生：1+9，2+8，3+7，4+6。

老师：很好，凑十法也能够很快算出结果。不过，凑十法也有缺陷，你们看，用凑十法最后还剩下走不到伴的数。大家想想，还有什么办法计算？（学生思考，讨论。）老师：请同学来回答。

学生：第一个数和最后一个数相加，第二个数和倒数第二个数相加„„

老师：这位同学观察很仔细。1加上10等于11，2加上9等于11„„这里面十个数刚好分为了5组，每组的和都是11.。所以我们也可以这样来计算这个式子的和。（板书：

（小结：在这里，我们使用了一种简便的计算方法：配对求和。即先配对再求和。）

二、讲授新课

老师：如果，还是如果。老师爱心泛滥，继续奖励你们money。请问，第一百天后，你们每人得到多少钱呢？

（板书：例题一＋ 2 ＋ 3 ＋ 4＋ „ ＋ 98 ＋ 99 ＋ 100）

老师：这个式子又该怎样计算呢？就用刚才老师教的配对求和的方法。谁和谁配对呢？ 学生：1和100，2和99，3和98„„（副板书：

老师：总共有多少对呢？ 学生：50对。

老师：没错，一百个数，两个数一对，可以分为100除以2等于50对。所以在这道题中，我们也可以这样计算。（板书：

老师：1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。这是一个自然数列，它们有着这样的规律。从第二项起每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。后项与前项的差叫该数列的公差。我们把数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

等差数列的求和，我们可以根据刚才的计算的两个式子总结出一道公式。大家说是什么？ 学生：总和=（首项＋ 末项）×项数÷2 板书：总和=（首项＋ 末项）×项数÷2）

老师：使用这个公式要注意，首先要判断这个数列是不是等差数列。（怎么判段？）首项、末项和项数（项数怎么求？）下面我们看例题二。（板书：例题2 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20）老师：这个式子能不能用公式进行求和？ 学生：可以。

老师：好，请一个同学说一下他是怎么做的。学生A：2加20的和乘以7除以2.结果等于77.老师：非常好，现学现用。其他同学有什么问题吗。用些同学可能会有疑问，这里面只有七个数，不够分对啊，还剩下一个光棍呢？这个公式还能不能呢？大家说能不能？ 学生：能！

老师：我们一起来验算一下。（副板书：

老师：两次计算的结果一样吧！说明这个公式是正确的。

老师：这个公式看似很简单，只要一套数字就行了。但是在实际应用中并没那么简单，请看例题三。

（学生读题：小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。问：这本小说共有多少页？）

老师：这道题求这本小说共有多少页。因为每天读“每天读的页数都比前一天多4页”，第一天30页，第二天34页，第三天38页„„最后一天看了70页。我们要求这本小说共有多少页，只要把每天看的页数加起来就行了。可是，我们要一个个加起来吗？ 学生：不用。

老师：不用。小红每天看的页数构成了一个等差数列。我们可以用公式计算。大家看一下这个公式里还有什么不知道？ 学生：项数。

老师：其实天数就是项数。看了多少天，就有多少项。那要怎么求项数呢？（副板书：

（学生观察并思考。）

学生：项数就等于70减去30的差除以4。老师：就这样了吗。学生：还要加上1.老师：很好。（板书：

（小结：在这里，我们来小结一下求项数的公式：项数=(末项－首项)÷公差＋1）

老师：在这里，我改一下题目，把“最后一天读了70页”改为“第十一天刚好读完。问这本书共有多少页？怎么算呢。（学生思考讨论。）学生：还是用等差数列求和公式。老师：这个公式里面还有哪个量不知道？ 学生：末项。老师：怎么求？（副板书：

（小结：在这里，我们来小结一下求末项的公式： 末项=首项＋(项数-1)×公差）

三、完成课堂练习。

学生完成讲义上的课堂练习。

四、布置作业。

五、课后总结。等差数列相关公式： 总和=(首项＋末项)×项数÷2 项数=(末项－首项)÷公差＋1 末项=首项＋(项数-1)×公差

六、板书设计（附后）

七、课后反思。

第二篇：三年级奥数等差数列求和习题及答案

计算

（三）等差数列求和

知识精讲

一、定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。

二、表达方式：常用Sn来表示。

三：求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：

(思路1)1239899100

101505050

（1100）（299）（398）（5051）共50个101(思路2)这道题目，还可以这样理解：

和=12349899100+和100999897321 2倍和101101101101101101101101505050。即，和(1001)100

2四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

（436）922091800，譬如：① 48123236题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209；

