等比数列前n项和的证明方法

第一篇：等比数列前n项和的证明方法

等比数列前n项和的证明方法

若公比q=1,则Sn=a1+a2+...+an=a1+a1+...+a1=na1 等比数列前n项和Sn=a1+a2+...+an=a1(1-q^n)/(1-q)(公比q≠1)

证:Sn=a1+a1q+a1q^2...+a1q^(n-1)...........(1)qSn=a1q+a1q^2+....a1q^(n-1)+a1q^n.......(2)

(1)-(2):

(1-q)Sn=a1-a1q^n

∴Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

第二篇：等比数列前n项和作业

第五章第3讲

一、选择题

1.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5＝()A.1B.2C.4D.8

2.[2013·安徽名校联考]已知等比数列{a的前n项和为S39

n}n，a32S3＝2，则公比q＝()

A.1或－1B.－1C.1D.－1或1222

3.[2013·泉州五校质检]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5的值为()

A.33B.72C.84

D.189

4.[2013·合肥质检]已知数列{an}满足a1＝1，an＝2n

(n∈N*

＋1·an)，则a10＝()A.64B.32C.16D.8

5.[2013·衡阳三联]设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝()

A.33B.31171544C.2D.2

6.[2013·湖南重点中学调研]若等比数列{an}的公比q＝2，且前12项的积为212，则a3a6a9a12的值为()

A.24B.26C.28D.212

二、填空题

7.已知等比数列{a}中，a5

n1＋a3＝10，a4＋a6＝4，则等比数列{an}的公比q＝________.8.[2013·金版原创]设等比数列{an}的前n项之和为Sn，已知a1＝2011，且 an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2012＝________.9.[2013·南京模拟]记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知

am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________.三、解答题

10.[2013·锦州模拟]设Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．

(1)求a2的值；

(2)若{an}是等比数列，且an＋1

11.[2013·湖州模拟]已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.12.[2013·浙江模拟]已知公差不为0的等差数列{a(a∈R)，且11

n}的首项a1为aa1

a2，a4

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N*，试比较11111

a2＋a22＋a23＋…＋a2na1

第三篇：等比数列及其前n项和(学生)

自强学校高一数学

等比数列及其前n项和

1．等比数列的定义

如果一个数列从

A．2B.2C.2D.24．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的()

A．充分而不必要条件C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S20＝8则S30＝________.等比数列中基本量的运算

【例1】 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a49q∈(0，1)．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．

总结：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．

练习1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.等比数列的判定及证明

【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．

总结：证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明an＋1*2*

＝q(q≠0，n∈N)，二是利用等比中项法，即证明an＋1＝anan＋2≠0(n∈N)． an

练习2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

等比数列的综合应用

【例3】(2010·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)证明：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小整数n.总结：数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，从而一直成为高考命题者的首选．

练习3．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn，n＝1,2,3，„，求：

(1)a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；(2)a2＋a4＋a6＋„＋a2n的值．作业:

一、选择题

1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4q＝()

111A．－2B．2C．2D.22．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()

A．42B．7C．6D．52

13．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－5t的值为()

A．4B．5C.5D.54．已知等比数列{an}中，若a1 005·a1 007＝4，则该数列的前2 011项的积为()

A．42 011B．±42 011C．22 011D．±22 011

225．若a1＝1，对于任何n∈N*，都有an＞0，且nan＋1＝(2n－1)an＋1an＋2an.设M(x)表示

整数x的个位数字，则M(a2 011)＝()

A．2B．3C．4D．5

二、填空题

6．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若数列{an＋c}恰为等比数列，则c的值为________． 7． 等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝____.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，„)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.三、解答题

10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．

11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．

(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

12.在数列{an}中a1＝1，an＝2(an－1－1)＋n(n≥2，n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；(3)求数列{an}的前n项和Sn.

第四篇：等比数列及前n项和学案

2014届高三理科数学学案教师寄语：学数学的诀窍 勤思 善思 多思

等比数列及前n项和2013.11命制人：刘晓琳

一、复习要求 掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式

二、知识梳理 1．等比数列定义：

2．通项公式

2、等比数列an的公比为q，首项为a1，前n项和Sn

Sn

3．等比中项:若a、b、c成等比数列,则b是a、c的等比中项,且bac 4．等比数列{an}的性质: 3．等比数列an前n项和Sn的相关性质

5．证明数列为等比数列的方法:

