中科院数学分析考研大纲范文

第一篇：中科院数学分析考研大纲范文

中科院研究生院硕士研究生入学考试

《数学分析》考试大纲

本《数学分析》考试大纲适用于中国科学院研究生院数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

一、考试基本要求

要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试方法和考试时间

数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

三、考试内容和考试要求

（一）考试内容

1.分析基础

(1)实数概念、确界

(2)函数概念

(3)序列极限与函数极限

(4)无穷大与无穷小

(5)上极限与下极限

(6)连续概念及基本性质，一致连续性

（7）收敛原理

2.一元微分学

(1)导数概念及几何意义

(2)求导公式求导法则

(3)高阶导数

(4)微分

(5)微分中值定理

(6)L’Hospital法则

(7)Taylor公式

(8)应用导数研究函数

3.一元积分学

(1)不定积分法与可积函数类

(2)定积分的概念、性质与计算

(3)定积分的应用

(4)广义积分

4.级数

(1)数项级数的敛散判别与性质

(2)函数项级数与一致收敛性

(3)幂级数

(4)Fourier级数

5.多元微分学

(1)欧氏空间

(2)多元函数的极限

(3)多元连续函数

(4)偏导数与微分

(5)隐函数定理

(6)Taylor公式

(7)多元微分学的几何应用

(8)多元函数的极值

6.多元积分学

(1)重积分的概念与性质

（2）重积分的计算

（3）二重、三重广义积分

（4）含参变量的正常积分和广义积分

（5）曲线积分与Green公式

（6）曲面积分

（7）Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关

（8）场论初步

（二）考试要求

1．分析基础

(1)了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等

式及平均值不等式。

(2)熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等）。

(3)掌握序列极限的意义、性质（特别，单调序列的极限存在性定

理）和运算法则，熟练掌握求序列极限的方法。(4)掌握函数极限的意义、性质和运算法则（自变量趋于有限数和趋于无限两种情形），熟练掌握求函数极限的 方法，了解广义极限和单侧极限的意义。

(5)熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变

量代换、两边夹法则等），掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧，以及应用Stolz公式求序列极限的方法。

(6)理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高（低）阶无穷

大（小）量的意义。

(7)了解上极限和下极限的意义和性质。

(8)熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，理解函数两

类间断点的意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。

(9)掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限（当自变量趋于有限

数及趋于无穷两种情形）存在的充分必要条件。

2．一元微分学

(1)掌握导数的概念和几何意义，了解单侧导数的意义，解依据定

义求函数在给定点的导数。

(2)解应用求导公式和法则熟练计算函数导数（包括用参数式给出的函数的导数）、隐函数的导数以及函数的高阶导数。

(3)理解函数微分的概念和函数可微的充分必要条件，了解一阶微

分的不变性，能利用微分作近似计算。

(4)理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy

中值定理），并能应用它们解决函数零点存在性及不等式证明等问题。

(5)熟练掌握应用L’Hospital法则求函数极限的方法。

(6)理解Taylor公式（Lagrange余项和Peano余项）的意义，并熟

记五个基本公式（在x=0点的带有Peano余项的Taylor公式），能将给定函数在指定点展成Taylor级数，掌握应用Taylor公式解决不等式证明、求函数极限等问题的基本技巧。