（165）33233331089，② 656361531题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333。

例题精讲： 例1：求和：

（1）1+2+3+4+5+6 =（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋„＋85= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21（2）36（3）1247

例2：求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+4+„+199（2）2+4+6+„+78（3）3+7+11+15+„+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900（2）1160（3）5355

例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？

分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756

答案：56

例4：求1+5+9+13+17„„+401该数列的和是多少。

分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：

和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301

例5：有一串自然数2、5、8、11、„„，问这一串自然数中前61个数的和是多少？

分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182 根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612 答案：5612

例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；„

求：

（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？

（2）207排在第几排第几个数？

（3）第13排各数的和是多少？

分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列 若排数为n（n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。

（1）第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数

（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144（2）第十五排第10个数（3）3925

例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133，（158）147。所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332答案：147。

例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？ 分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。

即第1个数是15，第6个数是40。答案：第1个数：15；第6个数：40。

例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？

分析：公差=19-15=4 项数=（443-15）÷4+1=108 倒数第二项=443-4=439 奇数项组成的数列为：15，23，31„„439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35„„443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216 答案：216

例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？

分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991，最大的数是99911，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一

（999）112594． 共有：111111项，所以，所求数的和是：9182799也可以从找规律角度分析． 答案：594

例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6„„问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？

分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和

末项=6+3×（35-1）=108

和=（6+108）×35÷2=1995 答案：1995

16例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中

10、已经填好，这12个数的和为。

‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍16　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍10　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍

分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180。答案：180。

本讲小结：1.一个数列的前n项的和为这个数列的和，我们称为。

2.求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。

练习：

1.求和：（1）1+3+5+7+9=（2）1+2+3+4＋„＋21=（3）1+3+5+7+9＋„＋39= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）25（2）231（3）400

2.求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+„+100（2）3+6+9+„+39 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）5050（2）273

3.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少? 分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180 答案：180

4.所有两位单数的和是多少？

分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。

和=（11+99）×45÷2=2475 答案：2475

5.数列1、5、9、13、„„，这串数列中，前91个数和是多少？ 分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：

末项=1+（91-1）×4=361 和=（1+361）×91÷2=16471 答案：16471

6.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，2，an15，所以n（151）218，其中a11，d（18）8236 所以，白色方格数是：1238（17）7228。

黑色方格数是：1237答案：28（2005200620072008200920102011）2008。7.分析：根据中项定理知：200520062007200820092010201120087,所以原式 2008720087。

答案：7。

8.把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

分析：公差为2的递增等差数列。

平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。

即：最大的数为38。答案：38

9.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

分析：解法1：可以看出，2，4，6，„，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，„，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000 解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000 答案：1000

10.在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的12（1）001，自然数和了．9182799（999）112594，所有不能被9整除的自然数和：50505944456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。答案：594

11.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？

分析：观察发现，这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3，公差是1，末项是10，项数是8 根据求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根）

所以这堆钢管共有52根。



答案：52根。

12.求100以内除以3余2的所有数的和。

解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、„„98公差为3的等差数列，首先求出一3133，再利用公式求和(298) 3321650。共有多少项，(982)答案：1650。

第三篇：等差数列认识 (教师版)三年级 奥数

2013春季

第一讲

等差数列认识

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2013春季

教学目标

1、认识简单的数列；

2、掌握什么是等差数列；

3、会求解简单的等差数列和；

知识点拨

1、如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列，这个数叫做等差数列的公差。

2、等差数列求和：（首项+末项）×项数÷2

3、求项数：（末项-首项）÷公差+1

4、求末项：首项+（项数-1）×公差

(一)课堂引入

1.学生学情分析：

（1）三年级暑假对数列有过认识，并且三年级孩子比较喜欢找规律，并且对找规律比较擅长，所以可以从此入手，让孩子认识等差数列。此为切入点！

（2）数列计算和中，学生已经经历了凑整求和，所以在学习等差数列求和时，并不陌生，可以以此切入！此为难点！

2.引入-高斯‘神速求和’的故事

讲故事：高斯出生于一个贫困家庭，幼时家境贫困，但是异常聪明。就在像大家这么大的时候，一次老师出了一道非常难得数学题：把1到100的自然数加起来，和是多少？正在同学们苦思冥想的时候，高斯略加思索就说出了答案。同学们你们知道答案是多少吗？你们知道高斯用了什么方法巧妙地计算出来的吗？

