含参不等式恒成立问题的求解策略

第一篇：含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略

授课人：李毅军

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。现就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、最值法

一般的，若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立f(x)max≤M。因而，含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参数的函数的最值讨论。

例1：已知a＞0，函数f(x)=ax－bx2，当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)| ≤1的充要条件是b－1≤a≤2b。

二、分离参数法

例2：设f(x)=lg12x(n1)xnxan，其中a是实数，n是任意给定的自

然数且n≥2，若f(x)当x∈，1时有意义，求a的取值范围。

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式f(x，)≥0，（x∈D 为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤：

（1）将参数与变量分离，即化为f1()≥f2(x)（或f2()≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D时的最大（或最小）值；

（3）解不等式f1()≥f2max(x)（或≤f2min(x)）得的取值范围。

练习1：已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在0，上是增函数，对于任意x∈R求实数m范围，使f(cos2－3)+f(4m－2mcos)＞0恒成立。

练习2：设0＜a≤54，若满足不等式|x－a|＜b的一切实数x，亦满足不等式| x－a 2|

＜12，求正实数b的取值范围。

练习3：已知向量a=(x2，x+1)，b=(1－x，t)。若函数f(x)=a·b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围。

三、数形结合

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立的问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1．f(x)＞g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 2．f(x)＜g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下方。

例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈10，3内恒成立，求实数a的取值范围。

练习：设f(x)=x24x，g(x)=43x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围。

四、主参换位法

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

例4：若对于任意a∈1，1，函数f(x)=x2(a－4)x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范围。

五、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[m，n][f(a)，g(a)]，则f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即为实数a的取值范围。

例5：当x∈13，3时，|logax|＜1恒成立，求实数a的取值范围。

六、课后练习

1．已知函数f(x)=lgxax2，若对任意x∈2，恒有f(x)＞0，试确定a的取值

范围。

2．若(x，y)满足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求实数c的取值范围。

n3．若不等式11n≤e对任意的n∈N*都成立，其中e是自然对数的底数，求的最大值。

4．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求证f(x)为奇函数；

（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围。

第二篇：高中含参不等式的恒成立问题整理版

高中数学不等式的恒成立问题

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

基本结论总结

例1  对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

例2：已知不等式对于Ｒ恒成立，求参数的取值范围．

解：要使对于Ｒ恒成立，则只须满足：

（1）

或（2）

解（1）得，解（2）＝２

∴参数的取值范围是－２＜２．

练习1.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。

2.若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

3.若不等式的解集是R，求m的范围。

4.取一切实数时，使恒有意义，求实数的取值范围．

例3．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

O

x

yx

关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

解：，则当时，恒成立

当时，显然成立；

当时，如图，恒成立的充要条件为：

解得。综上可得实数的取值范围为。

例4

。已知，求使不等式对任意恒成立的a的取值范围。

解法1：数形结合结合函数的草图可知时恒成立

。所以a的取值范围是。

解法2：转化为最值研究

1.若上的最大值。

2.若，得，所以。

综上：a的取值范围是。

注：1.此处是对参a进行分类讨论，每一类中求得的a的范围均合题意，故对每一类中所求得的a的范围求并集。

2.恒成立；

解法3：分离参数

。设，注：1.运用此法最终仍归结为求函数的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

2.本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。

仿解法1：即

读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处也合题。

例5.已知：求使恒成立的a的取值范围。

解法1：数形结合结合的草图可得：

或得：。

解法2：转化为最值研究

1.，所以。

2.若矛盾。

3.若矛盾。综上：a的取值范围是。

解法3：分离参数

1.时，不等式显然成立，即此时a可为任意实数；

2.时。因为上单调递减，所以；

3.时。因为在（0，1）上单调递减，所以

。综上：a的范围是：。

注：本题中由于x的取值可正可负，不便对参数a直接分离，故采取了先对x分类，再分离参数a，最后对各类中求得a的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a的范围求并集是不同的，应引起注意！

例6.已知：，求使对任意恒成立的x的取值范围。

解：习惯上视x为主元而a为辅元，但本题中是a在上任意变化时不等式恒成立，故可将a视为主元。

变更主元法：设，则的图像为一直线，则时恒成立

即x的范围是：

总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。

二、利用函数的最值（或值域）

（1）对任意x都成立

（2）对任意x都成立。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例1．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得

而抛物线在的最小值得

例2

已知，若恒成立，求a的取值范围.解析

本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立

或或，即a的取值范围为.点评

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本题也可以用零点分布策略求解.设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：是增函数对于任意恒成立

