立体几何中翻折问题的求解策略

第一篇：立体几何中翻折问题的求解策略

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立体几何中翻折问题的求解策略

作者：司政君

来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第18期

摘要：文章结合几道高考试题，对立体几何中翻折问题的求解策略进行简单分析.关键词：翻折；对应；垂直；角度 在立体几何中，经常将一些平面几何图形如：三角形、平行四边形、梯形等沿其高线、中线、角平分线、对角线进行翻折，或沿经过某一顶点与边垂直、平行的直线翻折，或过其边上某点（顶点除外）与一边平行的直线翻折，得到一个多面体，然后根据给出的条件，进行平行（直线与直线、直线与平面）关系、垂直（直线与直线、直线与平面和平面与平面）关系的证明及距离、角度、面积和体积等的计算.这类问题在高考中也常常出现.在解题过程中，学生由于忽视一些隐含条件而导致思路受阻或解题出错.这些隐含条件就是翻折后得到几何体中，一些点、线、角、面与原平面几何图形的对应关系，以及一些点、线段、角、面之间的位置关系的“变”和“不变”.弄清这些对应关系与变”和“不变”，是会解并正确解题的关键.下面就结合几道高考试题来谈谈立体几何中翻折问题的解决策略.通过上述几道高考试题的分析及解答，立体几何中翻折问题的解决，关键要弄清翻折后的几何体中，某些点、线、面、角等 与翻折前平面图形中点、线、面、角等的对应关系，以及一些点、线段、角、面之间的位置关系的“变”和“不变”.这些对应关系以及“变”和“不变”是解决问题的隐含条件，准确挖掘出这些隐含条件，尤显重要.（作者单位：甘肃省陇南市武都区两水中学 746010）

第二篇：二项式定理问题的求解策略

二项式定理的常见问题及其求解策略

济宁一中高一数学组

贾广素 王艳英(邮编：272000)

电话：*** 二项式问题是历年高考必定考查的内容之一，这部分题目的难度不大，但需要一定的技巧和和求解策略，才能快速求解。本类题目首先需要明确研究的对象，即明确所要研究的是二项式系数还是二项式展开式中某项的系数，从方法上来讲，主要为公式法、性质法和分析法等。下面就通过二项式定理中经常出现的问题谈一谈这类题目的解法。

一、求展开式中的指定项、指定项的系数及常数项问题

此类问题的求解关键在于求出r的值，也可以说是求出指定项是第几项。

1例

1、x展开式中间的项是__________。

x分析：由二项工系数的性质知，若求展开式的中间项，只需判断幂指数的奇、偶特征即可。因为2n是偶数，所以展开式的中间式是第n2n2n2nn。根1项，此时r22据展开式的通项公式知：T2nnnn1nnC2x(1)Cn2n。

x例

2、在x3610的展开式中，含x项的系数是（）。

4646A、27C10

B、27C10

C、9C10

D、9C10 解：Tr1r10rC10x3r0,1,2,,10，令10r6得r4，r 含x项的系数是C10(10644，故选D。3)49C101例

3、x的展开式中的常数项是_________。

3x解：rTr1C10x10r5r1rr3C101x6r0,1,2,,10，令

xr55665r0解得r6常数项为T7C101210。

6二、近似计算问题

解决此类问题要注意题目要结果精确到什么或保留几位有效数字，以便考虑最后一项的取舍，一般要四舍五入。求数的n次幂的近似值 时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。

例

4、求3.0026的近似值(精确到0.001)

6解：原式=(3+0.002)=366350.00215340.002220330.0023

7292.9160.00486731.92086731.921

三、整除与求余问题

此类题目往往考虑用数学归纳法证明，但是步骤较为繁琐，而用二项式定理证明则显得更为简捷。

例

5、利用二项式定理证明：当nN时，32n28n9能被64整除。

证明：32n28n99n18n9(81)n18n9

1n2n1n12n8n1CnCn18Cn1818Cn1818n9 1n223n182（8n1Cn。Cn1818Cn1）1n223n1而8n1CnCn1818Cn1N