情景1：学生对高斯的故事可能会比较熟悉，或许会清楚1到100的自然数之和，对于这种情况，可以根据学生回答的情况，提问——你们谁知道高斯用了什么方法巧妙地计算出来的呢？

情景2：这个问题，学生回答会比较困难，在此情况下，问:同学们想不想像高斯这样厉害，掌握这种巧妙的方法呢？

那么，我的小高斯们，下面我就先来认识下等差数列。

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2013春季

(二)探索新知

(一)等差数列的认识

例题精讲

例1：1、3、5、7、9、（）

【教学建议】 等差数列的认识。

先让孩子去找规律填数，并让孩子去总结其中的规律所在，并能用合适的语言表达。从中提炼出两点：（1）相邻两数之间的差相同

（2）数依次增大

巩固练习： 20、17、14、11、8、5、（）

对于练习题：提炼出两点：（1）相邻两数之间的差相同

（2）数依次减少

总结：通过例与练，让孩子们认识了等差数列的两种类型。等差数列：（1）相邻两数之间的差相同（2）数依次增加或者减少

提出知识点：公差，项（首项、末项），项数

回到例题与练习：让学生分别指出其中的公差，项（首项、末项），项数 目标：达到初步的认识

(二)通项求解

例2：（1）2、5、8、11、14„。按这样的规律排列的一串数，其中第21项是多少？

（2）把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【教学建议】 在认识等差数列的基础上，让学生们有意识结合这种特殊的规律解题。并总结出通项公式！

让学生独立探索完成，然后收集学生的解题方法，学生可以会出现的情况： A、采用最笨的办法，直接按照规律，直接写到第21项 B、通过心算，直接写出第21项数，但无法列出算式 C、能过根据已知的数，列出算式（数出增加的公差）——（属于概括能力强的孩子，或者孩子学过）

D、通过列出正确的算式，也明白算理（一般很少，一个班最多1-2个）总结：

A、找出完成得比较好的学生，说出他们的算法，如果有完成C与D的学生，可以让他们当老师来讲讲计算的方法。

B、根据学生回答情况，引导出第21项的变化情况（从第一项，共增加了多少个公差），并让学生列出算式

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C、扩展为其它项时，公差的增加情况，并让学生列出算式 D、总结通项公式（让学生先总结）

项=首项+公差*项数差

巩固练习： 有一堆按规律摆放的砖。从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖······按照这样的规律，第19层有多少块砖？

【教学建议】 在学习例2的基础上，鼓励学生用例2总结出的结论计算本题。并让学生说出计算方法，以及算理，巩固等差数列的通项公式！

例3：已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？ 【教学建议】

加深对等差数列，及公差的理解，并让学生活用通项公式求项。

项=首项+公差*项数差

引导学生灵活使用等差数列，灵活使用公式“项=首项+公差*项数差”，灵活确定首项，并能正确求解项数差！

巩固练习：冬冬先在黑板上写了一个等差数列，刚写完阿奇就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73。你能算出这个等差数列的公差和首项吗？

【教学建议】 层次在例3的基础上，更进一层。

让学生熟练，如何寻找公差，进一步理解等差数列中项的变化！难点：求公差！

巩固点：求项（灵活确定首项与项数差）

注：通过前面的学习，同学们可以达到的目标，（1）熟练确认等差数列，并轻松找出公差；（2）熟练运用通项公式求项；(三)项数求解

15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完。请问：小悦一共读了多少天？这本课外书共有多少页？

【教学建议】 问题1(1)在知道首项、末项与公差的基础上，如何求项数。

| 三年级·提高班·教师版 | 第1讲 例4：小悦读一本课外书，第一天读了

(2)题目比较形象，同学们可以自己探索完成问题1(3)同学们完成问题1的可能性有：A-通过列出每天看的页数，找出天数（天数较少，同学们极容易用这种方法解题）B-通过寻找增加的公差数与项数的关系找出天数（达到此水准的孩子，比例较低）(4)跟据学生对问题1的完成情况，适当提示并翻译本题：A-每天看的页数组成等差数列；B-天数为项数；C-引导向增加的了多少个公差，说明这是第几项，即第几天？(5)让学生跟据所引导，列出算式。

