2014年高中数学定理汇总

第一篇：2014年高中数学定理汇总

124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

125切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

126圆的外切四边形的两组对边的和相等

127弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

128推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

129相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

130推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

131切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

132推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

133如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

134①两圆外离 d﹥r+r ②两圆外切 d=r+r

③两圆相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r)

④两圆内切 d=r-r(r﹥r)⑤两圆内含d﹤r-r(r﹥r)

135定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

136定理 把圆分成n(n≥3):

⑪依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑫经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形137定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

138正n边形的每个内角都等于（n-2）³180°/n

139定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形149正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

141正三角形面积√3a²/4(a表示边长)

142如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此k³(n-2)180°/n=360°化为（n-2）(k-2)=

4143弧长计算公式：l=nπr/180

144扇形面积公式：s扇形=nπr2/360=lr/

2145内公切线长= d-(r-r)外公切线长= d-(r+r)

146等腰三角形的两个底角相等

147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合148如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

149三条边都相等的三角形叫做等边三角形

150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形

编辑本段数学归纳法

（—）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

（二）第二数学归纳法：

第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：

（1）当n=1回时，命题成立；

（2）假设当n≤k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立。

那么，命题对于一切自然数n来说都成立。

（三）螺旋归纳法：

螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下：

Pi和Qi是两组命题，如果：

P1成立

Pi成立=>Qi成立

那么Pi,Qi对所有自然数i成立

利用第一数学归纳法容易证明螺旋归纳法是正确的编辑本段排列，组合²阶乘：

n！=1³2³3³……³n，（n为不小于0的整数）

规定0！=1。

²排列

从n个不同元素中取m个元素的所有排列个数，A（n，m）= n！/(nsinx

⑤(e^x)' = e^x

⑥(a^x)' =(a^x)* Ina（ln为自然对数）

⑦(Inx)' = 1/x（ln为自然对数 X>0）

⑧(log a x)'=1/(xlna),(a>0且a不等于1)

⑨(sinh(x))'=cosh(x)

⑩(cosh(x))'=sinh(x)

(tanh(x))'=sech^2(x)

(coth(x))'=-csch^2(x)

(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)

(csch(x))'=-csch(x)coth(x)

(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)

(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)(x>1)

(arctanh(x))'=1/(1+x^2)(|x|<1)

(arccoth(x))'=1/(1-x^2)(|x|>1)

(chx)‘=shx,（ch为双曲余弦函数）

（shx）'=chx:（sh为双曲正弦函数）

（3）导数的四则运算法则：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^

2（4）复合函数的导数

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（链式法则）：

d f[u（x）]/dx=（d f/du）*（du/dx）。

[∫（上限h（x），下限g（x））f（x）dx]’=f[h（x）]²h'（x）-f[g（x）]²g'（x）洛必达法则(L'Hospital)：

是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设

(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零

(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0

(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设

(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零

(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0

(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么

x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。

②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。

曲率

K = lim(Δs→0)|Δα/Δs|

当曲线y=f(x)存在二阶导数时，K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2);

曲率半径R=1/K;

不定积分

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。

记作∫f(x)dx。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。也可以表述成,积分是微分的逆运算，即知道了导函数,求原函数。

²基本公式：

1）∫0dx=c;

∫a dx=ax+c;

2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c;

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c;

16)∫sec^2 x dx=tanx+c;

17)∫shx dx=chx+c;

18)∫chx dx=shx+c;

19)∫thx dx=ln(chx)+c;

²分部积分法:

∫u(x)²v'(x)dx=∫u(x)d v(x)=u(x)²v(x)-∫v(x)d u(x)=u(x)²v(x)-∫u'(x)²v(x)dx.一元函数泰勒公式(Taylor's formula)

泰勒中值定理：若f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x0)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n阶导数?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)为拉格朗日型的余项，这里ξ在x和x0之间。定积分

形式为∫f(x)dx(上限a写在∫上面，下限b写在∫下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

牛顿-莱布尼兹公式：若F'(x)=f(x)，那么∫f(x)dx(上限a下限b)=F(a)-F(b)

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。微分方程凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。

如 二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0的通解：

设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。若实根r1不等于r2

y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x).若实根r=r1=r2

y=(C1+C2x)*e^(rx)若有一对共轭复根 r1, 2=λ±ib ：

y=e^（λx）²[C1²cos（bx）+ C2²sin（bx）]