(7)熟练掌握应用导数判断函数升降、凹凸性以及画出函数图像的方法，以及求一元函数极值和最值的方法。

3．一元积分学

(1)理解不定积分概念和基本性质，熟记基本积分表，理解并掌握

换元法和分部积分法的意义和方法，解应用他们熟练计算不复杂的不定积分。

(2)了解可积分函数类的意义及其积分法，熟练掌握有理函数、三

角函数有理式及简单的根式的有理式的积分方法。

(3)理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及函数在有限区间

上可积的充分必要条件，熟练掌握定积分的计算方法。了解变限定积分的性质，掌握积分中值定理。

(4)熟练应用定积分计算平面曲线弧长、平面图形面积、立体体积、旋转曲面表面积，并解应用于求均匀平面图形重心坐标等简单物理、力学问题。

(5)理解广义积分及其收敛、绝对收敛和发散的意义，掌握广义积

分收敛的判定法则。

4．级数

(1)掌握数项级数收敛、发散和绝对收敛的概念、级数收敛的充分

必要条件（Cauchy准则），收敛和绝对收敛级数的性质以及级数加法和乘法的运算法则。

(2)熟练掌握正项级数敛散判别法（比较判别法、D’Alembert判别

法、Cauchy根式判别法以及Cauchy积分判别法），掌握一般项级数敛散判别方法。能计算一些特殊数项级数的和。

(3)理解函数项级数收敛的意义并能确定其收敛域。理解函数序列

一致收敛以及函数项级数一致收敛的意义，掌握函数项级数一致收敛的判别法则（Cauchy一致收敛准则，Weierstrass判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法）及一致收敛级数的性质。

(4)理解幂级数的概念并能确定其收敛半径。掌握幂级数的基本性

质和运算法则，熟记五个基本幂级数展开式

（）。能求出给定函数在指定点的幂级数展开式及应用幂级数运算求一些级数的和。

(5)理解函数Fourier展开式的意义，掌握求Fourier展开式的基本

方法。了解Fourier级数的收敛性定理、逐项积分和逐项求导定理以及Parseval等式，并能应用Fourier级数求某些级数的和（例如

5．多元微分学

(1)理解欧氏空间的概念及欧氏空间中向量的内积与模、开集与闭

集、开区域与闭区域的意义，了解完备性定理及紧性定理。

(2)理解多元函数的概念。掌握多元函数的全面极限、累次极限和特

殊路径极限的意义，并能根据定义计算多元函数极限，或证明二元极限不存在，能计算多元函数的全面极限和累次极限。

(3)理解多元连续函数的概念，掌握其性质，并能判断多元函数的连

续性。了解多元函数的一致连续性。

(4)理解偏导数的概念，掌握其计算法则，能熟练计算函数的偏导数

和复合函数的导函数，能计算函数在给定方向上的导函数。

(5)理解多元函数的微分的概念，并能判断函数的可微性。

(6)理解隐函数存在定理和反函数存在定理，熟练掌握隐函数的微分

法。

(7)理解Taylor公式的意义，并能求出二元函数的具有指定阶数的Taylor公式。

(8)能应用偏导数求空间曲线的切线、法平面及空间曲面的法线和切

平面的方程。

(9)理解多元函数的极限和最值的意义、极值的必要条件和充分条

件，掌握求多元函数极值、条件极值及在闭区域上的最值的方法，并用于解决实际问题。

6．多元积分学

(1)理解重积分的概念、可积的充分必要条件及重积分的性质。

(2)掌握二重积分和三重积分化累次积分的方法以及二重、三重积

分的变量代换方法（特别，平面极坐标变换，空间柱坐标和球坐标变换），能熟练计算二重和三重积分，并用于计算平面图形面）。

积、柱体体积、曲面面积及曲面所围的立体体积。了解n重（n>3）积分的计算方法（化为累次积分及变量代换）。

(3)了解二重、三重广义积分的意义（无界域情形和不连续函数情

形），掌握它们的基本判敛法和基本计算方法。

(4)了解含参变量的正常积分的基本性质（连续性，积分号下取极

限、求导和求积分），了解含参变量的广义积分一致收敛性的意义及其基本性质（连续性，积分号下取极限、求导及求积分），掌握其一致收敛判别法，了解 和 函数。

(5)理解第一型和第二型曲线积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲线积分。

(6)理解并掌握Green公式的意义，并能应用它计算曲线积分。

(7)理解第一型和第二型曲面积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲面积分。

(8)理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意义，并能用于曲面积

分或曲线积分的计算。了解空间曲线积分与路径无关的充分必要条件及其对曲线积分计算的应用。

(9)了解场的概念和保守场的意义，能计算场的梯度、散度和旋度。

四、参考书目

现行（公开发行）综合性大学（师范大学）数学系用数学分析教程。

编制单位：中国科学院研究生院数学科学学院

中国科学院数学与系统科学研究院

编制日期：2008年7月6日

第二篇：中科院微生物考研大纲

中科院研究生院硕士研究生入学考试

《微生物学》考试大纲

本《微生物学》考试大纲适用于中国科学院研究生院微生物学及相关专业的硕士研究生入学考试。微生物学是现代生物学的重要分支学科，是许多学科专业的基础课程。本考试大纲的主要内容包括微生物学的基本概念和原理，包括微生物生物多样性和分类、微生物生理和代谢、微生物生态学、微生物遗传学、微生物免疫学及微生物生物技术等。要求考生对微生物学的基本概念、专业词语、技术原理有较深的了解；系统掌握微生物的系统分类、细胞结构与功能、生理代谢、遗传变异、生态学和免疫学的基本理论知识以及相关实验技术；并具有应用这些知识和技术分析和解决问题的能力。