总结—根据同学们列出的算式总结出公式：（末项-首项）÷公差+1 问题2（1）涉及等差数列求和公式，因为本题中的重点是求项数，如果涉及过多知识点，学生容易厌烦，学习率不高，所以对于问题2，可以让学生用基础的方法算出，鼓励用好方法计算。但不做细讲，提示这就是等差数列求和，将在下面重点讲解。15+18+21+24+27+30+33+36 巩固练习：体育课上老师指挥大家排成一排，小叮当站排头，小叮咚站排尾，从排头到

2013春季

排尾依次报数。如果小叮当报3，小叮咚报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？

【教学建议】 对于项数求解的巩固。

注：经过前面的讲解，学生对于公差数与项数的关系有比较清晰的认识，完成此题，难度不大，可以出现在列式上。老师可以加以提示，与纠正。

(四)简单的等差数列求和

1.高斯求和故事引出-等差数列求和 2.着重点明高斯求和，并引出倒加法。思路：

揭晓高斯故事答案：5050 揭晓高斯巧妙方法：1+2+3+4+……+100（用彩虹桥讲解—即同学们熟知的首位相加）

注：这种方法，大部分同学都知道，讲解起来不算新鲜。

疑问：高斯所计算的这个等差数列，项的个数是偶数，刚好可以成对相加；如果这个等差数列是奇数相时，能够刚好成对相加吗？那这种方法似乎并不适用于所有的等差数列，那么有没有一种适合所有等差数列的方法呢？ 提示：讲解“倒加法“ 总结：学生自主总结。

等差数列求和：（首项+末项）×项数÷2

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2013春季

同学们得到了高斯的智慧，于是乎，你们都成了小高斯。所以，小高斯们，赶快去试试吧。

例5：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

[教学建议] 例5和练习，项数不多，可以试着在原算是下面，反写一遍数列。得到直观地计算，让学生练习等差数列求和公式。

学生先试着独立完成，老师提示引导，并订正。巩固练习：11+12+13+14+15+16+17+18+19 总结：回忆等差数列公式（学生回忆），并提示公式中，必须要知道的量。

例6：计算：

（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30（2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1

[教学建议] 经过例5和练习的锻炼，对等差数列求和与倒加法有了一定的熟悉。所以例6，着重让学生们在不重新写出反数列的情况下，利用等差数列计算。

巩固练习：计算：（1）5+11+17+···+77+83（2）193+187+181+···+103

[教学建议]（1）项数未知，需要学生经过比较复杂的计算，题目比较综合。

（2）第一题，在学生试着去完成后，老师带着学生完成此题。让学生提升等差数列公式的运用能力，能够根据等差数列，去寻找未知项。（本题，少项数）（3）第二题，让学生独立尝试完成。订正。总结：回忆等差数列（学生回忆），强调运用等差数列求和时，需要知道的量，如果有某个量未知，需要设法求出，再利用等差数列求和。

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例7：已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71。请问：（1）这个等差数列的第1项是多少？

（2）这个等差数列前10项的和是多少？

[教学建议] 经历了通项公式、项数公式、等差求和的学习，学生已经对这些知识点的记忆比较模糊了，所以先回忆通项公式、项数公式。

（1）通项公式：项=首项+公差*项数差（强调：需要知道公差）（2）项数公式：（末项-首项）÷公差+1 [思路导航] 问题1：

先让学生独立完成其中第一个问题。并通过老师讲解，进一步复习通项的求法。问题2：

求前10项和，根据等差数列公式，还需要知道“首项、末项”，也就是需要知道第一项与第10项。

（1）先让学生独立思考，根据学生完成情况，提问学生等差数列公式？还需要知道的量？

（2）让学生根据老师的提示，列出算式，求出和。

注：本题综合性比较强，一方面需要学生综合分析能力，一方面需要学生熟练运用通项公式、项数公式、等差数列。

经历了例7的学习，已经对等差数列的综合运用有了初步的学习。

巩固练习：体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？所有人报的总和是多少？ [教学建议] 问题1：

