导数的应用4—恒成立问题

第一篇：导数的应用4—恒成立问题

导数的应用4—恒成立问题

高中数学中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,考查综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:1.一次函数型;2.二次函数型;3.变量分离型;4.根据函数的奇偶性、周期性等性质;5.直接根据函数的图象;6.利用导数求解。

“恒成立”的含义，一定是比“比最大的还大”或“比最小的还小”。因此恒成立问题往往又可以转化为求函数最值的问题。A组：

1．（1）实数k为何值时不等式ex

kx对任意xR恒成立？（2）实数k为何值时关于x的不等式lnxkx

恒成立？

2．已知函数f(x)x3ax2x1,aR，若函数f(x)在区间23,1

3

内是减函数.求a的取值范围.3．已知函数f(x)＝－ax3－x2＋x(a∈R)，当x≥1

时，f(x)≤ax恒成立，求实数a的取值范围．

4．设函数f(x)＝ex－e－

x，若对任意的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

5．若关于x的方程x2

2alnx2ax（a＞0）有唯一解，求实数a的值．

6．已知f(x)ln(x1)，g(x)11

x1，试证：对任意的x＞0，都有f(x)g(x)成立．

7．已知函数f(x)ex

kx，xR。

（Ⅰ）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k0，且对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

B组：

1．设函数f(x)

sinx

2cosx

．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．

2．设函数f(x)

lnx

1x

lnxln(x1)．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

3．设函数f(x)

xlnx

(x0且x1)。1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知2x

xa对任意x(0,1)成立，求实数a的取值范围。

(x)=ln2

(1+x)-x24．已知函数f1x

.(I)求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若不等式(1

1n)na

e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.5．设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．

（Ⅰ）当b

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln111n1n2n

3都成立．

6．已知Ax

n(an，bn)（nN*）是曲线ye上的点，a1a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足

S22

n3n2anSn1，an0，n2，3，4，…．（I）证明：数列

bn2

（n≤2）是常数数列； bn

（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是单调递增数列；

（III）证明：当aM时，弦AnAn1（nN*）的斜率随n的增大而单调递增．

7．已知函数f(x)x2

|x1|,g(x)x3ax(a0)，若x1[1,2],x2[2,3]，使得

f(x1)x1

g(x2)恒成立，求实数a是取值范围． 1

第二篇：高考数学导数专题讲义二：恒成立

导数中恒成立存在问题+零点问题

探究1

已知函数，其中ÎR．若对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有，求实数的取值范围；

探究2

已知函数的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线平行。

记函数恒成立，求c的取值范围。

探究3

已知函数.若，当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围（其中e是自然对数的底数，）.探究4

已知函数满足，且当时，当时，的最大值为．

（1）求实数a的值；

（2）设，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围

探究5

.已知函数为常数）．

若a<0，且对任意的.x

［1,e］，f（x）≥(a－2)x恒成立，求实数a的取值范围．

探究6

已知函数，其中e为自然对数的底数．

（1）求函数在x1处的切线方程；

（2）若存在，使得成立，其中为常数，求证：；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

探究7

已知函数，.（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？

（2）当时，求函数的单调减区间；

（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.探究8

已知函数．

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；

（3）若，使成立，求实数的最大值．

探究9

设函数.若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.①

求与的值；

②

对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.探究10

已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=ex．

若m∈（﹣1，0），设函数，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．

1解答：

“对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有|f¢(x1)-f¢(x2)|£4”等价于“函数y=f

´(x),xÎ[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”.对于f

´(x)=x2－2mx－1,对称轴x=m.①当m<-1时,f

´(x)的最大值为f

´(1),最小值为f

´(-1),由

f

´(1)-f

´(-1)£4,即-4m£4,解得m³1,舍去;

……………………………6分

②当-1£m£1时,f

´(x)的最大值为f

´(1)或f

´(-1),最小值为f

´(m),由,即,解得-1£m£1;

………………………………8分

③当m>1时,f

´(x)的最大值为f

´(-1),最小值为f

´(1),由

f

´(-1)-f

´(1)£4,即4m£4,解得m£1,舍去;