一.考试内容

(一)微生物学基本概念和意义

1.微生物学定义

2.微生物的多样性和重要类群

3.微生物学的发展过程、重要事件和人物

4.微生物的重要作用

(二)原核生物

1.原核生物的定义、关键内涵及其与真核生物的本质差异

2.原核生物的细胞结构与功能

3.原核生物的分类与鉴定

4.原核生物的物种多样性: 细菌(Bacteria)和古菌(Archaea)

(三)真核微生物

1.真核生物的定义、关键内涵及其与原核生物的本质差异

2.真核微生物的细胞结构与功能

3.真菌的主要类群：酵母菌、霉菌、蕈菌

(四)病毒和亚病毒

1.病毒和亚病毒的特点和定义

2.病毒的分类和命名

3.病毒的宿主范围

4.病毒的培养和纯化

5.病毒的复制

6.类病毒、拟病毒和朊病毒

7.重要病毒生物学特性及研究方法

（五）微生物生理和代谢

1.微生物的营养和繁殖

2.微生物的生长特点及测定

3.有害微生物的控制

4.微生物的能量代谢

5.分解代谢和合成代谢

6.次生代谢

7.合成代谢途径举例

8.代谢调控与工业发酵

（六）微生物生态学

1.微生物生态学的概念

2.自然界中微生物分布及生境多样性

3.微生物与其他生物的关系

4.微生物与自然界物质循环

5.微生物在环境保护中的作用

6．分子微生物生态学的基本方法和原理

(七)微生物遗传、变异和育种

1.微生物遗传变异的物质基础

2.质粒及转座因子

3.微生物基因的表达及调控

4.微生物基因突变和诱变育种

5.基因重组和杂交育种

6.基因工程原理及技术

7.菌种的退化、复壮和保藏

8.微生物基因组结构特点及功能基因组

（八）传染与免疫

1.2.3.4.传染的概念 非特异性免疫 特异性免疫 免疫学的实际意义

（九）实验设计

1.微生物的分离、鉴定

2.获得特定的微生物基因或代谢产物

3.利用所知功能的微生物解决某个实际问题

二、考试要求

（一）微生物学基本概念和意义

1.了解什么是微生物？微生物学的研究领域和相关学科。掌握微生物学中常用科学词语和名称。

2.了解微生物的生物多样性概念，包括物种多样性、形态多样性、发育多样性、代谢及遗传多样性，微生物多样性是人类生存活动的重要生物资源。

3.了解微生物学发展史是伴随人类文明和技术进步的漫长历程；微生物学的发展促进了人类的进步。

4.了解微生物对生命科学基础理论研究的贡献，以及在医药、工业、农业、环境保护等方面的应用。

（二）原核微生物

1.了解什么是原核生物？什么是生命三域说，由谁提出及根据是什么？了解原核生物的系统进化理论。

2.了解原核生物的细胞结构，认识细胞壁、细胞膜、核区(异核体)、核糖体、内生孢子、鞭毛等结构和功能性状，以及在微生物多样性研究中的意义。

3.了解和掌握原核生物的现代分类体系与鉴定的基本程序和方法。包括革兰氏染色、形态观察、生理测定、生化活性分析、细胞化学分析、核酸(RNA/DNA)分析、蛋白质分析等表观和分子信息在分类鉴定中的综合应用。了解原核微生物的命名法规。