学生独立完成，此为项数公式的运用。问题2：

求等差数列的总和，题目相对比较简单些，首项、末项、项数都清楚，所以大部分学生能够独立完成。

(五)奇数项等差数列求和公式

刚才说了，双数项等差数列可以通过配对求和，但是奇数项等差数列是否有独特的求和公式呢?(1)列出奇数项的等差数列，探寻配对和除以2后的值与最中间的数，即最后单独的数之间的关系；

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可以发现，最中间的数就是这列数的平均数。总结出奇数项等差数列的求和公式： 中间数*项数=总和。

(2)反过来，强调知道奇数项数列的总和，可以求出中间数。下面，高斯们，我们来试试。

例8：有一串连续单数的数列，前7个数的和是105，问第10项是多少？

[教学建议] 本题主要是联系奇数项等差数列的求和特点，解决此题，题目比较综合。采用学生独立完成，老师引导，并订正的方案。目的：提高学生的综合分析能力。

巩固练习：有一串连续双数的数列，前11个数的和是374，问第25项是多少？

[教学建议] 类同例8，在例8的基础上，学生自主练习，增强学生的综合分析能力。

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课后练习1、41、44、47、50、（）、（）2、3、6、9、12、15···这个按照一定规律的一串数，其中第20项是多少？150项呢？

3、（1）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为23，求末项是多少？

（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少？

4、有一堆粗细均匀的圆木，已知最上面一层有6根，共堆了25层。请问：这堆圆木共有多少根？

5、小王和小高同时开始工作，小王第一个月得到1000元工资，以后每个月都会比前一个月多得60元；小高第一个月得到500元工资，以后每个月都会比前一个月多得40元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？

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第四篇：奥数等差数列练习题

等差数列

1.一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？

2.自1开始，每隔两个数写一个数来，得到数列：1,4,7,10,13，….，求出这个数列前100项只和？

3.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位。最后一排有94个座位。问这个影剧院共有多少个座位？

4.小张看一本故事书，第一天看了25页，以后每天比前一天多看的页数相同，第25天看了97页刚好看完。问：这本书共有多少页？

5.已知数列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，….，这个数列的第30项是哪个数字？到第25项止，这些数的和是多少？

植树问题

1.在一段公路的一旁栽95棵树，两头都栽，每两棵树之间相距5米，这段公路长多少米？

2.有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处，需要3分钟，全部锯完需多少时间？

3.一座楼房每上一层要走16个台阶，到小英家要走64个台阶。她家住在几楼？

第五篇：等差数列的求和公式教学设计

等差数列前n项和

教学案例：

一、教学设计思想

本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。

本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。

在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

二、学生情况与教材分析

1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课；

2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点、难点

1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

教学过程：

1、引入新课（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=，通项公式an=”（见黑板）

生：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。古算书《张邱建算经》中卷有一道题：

今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 师生共同读题

师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？

生1：第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以后每个人都比前一个人多给一钱，共有100人，问共给了多少钱？

师：很好，问题已经呈现出来了，你能用数学符号语言表示吗？

生2：用an表示第n个人所得的钱数，则由题意得： a11,a22,a33,„，a100100

只要求出1+2+3+„+100=？ 师：你能求出这个式子的值吗？

生2：（犹豫片刻）1+100=101，2+99=101，3+98=101„50+51=101，所求的和为101×

1002=5050.师：对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了.高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，„„

第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×

1002=5050 上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，„，n, „的前100项的和.在上面解决问题的过程中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般等差数列的前n项和？

设计意图：通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变.构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣.新教材中增添了一些数学史的知识，从课改的一些举措上我感到在数学教学过程中，应适时掀起数学史的教学盖头。向同学们介绍了《张邱建算经》和高斯及他的算法，讲课的过程中适当插入数学史，为数学教学输入了新鲜血液.培养学生的数学文化，营造浓郁的“人文”氛围.师：设等差数列an的前n项和为Sn，则Sna1a2„an? 生3：（直接给出公式）由刚才问题的结果可知Snn(a1an)2

师：非常好，由具体的推广到一般，这也是研究数学的一种思想方法由特殊到一般，但是这种方法是猜想、推测，是不完全归纳.数学公式的得出需要严谨的推理过程和相关的理论依据.你能否推导这个公式？

