第一篇:等差数列三个公式及其应用 《举一反三》四年级奥数教案
《举一反三》四年级奥数教案
一、教学内容:举一反三P39--P43
二、教学目标:等差数列三个公式及其应用
1、求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2
2、项数公式:项数=(末项-首项)×公差+1
3、通项公式:第N项=首项+(项数-1)×公差
三、教学难点:根据已知量和未知量,确定使用公式。
四、教学设计:
1、复习上节课内容。
2、由高斯小故事引入新课
【P41例题3】有这样一个数列: 1、2、3、4…99、100,请求出这个数列所有项的和。
【分析】:如果我们把1、2、3、4…99、100与列100、99…3、2、1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050 总结:上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
那么我们来看看,什么叫数列,什么又是等差数列?【P39】
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项,最后一项称为末项。数列中项的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,(即任意相邻两个数的差是一定的),后项与前项的差称为公差。
关于等差数列求和的问题,我们需要记住三个公式,即求和公式、通项公式和项数公式。这也是我们这节课的重点。
前面我们得出的是求和公式。练习:疯狂操练3:(1)、(2)
3、接下来我们来学习另外两个公式:“通项公式”和“项数公式”。
I、项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
【例题1】有一个数列:4、10、16、22…52,这个数列共有多少项? 【分析】仔细观察可以发现,后项与其相邻的前项之差都是6,所以这是一个以4为首项,以公差为6的等差数列,根据等差数列的项数公式即可解答。
由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(52-4)÷6+1=9,即这个数列共有9项。
练习:疯狂操练1(1)、(2)、(3)
II、通项公式:第n项=首项+(项数-1)×公差
【例题2】有一等差数列:3,7,11,15…这个等差数列的第100项是多少? 【分析】仔细观察可以发现,后项与其相邻的前项之差等于4,所以这是一个以3为首项,以公差为4的等差数列,根据等差数列的通项公式即可解答。
由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=3+4×(100-1)=399.练习:疯狂操练2(1)、(2)总结:在等差数列中,只要知道首项、末项、项数、公差这四个量中的三个,就可以利用三个公式求出第四个。
4、综合练习。
【例题4】求等差数列2,4,6…48,50的和。
【分析】仔细观察数列中的特点,相邻两个数都相差2,所以可以用等差数列的求和公式来求。
因为首项是2,末项是50,公差是,2,所以,项数=(50-2)÷2+1=25。再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出
2+4+6+8+…+50=(2+50)×25÷2=650。
练习:疯狂操练4(1)、(2)总结:在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
5、能力升级。
【例题5】计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
【分析】方法一:仔细观察算式中的被减数与减数,可以发现它们都是等差数列相加,根据题意可以知道首项、末项和公差,但并没有给出项数,这需要我们求项数,按照这样的思路求得项数后,再运用求和公式即可解答。
被减数的项数=(100-2)÷2+1=50,所以被减数的总和=(2+100)×50÷2=2550;减数的项数=(99-1)÷2+1=50,所以减数的总和=(1+99)×50÷2=2500。所以原式=2550-2500=50。
方法二:进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1 ~ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)=1+1+1+…+1 =50 练习:疯狂操练5(1)
6、作业:
P42疯狂操练4(2)P42疯狂操练4(3)
P43疯狂操练5(2)
第二篇:错中求错 《举一反三》四年级奥数教案
《举一反三》四年级奥数教案
一、教学内容:举一反三P52--P56
二、教学目标:、让学生了解错中求错问题的出现。、理解解决这类问题的关键是利用加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系。
三、教学难点:利用加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系进行解题。
四、教学设计:
1、复习上周所学内容,讲解作业。
2、新课内容
I、复习加法的变化规律
加数部分与和的变化方向是一样的,加数怎么变,和就怎么变。【例题1】:小李在计算两个数相加时,把一个加数个位上的7错写成1,把另一个加数百位上的2错写成3,所得的和是2003,原来两个数相加的正确答案是多少?
【分析】:我们知道可以根据一个数的位数把它表示成几个数相加,如213=200+10+3。那么,根据题意,由于错写,把一个加数个位上的7错写成1,说明这个加数减少了7-1=6;
把另一加数百位上的2错写成3,说明这个加数增加了300-200=100;
这样加数部分总共增加了100-6=94,所以这时的和比原来正确的和增加了94,原来两个数相加的正确答案是
2003-(100-6)=1909。
练习:疯狂操练1(1)、(2)、(3)总结:
II、复习减法的变化规律
被减数与差的变化方向相同,被减数增大或减少,差也会随之增大或减少;减数与差的变化方向相反,减数增大或减少,差反而会减少或增大。
【例题2】:大明做题时,把被减数个位上的3错写成8,把十位上的6错写成0,这样算出的差是200,正确的差是多少?