普通分类

两点成一线，多线成面，多面成体，多体成界，多界成。。圆柱体

v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长

(1)侧面积=底面周长³高

(2)表面积=侧面积+底面积³2

(3)体积=底面积³高

（4）体积=侧面积÷2³半径

植树问题非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

⑪如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数=段数+1=全长÷株距－1

全长=株距³(株数－1)

株距=全长÷(株数－1)

⑫如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数=段数=全长÷株距

全长=株距³株数

株距=全长÷株数

⑬如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数=段数－1=全长÷株距－1

全长=株距³(株数+1)

株距=全长÷(株数+1)封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距

全长=株距³株数

株距=全长÷株数

盈亏问题

(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

(大盈－小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数(大亏－小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数相遇问题

相遇路程=速度和³相遇时间

相遇时间=相遇路程÷速度和

速度和=相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离=速度差³追及时间

追及时间=追及距离÷速度差

速度差=追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度－水流速度

静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(顺流速度－逆流速度)÷2

浓度问题

溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量³100%=浓度

溶液的重量³浓度=溶质的重量

溶质的重量÷浓度=溶液的重量

利润与折扣问题

利润=售出价－成本

利润率=利润÷成本³100%=(售出价÷成本－1)³100%涨跌金额=本金³涨跌百分比

折扣=实际售价÷原售价³100%(折扣<1)

利息=本金³利率³时间

税后利息=本金³利率³时间³(1－20%)注：扣税要扣20%

第二篇：高中数学相关定理

2013年普通高等学校招生统一考试数学（文）复习资料2013.5.26

高中数学相关定理、公式及结论证明

（一）三角函数部分。

一、两角和（差）的余弦公式证明。

内容：cos()coscossinsin,cos()coscossinsin

证明：

①如图（1），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,-sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（1）

②如图（2），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（2）

二、两角和（差）的正弦公式证明。

内容：sin()sincoscossin,sin()sincoscossin

证明：

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

三、两角和（差）的正切公式证明。内容：tan()

证明： tantan1tantan，tan()tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

四、半角公式证明。内容：sin

2

1cos,cos



2

1cos,tan

2



1cos1cos



2sin1cos



1cos2sin

cos212sin

证明：由二倍角公式 2

cos22cos

12cos12sin2

用代替2，得，得sin2

cos2cos212

sincos

cos,cos

2



cos

2

tan

2

sincos

2

2cos2cos

2

2

2

2



2sin1cos，tan

2

sincos

2

sincos

2

2sin2sin

2

2

2

2



1cos2sin

五、正弦定理证明。

内容：在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则证明：①如图（3），在RtABC中，sinA



asinAbc,

bsinB



csinC

.ac,sinB

asinA



bsinB

c，C90,sinC1.

asinA



bsinB



csinC

.图（3）

②如图（4），在锐角ABC中，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为BC

CbsinC



2B)csinB,bsinB



csinC,同理

asinA



bsinB



asinA



bsinB



csinC

.图（4）

③如图（5），在钝角ABC中，以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为CC

BcsinBC



2)bsinC,bsinBasinA



csinCbsinB,同理

c

asinA



bsinB



sinC

.图（5）

六、余弦定理证明。

a2b2c22bccosA



2ABC内容：在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则ba2c22accosB

222

cab2abcosC

证明：如图（6），在ABC中，aaBC

(ACAB)(ACAB)

2ACAB

2

2ACABcosA2

bc2bccosA图（6）

222

abc2bccosA

同理可证：2 22

cab2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

内容：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对 实数1,2，使得a1e12e2.证明：如图（7），过平面内一点O，作OAe1,OBe2,OCa，过点C分别作直 线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使

得OM1OA,ON2OB图（7）

OCOMONOC1OA2OB

即a1e12e2.二、共线向量定理。

内容：如图（8），A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有

PCPA(1)PB

证明：由题意，BC与BA共线，BCBA

BCPCPB,BAPAPBPCPB(PAPB)

图（8）

化简为：PCPA(1)PB

三、平行向量定理。

内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。

证明：设a,b是非零向量，且a(x1,y1),b(x2,y2)若a//b，则存在实数使ab，且由平面向量基本定理可知

x1iy1j(x2iy2j)x2iy2j.x1x2①，y1y2②

①y2②x2得：x1y2x2y10

若y10,y20（即向量a,b不与坐标轴平行）则

x1y

1x2y

2（三）立体几何部分。

一、三垂线定理及其逆定理。

内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明：已知：如图（9），直线l与平面相交与点A，l在上的射影OA垂直于a,a