对于任意恒成立

对于任意恒成立，令，所以原问题，又即

易求得。

三、变更主元法

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.用一次函数的性质

对于一次函数有：

例题1：已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.解：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，原不等式可化为

令是关于m的一次函数。

由题意知解得∴x的取值范围是

关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。评注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了

例2．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。

解：令，则原问题转化为恒成立（）。

当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。

故的取值范围为。

例3

已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0

恒成立，求x的取值范围.解析

本题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数，a≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x的取值范围。因此，我们不能总是把x看成是变量，把a看成常参数，我们可以通过变量转换，把a看成变量，x看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a∈[-1,1]时，g(a)>0恒成立，则，得.点评

对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。

例4

对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把

p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。

解：原不等式可化为

(x-1)p+x2-2x+1>0,令

f(p)=

(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：o

y

x

y

x

方法一：或∴x<-1或x>3.方法二：即解得：∴x<-1或x>3.例5

已知，若恒成立，求a的取值范围.解析

本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或，即a的取值范围为[-7，2].点评

对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.设

（1）当时，上恒成立，上恒成立

（2）当时，上恒成立

上恒成立

例6

若时，不等式恒成立，求的取值范围。

解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。

（1）

当即：时，又所以不存在；

（2）

当即：时，又

（3）

当

即：时，又

综上所得：

四、分离参数法

此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；

若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.例1．已知函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。

例2．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。

解：

将问题转化为对恒成立，令，则

由可知在上为减函数，故

∴即的取值范围为。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

例3

已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析

本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题.对于恒成立对于恒成立,令,设,则,即x=1时,k的取值范围是k>2.变式

若本题中将改为，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于恒成立对于恒成立,令,设,则，，k的取值范围是k>.点评

本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值.变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.五、数形结合法

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例1　已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是

.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是

x

y

o

y1=(x-1)2

y2=logax

例2

当x(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

解：设T1:=,T2:,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),<恒成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需

故loga2>1,a>1,1

若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。

解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和

观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；

当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，综上得：

注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.练习1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

练习2：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

变式2：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。

第三篇：函数、不等式恒成立问题解法(教案)

函数、不等式恒成立问题解题策略

教学目标:

1.通过对不同问题的解题探讨归纳该类问题的一般解法

2.培养学生的分析问题和灵活应用知识解决问题的能力

3.培养学生的数形结合能力

重难点:

分析解决问题的能力,数形结合思想方法的应用 教学方法:

指导练习法

教学过程:

一、复习回顾

引例：（9月月考）

23、已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x且f(0)1．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求f(x)在区间1,1上的最大值和最小值。

（3）当x[1,1]时，不等式：f(x)2xm恒成立，求m的范围。

二、归纳：（恒成立问题的基本类型）

类型1：设f(x)ax2bxc(a0)，（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立a0且0。

类型2：设f(x)ax2bxc(a0)

bbb

（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立2a或2a或2a，f()00f()0

f(x)0在x[,]上恒成立f()0

)0

f(

（2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立f()0

f()0

b

f(x)0在x[,]上恒成立b

2a

或2a

或b

2a

f()00f()0

类型3：

f(x)对一切xI恒成立f(x)minf(x)对一切xI恒成立f(x)max。类型4：

f(x)g(x)对一切xI恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或(xI)恒成立。

f(x)ming(x)max

三、例题讲评

例1：若不等式2x1m(x21)对满足2m2的所有m都成立，求x的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x21)(2x1)0，；f(2)0令f(m)m(x21)(2x1)，则2m2时，f(m)0恒成立，所以只需即

f(2)0

12(x1)(2x1)0

x(，所以x的范围是

222(x1)(2x1)0

71,32)。

例2：若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

m10

（2）m10时，只需，所以，m[1,9)。2

(m1)8(m1)0

变式：

（1）若不等式x2mx20在x1,2上恒成立，求m的范围。（2）若不等式x2mx20在x1,2上恒成立，求m的范围。（3）若不等式x2mx20在m1,2上恒成立，求x的范围。例3：已知a0,a1,f(x)xa,当x(1,1)时,有f(x)解析：由f(x)xa

x

x

恒成立，求实数a的取值范围。

12，得x

a，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函12

a及(1)

x

数分别在x=-1和x=1处相交，则由1

a



1得到a分别等于2和0.5，并作出函数

1x1x2xx

y2及y()的图象，所以，要想使函数xa在区间x(1,1)中恒成立，只须y2在22

区间x(1,1)对应的图象在yx在区间x(1,1)对应图象的上面即可。当a1时,只有a2

才能保证，而0a1时，只有a

才可以，所以a[,1)(1,2]。

四：小结

对不同的问题的采取的方法是不一样的，要根据具体的情境灵活选择。但一定要借助图像去分析才能选择好恰当的方法去解题。在分类讨论时要注意分类的完整性和合理性，在等号成立的情况下一定要仔细思考。五：同步练习

