巧解一类不等式（优秀范文5篇）

第一篇：巧解一类不等式

巧解含有“f(x)f(x)”的填空题

先看下面的题目：

已知定义在R上的函数yf(x)其导函数为f(x)，且满足f(x)f(x)，则不

等式f(2x3)e

2x4

f(1)的解集为

2x4

f(2x3)e

2x3

解析：注意到f(2x3)ef(1)可写为：



f(1)e，令g(x)

f(x)e

x，则该

不等式即为g(2x3)g(1)，为此只要考虑g(x)的单调性即可，由

f(x)e

x

g(x)

f(x)e

2x

x

e



f(x)f(x)

e

x

0，从而g(x)在R上为增函数，所以

2x31,x2。

从上面的解题过程，可以发现：由条件f(x)f(x)可考虑构造函数g(x)

g(x)

f(x)f(x)

e

x

f(x)e

x，则，于是条件f(x)f(x)便用上了。

当然作为填空题下面的方法也很好：

另解：特取符合条件的函数f(x)e1，则由f(2x3)e

e

2x3

x

2x4

f(1)得

1e

2x4

(e1)，整理得e

2x4

1，2x40,x2.下面一题和这个题是完全一样的完全一样：

题目：f(x)是定义在R上的函数，导数为f(x)，且对一切实数x都有对正实数，比较f(a)与ef(0)的大小。（姜堰二中11届暑假作业）

x

a

f(x)f(x，解析：特殊值法：取f(x)2，或f(x)e1.构造函数法：令g(x)

f(x)e

x，则g(x)

f(x)f(x)

e

x

0，所以g(x)在R上是增函数，a

所以对于这正实数a，有g(a)g(0)，从而得f(a)大于ef(0)。

第二篇：构造函数巧解不等式

构造函数巧解不等式

湖南 黄爱民

函数与方程，不等式等联系比较紧密，如果从方程，不等式等问题中所提供的信息得知其本质与函数有关，该题就可考虑运用构造函数的方法求解。构造函数，直接把握问题中的整体性运用函数的性质来解题，是一种制造性的思维活动。因此要求同学们多分析数学题中的条件和结论的结构特征及内在联系，能合理准确地构建相关函数模型。

一、构造函数解不等式

例

1、解不等式 810x35x0 3(x1)x

1分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。但注意到8102323x5x , 启示我们构造函数且题中出现()5()3x1x1x1(x1)

f(x)=x3+5x去投石问路。解：将原不等式化为(232)5()x35x，令f(x)=x3+5x，则不等式变为x1x1

22f()f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上为增函数∴原不等式等价于x，解x1x1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

例

2、解不等式

1x

220 x11x21tan2cos2于是可构造三分析：由xR及的特征联想到万能公式1x21tan2

角函数，令x=tanα(

2

2)求解。

1tan2解：令x=tanα()0，从 222tan1

13而2sin2sin10sin1∴∴tanα＞,∴x＞262

33。3

二、构造函数求解含参不等式问题。

例3已知不等式11112loga(a1)对大于1的一切自然数nn1n22n12

3恒成立，试确定参数a的取值范围。解：设f(n)

∵f(n+1)-f(n)111，n1n22n11110,∴f(n)是关于n 的增函2n12n2n1(2n1)(2n2)

712∴f(n)loga(a1)对大于1的一切自然数n恒12123

7121成立,必须有loga(a1)∴loga(a1)1，而a＞1，∴a-1＜12123a数。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜115∴a的取值范围为（1，）。2

2三、构造函数证明不等式。

例

4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞-

1证：把a看成自变量x，作一次函数f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1

又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函数具有严格的单调性。∴f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的图象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+1>0,从而：(b+c)a+bc+1>0,即证：ab+bc+ca＞-1 例

5、已知，求证：x2y2z22xycos2yzcos2zxcos 证明：考虑函数f(x)=x2y2z2(2xycos2yzcos2zxcos)=2

x22x(ycoszcos)y2z22yzcos,其中4(ycoszcos)24(y2z22yzcos)4(ysinzsin)20 又x2的系数大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2y2z22xycos2yzcos2zxcos。

第三篇：构造向量巧解不等式问题

构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：ab|a||b|cos（其中θ为向量a与b的夹角），则|，又，则易得到以1cos1ab|||a|||bcos|

