立体几何中的有关证明与综合问题（共5篇）

第一篇：立体几何中的有关证明与综合问题

立体几何中的有关证明与综合问题

例1． 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C'

C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面

上的射影D落在BC上。

（1）求证：AC⊥面BB’C’C。

（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

讲解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。

（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。

因为B’D⊥面ABC，所以，B'BD就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。

由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时B'BD=60。

即当α=60时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。

例2． 如图：已知四棱锥PABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。

（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角BDEC的平面角的正切值。

讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法C是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC为正三角形，所以，DEPC，那么A

我们自然想到：是否有DE面PBC？这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。

在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴ DE⊥CB。

又PCBCC，PC,BC面PBC，∴ DE⊥面PBC。

又DE面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC。

（2）由（1）的证明可知：DE⊥面PBC。所以，BEC就是二面角BDEC的平面角。∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，又平面ABCD内的直线CB⊥ DC。∴ CB⊥面PDC。又PC面PDC，∴ CB⊥PC。

在RtECB中，tanBEC

BCCE



2。

点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。

例3．如图：在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BADADC

SB

，ABAD2a，CDa，E为的中点。

（1）求证：CE//平面SAD；

（2）当点E到平面SCD的距离为多少时，平面SAD所成的二面角为45？

讲解：题目中涉及到平面SBC与平面SAD角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面一方面，要证CE//平面SAD，应该设法证明SAD内的一条直线，充分利用中点（中位线）发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长BC、AD交于点F。

在FAB中，∠BADADC



平面SBC与

所成的二面

角的棱）。另CE平行于面的性质，不难，所以，所以，所以，点

AB、CD都与AF垂直，所以，CD//AB，CD∽FBAF。CDa，又AB2a，D、C分别为线段AF、BF的中点。又因为E为SB的中点，所以，EC的中位线，所以，EC//SF。

又EC面SAD，SF面SAD，所

为SBC

以，CE//

平面SAD。SA⊥平面ABCD，（2）因为：AB平面

AB，所以，ABSA。又ABAF，AFSAA，所以，AB面SAF。过A作AHSF于H，连BH，则BHSF，所以，BHA就是平面SBC与平面SAD所成的二面角的平面角。在RtBHA中，要使BHA=45，需且只需AH=AB=2a。

此时，在SAF中，SA

SFAHAF



SA

4a2a

4a，所以，SA

3a。

在三棱锥S-ACD中，设点A到面SCD的距离为h，则

ADDC

h=

SACDSASSCD



SA

ADSA2

SDCDSD

ADSASA

AD



a

因为AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，点A、B到面SCD的距离相等。又因为E为SB

中点，所以，点E到平面SCD的距离就等于点B到面SCD距离的一半，即

h

2

8a。

点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。

例4．如图，已知PA面ABC，ADBC于D，BCCDAD1。

（1）令PDx，BPC，试把tan表示为x的函数，并求其最大值；

（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得

BQCBAC？

讲解（1）为寻求tan与x的关系，转化为PCDPBD。

∵ PA面ABC，ADBC于D，∴ PDBD。

∴ tanPCD

PDDC

x,tanPBD

PDBD

首先可以将



x2。

x

x2x2

xx2

∴ tantanPCDPBD∵ AD为PD在面ABD上的射影。∴ PDAD1，即x1。∴ tan

xx2。

1x



1x

2x



122



4。

即tan的最大值为

24，等号当且仅当x2时取得。

（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得

tanBQCtanBAC。

tanBACtanACDABD

3。

令tan

xx2



13，解得：1x2，与x1交集非空。

∴ 满足条件的点Q存在。

点评 本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。

例5． 如图所示：正四棱锥PABCD中，侧棱PA与底面

ABCD所成角的正切值为

62。

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面PAD上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。

讲解：（1）连AC,BD交于点O，连PO，则PO⊥面ABCD，∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=

B。

设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO =。

设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角。

在RtPFO中，tanPFO∴ PFO



POFO

，

。即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为

（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，EO//∴ EOD就是异面直线PD与AE所成的角。在RtPDO中，PDOD2PO2

545

22

PD。

∴ EO。

由AOBD，AOPO可知：AO面PBD。所以，AOEO。

在RtAOE中，tanAEO

AOEO

25。

∴ 异面直线PD与AE所成的角为arctan

25。

（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面PBC的一条垂线，然后再平移到点E即可。

为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：面PFO面PBC。延长FO交BC于点G，连接PG。设H为PG中点，连接EH,GH。∵ 四棱锥PABCD为正四棱锥且F为AD中点，所以，G为BC中点，∴ BCPG，BCFG。