32n28n9能被64整除。

例

6、求C33C33C33C33除以9 的余数。

解：由于C33C33C33C33=23318111(91)111

1210=911C9910C999C11911 1210=9910C999C998C112 1233312333所求的余数为7。

四、证明有关的不等式问题

有些不等式可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。

1例

7、求证：213n2。

n证明：当n2时，n1210112n1n0111CnCnCn()Cn()CnCn2。

nnnnn110112n1n又1CnCnCn()2Cn()

nnnn＝2nn11112(1)(1)(1)3 2!n3!nnn 不等式211n3n2成立。

五、利用赋值法求各项系数的和的问题

例

8、设(1xx2)na0a1xa2x2a2n2nx

求a1a3a5a2n1的值。

解：令x1，得a0a1a2a2n3n ①

再令x1得a0a1a2a3a2n1a2n1 ①－②可得a3n11a3a5a2n1＝2。

②。

第三篇：立体几何中的最值问题

立体几何中的最值问题

上犹中学数学教研组刘道生

普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学习中形成。立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，查遍近几年全国各省市的高考题中，与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现，并且成增长趋势。下面举例说明解决这类问题的常用方法。

策略

一、公理与定义法

例

1、在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，S

底面边长为2，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）B

A.55 B.255 C.2D.1【解析】如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ

P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，2。又

5等于OQ的长为2，也就是异面直线BD和SC的 5

公垂线段的长。故选B。

策略二建立函数法

例2正ABC的边长为a，沿BC的平行线PQ折叠，使平面APQ平面BCQP，求四棱锥的棱AB取得最小值时，四棱锥ABCQP的体积。

分析：棱AB的长是由A点到PQ的距离变化而变化，因此我们可建立棱AB与点A到PQ的距离的一个函数关系式，从而求出棱AB的最小值，进而求出体积。

【解析】如图所示，取PQ中点o，显然AOPQ，即AOPQ



由平面APQ平面BCQP，则AO平面BCQP，如图建立直角坐标系Oxyz，设

3

1，得 AOx，因正ABC的边长为a，易知A0,0,x,O0,0,0,Bax,a,022311

AA0,0,xax,a,0ax,a,x 2222

3125

2ax22x2axa22xaxaa2248

即当x

3a时，ABmina 4

423113133a2SBCPQAOaaa 33442464

VABCPQ

评注：对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后不变的数量关系和图形关系；同时还

要仔细观察翻折前后图形的性质。很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。策略三；解不等式法

例3求半径为R的球内接正三棱锥体积的最大值。

分析:要使球内接正三棱锥的体积最大,则需正三棱锥的边或高最大,而高过球心,则可寻球高与半径之间的关系。

【解析】如右图所示，设正三棱锥高O1A=h,底面边长为a由正三棱锥性质可知O1B

又知OA=OB=R则在RtABC中，2a)R2(hR)2 a23h(2Rh)

3hh2Rh1hhR3 2V=2h(2Rh)

(2R

h)2233

(当且仅当

h4

2Rh，即hR时，取等号)正三棱锥体积最大值为

策略四；变量分析法

例4 如图已知在ABC中，C90，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，当AP=AB=2，AEF，当变化时，求三棱锥P-AEF体积的最大值。

分析：的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的，要求三棱锥P-AEF的体积，则需找到三棱锥P-AEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。

【解析】∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC∴ PA⊥BC

又∵BC⊥AC，PA

AC

∴ BC⊥平面PAC，AF平面PAC，∴ BC⊥AF，又∵ AF⊥PC，PCBCC∴AF平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴ PE⊥平面AEF

在三棱锥P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE2，AE2，AF2sin，1112

sin2 EF2cos，VPAEFSAEFPE2sin2cos2

3326

∵0

，∴02，0sin21∴ 当



时，VPAEF取得最大值为

。6

策略五：展开体图法

例5.如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，A

C

则四边形PQRS的周长的最小值是（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.a+b+c

D

图

5【解析】如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各

侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A’、D与D’在四面体中是同一点，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共线，D、B、D’共线，AA'DD'2BD。又四边形PQRS在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S在四面体中是同

一点。因而当P、Q、R在S’S上时，′

′

S'PPQQRRS最小，也就是四边形

SPQRS周长最小。又S'ASA'，所以最小值LSS'DD'2BD2b。故选B。策略六 布列方程法

例

6、棱长为2cm的正方形体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要 使流出来的水量最多，这个铁球的半径应 该为多大？

【解析】：过正方形对角线的截面图如图所示，AC12，AO

3ASAOOS1设小球的半径r，tanC1AC

2在AO1D中，AO1r，∴ASAO1O1S∴13rr，解得r23（cm）为所求。

策略

七、极限思想法

【解析】三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为1，探讨x是否有最值；2若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值。

解析：如图第1题：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是 P、A重合，取值为0，若PBC绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P,A,B,C共面时，PA为菱形ABPC