三、基础训练 1 等比数列an中，(1)已知a13,q2 则a6=__________________

(2)已知a320,a6160则a9=______，an______________(3)已知a14,q

2则s10=__________________(4)已知a11,ak243,q3则sk=___________________

2在243和3中间插入3个数，若这5个数成等比数列，则三个数为____________

3已知等比数列的公比是

25，第四项是

2，则前三项和为________________ 4等比数列a76

3n中，已知s32,s62

则an_______,s9___________

5等比数列an中，前四项之和为240，第2项，第4项之和为180，则首项为____________ 6.已知an是等比数列，an>0，又知a2 a4+2a3 a5+a4 a6=25，那么a3a5（）A.5B.10C.15D.20

四、例题精选

考向一 等比数列的判定

【例1】►（1）若an是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为

① a2n

② a2n③ 1

④lgan

an

（2）已知数列{an}是公比q≠1的等比数列，则在 “(1){anan＋1}，(2){an＋1－an}，(3){an3}，(4){nan}”

这四个数列中，成等比数列的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【训练1】（1）下列命题中正确的是()(A)若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列(B)若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列(C)若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列(D)若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列

（2）设an、bn是项数相同的两个等比数列，c为非零常数，现有如下几个数列，其中必为等比数列的有。

① {anbn}②{canbn}③{

an

b④{anc}⑤｛an·bn｝ n

（3）在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于A．

2n

12B．3nC．2nD．3n1

考向二等比数列的通项公式和求和公式

【例2】►已知等比数列{an}中，已知a3a636,a4a718，an

3.在递减等比数列{an}中,a4+a5=12,a2·a7=27,则a10=________.则n=_________ 2

2．在243和3之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则这3个数是6．在数列{an}中，a1a2an2n1，则a12a22an2__________。

【训练2】

1、等比数列an中，已知a1a2324，a3a436，求a5a6.2、在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5（A）33（B）72（C）84（D）189

47103n10

(nN)，则f(n)等于（）【例3】►

1、设f(n)2222

22.等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为答案1或-4.在等比数列{an}中，已知a1a3a11=8，则a2a8答案

46.已知等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=.答案480 6.设等比数列{an}中,每项均为正数,且a3·a8=81,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于 A.5B.10C.20D.40

24.在等比数列｛an｝中，S4=1，S8=3，则a17+ a18+ a19+ a20的值等于 A.12B.14C.16D.18

10、已知等比数列{an}，公比q=

2n12

2(81)C．(8n31)D．(8n41)7772、在等比数列{an}中，a11,an152,前n项和为sn=-341,则公比q=__,项数n=________

A．

B．

3、在等比数列{an}中，已知sn48，s2n60求s3n4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为.答案

【训练3】

1、设等比数列{an}的前n项和为sn，s41,s817,则an=______________

2、各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为sn，若sn2,s3n14,则s4n_______。

考向四等比数列的性质 【例4】►18.有等比数列中，①已知a33,a748,则a5__________.②若a52,a1010,则a15__________.③若a45,a86,则a2a10__________.16

22n

(81)7

且a1+a3+„+a49=30,则a1+a2+a3+„+a50=()2

A．35B．40C．45D．50

14.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3……a30=230,那么a3a6a9…a30等于 A.210B.220C.216D.215 【训练4】

考向五等比数列与等差数列的综合a3a

41a2,a3,a1

aa52【例5】►25.各项都是正数的等比数列｛an｝的公比q≠1，且成等差数列，则4的值是

1511511

A.2B.2C.2D.2或29、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则

a

1的值是（）a

4A．1B．2C．3D．4

【训练5】1.数列{an}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{bn}的相邻三项.若b2=5,则bn等于

14.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.例1等比数列{an}的前n项和为sn，已知a1an66，a2an1128，sn126，求n和公比q的值。

11、各项均为正的等比数列{an}中，q

553

3n1n1n1n

1A.5·(3)B.5·(5)C.3·(5)D.3·(3)

27.公差不为0的等差数列{an}中，a2,a3,a6依次成等比数列，则公比等于

A.2B.3C.2D.3

40.等比数列{an}的首项a1=1,公比q≠1,如果a1,a2,a3依次是某等差数列的第1,2,5项,则q等于

11，那么当a6时，该数列首项a1的值为（）216

A.2B.3C.-3D.3或-3

A．1B．－1C．2D．－

24．三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，求这三个数。

12、三个数成等比数列，其积为216，其和为26，则此三个数为

五、巩固练习

3．等比数列an中, a29,a5243,则an的前4项和为（）A． 81B．120C．168D．19

22.已知等比数列{an}中，已知a2a836,a3a715则q=______________

（3）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

19、等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为．

3.已知方程xmx

2a1a3a9

aa4a10的值为.12.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则2

14.在等差数列｛an｝中S6=0(d≠0)，如果am，am+1，a2m成等比数列，则m的值等于______.7.若an是等差数列，公差d0，a2,a3,a6成等比数列，则公比为（）A.1B.2C.3D.43、成等比数列的三个数的和等于65，如果第一个数减去1，第三个数减去19，那就成等差数列，求这三个数。

