拓展资源：关于正弦、余弦

第一篇：拓展资源：关于正弦、余弦

关于正弦、余弦

生活离不开数学，数学来源于生活，数学与生活是永远无法分离的。数学是一种科学、一种语言、一种艺术、一种思维方法，它出现于自然、艺术、音乐、建筑、历史、科学、文学，它无比丰富，引人入胜。数学很美，这就要看谁能够在以后的学习中发现数学的美、应用数学的美！

关于正弦、余弦，我们初中阶段只是学习了其中的初步知识。到了高中，我们还将学到正弦定理、余弦定理。正弦定理：abc sinAsinBsinC

222b2c2a2

余弦定理：abc2bccosA,或cosA 2bc

c2a2b2

bca2cacosB,或cosB2ca22

2a2b2c2

cab2abcosC，或cosC 2ab222

这两个定理表达了一个三角形的边长与其内角的正弦值、余弦值之间的数量关系。只要知道了一个三角形的三边之长，我们就有确定的公式求得其内角的正弦值和余弦值。怎么样，很神秘吧！反过来，知道了一个三角形的正弦值和余弦值，能否求得它的三边之长呢？想一想，也许能够得到正确的答案。

第二篇：正弦函数余弦函数图像教学反思

正弦函数余弦函数图像教学反思

由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。课后反思： 比较成功的地方：

1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．

2．教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线——“描点法”作图，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌.因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础.这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．

3．利用正弦线作出y＝sinx在[0, 2]内的图象，再得到正弦曲线，这里借助角周而复始的变化，体会后面性质“周期”，这样的设计由局部到整体，符合探究的一般方法．

4．对于“五点法”老师让学生通过观察、学生讨论、进一步合作交流得到“五点法”作图，也是本节课中一大的亮点，充分体现以学生为主的教学思路．

5．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣． 6．在得到正弦函数的图象后，通过一个探究，引导学生利用诱导公式，结合图象变换研究余弦函数的图象，体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念，有利于培养学生主动探究的意识． 需要改进的地方：

1．时间的把握要恰当，否则会影响课堂后面内容的安排． 2．在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动——在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．

3．由于导入的过程时间稍长，加之本节课的容量过大，尽管在例题的教学过程中及时的改变了教学策略，把例1中的第（2）小题交由学生练习，还是导致了学生练习时间较少．

正弦函数余弦函数图像教学反思

阿城一中

肖正楷

第三篇：正弦定理,余弦的多种证明

正弦(余弦)定理的另类证明

课本利用向量法证明正弦定理，本文来介绍的另外两种证法.正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即a=bsinAsinB=csinC.证法1：（等积法）在任意斜三角形ABC中,S△111absinCacsinBbcsinA，222两边同除以1abc即得：a=b=c2sinAsinBsinCABC=

.C点评：证法1主要利用了任意斜三角形面积可分别转化为三角形不同边与其对应高的乘积的12.此证法体现了转化与化归的思想方法.abAOBDc证法2：（外接圆法）如图1所示，设O为△ABC的外接圆的圆心，连接CO并延长交圆O于D，连接BD，则A=D，BCaa所以sinAsinDCD,即2R.同理 2RsinAbsinB=2R，csinC＝2R.故 a=b=csinAsinBsinC=2R(R为三角形外接圆半径).点评：证法2建立了三角形中的边与对角、外接圆半径三者之间的联系，这三者知二可求一，为正弦定理增添了新内容，体现了数形结合的思想.小结：由以上证明过程，我们可以得到正弦定理的几种变形形式： 1.a: b: c = sinA : sinB :sinC;2.a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;3.sinA=2aR;sinB= 2bR;sinC=2cR.（其中R为△ABC外接圆的半径）

在解决三角形问题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用公式.公式选择得当、方法运用对路是简化问题的必要手段．

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．

对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

证明： 如图：

∵a=b-c

∴a^2=(b-c)^2（证明中前面所写的a,b,c皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc 再拆开，得a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA 同理可证其他，而下面的CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc就是将CosA移到右边表示一下。------------------平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出, 如果一个三角形两边的平方和等于第三 边的平方,那么第三边所对的角一定是直 角,如果小于第三边的平方,那么第三边所 对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边