1、设f(x)lg

12a

4xx

如果x(.1)时，f(x)恒有意义，求a的取值范围。,其中aR，分析：如果x(.1)时，f(x)恒有意义，则可转化为12xa4x0恒成立，即参数分离后a解。

解：如果x(.1)时，f(x)恒有意义12xa4x0，对x(,1)恒成立.a

124

xx

124

x

x

（2x

2

2x)，x(.1)恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求

(2

x

2

2x)x(.1)恒成立。

令t2x，g(t)(tt2)又x(.1)则t(,)ag(t)对t(,)恒成立，又

113

3g(t)在t[,)上为减函数，g(t)maxg()，a。

2244

112、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立，求实数a的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1axx22a对于任意x[0,1]恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：f(x)是增函数f(1axx2)f(2a)对于任意x[0,1]恒成立

1axx2a对于任意x[0,1]恒成立

xax1a0对于任意x[0,1]恒成立，令g(x)xax1a，x[0,1]，所以原

问题g(x)min0，又g()xnim)(0ag,0



a

(g,)20a

2

2a2,即g(x)min

1a,a0

2aa1,2a0易

4

2,a2

求得a1。

3、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。

分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2

ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：



0(a1)(a2)0

即a30 f(1)0

a1,2a

1,2

得-3a-2;

综上所述：a的取值范围为[-3，1]。

4、当x(1,2)时，不等式(x-1)2

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

解：设T1:f(x)=(x1)2,T2:g(x)logax,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2), f(x)

T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只

需g(2)f(2)

故loga2>1,a>1,1

分析：原方程可化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则如图所

示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)

当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=

1636

;

2当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=∴a的范围为[

1636，

12）。

6、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：

x10x10

方法一：或∴x<-1或x>3.f(2)0f(2)0

x3或x1f(2)0x4x30

方法二：即2解得：∴x<-1或x>3.f(2)0x1或x1x10

lg2ax

7.若不等式lg(ax)



1在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

x1



解：由题设知2ax0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(ax)0。原不等式变形为lg2axlg(ax)。2]，可得2x10 2axax，即(2x1)ax。又x[1，a

x2x1



1111f(x)11

22x1恒成立。设22x1，在x∈［1，2］上为减函数，可得

f(x)minf(2)

23，知

a

3。综上知

0a

23。

lg2ax

关键点拨：将参数a从不等式lg(ax)

1

中分离出来是解决问题的关键。

f(a)f(b)ab

0

8.已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数且f(1)1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有（1）判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数还是减函数。

11

fxf2x

22。（2）解不等式。

1]、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。（3）若f(x)m2am1对所有x[1，解：（1）设1x1x21，则

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)

f(x1)f(x2)

x1x

2(x1x2)0，可知f(x1)f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函数。

11x12

1

12x

12

11x2x（2）由f(x)在［－1，1］上是增函数知

11

x|xx

42 42解得，故不等式的解集

（3）因为f(x)在［－1，1］上是增函数，所以f(x)f(1)1，即1是f(x)的最大值。依题意有

m

2am11，对a∈［－1，1］恒成立，即m

2am0恒成立。

令

g(a)2mam，它的图象是一条线段，那么

g(1)m2m0

2

g(1)m2m0m(，2]{0}[2，)。

关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于

（3），转换视角变更主元，把m2am0看作关于a的一次函数，即g(a)2mam在a∈［－1，1］上大于等于0，利用g(a)是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。

第四篇：高考数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧

在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

2例1对于x∈R，不等式x2x3m0恒成立，求实数m的取值范围。2解：不妨设f(x)x2x3m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f(x)0(xR)，只需

22]。0，即(2)4(3m)0，解得m2m(，2变形：若对于x∈R，不等式mx2mx30恒成立，求实数m的取值范围。2f(x)mx2mx3。①当m=0时，3>0，显然成立。②当m>0时，此题需要对m的取值进行讨论，设

3)。则△<00m3。③当m<0时，显然不等式不恒成立。由①②③知m[0，的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

22f(x)axbxc，由aaxbxc0关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数2f(x)x2kx2，在x1时恒有f(x)k，求实数k的取值范围。例2已知函数解：令F(x)f(x)kx2kx2k，则F(x)0对一切x1恒成立，而F(x)是开口向上的抛物