综上,实数m的取值范围是[-1,1].2：解答

3解答

4解答．（1）当x∈(0，2)时，由条件，当x

4∈(-4，-2)，的最大值为

4，所以的最大值为

1．……………………………………………………………2分

因为，令，所以．……………………………3分

因为，所以．当x∈(0，)时，是增函数；

当x∈(，2)时，；是减函数．

则当x

=时，取得最大值为．所以a

=

1．……6分

（2）设在的值域为A，在的值域为B，则依题意知AB．

因为在上是减函数，所以A

=

．

又，因为，所以．

①

b

0时，>

0，g(x)是增函数，B

=

．

因为AB，所以．解得．

②

b

0时，<

0，g(x)是减函数，B

=

．

因为AB，所以．．

由①，②知，或．……………………………………………

5解答

6解答：（1）因为，所以，故．

所以函数在x1处的切线方程为，即．

……

2分

（2）由已知等式得．

记，则．

……

4分

假设．

①

若，则，所以在上为单调增函数．

又，所以，与矛盾．

……

6分

②

若，记，则．

令，解得．

当时，在上为单调增函数；

当时，在上为单调减函数．

所以，所以，所以在上为单调增函数．

又，所以，与矛盾．

综合①②，假设不成立，所以．

……

9分

（3）由得．

记，则．

①

当时，因为，所以，所以在上为单调增函数，所以，故原不等式恒成立．

……

12分

②

法一：

当时，由（2）知，当时，为单调减函数，所以，不合题意．

法二：

当时，一方面．

另一方面，．

所以，使，又在上为单调减函数，所以当时，故在上为单调减函数，所以，不合题意．

综上，．

……

16分

7解答．解：（1），又，在处的切线方程为，……………2分

又，又，在处的切线方程为，所以当且时，曲线与在处总有相同的切线

………4分

（2）由，，………7分

由，得，当时，函数的减区间为，；

当时，函数的减区间为；

当时，函数的减区间为，.………10分

（3）由，则，①当时，函数在单调递增，又，时，与函数矛盾，………12分

②当时，；，函数在单调递减；单调递增，（Ⅰ）当时，又，与函数矛盾，（Ⅱ）当时，同理，与函数矛盾，（Ⅲ）当时，函数在单调递减；单调递增，故满足题意.综上所述，的取值的集合为.……………16分

8解答

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取，则，即恒成立，即在上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：在恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题一样，先利用变量分离转化为对应函数最值，的最大值，再利用导数求函数的最值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性：在上单调递增，进而确定函数最值

试题解析：解（1），令，则，当时，在上单调递增，的最小值为；

当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为.综上，当时，；当时，.（2）,对于任意的，不妨取，则,则由可得，变形得恒成立，令，则在上单调递增，故在恒成立，在恒成立.，当且仅当时取，.（3），.，使得成立.令，则，令，则由

可得或（舍）

当时，则在上单调递减；

当时，则在上单调递增.在上恒成立.在上单调递增.，即.实数的最大值为.9解

（2）①，设切点为，则切线的斜率为，据题意是与无关的常数，故，切点为，……………6分

由点斜式得切线的方程为，即，故.…..………8分

②

当时，对任意的，都有;

当时，对任意的，都有;

故对恒成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立，………………10分，当时，,恒成立,所以在上递增，故在上恒成立，符合题意..……...………12分

当时，令，得，令，得,故在上递减，所以，而设函数，则，恒成立，在上递增，恒成立，在上递增，恒成立，即，而，不合题意.综上，知实数的取值范围.………………16分

10解

（2）G（x）=，则G′（x）=﹣，对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立，即证G（x）max≤H（x）min，∵x∈[1，1﹣m]，∴G（x）在[1，1﹣m]递增，G（x）max=G（1﹣m）=，∵H（x）在[1，1﹣m]递减，H（x）min=H（1﹣m）=﹣（1﹣m）+，要证G（x）max≤H（x）min，即证≤﹣（1﹣m）+，即证4（2﹣m）≤e1﹣m[5﹣（1﹣m）]，令1﹣m=t，则t∈（1，2），设r（x）=ex（5﹣x）﹣4（x+1），x∈[1，2]，即r（x）=5ex﹣xex﹣4x﹣4，r′（x）=（4﹣x）ex﹣4≥2ex﹣4＞0，∴r（x）在[1，2]递增，∵r（1）=4e﹣8＞0，∴ex（5﹣x）≥4（x+1），从而有﹣（1﹣m）+≥，即当x∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．

第三篇：浅谈导数的几点应用

浅谈导数的几点应用

导数是解决数学问题的重要工具，很多数学问题如果利用导数探求思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且能够把复杂的分析推理转化为简单的代数运算，达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果。如在求曲线的切线方程、方程的根、处理函数的单调性、最值问题；数列，不等式等相关问题方面，导数都能发挥重要的作用。

一、利用导数求曲线的切线方程

例1.已知函数f（x）=x3-3x过点A（0，16）作切线，求此切线的方程。

解：∵点A（0，16）不在曲线f（x）=x3-3x上

∴可设切点为B（x0，y0），则y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲线f（x）=x3-3x在点B（x0，y0）处的切线方程为l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又点A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切点B（-2，-2）