所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

第四篇：正弦余弦函数的定义教学反思

《任意角正弦、余弦函数的定义》公开课后的教学反思

2017年4月12日，在数学组备课组长、教研组长及所有组内同事的共同指导与帮助下，我有幸在高一1605班上了一节《任意角正弦、余弦函数的定义》的公开课。本节内容是北师大版高一数学必修四第一章第三节的内容，该节内容是对推广后任意角的正弦、余弦函数的重新定义，理论性较强，虽然学生在初中有学习过相应的函数知识，但由于任意角的推广，学生对于任意角的正弦、余弦函数就不那么容易理解了。整节课讲授之后，我才发现学生的学习情况并没有自己想象中的那么理想与完美，因此，对于这节课，我做出以下几点教学反思：

1.对“数学概念”的反思——学会数学的思考

对一名高中数学教师而言教学反思首先是对数学概念的反思。

对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思想，用数学的眼光去看世界去了解世界：用数学的精神来学习。而对于数学教师来说，他还要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，他不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，去挖掘、发现新的问题，解决新的问题。因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。

2.对“备学生”的反思---学会课前多“备学生”

教师在教学生是不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来，这样我们才能更充分了解学生的思想，掌握他们的学习情况。因此，课前充分去“备学生”—--备学生的思想，备学生的差异，备学生的基础都是很有必要的。

3.对“备教材”的反思----学会课前多听课

由于我是今年开学初才接任的高中数学科教学任务，教学时间短，经验不是很足，因此，在备教材的时候，感觉自己也有点力不从心。整节课的内容，虽然我花了很长的时间去备课，但到了真正的课堂，在和学生一起探究正弦、余弦函数定义的环节时，我发现自己仍存在一定的问题，比如：如何引导学生通过构造 直角坐标系和单位圆把任意角放到单位圆上，如何得出任意角的正弦、余弦定义，如何利用定义去得出其他象限角的正弦、余弦函数取值符号等，在和学生探究这些问题的时候，虽然大部分学生都能参与探讨，但学生在讨论过后却还是不太会利用定义解决问题。我认为，应该是自己对教材的定义备得还不是很熟悉，因此，在讲解过程中，也无法向学生进一步讲透概念，导致学生出现对概念的“朦胧感”。

为此，我反思自己，在以后的教学中，我应该多去听有经验教师的课，多去听听他们的教学思路，去学习他们的教学方法，然后结合自己的看法，多角度的把握整章教材，了解教材的教学目标和重难点，不断提高学生在课堂45分钟的学习效率，在有限时间里，争取顺利完成每一节课的教学任务。

4.对学生“学法”的反思-----多让学生动手做，动脑想，动嘴说。在本节课中，我的引导以及讲解过多，这就直接导致了学生想得少，说得少，这与我们所倡导的“以学生为主体”是不协调的。我是一个新老师，对于上课的时间以及节奏总是掌握不好，总是认为学生回答不上来问题所耽误的时间是一种浪费，所以对于新知识以及难题我总等不到学生来回答，而是自己就直接讲解。其实，这是一种很错误的想法：第一，让学生说的过程中，是让学生对所学知识在脑海中整合的过程，这并不浪费时间；第二，学生回答问题是站在学生的角度来想问题并且进行表达，这样其他学生能够更好地理解；第三，让学生回答问题可以检测他们的掌握情况，使教师心中有数。总而言之，让学生多想多表达，是十分有意义的，我以后一定要做到以“学生为主”，讲练结合。

5.对“教学环节”的反思---学会设计流畅的教学环节

设计出一套循序渐进、流畅自如的教学环节，是吸引学生学习的重要方法，环环相扣的环节，它不仅符合学生的认知规律，还能充分激发出学生的学习热情，让学生能在轻松愉快的氛围中探究新知，爱上学习。在本次公开课之后，我重新反思了自己整节课的教学环节，发现环节