生4：Sn(a1an)(a2an1)„+？（遇到困惑，最后一组怎样表示？是剩一项还是两项？）

师：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组，如果1+2+3+„+101=？n项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？ 生4（继续回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102„50+52=102，51=

共有50组多出第51项

n分奇偶性讨论，n为偶数时正好分成n21022(1101)2

组，n为奇数时分成n12组还多一项

∴当n为偶数时，Sn(a1an)(a2an1)„(anan)

22=

n(a1an)2

当n为奇数时，Sn(a1an)(a2an1)„(an1an1)an1

22221

(a1an)(a2an1)„(an1an1)222(a1an)2

=

n(a1an)2

师：好通过分类讨论我们得出了等差数列an的前n项和Sn公式，从所得的结果看无论n是奇数还是偶数Sn的公式一样.那么我们是否可以避开讨论n的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和sn等于多少？

生：

师：所以我们还可以如何求等差数列通项公式？ 生5：Sna1a2„an

Snanan1„a1

将上面两式左右两边分别相加得2Sn(a1an)(a2an1)„(ana1)

=n(a1an)∴Snn(a1an)2

师：此种方法简洁明了，且避开讨论n的奇偶性，我们将这种方法称为“逆序相加法”，在以后解决数列问题是也经常运用“逆序相加法”，主要运用了等差数列下标等距性质.（有学生举手）

生6：我用另外一种方法得出的结果不一样

Sna1a2„ana1da12d„a1(n1)d

=na1123„(n1)d

=na1n(n1)2d

师：这个结果对否？为何会有两个公式？它们之间有联系吗？ 大家一起发现Snn(a1an)2na1a1(n1)d2n(a1an)2na1n(n1)2d

∴等差数列an前n项和公式：Snna1n(n1)2d

师(总结)：我们得到了两个计算等差数列前n项和的公式.由公式可知，只要知道a1,n,an,d

这四个量中的三个就可以求出等差数列前n项和Sn.设计意图：新课标指出“学生的学习过程就是在教师指导下的再创造的过程”在教学的过程中，教师要指导学法，把教与学的过程很好地统一起来，想方法鼓励学生积极参与，大胆设疑、质疑、释疑、辨错、修正，突出过程教学.教师同通过问题情境或学习情境以诱发他们进行探索与问题的解决活动.应用举例

例1等差数列―10,―6,―2, 2„前多少项的和是54?

0,d6(10)4解：设题中的等差数列为an，前n项和为Sn，则a11Sn54，由题意得10n(n1)2454

∴n26n270

解得n19,n23（舍）

∴前9项的和为54.师(总结)：已知量a1,d,Sn，求n，合理选用公式.思想方法：方程思想.设计意图：学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和理解.主要通过方程的思想进行基本量的运算.注意解题格式和规范.例2求集合Mmm7n,nN,m100中元素的个数，并求这些元素的和.解：由7n100,得n1007,即n1427，由于满足不等式的正整数n共有14个，所以集合M中的元素共有14个，将他们从小到大列出，得7，7×2，7×3，„，7×14，这个数列是等差数列，记为an，其中a17,a1498 ∴S1414(798)2735

答：集合M中的元素共有14个元素，它们的和等于735.变式1：Mmm7n,nN,n100

分析：∵n<100,∴M中有99个元素，分别为7，7×2，7×3，„，7×99，变式2：在1到100中被7除余1的正整数共有多少个？它们的和是多少？ 分析：设m是满足条件的数，则m=7n+1,且m<100,nN

或m=7n-6,且m<100,nN

设计意图：高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方法，这要求我们转变教学观念，丰富教学形式，改进学生的学习方式，加大课堂教学的研究性、开放性和自主性，在开展探究活动中培养学生的基本技能，将变式训练与引导学生感悟反思放到同样的高度，进而培养学生的数学能力.练习课本P118 ex 1（板演），2,3,4 小结：（1）了解等差数列an的前n项和公式的推导思想（逆序相加法、分组配对法）.（2）掌握等差数列前n项和的两个公式并能灵活运用解决相关问题.（3）研究问题的方法：由特殊到一般.（4）方程思想：基本量的运算.课后作业： P118

1（2）（4），2，4，5