下推论：

（1）ab|ab|||；

（2）|ab||a||b|；

（3）当a与b同向时，ab|ab|||；当a与b反向时，ab|a||b|；

（4）当a与b共线时，|ab||a||b|。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式

例1已知a。、bR，ab12证明：设m=（1，1），n，则 2a2b1)

ab

1||2||a12b1

2ab12由性质m n|m||n|，得yz1，求证：xyz例2已知x。

证明：设m=（1，1，1），n=（x，y，z），则 2221

3mnxyz1

||3，|n|xyz

222222 mnm|||||n，得xyz由性质|

22213a2b2c2abcR，求证：例3已知a，b，c。bccaab2

222abc)证明：设m，ab)bccaab

则m nabc

222abc||||2(abc)bcacab

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a2b2c2abc由性质| mn||m||n|，得bccaab2222例4已知a,b为正数，求证：(。ab)(ab)(ab)

证明：设m (a，b)，n(a，b)，则

33mnab

224442233222||ab，|n|ab

由性质|mn||m||n|，得 222

44422332(ab)(ab)(ab)

dacd。,b,c,dR例5设a，求证：a

证明：设m=（a,b），n=（c,d），则

mnadbc

2222 ||ab||cd222

由性质ab|ab|||，得

222adacd

二、比较大小

Rda例6已知m,n,a,b,c,d

p，q的大小关系为（）

A.pqB.pqC.p

hkabcd

bd |h|manc，|k|mn

hk||hk|||得 由性质|

bcdman即pq，故选（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y，且m，那么mx+ny的最大值为na，xybR

（）A.2222abB.ab

2C.a2b2

2D.a2b2

解：设p=（m,n），q=（x,y），则

由数量积的坐标运算，得p qmxny

而|| mn||xy

从而有m xnmxy

当p与q同向时，mx+ny取最大值m，故选（A）。nxyb

例8求函数的最大值。x)

解：设，则 x2x)，n(1，1)***2

mn2x12x

|m|2，|n|2

由性质mn|m||n|，得

x2x2

当

四、求参数的取值范围 113 时时，y2max22x2x

yy例9设x,y为正数，不等式x恒成立，求a的取值范围。

yn)，（1，1）解：设，则

||xy||2

由性质mn|m||n|，得

xyxy yy又不等式x恒成立

故有a2

黑龙江省大庆市66中学（163000）

第四篇：教育学教学法名解一类

教学法重点名词解释

第一章

1、教学氛围

教学氛围指的是对教学活动产生直接影响的课堂内外部气氛、场景等。p8

2、教学方法

教学方法是在教学过程中教师和学生为实现教学目的、完成教学任务而采取的各种活动方式、手段和程序的总称。p2 第二章

1、启发式教学

启发式教学就是以学生的全面发展和主动发展为目标，通过教师的启发诱导与学生的主动探究，实现知情意和谐发展的过程。p38 第三章

1、教学模式

教学模式是在一定的教育思想观念或教学理论指导下建立起来的较为稳定的教学活动的结构框架和活动程序。p75 第四章

1、讲授法

讲授法是指教师运用口头语言系统连贯地向学生传授知识信息的方法。p111

2、读书指导法

读书指导法是在教师指导下学生阅读课本或课外读物，以获取知识、巩固知识、形成能力的一种方法。p114

3、演示法

演示法是教师在课堂上通过展示各种实物、直观教具，或进行示范性实验，让学生通过观察获得感性认识，掌握知识的一种教学方法。p115

4、实验法

实验法是学生在教师的指导下，利用一定的仪器设备，通过条件控制引起实验的某些变化，从观察这些变化中获得知识，培养技能技巧的教学方法。p118

5、讨论学习法

讨论学习法是学生在教师指导下，为解决某个问题与他人相互研讨、切磋琢磨、相互学习的一种学习方法。p121

6、调研学习法

调研学习法就是调查研究学习法的简称，它是指学生亲自去熟悉和了解学习对象的一种学习方法。p122

7、研究性学习法

研究性学习是指学生基于自身兴趣，在教师指导下，从自然、社会和学生自身生活中选择和确定研究专题、主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。p126 第五章