二、环节三及环节四依然还是不够顺畅，比如，环节二是讨论“任意角终边上的一点坐标P与单位圆相交”，环节三是“利用定义去讨论每个象限角正弦、余弦值的取值符号”，环节四是讨论“任意角终边上的一点坐标P不与单位圆相交，而是在单位圆外”的知识讨论，我发现环节三和环节四两个环节连接得不够顺畅，不太符合学生对新知的认知规律。所以学生在学完新课后，在练习过程中，对求单位圆上、和圆外的那个交点坐标的正弦、2 余弦函数的值依然是含糊不清。因此，我反思自己，最好还是把环节三和环节四的顺序进行调换，相信这样学生会更容易去理解圆上和圆外一点坐标的意义，从而能快速利用正弦、余弦定义去推广应用计算。

6、对“课堂细节”的反思---学会关爱、及时鼓励学生

高中新课程的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，要及时加以总结，适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。在教学过程中，教师要随时了解学的对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后，让学生复述；讲完一个例题后，将解答擦掉，请中等水平学生上台板演。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会，同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。

7、对“课堂主体”的反思---学会充分发挥学生主体、教师主导作用

学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学，积极调动学生的学习积极性。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。

8.对“教学重难点”的反思---学会重点突破、难点突出

每一堂课都要有教学重点，而整堂的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，适当地还可以插入与此类知识有关的笑话，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。尤其是在选择例题时，例题最好是呈阶梯式展现，我在准备一堂课时，通常是将一节或一章的题目先做完，再结合近几年的高考题型和本节的知识内容选择相关题目，往往每节课都涉及好几种题型。

9、对“学习技能”的反思---切实重视基础知识、基本技能和基本方法

众所周知，近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。教学中急急忙忙把公式、定理推证拿出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。其实定理、公式推 3 证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理。结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套；照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。不少学生说：现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。可见，在切实重视基础知识的落实中同时应重视基本技能和基本方法的培养。

10、对 “学习方法”的反思----渗透教学思想方法，培养综合运用能力

常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材的条章节之中。在平时的教学中，教师要在传授基础知识的同时，有意识地、恰当在讲解与渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力的目的，只有这样。学生才能灵活运用和综合运用所学的知识。

总之，在新课程背景下的数学课堂教学中，要提高学生在课堂40分钟的学习效率，要提高教学质量，我们就应该多思考、多准备，充分做到用教材、备学生、备教法，提高自身的教学机智，发挥自身的主导作用。

任课教师：

2017年4月15日

第五篇：《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计

《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计

一、教材分析 1.教材的内容和地位

《正弦函数、余弦函数的性质》是人教A版数学必修4的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的定义和图像之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容共两课时，这里讲的是第一课时，主要是探究正弦、余弦函数的定义域、值域（最值）和周期性，而对奇偶性、对称性和单调性的探究则放在第二节课。正弦函数、余弦函数的图象和性质是三角函数里的重要内容，也是高考热点考察的内容之一。本节课的学习过程中，数形结合的思想方法贯穿了本节内容的始终，利用图像研究性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图象，充分体现了数形结合的数学思想方法。2.教学目标

根据《新课标》的具体要求，结合学生现有的认知水平，确定教学目标如下：

（1）知识与技能：通过观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题；

（2）过程与方法：培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力，培养学生自主探究的能力，深化研究函数性质的思想方法；

（3）情感、态度与价值观：让学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力。

3.教学重点和难点

重点：通过观察正弦、余弦函数的图像研究正弦、余弦函数的性质； 难点：周期函数、最小正周期的意义。

二、学情分析

本课之前，学生已经学习了《必修一》，学习了函数的性质和研究函数的一般方法，学习了正弦函数、余弦函数的概念、图像以及诱导公式，这些都为本节课的学习打好了基础。函数的定义域、（最值）值域、奇偶性、单调性等性质，学生类比指数函数、对数函数、幂函数的研究方法不难由观察图像得出结论，但对于函数的周期性，学生是第一次接触，对概念的理解可能会有困难。

