如,在介绍等式恒成立问题原理之后

第一篇：如,在介绍等式恒成立问题原理之后

如，在介绍等式恒成立问题原理之后

基本原理：a1x2b1xc1a2x2b2xc2对于任意的x都成立，则有特别的axbxc0对于任意的x都成立，则有

我会使用以下两题，配合教学

例：二次函数f（x）满足f(x1)f(x)2x,且f（0）=1.(1)求f（x）的解析式；（答案：f(x)=x2-x+1）

(2)在区间1,1上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,确定实数m的范围.（答案：

m<－1.）

ax21例：函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中bbxc

5∈N且f(1)<.2

1(1)试求函数f(x)的解析式；（答案：f(x)=x+）x

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.（答案：(1+2,22),(1－2,－22)）

第二篇：函数、不等式恒成立问题解法(教案)

函数、不等式恒成立问题解题策略

教学目标:

1.通过对不同问题的解题探讨归纳该类问题的一般解法

2.培养学生的分析问题和灵活应用知识解决问题的能力

3.培养学生的数形结合能力

重难点:

分析解决问题的能力,数形结合思想方法的应用 教学方法:

指导练习法

教学过程:

一、复习回顾

引例：（9月月考）

23、已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x且f(0)1．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)在区间1,1上的最大值和最小值。

（3）当x[1,1]时，不等式：f(x)2xm恒成立，求m的范围。

二、归纳：（恒成立问题的基本类型）

类型1：设f(x)ax2bxc(a0)，（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立a0且0。

类型2：设f(x)ax2bxc(a0)

bbb

（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立2a或2a或2a，f()00f()0

f(x)0在x[,]上恒成立f()0

)0

f(

（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立f()0

f()0

b

f(x)0在x[,]上恒成立b

2a

或2a

或b

2a

f()00f()0

类型3：

f(x)对一切xI恒成立f(x)minf(x)对一切xI恒成立f(x)max。类型4：

f(x)g(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或(xI)恒成立。

f(x)ming(x)max

三、例题讲评

例1：若不等式2x1m(x21)对满足2m2的所有m都成立，求x的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x21)(2x1)0，；f(2)0令f(m)m(x21)(2x1)，则2m2时，f(m)0恒成立，所以只需即

f(2)0

12(x1)(2x1)0

x(，所以x的范围是

222(x1)(2x1)0

71,32)。

例2：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

m10

（2）m10时，只需，所以，m[1,9)。2

(m1)8(m1)0

变式：

（1）若不等式x2mx20在x1,2上恒成立，求m的范围。（2）若不等式x2mx20在x1,2上恒成立，求m的范围。（3）若不等式x2mx20在m1,2上恒成立，求x的范围。例3：已知a0,a1,f(x)xa,当x(1,1)时,有f(x)解析：由f(x)xa

x

x

恒成立，求实数a的取值范围。

12，得x

a，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函12

a及(1)

x

数分别在x=-1和x=1处相交，则由1

a



1得到a分别等于2和0.5，并作出函数

1x1x2xx

y2及y()的图象，所以，要想使函数xa在区间x(1,1)中恒成立，只须y2在22

区间x(1,1)对应的图象在yx在区间x(1,1)对应图象的上面即可。当a1时,只有a2

才能保证，而0a1时，只有a

才可以，所以a[,1)(1,2]。

四：小结

对不同的问题的采取的方法是不一样的，要根据具体的情境灵活选择。但一定要借助图像去分析才能选择好恰当的方法去解题。在分类讨论时要注意分类的完整性和合理性，在等号成立的情况下一定要仔细思考。五：同步练习

1、设f(x)lg

12a

4xx

如果x(.1)时，f(x)恒有意义，求a的取值范围。,其中aR，分析：如果x(.1)时，f(x)恒有意义，则可转化为12xa4x0恒成立，即参数分离后a解。

解：如果x(.1)时，f(x)恒有意义12xa4x0，对x(,1)恒成立.a

124

xx

124

x

x

（2x

2

2x)，x(.1)恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求

(2

x

2

2x)x(.1)恒成立。

令t2x，g(t)(tt2)又x(.1)则t(,)ag(t)对t(,)恒成立，又

113

3g(t)在t[,)上为减函数，g(t)maxg()，a。

2244

112、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1axx22a对于任意x[0,1]恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：f(x)是增函数f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立

1axx2a对于任意x[0,1]恒成立

xax1a0对于任意x[0,1]恒成立，令g(x)xax1a，x[0,1]，所以原

问题g(x)min0，又g()xnim)(0ag,0



a

(g,)20a

2

2a2,即g(x)min

1a,a0

2aa1,2a0易

4

2,a2

求得a1。

3、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。

分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2

ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：



0(a1)(a2)0

即a30 f(1)0

a1,2a

1,2

得-3a-2;