第2题：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小。故P、O重合时，侧棱取最小极

PO无穷大时，侧棱也无穷大。可知两题所问均无最值。策略

八、向量运算法

例8.在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。

【解析】以A为坐标原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示

，0，x)，的空间直角坐标系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则BP(x1

GP(x1，1，x1)，那么

GPPB2x24x32x22x

122

2211x0

2(x1)20222

2112

x0可以看成x轴正半轴上一点式子(x1)0（x，222

0，0）到xAy平面上两点1

2112，0、，的距离之和，其最小值为。所以0222

2GP+PB的最小值为2

22。2

[规律小结]

建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等。

公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短。球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等。如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径。

解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变

a2b

2ab量的特殊不等关系求解：如

ab

ab

最小角定理所建立的不等关系2

等等。

展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易。

变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法。

除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：布列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过前述实例感受其精彩内涵与真理所在。

在解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径。

第四篇：含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略

授课人：李毅军

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。现就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、最值法

一般的，若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立f(x)max≤M。因而，含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参数的函数的最值讨论。

例1：已知a＞0，函数f(x)=ax－bx2，当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)| ≤1的充要条件是b－1≤a≤2b。

二、分离参数法

例2：设f(x)=lg12x(n1)xnxan，其中a是实数，n是任意给定的自

然数且n≥2，若f(x)当x∈，1时有意义，求a的取值范围。

一般地，利用最值分离参数法来确定不等式f(x，)≥0，（x∈D 为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤：

（1）将参数与变量分离，即化为f1()≥f2(x)（或f2()≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D时的最大（或最小）值；

（3）解不等式f1()≥f2max(x)（或≤f2min(x)）得的取值范围。

练习1：已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在0，上是增函数，对于任意x∈R求实数m范围，使f(cos2－3)+f(4m－2mcos)＞0恒成立。

练习2：设0＜a≤54，若满足不等式|x－a|＜b的一切实数x，亦满足不等式| x－a 2|

＜12，求正实数b的取值范围。

练习3：已知向量a=(x2，x+1)，b=(1－x，t)。若函数f(x)=a·b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围。

三、数形结合

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立的问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1．f(x)＞g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方； 2．f(x)＜g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下方。

例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈10，3内恒成立，求实数a的取值范围。

练习：设f(x)=x24x，g(x)=43x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围。

四、主参换位法

某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

例4：若对于任意a∈1，1，函数f(x)=x2(a－4)x+4－2a的值恒大于0，求x的取值范围。

五、利用集合与集合间的关系

在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[m，n][f(a)，g(a)]，则f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即为实数a的取值范围。

例5：当x∈13，3时，|logax|＜1恒成立，求实数a的取值范围。

六、课后练习

1．已知函数f(x)=lgxax2，若对任意x∈2，恒有f(x)＞0，试确定a的取值

范围。

2．若(x，y)满足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求实数c的取值范围。

n3．若不等式11n≤e对任意的n∈N*都成立，其中e是自然对数的底数，求的最大值。

4．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求证f(x)为奇函数；

（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围。

第五篇：立体几何的证明策略

立体几何的证明策略：

几何法证明

证明平行：3，2，11、线线平行：公理四，10页

线面平行的性质定理，课本20页面面平行的性质定理，36页

2、线面平行：线面平行的判定定理，19页面面平行的性质，36页

3、面面平行：面面平行的判定定理，35页 证明垂直：2，2，11、线线垂直：平移，相交，解三角形线面垂直的定义，23页

2、线面垂直：线面垂直的判定定理，24页面面垂直的性质定理，43页

3、面面垂直：面面垂直的判定定理，43页 向量法证明：

1、线线平行：

ab 

2、线面平行：a1b2c



3、面面平行：a1c2d且b3b4c 

4、线线垂直：ab0



5、线面垂直：ab0且ac0



6、面面垂直：n1n20

求角的方法：

线线角：平移，相交，解三角形

cosab

| a|b|||

线面角：斜线与射影夹角



an

2arcco|a

|n|||

二面角：位置形状两个角度

位置：水平，竖直，有垂面（借助三垂线定理）形状：等腰，直角，全等cos

s1s



与arccos|n1n2

|n|相等或互补 1||n2|

求距离的方法

线线距离：公垂线段

转化为点面距离



d|an

|n|

|其中a是斜向量 点面距离：垂线段（可以借助垂面）转化为其他点到平面距离等体积法



d|an

|n|

|其中a是斜向量