1、教学技能

教学技能是教师在教学过程中，运用与教学有关的知识与经验，促进学生学习，达成教学目标的能力和技巧。p149

2、导入技能

导入技能是指教师在讲解知识教学活动开始时，有意识、有目的地激发学生的兴趣，引导学生进入新的学习情境的一种能力和技巧。p156

3、板书技能

板书技能是教师在教学过程中，根据教学的需要用黑板以凝练的文字语言形式或形象的图表传递信息的能力和技巧。p182 第六章

1、评价方法

评价方法是指收集教学的信息、对评价对象进行价值判断时所采用的工具和手段的总称。p195

2、纸笔测验

纸笔测验是根据教育目标，通过编制试题、组成试卷对学生进行测试，引出学生的学习表现，然后按照一定的标准对测试结果加以衡量的一种评价方法。p203

3、成长记录袋

成长记录袋是显示学生学习成就信息的一连串表现、作品、评价结果及其他相关记录和资料的汇集。p208

4、合作评价

合作评价是指多个评价主体从多角度、多渠道获取关于学生的多方面信息以判断学生发展情况的评价活动方式。p210 第七章

1、教学媒体

教学媒体是指在教学过程中，教师与学生之间传递以教学为目的的信息所使用的媒介工具。p217

2、网络教学

网络教学时基于信息技术支持的采用新型教学模式和教学方法的教学形式。p234

3、现代教学媒体

现代教学媒体，是利用现代技术储存和传递教学信息的工具。p219 教育学重点名词解释 第一章

1、学校教育

学校教育是指由专门的教育机构所承担的、由专门的教职人员所实施的有目的、有计划、有组织的，以影响学生的身心发展为首要和直接目标的教育活动。p4

2、义务教育

义务教育，是指依照国家法律规定，适龄儿童和青少年都必须接受的，国家、社会、家庭、必须予以保证的国民教育。p15

3、教育学

教育学是研究教育现象、揭示教育规律的一门学科。p29 第二章

1、遗传素质

遗传素质也称为遗传，是指人的先天的解剖生理特征，主要表现在人的机体构造、形态、感觉器官以及神经系统的特征等。p62

2、主观能动性

主观能动性是指人的主观意识对客观世界的反映和能动作用，它是人的主观意识方面的特性，故称为主观能动性。p66 第三章

1、教育目的：教育目的是指国家把受教育者培养成为什么样的人，是培养人的质量规格标准，是对受教育者的总的要求。p76

2、教育方针：教育方针是教育工作的宏观指导思想，是指一个国家或政党根据一定社会政治、经济和文化的要求，为实现一定时期的教育目的而制定的教育工作的总方向。p76

3、培养目标

培养目标是教育目的在各级各类教育机构的具体化，也就是说不同类型、不同层次的学校培养人的具体质量规格标准。p77 第四章

1、教师

教师是履行教育教学职责的专职人员，承担着教书育人，培养社会主义事业建设者和接班人，提高民族素质的使命。p99

2、教师资格制度

教师资格制度是国家对教师实行的一种特定的职业许可制度，是国家对专门从事教育教学工作人员的最基本要求。p109

3、教师聘任制度

教师聘任制度是指聘任双方在平等自愿的前提下，由学校或教育行政部门根据教学岗位设置，聘请有教师资格证的公民担任相应的教师职务的一项教师任用制度。p110 第五章

1、核心课程

核心课程是以问题为核心，把几门学科结合起来，由一个教师或教学小组通过一系列活动进行教学的课程。p165

2、课程标准

课程标准是指根据课程计划制定的有关学科教学的目标、水准、结构与教学要求的纲领性文件。p174 第六章

1、教学原则

教学原则是根据教育、教学目的，反映教学规律而制定的指导教学工作的基本要求。p201

2、班级授课制

班级授课制也称课堂教学，是按学生年龄和知识水平分成有固定人数的教学班，以班为单位，按规定的教学内容、教学时间和课程表，分科进行教学的一种组织形式。p213

3、复式教学

复式教学是把两个或两个以上年级的学生编在一个班里，由一位教师分别用不同程度的教材，在同一节课里对不同年级的学生，采取直接教学和自动作业交替的办法进行教学的组织形式。p216 第七章

1、德育方法

德育方法是教师和学生在德育过程中为达到一定的德育目标而采用的有序的、相互关联的活动方式和手段的组合。p265

2、行为训练法

行为训练法是通过道德实践和对道德行为的价值领悟、策略训练、奖惩等方式进行德育，以巩固道德信念、磨练道德意志、培养良好行为习惯的德育方法。p269 第八章

（以下一道名词解释降级为单选题。）

1、班级

班级是学校根据管理的需要，把年龄相近、文化程度大体相同的学生分割成一个个小范围的聚合体。它是学校教育活动的基本单位，是学校管理的基本组成部分。p277

第五篇：解不等式练习题jian

解不等式练习题

一、选择题

11.不等式23解为（）x

1111（A）x0或x（B）-

1111（C）x>或x<-（D）-

二、解答题

1．解含绝对值的不等式

(1)｜3x＋4｜>－1；（2）｜3x＋4｜>0；（3）｜5x－3｜<10；（4）1≤｜1－2x｜≤7

2．解下列一元二次方程

（1）2x2＋x－3<0；（2）4x－x2＋12≥0；（3）2x－x2－3≥0

3．解下列分式不等式

x52x132x（1）≤0；（3）0；（2）0 x12x14x3