4.了解和认识原核生物的物种多样性。了解细菌(狭义的)、放线菌、蓝细菌和古菌的重要代表种群的基本特性和在研究生命现象中的意义。

（三）真核微生物

1.了解什么是真核生物? 真核微生物的主要类群。

2.了解真核微生物的细胞结构与功能, 比较真核细胞与原核细胞间的主要区别。

3.了解和掌握真核微生物的分类与鉴定的基本方法。认识真核微生物的物种多样性。了解酵母菌、霉菌、蕈菌的主要代表种群的生物学特征和实际意义。

（四）病毒和亚病毒

1.了解病毒的基本特点、病毒的结构、病毒大小以及病毒的寄主和种类。

2.了解病毒的分类原理和命名原则

3.了解病毒侵入寄主细胞后复制周期所包括的吸附、穿入、脱壳、转录和翻译、组装及释放等主要环节。

4.了解什么是亚病毒？亚病毒包括的类病毒、拟病毒、朊病毒等的特性。

5.何谓噬菌体？何谓温和噬菌体、溶源噬菌体以及λ噬菌体？

6.了解目前国内外在主要病毒研究领域的研究状况和进展，如禽流感病毒，肝炎病毒等与人类息息相关的类群。

（五）微生物生理和代谢

1.了解微生物六类营养要素;微生物的营养类型;培养基种类及配制原则。

2.了解微生物生长的测定方法；熟悉典型生长曲线的意义；了解影响微生物生长的主要因素。

3.了解控制有害微生物的主要措施及其意义；熟悉高温灭菌的主要方法；了解常用化学杀菌剂、抗生素、消毒剂和治疗剂种类和功效，以及其杀菌、抑菌原理。

4.了解能量代谢中的生物氧化概念；熟悉生物氧化包括的呼吸、无氧呼吸和发酵三种类型及其意义。

5.了解分解代谢的内容。何谓合成代谢？合成代谢和分解代谢的关联性。

6.了解次生代谢和次生代谢产物(包括抗生素和非抗生素生物活性物质)及其重要性。

7.举例说明自养微生物CO2固定的4 条途径：Calvin循环、乙酰－CoA途径、逆向TCA途径和羟基丙酸途径。了解何谓生物固氮？固氮微生物的种类。

8.了解何谓代谢调控？了解工业发酵通过调节三类初级代谢途径而提高发酵效率的意义。

（六）微生物生态学

1.了解微生物生态学的概念、微生物生态系的结构和功能。

2.了解自然界中微生物在土壤、水体、空气及其他环境中的分布。何谓极端微生物？了解古菌(Archaea)和极端微生物的关系。了解目前已知的极端生命条件。

3.了解微生物间和微生物与其他生物间的五种主要关系类型。

4.了解微生物在自然界碳、氮、硫、磷物质循环中的作用。

5.了解何谓水体富营养化。解释“水华”(Water Bloom)、“赤潮”(Red Tide)现象。何谓生物处理(Biotreatment)和生物整治(Bioremediation)? 说明微生物在环境保护中的作用。

6．初步了解16S rRNA等基因在分子微生物生态学中的重要意义，以及基于这类生物分子发展起来的分子微生物生态学的基本方法。

（七）微生物遗传变异和育种

1.熟悉各类微生物（细菌、古菌、真核微生物、病毒等）的遗传特征。

2.利用微生物的三个经典实验：转化实验、噬菌体感染实验和植物病毒的重组实验证明遗传变异的物质基础是核酸。了解遗传物质(DNA/RNA)在微生物细胞内的存在部位(核或核区、核糖体、质粒等)和功能特性。

3.了解DNA的结构及其功能（如复制、转录等）相适应的特点。

4.清楚基因的概念，了解基因突变的特点及突变机制。能举例说明物理诱变、化学诱变在育种中的应用。

5.了解微生物基因表达调控的相关元件及其功能，了解原核微生物基因表达调控的分子机制。

6.了解原核生物的四种遗传操作方法：转化(Transformation)、转导(Transduction)、接合(Conjugation, Mating)和原生质体融合(Protoplast Fusion)。了解真核微生物基因重组中的有性杂交和准性杂交(Parasexual Hybridization)在育种中的意义。