【分析】:由于错写,被减数个位上的3错写成8,被减数增加了8-3=5,十位上的6错写成0,被减数减少了60-0=60,这样错写的被减数比原来少了60-5=55;
因为减数不变,根据差的变化规律,差也减少了55,即错误的差比原来正确的差总共减少了55。
那么,原来正确的差应是200+55=255 练习:疯狂操练2(1)、(2)、(3)
总结:可以先根据加法的变化规律得出被减数和减数的变化,然后由减法的变化规律得出原来正确的差。
III、复习除法的变化规律
被除数与商的变化方向相同,被除数扩大或缩小,商也随之扩大或缩小;除数与商的变化方向相反,除数扩大或缩小,商反而缩小或扩大。
【例题3】小明在计算除法时,把被除数1350写成了1305,结果得到商是52,余数是5,正确的商应该是多少?
【分析】:被除数被错写,但除数没有变,我们可以根据错误的被除数,求出除数。根据“被除数=除数×商+余数”,所以
除数=(被除数-余数)÷商=(1305-5)÷52=25,这个除数自始至终都没变过,所以正确的商=正确的被除数÷除数=1350÷25=54。
练习:疯狂操练3(1)、(2)、(3)总结:
【例题4】小星在计算有余数的除法时,把被除数567错写成521,这样商比原来少了2,而余数正好相同。请你算出这道题的除数和余数各是多少? 【分析】: 根据“被除数=除数×商+余数”,商比原来少了2,也就是少了2个除数,被除数比原来少了567-521=46,这样我们可以算出除数就是:46÷2=23,余数就是:567÷23=24···15
练习:疯狂操练4(1)、(2)总结:
IV、复习乘法的变化规律
因数部分与积的变化方向相同。因数扩大或缩小,积随之扩大或缩小。【例题5】晓晓在计算两位数乘两位数时,把一个因数的个位数6错写成9,结果得936,实际应为864,这两个因数各是多少?
【分析】:把一个因数个位数6错写成9,所得的结果比原来多了(9-6=3)个另一个因数,导致实际的积比原来的积增加了936-864=72,那么另一个因数就是:72÷3=24。我们也就可以算出这个错写的因数是:864÷24=36。
所以一个因数是36,另一个因数是24。练习:疯狂操练5(1)
总结:解答这类应用题,往往要采用倒推的方法,从错误的结果入手,分析错误的原因,最后利用和差的变化规律求出加数或被减数、减数,利用积商的变化规律求出因数或被除数、除数。关键是利用加、减、乘、除各算式内部各量的变化关系。
也提醒我们在进行四则运算时,不能抄错题目,不能漏掉数字。计算时要仔细小心,不能丝毫马虎,否则就会造成错误。
3、作业:
P54疯狂操练3(3)P55疯狂操练4(3)P56疯狂操练5(1)
第三篇:和差的变化规律 《举一反三》四年级奥数教案
《举一反三》四年级奥数教案
一、教学内容:举一反三P44--P47
二、教学目标:
1、两个加数同时变化时,和的变化规律。
2、被减数和减数同时变化时,差的变化规律。
三、教学难点:理解两数同时变化时,和、差的变化过程。
四、教学设计:
1、复习上周所学内容,讲解作业。
作业1:计算9+18+27+36+...+261+270.[分析]:这个数列后项和前项的差是9,都相等,所以这个数列是等差数列,我们可以用求和公式计算。
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少,用项数公式。
项数=(末项-首项)÷公差+1=(270-9)÷9+1=30;
首项=9,末项=270,项数=30,则由求和公式可得,和=(首项+末项)×项数÷2=﹙9+270﹚×30÷2=4185。
作业2:1+2-3+4+5-6+7+8-9+...+58+59-60
[分析]:原式=(1+2+3+...+59+60)-2×(3+6+9+...+60)
=(1+60)×60÷2-2×[(3+60)×20÷2] = 570。
2、新课内容
I、我们知道两个数的和的最基本的变化规律是:一个加数不变,和随另一个加数的增加(减少)而增加(减少);和与加数增加或减少的数量都是相等的。下面我们要讲的和的变化规律都是以此为基础演变的。
【例题1】:两个数相加,一个加数减少10,另一个加数增加10,和是否会起变化?