综上所述：a的取值范围为[-3，1]。

4、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

解：设T1:f(x)=(x1)2,T2:g(x)logax,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), f(x)

T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只

需g(2)f(2)

故loga2>1,a>1,1

分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所

示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)

当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=

1636

;

2当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=∴a的范围为[

1636，

12）。

6、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：

x10x10

方法一：或∴x<-1或x>3.f(2)0f(2)0

x3或x1f(2)0x4x30

方法二：即2解得：∴x<-1或x>3.f(2)0x1或x1x10

lg2ax

7.若不等式lg(ax)



1在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

x1



解：由题设知2ax0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(ax)0。原不等式变形为lg2axlg(ax)。2]，可得2x10 2axax，即(2x1)ax。又x[1，a

x2x1



1111f(x)11

22x1恒成立。设22x1，在x∈［1，2］上为减函数，可得

f(x)minf(2)

23，知

a

3。综上知

0a

23。

lg2ax

关键点拨：将参数a从不等式lg(ax)

1

中分离出来是解决问题的关键。

f(a)f(b)ab

0

8.已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数且f(1)1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有（1）判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数还是减函数。

11

fxf2x

22。（2）解不等式。

1]、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。（3）若f(x)m2am1对所有x[1，解：（1）设1x1x21，则

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)

x1x

2(x1x2)0，可知f(x1)f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函数。

11x12

1

12x

12

11x2x（2）由f(x)在［－1，1］上是增函数知

11

x|xx

42 42解得，故不等式的解集

（3）因为f(x)在［－1，1］上是增函数，所以f(x)f(1)1，即1是f(x)的最大值。依题意有

m

2am11，对a∈［－1，1］恒成立，即m

2am0恒成立。

令

g(a)2mam，它的图象是一条线段，那么

g(1)m2m0

2

g(1)m2m0m(，2]{0}[2，)。

关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于

（3），转换视角变更主元，把m2am0看作关于a的一次函数，即g(a)2mam在a∈［－1，1］上大于等于0，利用g(a)是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。

第三篇：导数的应用4—恒成立问题

导数的应用4—恒成立问题

高中数学中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,考查综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:1.一次函数型;2.二次函数型;3.变量分离型;4.根据函数的奇偶性、周期性等性质;5.直接根据函数的图象;6.利用导数求解。

“恒成立”的含义，一定是比“比最大的还大”或“比最小的还小”。因此恒成立问题往往又可以转化为求函数最值的问题。A组：

1．（1）实数k为何值时不等式ex

kx对任意xR恒成立？（2）实数k为何值时关于x的不等式lnxkx

恒成立？

2．已知函数f(x)x3ax2x1,aR，若函数f(x)在区间23,1

3

内是减函数.求a的取值范围.3．已知函数f(x)＝－ax3－x2＋x(a∈R)，当x≥1

时，f(x)≤ax恒成立，求实数a的取值范围．

4．设函数f(x)＝ex－e－

x，若对任意的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

5．若关于x的方程x2

2alnx2ax（a＞0）有唯一解，求实数a的值．

6．已知f(x)ln(x1)，g(x)11

x1，试证：对任意的x＞0，都有f(x)g(x)成立．

7．已知函数f(x)ex

kx，xR。

（Ⅰ）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k0，且对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

B组：

1．设函数f(x)

sinx

2cosx

．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．

2．设函数f(x)

lnx

1x

lnxln(x1)．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

3．设函数f(x)

xlnx

(x0且x1)。1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知2x

xa对任意x(0,1)成立，求实数a的取值范围。

(x)=ln2

(1+x)-x24．已知函数f1x

.(I)求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若不等式(1

1n)na

e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.5．设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．

（Ⅰ）当b

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln111n1n2n

3都成立．

6．已知Ax

n(an，bn)（nN*）是曲线ye上的点，a1a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足

S22

n3n2anSn1，an0，n2，3，4，…．（I）证明：数列

bn2

（n≤2）是常数数列； bn

（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是单调递增数列；

（III）证明：当aM时，弦AnAn1（nN*）的斜率随n的增大而单调递增．

7．已知函数f(x)x2

|x1|,g(x)x3ax(a0)，若x1[1,2],x2[2,3]，使得

f(x1)x1

g(x2)恒成立，求实数a是取值范围． 1

第四篇：例谈不等式恒成立中参数范围的确定论文

论文导读:例谈不等式恒成立中参数范围的确定，初中数学论文。

论文关键词：例谈不等式恒成立中参数范围的确定

确定恒成立不等式中参数的取值范围，常需灵活应用函数与不等式的基础知识在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定恒成立不等式中参数的取值范围？课本中从未论及，但它却成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想与数形结合思想指引下，灵活地进行代数变换、综合地运用所学知识初中数学论文，方可取得较好的解题效果，因此此类问题的求解当属学习的难点．笔者试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结．