求证：l⊥a

证明：过P作PO垂直于

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l图（9）

（四）解析几何部分。

一、点到直线距离公式证明。

内容：已知直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d

Ax

ByA

C。

B

证明：如图（10），设直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的 一个方向向量为v(B,A),设其法向量为n(s,t)则vnBsAt0，可得直线一法向量为n(A,B),n的单位向量为n0

（AA

B,A

B

B)图（10）

由题意，点M到直线的距离为PM在n0上的射影，所以，d

A(x0x)B(y0y)

A

B



Ax

By

0

2(AxBy)B

②

A

因为点P(x,y)在直线上，所以C(AxBy)①

Ax

ByA

所以，把①代入②中，得d

00

C

B

（五）数列部分

一、等差数列前n项和公式证明。

内容：an是等差数列，公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sna1n证明：由题意，Sna1(a1d)(a12d).......(a1(n1)d)① 反过来可写为：Snan(and)(an2d).......(an(n1)d)②

①+②得：2Sna1na1n.......a1n



n个

n(n1)

d

n(a1an)

所以，Sn

n(a1an)

③，把ana1(n1)d代入③中，得Sna1n

二、等比数列前n项和公式证明。

n(n1)

d

n(a1an)

na1,(q1)

n

内容：an是等比数列，公比为q，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

证明：Sna1a1qa1q.......a1qqS

n

2n

1①

n

a1qa1q

a1q

.......a1q②

n

①—②得：(1q)Sna1a1q，当q1时，Sn

a1a1q1q

n



a1(1q)1q

n

③

把ana1q

n1

代入③中，得Sn

a1anq1q

当q1时。很明显Snna1

na1,(q1)

n

所以，Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

（六）函数和导数部分

一、换底公式证明。内容：log

N

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b0;a,b1)

证明：设log

a

NX,log

a

bY，则ba,Na

YX

log

b

Nlog

a

Y

a

X



XY

log

a

a

XY



loglog

aa

Nb

第三篇：高中数学定理

高中数学

 复数

1.定义：z=a+bi.(a、b∈R)，a叫做复数z的实部，b叫做复

数z的虚部。

1<=>b=0, ○2<=>z²≥0 2.复数为实数的条件：○

1<=>a＝0且b≠0○2<=>z²3.复数为纯虚数的条件：○＜0

1a+bi=c+di（a,b,c,d∈R）<=>a=c且b=d 4.复数的相等：○

2a+bi=0<=>a=0且b=0 ○

1（a+bi）±5.复数的运算：○(c+di)=(a±c)+(b±d)i

2z1z2=（a＋bi）○（c+di）=（ac-bd）+（bc-ad)i，3(a+bi)÷(c+di)＝（ac+bd)∕(c²+d²)+(bc-ad)∕(c²○

+d²)(c+di≠0)

6.复数加法、乘法满足交换律和结合律；乘法还满足分配律。

7.复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，x轴叫实轴

（实轴上的点都是实数），y轴叫虚轴（虚轴上的点除原点外都是纯虚数）。

 解三角形

1.解三角形的方法：㈠公式法：①已知三角形中的两边及其

一边的对角，或两角及其一角的对边时，用正弦定理②已知三边或两边及其夹角，用余弦定理。㈡边角互化

2.利用正弦定理可以解决：㈠已知两角和任意一边，求其他

两边和一角。㈡已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。

3.利用余弦定理可以解决：㈠已知三边求三个角 ㈡已知两

边和他们的夹角，求第三边和其他两个角。

 几何证明选讲

1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推论⒈经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推论⒉经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一

腰。

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的判定——

㈠定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)㈡预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

㈢判定定理：①两角对应相等，两三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的③三边对应成比例，两三角形相似。

㈣定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那

么它们相似。

②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比

例，那么它们相似。

③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与

另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

4.相似三角形的性质;①相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比，相似三角形周长的比，外接圆的直径比都等于相似比。②相似三角形面积的比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