【分析】:一个加数+另一个加数=和
+10
-
-
+10
+10
和先增加10,后减少10,所以和不变。练习:疯狂操练1(1)、(2)、(3)
总结:两个加数同时变化时,和的变化规律有两种。
两个加数同时增加(或减少),和增加(或减少)的数量等于两个加数增加(或减少)的数量之和;两个加数中,一个加数增加,另一个加数减少,和的变化量就是较大变化量与较小变化量的差。
【例题2】:两个数相加,如果一个加数减少8,要使和增加8,另一个加数应有什么变化?
【分析】:一个加数+另一个加数=和
-
-8 → 不变 → +8
和先增加8,后增加8,所以和增加16。那么另一个加数也增加16。练习:疯狂操练2(1)、(2)
总结:两数相加,已知和的变化求加数的变化,可以先使和变化到原来的位置再做解答。
II、学习了和的变化规律,下面我们来看看差的变化规律。我们知道差最基本的变化规律是:如果被减数不变,差随减数的增加(减少)而减少(增加);如果减数不变,差随被减数的增加(减少)而增加(减少);差与减数、被减数增加或减少的数量都是相等的。
那么当被减数和减数同时变化时,差的变化规律是怎样的呢?
【例题3】两数相减,如果被减数减少2,减数也减少2,差是否会起变化? 【分析】:被减数-减数=差
-2
-
-2
-
-2 + 2 差先减少2,后增加2,所以差不变。
练习:疯狂操练3(1)、(2)、(3)
总结:被减数和减数同时增加或减少相同的量,差不变。被减数和减数,一个增加,另一个减少,差的变化量等于被减数和减数的变化量之和。
【例题4】两数相减,被减数增加20,要使差减少16,减数应有什么变化? 【分析】:被减数-减数=差
+20
-
+20
+20 →差不变→-16 要使差减少16,先使差不变,再减少16,所以,差减少20+16=36,则减数增加36。
练习:疯狂操练4(1)、(2)
总结:已知差的变化,要求减数(或被减数)的变化,可以使差先变回原来的位置,再做解答。
3、能力提升。
【例题5】被减数、减数、差相加得2076,差是减数的一半。如果被减数不变,差增加42,减数应变为多少?
【分析】:被减数+减数+差=2076,被减数=减数+差 所以被减数=2076÷2=1038.被减数=减数+差=2×差+差=(2+1)差=1038
差=1038÷(2+1)=346,减数=2×差=2×346=692.当被减数不变,差增加42,则减数减少42,所以减数应变为692-42=650。练习:疯狂操练5(1)
4、作业:
P46疯狂操练2(3)P47疯狂操练4(3)P47疯狂操练5(2)
第四篇:奥数等差数列练习题
等差数列
1.一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
2.自1开始,每隔两个数写一个数来,得到数列:1,4,7,10,13,….,求出这个数列前100项只和?
3.影剧院有座位若干排,第一排有25个座位,以后每排比前一排多3个座位。最后一排有94个座位。问这个影剧院共有多少个座位?
4.小张看一本故事书,第一天看了25页,以后每天比前一天多看的页数相同,第25天看了97页刚好看完。问:这本书共有多少页?
5.已知数列:2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,….,这个数列的第30项是哪个数字?到第25项止,这些数的和是多少?
植树问题
1.在一段公路的一旁栽95棵树,两头都栽,每两棵树之间相距5米,这段公路长多少米?
2.有三根木料,打算把每根锯成3段,每锯开一处,需要3分钟,全部锯完需多少时间?
3.一座楼房每上一层要走16个台阶,到小英家要走64个台阶。她家住在几楼?