线。

2①当图象与x轴无交点满足△<0，即4k4(2k)0，解得－2

)时F(x)0，只需 ②当图象与x轴有交点，且在x[1，0k2或k13k2F(1)012k2k0，2kk11

2由①②知3k1

)恒成立，构造一个新函数F(x)f(x)k是解题的关键，再利关键点拨：为了使f(x)k在x[1，用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值

如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。af(x)恒成立af(x)max，即大于时大于函数f(x)值域的上界。af(x)恒成立af(x)min，即小于时小于函数f(x)值域的下界。

2例3已知二次函数f(x)axx，如果x∈［0，1］时|f(x)|1，求实数a的取值范围。2解：x∈［0，1］时，|f(x)|11f(x)1，即1axx1 ①当x=0时，a∈R

2axx111112a22axx1(0，1]xx的最大值。设xx②当x∈时，问题转化为恒成，由恒成立，即求

111111u(x)2x(0，1][1，)，u(x)x4。因xx2x为减函数，所以当x=1时，u(x)max2，可得a2。

22111111111v(x)a224。因x2xx2x的最小值。设xxx由恒成立，即求

1x(0，1][1，)，v(x)x为增函数，所以当x=1时，v(x)min0，可得a≤0。

由①②知2a0。

)上的单调性。关键点拨：在闭区间［0，1］上使|f(x)|1分离出a，然后讨论关于x的二次函数在[1，lg2ax1lg(ax)例4若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

x1解：由题设知2ax0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(ax)0。原不等式变形为lg2axlg(ax)。

2]，可得2x10 2axax，即(2x1)ax。又x[1，a

f(x)minx11111f(x)12x122x1恒成立。设22x1，在x∈［1，2］上为减函数，可得222f(2)a0a3。综上知3，知3。

lg2ax1lg(ax)关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。

xyxycx2y2xy，对任意正数x、y恒成立？试例5是否存在常数c使得不等式2xyx2y

证明你的结论。c

解：首先，欲使xyx2y2xy恒成立（x、y>0），进行换元令

2baxx2ya3，得2xyby2ab

3

c。∴上述不等式变为2ba2abcab，即12ba2ab12b2a12b2a223ab3abb恒成立。寻求3a的最小值，由a>0，b>0，利用基本212b2a12b2a2223bab3不等式可得3a。c

同理欲使2xyaxy2xyx2y恒成立(x、y0)，令x2yb，2abx312ab2bay2bac3ab，3得∴上述不等式变为

c

即1ba1ba1ba22443ab3ab。寻求3ab的最大值，易得1ba1ba22442c3ab3ab3使上述不等式恒成立 3。综上知存在222

关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值3，左边寻找最大值3，可得c=3

三、变更主元

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。

2例6若不等式2x1m(x1)，对满足2m2所有的x都成立，求x的取值范围。

2m(x1)(2x1)0 解：原不等式可化为

2令f(m)(x1)m(2x1)(2m2)是关于m的一次函数。

2f(2)2(x1)(2x1)01132x22 由题意知f(2)2(x1)(2x1)0解得

17122 ∴x的取值范围是

关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

f(a)f(b)0f(x)f(1)1ab例7已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。

（1）判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数还是减函数。

11fxf2x22。（2）解不等式

21]、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。（3）若f(x)m2am1对所有x[1，解：（1）设1x1x21，则

f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(x1x2)0x1x2，可知f(x1)f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函数。

11x12112x1211x2x22（2）由f(x)在［－1，1］上是增函数知

1111x|xx42 42解得，故不等式的解集

（3）因为f(x)在［－1，1］上是增函数，所以f(x)f(1)1，即1是f(x)的最大值。依题意有m22am11，对a∈［－1，1］恒成立，即m22am0恒成立。

令g(a)2mam2，它的图象是一条线段，那么

2g(1)m2m02m(，2]{0}[2，)。g(1)m2m0

关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于（3），2转换视角变更主元，把m2am0看作关于a的一次函数，即g(a)2mam在a∈［－1，1］上大于等2

于0，利用g(a)是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。

第五篇：构造直线巧破不等式恒成立问题

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构造直线巧破不等式恒成立问题

作者：苏文云

来源：《学习与研究》2013年第05期

不等式恒成立，求解参变量取值范围的问题，由于集不等式、方程、函数知识于一身，可以较好地考查学生的综合素质与能力，因而，在高考中备受青睐，本文从构造直线人手，给出破解不等式恒成立问题的几种简便且有效的思维策略，用以抛砖引玉。