4、已知三个数a，b，c成等比数列，其公比为3，如果a，b8，c成等差数列，求这三个数。

【例6】►有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

【训练6】、2、在2与9之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，求这两个数。3



x

nx20的四个根组成一个首项为的等比数列，则|m-n|=2

。答案：

3.2

2.若数列{an}的前n项和Sn=3n-a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是.答案1

14．（四川理7）已知等比数列an中a21，则其前3项的和S3的取值范围是(D)（Ａ）,1（Ｂ）,01,（Ｃ）3,（Ｄ）,13, 10.（浙江卷6）已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1=C 4

（A）16（14n）（B）16（12n）（C）

3232nn

（14）（D）（12）33

SS6

=3，则9 =S6S3

8.（2009辽宁卷理）设等比数列{ an}的前n 项和为Sn，若

（A）2（B）

（C）（D）3

例4 [2011·北京卷] 在等比数列{an}中，若a1a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋„

＋|an|＝________.a1a3a5a77.已知等比数列｛an｝的公比q=

1aa4a6a8.,则23

Sn为数列{an}的前n项和．3，a2，a34设{an}是公比大于1的等比数列，已知S37，且a13

构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列．，2，，（2）令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和T．

第五篇：等比数列前n项和教案[范文模版]

等比数列前n项和教案

导入：同学们，大家好！数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系，咱们在前边数列这一部分看到了很多有联系的数，排成一定顺序的数，我们重点研究了等差数列和等比数列，正是它们向我们展示了数与数之间美妙的联系，那么首先在等差数列当中，我们学习了等差数列的定义，通项公式和以及前n项求和公式，那么现在咱们一块回忆一下等差数列前n项求和公式的推导过程，在等差数列前n项求和公式的推导过程当中，我们注意到，等差数列的本质特征是从第二项起，每一项比前一项要多一个公差d，那么，再把对等的两项交换顺序后，我们又一次注意到等差数列从倒数第二项起，每一项比后一项少一个d，就是通过这样的本质特征，我们发现了等差数列各项之间的差异，那么我们通过什么样的方式来消除这样的差异呢？（停顿两秒，之后同学一起回答）把这两个式子相加，这样我们就可以得到等差数列前n项求和公式。先找差异，再消除差异，这样的方法我们称之为“倒序相加”的方法。

好，我们再来看等比数列，在等比数列中我们已经学习了它的定义，通项公式，那么接下来应该学习它的（在此停顿一秒，学生一起回答）前n项求和公式，好的，前n项求和公式。首先，我们来看这样一个问题情境，首先我们来做一个假设，假设在座的各位都是小小企业家，现在，你的公司在经营上遇到一些困难需要向银行贷款，银行和你商定，在三年内，公司每月向银行贷款一万元，为了还本付息，公司第一个月要向银行还款一元，第二个月还款2元，第三个月还款4元，„„，那么以此类推，也就是说公司每月还款的数量是前一个月的两倍。那么，你作为这个公司的负责人，你会在这个和约上签字吗？思考一下，和同桌之间讨论一下。

提问，怎么样会不会签约？那么请你吧这么一个在你的公司中遇到的问题给我们建立一个数学模型，我们可以把这个借款的过程（借款的过程也就是银行每月给你的过程，银行每月给的钱可以构成一个？）构成一个等比数列，（等比数列，好，an ,这个数列的首项？）首项是10000，（首项是10000元，）公比是1，（一共有多少项？）一共有36项。（好的，第二个，bn）首项是1元，（也就是你每个月给引港的还款也构成一个等比数列，他的首项是1，公比是？一共是多少项？）

那么你通过什么计算出我不会和银行签约，通过计算数列的和，好，首先我们来看看，在银行借给你的钱的和是？那么你还给银行的钱呢？非常好请坐

现在这位同学帮我们把这个实际问题概括成了数学问题，建立了数学模型，原来是两个等比数列的问题，我们在决定要不要和银行签约的过程也就是去比较一下银行借给我们的钱和我们还给银行的钱之间的差异，好，银行借给我们的前已经解决了，那么我们还给银行的钱又怎样计算呢，这实际上就是一个等比数列求和的问题，这也就是本节课我们要来研究的课题，等比数列前n项和，试想，如果我们掌握了这个方法，我们能精确的计算出我们还给银行的钱是多少，那么我们可以明确地做出判断我是否和银行签约，是不是？

接下来在这个36项求和的过程的当中，这个等比数列求和

等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题，从而求和的实质是减少了项.那现在用这种办法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？