第五篇:奥数等差数列教案(小编推荐)
等差数列的主要内容 1等差数列的基本知识 2等差数列的项 3等差数列的和
一等差数列的基本知道
(一)数列的基本知识(1)1,2,3,4,5,6,....(2)2,4,6.8.10,12......(3)5,10,15,20,25,30 像这样按一定的顺序排列的一列数叫做数列。其中每一个数叫做这个数列的项,在第1个位置上的数叫做这个数列的第1项(首项),在最后1个位置上的数叫做这个数列的末项,在第几个位置上的数叫做这个数列的第几项。
(二)等差数列的基本知识(1)1,,2,3,,4,5,6........1 1 1 1 1
每项与前一项都差1(2)2,,4,6,,8,10,21..........2 2
每项与前一项都差2(3)5,10,15,20,25,30 5 5 5 5
每项与前一项都差5 从第2项起,每一项与前一项的差都相等,像这样的数列叫做等差数列,这个差叫做等差数列的公差。
数列:1.3.5.7.9.11..........第2项
3=1+2
首项+公差*1 第3项
5=1+2*2
首项+公差*2
第4项
7=1+2*3
首项+公差*3 第5项
9=1+2*4
首项+公差*(5-1)第6项
11=1+2*5
首项+公差*(6-1)等差数列的莫一项=首项+公差*(项数-1)首先要判定是否是等差数列才能使用这个公式
例1 已知数列2,5,,8,11,14.......求(1)它的第10项是多少?(2)它的第98项是多少?(3)197是这个数列中的第几项?(4)这个数列各项被几除有相同的余数? 分析
首项=2
公差=3 解:(1)第10项:2+3*(10-1)=29
(2)第98项:2+3*(98-1)=293
(3)2+3*(a-1)=197
3*(a-1)=197-2
a-1=(197-2)/3
A=(197-2)/3=66 等差数列的项数=(末项-首项)*公差+1
(4)分析: 被除数=余数+除数*商
等差数列的某一项=2+3*(项数-1)
这个熟练的每1项除以3都余2 等差数列的每1项除以它的公差,余数相同。答。。。。。
三 等差数列的和
例2
6+10+14+18+22+26+30+34+38 分析一:
首项=6 末项=38 公差=4 原数列的和:6+10+14+18+22+26+30+34+38 倒过来的和:38+34+30+26+22+18+14+10+6
44--44
两数列之和=(6+38)*9 解一:原数列之和=(6+38)*9/2
=44*9/2
=98
等差数列的和=(首项+末项)*项数/2
分析二:当等差数列的项数为奇数时,它的正中项与其他项有什么关系
10
14
正中项=各项的平均数 解二:原数列之和=22*9=198
等差数列的和=正中项*项数(奇数)
例3 已知三个连续奇数的和是243,求这三个数 分析:正中项=各项的平均数
解:正中数:243/3=81
最小数:81-2=79
最大数:81+2=83 答。。。
例4 右边的图形中最小的三角形有多少个
(1,3,5,7。。)分析:1 3 5 7 15 首项=1
末项=15
公差=2 解一:1+3+5+7+9+11+13+15
=(1+15)*8/2
=64个
答。。
分析二:
1=1*1
1+3=2*2
1+3+5=3*3
1+3+5+7= 4*4
1+3+5+7+9=5*5
.............解二:1+3+5+7+9+11+13+15
=8*8=64个
答。。。。。。。
例5 计算1+6+11+16+21+26........+276 分析
首项=1 末项=276
公差=5 等差数列的和=(首项+末项)*项数/2
? 解:等差数列的项数:(276-1)/5+1=56项
原数列之和=(1+276)*56/2
=7756
例6 在1到200的整数中,被7除余2的数有多少个?它们的和是多少? 分析:等差数列的每1项除以它的公差,余数相同。
首项=2
公差=7
等差数列的某一项=首项+公差*(项数-1)
解: 因为:200/7=28....4
所以:1到200除以7余2最大的数是:2
200-2=198=2+7*28
共有 28+1=29个 他们的和是:(2+198)*29/2=2900 答。。。。。。。。。。。。。。。
等差数列知识小结
1怎样判断一个数列是等差数列
2怎样求出等差数列的任意一项或项数 3怎样求出等差数列前几项的和
4必须牢记等差数列的基本公式额重要结论
课上例题: 已知数列2,5,,8,11,14.......求(1)它的第10项是多少?(2)它的第98项是多少?(3)197是这个数列中的第几项?(4)这个数列各项被几除有相同的余数?
6+10+14+18+22+26+30+34+38求和已知三个连续奇数的和是243,求这三个数图形中最小的三角形有多少个计算1+6+11+16+21+26........+276 在1到200的整数中,被7除余2的数有多少个?它们的和是多少
课后练习
1.一串数:5,8,11,14,17。。。197.(1)它的第21项是多少?(2)这串数有多少?
2有一串数组成等差数列,第一项是4,第51项是154.(1)它的公差是多少?(2)它的第90项是多少?
3一列数:7,12,17,22。。。。,(1)它的第60项是多少?(2)92是这个数的第几项?(3)这个数列各项被几除有相同的余数?