∴ BC面PFG。∴ 面PBC⊥面PFG。∵ PFPG，PFO

，∴ PFG为正三角形。

∴ FHPG，∴ FH面PBC。

取AF中点为K，连EK，则由HE//FK及HEFK得四边形HEKF为平行四边形，所以，KE//FH。

∴KE面PBC。

点评 开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。

1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

C1CB

=BCD=60。

（I）证明：C1C⊥BD；

（II）假定CD=2，C1C=，记面C1BD为，面CBD为，求二面角

3BD的平面角的余弦值；

CDCC

1（III）当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明。

CDCC1

[答案与提示：（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）=1。

2．（2002年全国高考）如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a0a

.C

D

E

N

A

F

2；（Ⅱ）a

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ）当MN的长最小时，求面MNA与面成的二面角的大小。

MNB所

[答案与提示：（Ⅰ）MN

2

1a0a22



2时，MN的长最小，为

22；

1

（Ⅲ）arccos]



3

3．（2002年北京高考）如图：在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b，且ac,bd，两底面间的距离为h。

（1）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）证明：EF//面ABCD

（3）在估测该多面体的体积时，经常式V估S中截面h来计算。已知它的体积公

V

h6

底

面

运用近似公

式是

S

上

4S中底S下

截面

。

试判断V估与V的大小关系，并加以证（注：与两个底面平行，且到两个底面距面称为该多面体的中截面）答案与提示：（1）arctan

2hbd

A

a

明。离相等的截

B

；（3）V估V。

4.(1997年全国高考)如图,在正方体

ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中

DC1

点.Ⅰ.证明AD⊥D1F;Ⅱ.求AE与D1F所成的角;Ⅲ.证明面AED⊥面A1FD1;

Ⅳ.设AA1＝2,求三棱锥FA1ED1的体积

[答案与提示：（2）90º；（4）VFAED=1]

A1

A

VFA1ED1

第二篇：立体几何证明问题

证明问题

例1.如图，E、F分别是长方体边形

.-的棱A、C的中点，求证：四边形是平行四

例2.如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD与E、F、G.求证：AE⊥SB.例3.如图，长方体∠求证：

=90°.⊥

PQ

-中，P、Q、R分别为棱、、BC上的点，PQ//AB，连结，例4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如图所示.求证：PQ//平面

CBE.例5.如图直角三角形ABC平面外一点S，且SA=SB=SC，且点D为斜边AC的中点.（1）求证：SD⊥平面ABC.（2）若AB=AC，求证BD⊥平面

SAC.例6.如图，在正方体

-中，M、N、E、F分别是棱、、、的中点.求证：平面AMN//平面

EFDB.例7.如图（1）、（2），矩形ABCD中，已知AB=2AD，E为AB的中点，将ΔAED沿DE折起，使AB=AC.求证：平面ADE⊥平面

BCDE.

第三篇：立体几何的平行与证明问题

立体几何

1．知识网络

一、经典例题剖析

考点一 点线面的位置关系

1、设l是直线,a,β是两个不同的平面（）

A．若l∥a,l∥β,则a∥β B．若l∥a,l⊥β,则a⊥β

C．若a⊥β,l⊥a,则l⊥β D．若a⊥β, l∥a,则l⊥β

2、下列命题正确的是（）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

3、已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,则（）

A．m与n异面.B．m与n相交.C．m与n平行.D．m与n异面、相交、平行均有可能.4、（2013年高考江西卷（文15））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为

_____________.D

1CB

考点二证明平行关系

5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，D C

BDE。求证： AC1//平面

6、（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O

为底面中心, A1O⊥平面ABCD, ABAA1

A

(Ⅰ)证明: A1BD //平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.考点三证明垂直问题

7、（2013年高考辽宁卷（文））

如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(I)求证:BC平面PAC；

(II)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG//平面PBC.8、已知正方体ABCDA1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.D1AD

BBC

1求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC面AB1D1．1

C

综合练习：

9、（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC

边上的点,ADAE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥ABCF,其中BC

.(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;

图

410、如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=证明：PQ⊥平面DCQ；

PD．

2AC平面B'D'DB；BD'