第四篇：高中数学常用公式定理汇总

2011年高考数学资料整理

高中数学常用公式定理汇总

集合类：

ABAABABBAB

逻辑关系类：

对数类：

logaM+logaN=logaMNlogMaM-logaN=logaN

logaMN=NlogaM logab

MN

=

Nb

logaMloga1=0

logaa=1loga1=-1a

loga^b

a

=b

logaa^b=blogab=alogba=1a

三角函数类：

sin,一二正

co，s一四正tan，一三正

sinsin

coscos

tantan

sin

2

cos

2

1sin2

cossin

cos2

cos

sin

cos2

2

sin



1

asinA



bsinB



csinC

2R

abcsinAsinBsinC



a*ba*b*cosa*b

cos

a*b

xx



yy

a



b



c

2bccosA

cosA





2bc

xx

221

*

yy

x



y

x



y

流程图类：

Int2.52.52（取不大于2.5的最大整数）mod10,31

平面几何类：

（取10除以3的余数）

圆标方程xa圆心：a,b



yb



r

函数类：

斜率：k



yx

y(xx



圆一般方程x



y

DxEyF0



x)

D



E

4F0



点斜式：yy

y

kx

x

x

y

两点式：

yy



xx

DE

圆心：,;半径：

22



4F

点点距离： PP

截距式：

xa



yb

1

0 ba



x2x1y2y1



一般式：AxByC韦达定理：x



x



1//2k1k2

点线距离：d

c

xx

a

A

x

B

y

C

A



B

A

x

B

yC10

与A2xB2yC20

平行：AB垂直：AA



AB BB

椭圆：ab



yb

1ab0



0

a

c

焦点：(c,0),(-c,0)

c

平行：A1xB1yC30 垂直：B1xA1yC30

平面向量类：

ab

a//b

离心率：e准线：x

a

c

双曲线：a



yb

1a,b0

b



c



a

xx,2

y



y

焦点：(c,0),(-c,0)离心率：e

a

c

xy



xy

0

准线：x渐近线：y

c

ba

x

抛物线：y

2px

(p>0)

p

焦点：F,0

2

x2x

2,11

2xx,x,x

1

离心率：eca

准线：xp2

数列类：

等差：ana1n1d

a

n



a

m

nmd

S

1

n

n



n2

n

a

nn12

d

mnpq

a

m



a

n



a

p



aq

等比：an1

na1q

a

n



a

nm

m



q



S

a11n



q



a1

anq

n



1q1q(q≠1)

mnpq

am

a

n



ap

aq

线性规划类：

n



nxn

niyixi

y

ii1bi1

i1*n2



nx2

nix

ii1i1



aybx



nxiyinxyx

i

xyiy

**bi1

n

n



x2

x2inx

i

x



i1

i1

aybx

导数类：

kxb,kC,（0C为常数）

x,1

ax,

a

x

lnaa0,且a1e

x,

ex

log

a

x

,1e

xloga



1xlna

a

0,且a1

lnx,sinx,x

cosx

cosx,sinx

fxgx,f,xg,x

Cfx,Cf,xC为常数

fxgx,f,xgxfxg,x

fx,f,xgxfxg,x

gx



g2

x

gx0 复数：

i

1

abicdiac,bd

abicdiacbdi abicdiacbdi abicdiac

bdbcadi

x2y

xyixyi

Zar,以a,0为圆心，r为半径的圆

Zabir,以a,b为圆心，r为半径的圆

1

3-2

2i

1



1i2

2i12

0

ax

bxc0,

b2

4ac0



x

b

4acb2

求根公式：

i

2a

向量与向量模关系：

Z1Z2Z1Z2Z1Z2

Z1,Z2是二次方程的根，那么即Z1abi,Z2abi

Z1,Z2共轭。

等式与不等式：

ababaabb



ac2

2a



b



aabb

b3b

a

24

abc2

3abc





ab2ab,ab2

ab,ab时取“”

ab2ab

abcabbcac

222

平面几何类：

内心：三条角平分线的交点

（到交边距离相等，为内切圆圆心）外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心）垂心：三条高线的交点 重心：三条中线的交点

S三角形

1

ppapbpc注：pabc

2

角平分线：中

AD

ABAC

BDDC

：

线

2AB

长

AC

BC

12

S扇形rr弧长

22

立体几何类：

S直棱柱侧ch

ch,V柱体V长方体abcSh

V球

R

S正棱锥侧S正棱台侧

1212，V椎体V台体

1313

Sh

SS,S球

4R

S,cch

hS



公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

定理1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

定理2：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。

点、线、平面垂直：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过；另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

第五篇：高中数学定理

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)cot2A=(cot2A-1)/2cota

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式：

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式：

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式：

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式：

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式：

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式：

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^

4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

·：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|