7.熟悉基因工程(Genetic Engineering)和相关技术术语。熟悉基因工程的基本操作步骤。

8.了解菌种保藏的基本方法。何谓菌种退化(Degeneration)？了解菌种复壮的措

施。

9.理解基因和基因组的概念；了解真核生物和原核生物在基因组结构、基因结构及遗传过程中的主要差别。

（八）传染与免疫

1.了解什么是传染(Infection)及决定传染的基本因素。

2.了解什么是免疫？了解非特异性免疫的概念。

3.了解特异性免疫的特点。了解什么是抗原？什么是抗体？以及免疫学中常用的基本词语和概念。

4.了解抗原－抗体反应的一般规律及免疫学的意义；抗原－抗体间的主要反应：凝集反应、沉淀反应、补体结合试验、中和反应，熟悉上述四种免疫反应的试验方法及原理。了解免疫制剂的种类及作用。

（九）知识综合运用能力

1.在给出前提条件下，能够设计简单的技术路线去获得所要求的微生物类群、基因或代谢产物。

2.能够根据提供的现象，提出微生物所具有的功能假说或进化过程假说。

3.利用所学知识，设计用某种微生物的功能去解决一个实际问题。

三、主要参考书目:

1.周德庆微生物学教程(第二版)北京: 高等教育出版社, 2002

（为主要参考书）

2.沈萍 陈向东 微生物学(第二版)北京: 高等教育出版社, 2006

或 沈萍 陈向东微生物学(彩版)北京: 高等教育出版社, 2008

编制单位：中国科学院研究生院

编制日期：2006年 6月6 日

编制日期：2008年 7月6 日

第三篇：考研数学分析

考研数学分析

数学分为理工类和经济类。理工类包括:数学一和数学二。经济类包括:数学三和数学

四。具体考哪个要看你所报考的学校和专业的要求。其中数学二只考高等数学和线性代数，一，三，四考高等数学，线性代数和概率论。

数学

一、数学

二、数学三以及数学四，分别对应对数学要求不同的专业。四个不同类型 的考试范围、难度和侧重点不同，例如:数学二不考概率统计，数学一以外高等数学考察 内容较少，数学三和数学四对概率统计要求较高。

数一和数三的最大区别就是我们数学一高数部分比数学三考的多，要考空间、几何、质 量代数，数学三不高。数学一要考线面积分，数学三不考。再一个从难度来讲，数学一 从高数部分来讲，也要比数学三要求的高。但是线性代数概率数统计，还是数学三要求 的比数学一更高。

数一的证明题，高数这部分，当然就应该是中值定律和定积分、等式和不等式的证 明，还有就是方程根的存在性的证明，还有就是无穷基数那部分的证明，一般是这几部 分。那么，线性代数的证明题，一个是线性相关，线性无关，再一个就是对考数学一的 同学来讲，就是二次型举证的有关证明。

数学二基本上和数学一差不多，数学二就是刚才说过了，中值定理、不等式的证 明、定积分等式的证明，再一个方程根的证明。对于数学三和数学四来讲，重点抓住微分中值定理的证明，不等式的证明。

数学一、三、四的高等数学占50%，线性代数和概率论与数理统计各占25%。因为数学二不考概率部分，所以高等数学占80%，线代20%。从这个比例看，无论数学几高等数学都是重中之重！

其实内容大体上来说基本一样。只是部分知识点的考察不一样。

举个例，数学一考察的知识点最多。比如向量代数、三重积分什么的，这些是数学二、三、四都不要求考的

第四篇：山东大学考研数学系数学分析考试大纲

山东大学数学与系统科学学院—基础数学专业科目大纲

651—数学分析考试大纲：

一、考查目标

全国硕士研究生入学统一考试基础数学硕士专业学位（数学分析）考试是为高等院校和科研究所招收基础数学专业硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平，有效地测试考生是否具备攻读基础数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家培养具有良好职业道德和专业知识、具有较强分析与解决实际问题能力和高层次数学专业人才。考试要求是测试考生掌握数学分析理论的基本知识与内容、分析处理和证明基本问题的方法与技巧。