平面ACB'.11、正方体ABCDA'B'C'D'中，求证：（1）（2）

第四篇：立体几何证明中常用知识点

立体几何证明中常用知识点

一、判定两线平行的方法

1、平行四边形

2、中位线定理

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（线面平行的性质定理）

4、比例关系

二、判定线面平行的方法

1、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（线面平行的判定定理）

2、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行的性质定理1）

三、判定面面平行的方法

1、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行（面面平行的判定定理）

2、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则两面平行（面面平行的判定定理的推论）

四、判定两线垂直的方法

1、定义：成90角

2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直（线面垂直的性质定理）

3、三线合一

五、判定线面垂直的方法

1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直（线面垂直的判定定理）

2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直的性质定理）

六、判定面面垂直的方法

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面（面面垂直的判定定理）

第五篇：立体几何中不等式问题的证明方法

例谈立体几何中不等式问题的证明方法

立体几何中的不等式问题具有很强的综合性，解决这类问题既要有较强的空间想象能力，又要有严密的逻辑思维能力，因此有一定的难度．下面我们介绍几种有关的解题方法．

1．利用最小角定理

例1．在直二面角l中，A，B，点A,B不全在棱l上，直线AB与平面,所成的角分别为,，求证：90．

证：如图1，当AB与,都不垂直时，分别在,内作ACl于C，BDl于D，则AC，BD，BAD，ABC．

由最小角定理得ABCABD，BADABCBADABD90．

当AB或AB时，易知90．

综上即得90．

2．利用三角知识

例2．已知三棱锥PABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，求证：0BAC90，0ABC90，0CAB90． 

证：如图2，则在ABC中，由余弦定理得

cosBACABACBC

2ABAC

22222 222

2(PAPB)(PAPC)(PBPC)2ABACPA2ABAC0，0BAC90．

同理可证0ABC90，0CAB90．

3．利用一元二次方程根的判别式

例3．已知球O的半径为定值r，它的外切圆锥的全面积为S，求证：S8r． 证：如图3，作球O的外切圆锥的轴截面PAB，设球O

与圆锥底面直径AB及母线PA分别切于点E和F．再设

AEAFt，则由PAE∽POF，2

得

PEPF



AEOF

PF



4tr，由此有PF

2rttr，Stt(PFt)

2rt

tr，即2t4St2r2S0．

时取等号．

∵t2为实数，S28r2S0，即S

8r2，当且仅当t

4．利用基本不等式

例4．已知三棱锥PABC的侧面PAB、PBC、PCA两两垂直，且这三个侧面与底面ABC所成的二面角分别为、、，求证：coscoscos

9证：如图4，由题设易得CP平面PAB，在侧面PAB内过点P作PEAB于E，则CEAB，∴CEP．设PAa，PBb，PCc，则

PE

cos

CE,同理，cos，cos



coscoscos





5．利用函数的单调性

例5．如图5，A、B是球O面上的两点，O是过A、B的大圆，O1是过A、B的任意小圆，记l大为O中劣弧AB的长，记l小为O1中 劣弧AB的长，求证：l大l小．

证：设OAR，O1Ar(Rr)，AOB2，AO1B2．在等腰AOB和等腰AO1B中，由OAOA1，知022，即0/2．

AB2Rsin，AB2rsin，Rsinrsin，即

sinsin



rR

①．

设f(x)

sinxx

(0x

)，则f(x)

xcosxsinx

x，再令g(x)xcosxsinx(0x



)，则g(x)cosxxsinxcosxxsinx0．

∴g(x)在(0,)上为减函数，故g(x)g(0)0，即xcosxsinx0，从而，当

0x时，有f(x)0，f(x)在(0,

)上也为减函数．

0，rR

sin





sin

，即

sinsin





②，由①、②两式可得



2R2rl大l小．

6．利用平面几何知识



例6．已知P、Q是正四面体ABCD内部的两点，求证：PAQ60．

证：如图6，过点A、P、Q作正四面体ABCD的截面

AEF．若E、F都不是BCD的顶点，不妨设E、F分别是

棱BD、CD上异于端点的点，此时P、Q两点在AEF内，PAQEAF．又ABE≌CBE，AECE．



而EFCEDF60BCFECF，EFCEAE．

同理可得EFAF，EF是AEF中最小的边，故必有EAF60，PAQEAF60．





若E、F中有一个是BCD的顶点，不妨设点F在D处．于是有，PAQEAFBAF60．