所求切线方程为9x-y+16=0。

二、讨论方程的根的情况

例２.若a>3，试判断方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的个数。

解：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=3x2-2ax。

当a>3，x∈［0，2］时f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一个根。

三、求参数的范围

例3.设函数f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3个相异实根，求实数a的取值范围。

解:由题意有f'（x）=3x2-6则x∈（-∞，-）∪（）时，f（x）单调递增；x∈（-，+）时，f（x）单调递减。所以f（x）的极大值为f（-）=5+4，极小值为f=5-4。故f（x）恰有3个相异实根时，a∈（5-4，5+4）。

四、利用导数求解函数的单调性问题

例4.函数f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，试求实数m的取值范围。

解：函数f（x）的导数f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）当m-1≤1即m≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，不合题意。

（2）当m-1>1即m>2时，函数f'（x）在（-∞，1）上为增函数，在（1，m-1）内为减函数，在（m-1，+∞）上为增函数。根据题意有：当x∈（1，4）时f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范围是［5，7］。

五、利用导数求解函数的极值

例5.已知函数（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由题意可知∵在x=±1时f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），时f'（x）>0

当x∈（-1，1）时，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函数，在（-1,1）为减函数。所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值。

六、利用导数研究函数的图象

例6.若函数y=f（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则y=f（x）在［a，b］图象可能是：（C）

解析：依题意f'（x）在［a，b］上是先增后减的函数，则f（x）的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，观察四哥选项中的图象，只有C满足要求，故选C。

七、利用导数证明不等式

例7.对于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

设f（x）=x-ln（x+1），（x>0），则有f'（x）=

证明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0处连续，f（x）在［0，+∞］上单调递增，∴x>0时，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用导数求数列的前n项和

例8.求数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和。

解：设数列nxn-1（x≠0,1）的前n项和为Sn，则

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即为数列nxn-1（x≠0，1）的前n项和。

九、利用导数解决实际应用问题

例9.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：（1）（fx）=p•qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均为常数，且q＞1）。

（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所选函数f（x）的解析式。

（注：函数的定义域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此类推）

（作者单位 四川省达县石桥中学）

第四篇：导数应用复习

班级第小组，姓名学号

高二数学导数复习题

8、偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图像过点P(0,1)，且在x1处的切线方程为yx2，求1．求下列函数的导数：

（1）y(2x23)(x24)（2）yexxlnx

（3）y1x2

sinx

（4）y1234xx2x32、已知f(x)xsinxx

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲线yx过点(4,2)的切线方程。

4、设曲线y

x1

x1

在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，求a的值。

5、函数yx3

3x的单调减区间是

6、已知函数f(x)x3

12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则Mm=。

7、当x[1,2]时，x3

12

x2

2xm恒成立，则实数m的取值范围是。

高二数学下导学案

函数yf(x)的解析式。

9.已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)，若f/(1)0，求函数yf(x)在R上极值。

10、（2007全国I）设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2处取得极值。（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,3]，都有f(x)c2

成立，求c的取值范围。

11、已知函数f(x)

a3

x3

bx24cx是奇函数，函数f(x)的图像在(1,f(1))处的切线斜率为6，且当x2函数f(x)有极值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的单调区间。

第五篇：导数应用一例

导数应用一例

石志群

13题：求一个正常数a，使得对于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等价于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，则由对于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知当｜x|≤1时，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在区间的端点取得，就是在极值点处取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，从而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。„„„„„„„„„„„„„„„„（1）33

这个结果有何用呢？现在该考虑极值点了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，为极值333a3a3a

11‘点，考虑f(x)在两侧的符号可知f(为最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=‘214a„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

从这个题目的思维过程我们可以得到哪些启示呢？

一是函数思想在处理不等式问题中的作用不可忽视，本题就是以函数观点为突破口展开思维过程的。二是从简单情形开始，不断探索有效信息，并充分发挥所得到的信息的作用。本题中先从区间端点入手，对a的取值范围作初步控制，而这个控制为后续思维的展开提供了依据：它确定了极值点的位置，为对a作进一步的限制提供了可能。三是要学会运用等与不等的辩证关系从不等中构造相等关系。本题给出的全是不等式，不等之中怎么能找到确定a的值的等式呢？聪明的你一定会想到，肯定是由区间端点与极值点这些可能取得最值的点之间的制约关系，构造出需要的几个不等式，并用这样的不等式“夹”出a的值。