具体来说，要求考生：

① 掌握了基本的数学分析知识。

② 掌握实分析理论的基本方法和技巧。

③ 掌握数学分析的基本原理。

④ 具有运用时分析方法论证和解决问题的基本能力。

二、考试形式和试卷结构

1.试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间180分钟。

2.答题方式

答题方式为闭卷、笔试。不使用计算器。

3.试卷内容与题型结构

本试卷基于理解与计算，分析与证明、综合与提高的原则，题型一般包括计算题及证明题。

三、考查内容

1.函数、集合、映射的概念和基本理论。

2.极限理论与方法。

3.函数的连续性和连续函数的性质。

4.一元微分学基本理论与应用。

5.一元积分学理论与应用。

6.无穷级数理论。

7.多元函数的微分学理论与应用。

8.广义积分理论。

9.含参变量的积分与广义积分理论。

10.多重积分理论。

11.线积分与面积分理论与应用。

12.傅里叶级数与傅里叶积分。

注：参考教材：

《数学分析》（上下册）华东师范大学数学系编（第四版），高等教育出版社.1

第五篇：数学分析考试大纲

625数学分析考试大纲

一、考试目的

《数学分析》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平。

二、考试的性质与范围

本考试是一种测试应试者综合运用所学的数学分析的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括数学分析的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决数学分析问题的能力。

三、考试基本要求

1.熟练掌握数学分析的基本概念、命题、定理； 2．综合运用所学的数学分析的知识的能力

四、考试形式

闭卷考试。

五、考试内容（或知识点）

一、数列极限

数列、数列极限的 定义，收敛数列——唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限。

二、函数极限

函数极限。定义，定义，单侧极限，函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算、归结原则（Heine 定理）。函数极限的柯西准则。

无穷小量及其阶的比较，无穷大量及其阶的比较，渐近线。

三、函数的连续性

函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。

四、导数和微分

导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马(Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式极限，洛比达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亚诺余项、拉格朗日余项、积分型余项）。极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点，函数图的讨论。

六、实数的完备性

区间套定理，数列的柯西（Cauchy）收敛准则，聚点原理，有界数列存在收敛子列，有限覆盖定理。

七、不定积分

原函数与不定积分，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分。

八、定积分

牛顿——莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法。

九、定积分的应用

简单平面图形面积。有平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（引力、功等）。

十、反常积分

无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。

十一、数项级数

级数收敛与和，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。

十二、函数列与函数项级数

函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。

十三、幂级数

幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。

泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开。

十四、傅里叶（Fourier）级数

三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼——勒贝格定理，按段光滑且以2π为周期的函数展开，傅里叶级数的收敛定理，以2π为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数。

十五、多元函数的极限和连续

平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理——区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。

十六、多元函数的微分学

偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值。

十七、隐函数定理

隐函数概念、隐函数定理、隐函数求导。

隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。

十八、含参量积分

含参量积分概念、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法。连续性、可积性与可微性，Gamma函数。

十九、曲线积分

第一型和第二型曲线积分概念与计算，两类曲线积分的联系。

二十、重积分

二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心、转动惯量、引力等）。无界区域上的收敛性概念。无界函数反常二重积分。在一般条件下重积分变量变换公式。

二十一、曲面积分

曲面的侧。第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公式。斯托克斯公式。场论初步（梯度场、散度场、旋度场）。

六、考试题型

计算题、证明题。

七、参考书目：本科通用教材

864高等代数考试大纲

一、考试目的

《高等代数》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平。

二、考试的性质与范围

本考试是一种测试应试者综合运用所学的高等代数的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括高等代数的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决代数问题的能力。

三、考试基本要求

1.熟练掌握高等代数的基本概念、命题、定理； 2．综合运用所学的高等代数的知识的能力

四、考试形式 闭卷

五、考试内容（或知识点）1．多项式

数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式，对称多项式。

2、行列式

排列，n级行列式的定义，n级行列式的性质，n级行列式的展开，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer）法则，拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法规则。

3． 线性方程组

消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。

4． 矩阵

矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。

5． 二次型

二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。

6． 线性空间

集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

7． 线性变换

线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当（Jordan）标准形介绍，最小多项式。

8． λ-矩阵

λ-矩阵的定义，λ-矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当（Jordan）标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。

9． 欧几里得空间 定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离与最小二乘法。

10． 双线性函数

线性函数，对偶空间，双线性函数，对称（反对称）双线性函数。

六、考试题型

计算题、证明题

七、参考书目：本科通用教