一、不等式解集法

不等式在集合A中恒成立等价于集合A是不等式解集B的子集；通过求不等式的解集并研究集合间的关系便可求出参数的取值范围．

例1 已知时，不等式|x2－5|<4恒成立，求正数a的取值范围．

解 由得；由| x2－5 | < 4得1< x2< 9，－3 < x <－1或1 < x < 3．记A =，B =(－3,－1)∪(1, 3)，则AB．∴－3 ≤<≤－1（无解）或1≤<≤3，∴0< a≤，故正数a的取值范围(0, ]．

二、函数最值法

已知函数f(x)的值域为 [m, n]，则f(x)≥a恒成立f(x)min≥a，即m > a；f(x)≤a恒成立n≤a．据此，可将恒成立的不等式问题，转化为求函数的最大、最小值问题．

例2 若不等式2x－1 > m(x2－1)对满足－2≤m≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围．

分析 若将原问题转化为集合[－2, 2 ]是关于m的不等式(x2－1)m<2x－1的解集的子集，则解不等式需分类讨论．若今f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，则可将问题转化为f(m)在[－2, 2 ]上的最大值小于零，而f(m)是“线性”函数初中数学论文，则最值在区间端点处取得，便有如下简解．

解 令 f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，则 f(m)< 0 恒成立 f(m)max< 0，解之得

例3 若不等式x2－m(4xy－y2)+ 4m2y2≥0对一切非负的x, y值恒成立，试求实数m的取值范围．

解 若y = 0，则原不等式恒成立；若y≠0，则原不等式可化为

≥0；令t =，则t≥0且g(t)= t2－4mt + m + 4m2≥0．问题转化为二次函数g(t)在区间[0,+∞)上的最小值非负．

故有 或 ．解得m的范围为(－∞, －] ∪[0,+∞)．

说明 二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题，可使原本复杂的问题变得易于解决．

三、参数分离法

将参变元与主变元从恒不等式中分离，则在求函数最值时可避免繁冗的分类讨论，从而更好地实施“函数最值法”．

例4 若不等式2x + 2≤a(x + y)对一切正数x, y恒成立，求正数a的最小值．

解 参数分离，得a≥= f(x, y)．∵x +3y≥2，∴3(x+y)≥2x + 2，∴f(x, y)≤3初中数学论文，∴a≥f(x, y)max=3，∴a的最小值为3．

例5 奇函数 f(x)是R上的增函数，若不等式f(m·3x)+ f(3x－9x－2)< 0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

解 ∵f(x)为奇函数，∴原不等式等价于：f(m·3x)< f(3x－9x－2)，又f(x)在R上为增函数，∴m·3x<3x－9x－2，不等式两边同除以3x，得m<3 x +－1= f(x)．

∵3 x +≥2，当且仅当3 x =时取“=”，∴f(x)min =2－1，故所求m的取值范围为(－∞, 2－1)．

说明（1）在求解本例时，若无分离参数的求简意识，则必转化为含参二次函数在区间上的最值问题，不可避免地要进行分类讨论．

（2）诸多数学问题在通过代数变形后均可转化为形如f(x)= ax+型函数的最值问题，其最值的求解通常用重要不等式或函数单调性来完成．

四、数形结合法

将恒成立的不等式问题，合理转化为一函数图像恒在另一函数图象的上（下）方初中数学论文，进而利用图形直观给出问题的巧解．

例6 若不等式 3 | x + a |－2x + 6 > 0 在R中恒成立，求实数a的取值范围．

解 尝试前述方法均较麻烦，而将原不等式变为

| x + a | >x－2，令f(x)= | x + a |，g(x)=x－2，作出它们的图象如右图所示，便有－a < 3即a >－3，所求范围为(－3,+∞)．

综上所述，求恒成立不等中参数的取值范围固然有四类彼此相联的思考方法，但是，只有在函数思想的指导下，树立数形结合与参数分离的求简意识，面对具体问题时才能取得良好的解题效果．

第五篇：构造直线巧破不等式恒成立问题

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构造直线巧破不等式恒成立问题

作者：苏文云

来源：《学习与研究》2013年第05期

不等式恒成立，求解参变量取值范围的问题，由于集不等式、方程、函数知识于一身，可以较好地考查学生的综合素质与能力，因而，在高考中备受青睐，本文从构造直线人手，给出破解不等式恒成立问题的几种简便且有效的思维策略，用以抛砖引玉。