三、教法学法分析 1.教法分析

本节课以学生为主体，教师引导学生通过观察正弦函数图像，自主探究，总结规律，再类

比正弦函数得到余弦函数的相应结论，并能应用规律分析问题，解决问题。在教学中以引导启发为主，在学生观察比较的基础上，师生以问答形式共同研究探讨，让学生经历知识再发现、再创造的过程。

2.学法分析

教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是要让学生“学会方法”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键。本节教学中通过观察函数图象，充分调动学生已有的学习经验，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。

四、教学过程分析

这节课的流程主要分为五个阶段：复习回顾；探究正弦函数的定义域、值域（最值）；探究正弦函数的周期性；探究余弦函数的性质；巩固练习。

（一）、复习回顾，引入新知

师：回顾前面学习函数时，是如何研究它的性质？研究它的哪些性质？

生：（预计）先画图，通过观察图象得性质，主要研究函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、对称性、定点等

师：本节课我们只研究前三个问题，对其它性质的研究放在下节课。PPT展示画正弦函数图像

【设计意图】：通过复习，建立新旧知识间的联系，为通过观察函数图象研究函数性质做好准备，让学生对周期性有个直观的印象，为周期性的出现做好铺垫。

（二）、探究正弦函数的定义域、值域（最值）

师：观察正弦函数的图象，填写下表（学生回答，相互补充，师生一问一答间得出结论）

例1：求下列函数的最大值和最小值，并求出取最大值和最小值时x的集合.(1)ysinx1,xR;(2)y3sin2x,xR.【设计意图】：通过观察函数图像，结合已有知识和方法，学生自己归纳总结正弦函数的性质，培养学生自主探究、研究问题、解决问题的能力。

（三）、探究正弦函数的周期性

师：从正弦函数的作图过程中，我们发现正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这个规律是之前所学函数不具有的，我们用“周期性”来刻画这一规律。观察正弦函数的图象，发现将

正弦函数图象向左或向右平移2π个单位，图象保持不变，向左或向右平移4π个单位，图象也不变

（给出周期函数、周期的定义）

周期函数定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期．

师：正弦函数的周期是多少？（2kπ(k∈Z且k≠0)）师：概念中有哪些关键词？（辨析概念）

思考：等式sin(42)sin4是否成立？如果成立，能不能说2是y=sinx的周期？

判断下列说法是否正确:(1)x3时，sin(x2)sinx,则23一定不是ysinx的周期;（(2)由诱导公式sin(x3(3)若T(T≠0)是f(x)的周期，则32)sinxxkT(k3，所以ysin3的周期为2π；（∈Z且k≠0)一定是f(x)的周期；（【设计意图】：引导学生关注定义中的关键词，从而加深对数学概念的理解.例2：求下列函数的周期：

（1）y=3sinx(x∈R);

(2)y=sin2x(x∈R);

（2）y=2sin(12x6);(x∈R)

变式练习：yAsin(x)(A0,0)(xR)结论：yAsin(x),(A0,0)的周期是T2 【设计意图】：进一步加深对周期函数和周期的理解。

(四)、探究余弦函数的性质

PPT展示正弦函数的性质（表格形式）

师：请画出余弦函数的图像，类比正弦函数的性质，试探究余弦函数的相关性质。（学生活动：学生合作学习，得到余弦函数性质，完成表格）

(五)、巩固练习：）））

1.求下列函数的周期

x(2)y3cos,xR;4 1(3)ysin(2x),xR;(4)y3cos(x),xR.1024(1)ysin3x,xR;2.已知函数yf(x)的周期是3，且当x[0,3]时，f(x)x21.(1)求f(1),f(5),f(16);

(2)求当x[3,6]时得解析式

（六）、总结回顾，提出课后思考

以问题的形式：本节课主要学习了哪些知识？让学生自己概括出所学内容。正弦函数、余弦函数性质，周期函数、周期、最小正周期概念 【设计意图】：通过小结，深化学生知识理解、完善学生认知结构。

拓展思考：

1.是不是只有三角函数是周期函数呢？你还能找出其他的周期函数吗？

2.周期函数一定存在最小正周期吗？

1,当x是有理数，3.函数D(x)是周期函数吗?

0,当x是无理数.作业：

P46习题1.4 A组3, 10

B组1, 3