抓住函数主线,统领初中数与代数内容

第一篇：抓住函数主线,统领初中数与代数内容

抓住函数主线，统领初中数与代数内容

函数是初中数学数与代数领域非常重要的学习内容，是研究运动变化的重要数学模型，它能集中体现数形结合思想、模型思想、转化思想等许多的数学思想方法，同时也渗透了如公式法、配方法等许多解决问题的实用方法，它与方程与方程组，不等式与不等式组等都有着广泛而紧密的联系。可以说，函数是贯穿初中数与代数课程学习的一条主线。

按照《标准》的设计，在初中阶段，数与代数的主要内容有：数的概念、数的运算；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式，函数等。初中代数的主要研究对象是：符号（数、字母等），运算（四则运算、乘方、开方），数量关系（等量、不等、变化规律），模型（方程、不等式、函数）。这其中： 数量关系是核心，符号和运算是刻画数量关系的重要语言，方程、不等式与函数是刻画数量关系的数学模型。刻画刻画数量关系的三种数学模型模型中，又以函数为最重要。函数是研究运动变化的重要数学模型。与方程、不等式模型的区别在于，它所刻画的是“变量之间的变化关系”，而方程和不等式所刻画的是“常量之间的固定关系”。由于函数是一种新型的数学模型，它的内容显然不同于方程、不等式。具体说来，它的学习对象包括 常量和变量；函数的概念和表示法； 一次函数；反比例函数；二次函数； 主要学习内容有：函数的图像与性质；按照给定的变量变化规律建立函数关系，分析具体的函数关系所具有的特定性质；应用相关知识和方法解决问题。

以“北师版”数学教材为例，教材安排在七年级下册第六章 《变量之间的关系》一章，让学生初步体会现实世界中的变化关系是无处不在的，通过对具体问题的抽象和概括，可以寻求某种方法来具体的刻画这种变化的数量关系，可谓是函数知识的启蒙。接下来在八年级上册第五章《 位置的确定》、第六章《 一次函数》逐次出现平面直角坐标系，函数概念，一次函数（正比例函数），让学生初步接触到函数，切实感受到函数关系式与函数图象的对应关系，体会数形结合这一重要数学思想方法。同时，通过与一元一次方程，二元一次方程组的结合，增进了数学知识之间的联系。八年级下册第一章教材安排学习了不等式与不等式组，通过与一次函数的联系，进一步渗透数形结合思想。九年级上册第五章九年级下册第二章集中学习反比例函数、二次函数，让学生全面掌握函数的相关知识，体会函数数学模型在现实生活中的应用。教材把二次函数放在初中数学数与代数内容的最后出现，足以证明函数在数学课程中的重要作用。

函数是初中代数最重要的数学模型，是解决数学问题的主要手段，函数概念可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力。函数与其他数学内容有着实质性的联系，在初中数学知识体系中有着举足轻重的地位。在解决函数问题时用到了许多代数方法，如在解决二次函数最值问题时用到配方法、公式法，在解决实际问题时首先转化为函数问题，在方案选择时用到分类讨论的思想等，这些正是初中数学重要的代数思想方法，对学生数学学习能力的提高有重大作用。课程标准突出了函数作为初中代数内容主线的观点，以直观研究为主，在解决具体问题基础上，让学生体验函数的直观的本质的特征，体会变量之间的联系和变化。因此，作为研究运动变化现象的重要数学模型，函数在初中数学中具有重要的地位，是初中代数课程的主线。

第二篇：怎样理解函数是初中数与代数课程领域学习的主线

怎样理解函数是初中数与代数课程领域学习的主线

函数是初中数学数与代数领域非常重要的学习内容，它能集中体现数形结合思想、模型思想、转化思想等许多的数学思想方法，同时也渗透了如公式法、配方法等许多解决问题的实用方法，它与方程与方程组，不等式与不等式组等都有着广泛而紧密的联系。可以说，函数是贯穿初中数与代数课程学习的一条主线。

（1）初中函数概念建立了数学与运动变化的现实世界的联系，有了函数，学生能用运动的观点认知知识，理解知识，解决知识。从而培养学生正确的世界观。

在现实世界中，运动与变化是绝对的，静止与不变则是相对的。在这种运动和变化中就包含（两个）相互依赖的量的变化。那么，从数学角度出发如何描述这两个变化量的关系呢？人们对这种变化对应的关系进行了长期的研究，最后引入“函数”这个数学概念来描述这个关系。函数概念有不同的定义，为了便于学生接受，初中函数概念一般采取如下定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。在很多问题中，可以用式子表示函数。初中所学的一次函数，反比例函数，二次函数都有各自的解析表达式。在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的函数关系。初中函数概念的建立有助于学生从运动变化，联系对应的角度考虑问题.（2）初中函数概念包含了与数，式，方程等内容的联系，沟通了代数学的所有内容。从函数概念可以看到它与已学内容的一些联系：由自变量的值求函数的值涉及数及其运算；用含自变量的式子表示另一个变量涉及列代数式；由函数的值求自变量的值，实际上是解方程；自变量的取值范围的讨论，要用到不等式等等。函数概念还可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力。（3）初中函数概念蕴涵了数与形的联系，沟通了数与空间的联系。从而用数形结合的方法帮助学生更直观的去分析问题，解决问题。

从初中函数概念可以看到：自变量的一个值和与它对应的函数值组成了一个有序数对，而一个有序数对可以用平面直角坐标系的一个点表示。所有这些有序数对对应的点组成一个图形，也就是函数的图象。函数的图象是两个变量对应关系的直观反映，建立了数与形的联系。函数图象特征与函数性质之间存在必然的联系，可以利用函数图象的直观研究函数的性质。在初中阶段，一次函数，反比例函数，二次函数的性质都可以借助各自的图象加以研究。比如，从图象理解一次函数，反比例函数的单调性，认识二次函数的最大值或最小值。（4）函数知识是贯穿整个小学、中学数学课程始终的重要内容之一，既是小学变量知识的质变和飞跃，又是高中知识的基础和衔接。

从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。这件事在小学就开始做了。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化，又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比皆是。通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念——函数关系。在初中阶段，学习的知识更加丰富了。三大基本函数的学习，我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。而在高中数学中，函数模型占有很重要的地位。我们在任何一个生活情景中，例如，邮局、超市，加油站、机场等等，都会发现许多描述规律的函数关系。在其他学科，如物理、化学、生物、等学科中，描述规律的函数关系比比皆是。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了，而函数把小学、中学（中、高）数学知识有机的结合在一起。

总之，函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。是贯穿初中数与代数课程学习的一条主线。因此，对于函数的学习，应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题，特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。只有这样，才能跟好的体现它在初中合成领域中的重要地位。

第三篇：怎样理解函数是初中数与代数课程领域学习的主线

怎样理解函数是初中数与代数课程领域学习的主线

初中“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。

就具体内容而言，初中数与代数涉及实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律的探索，一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具等内容。期望通过学习，发展学生的符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。

初中阶段函数部分的内容，主要包括一次函数、二次函数、反比例函数，在这个阶段学习函数，重点就是要借助现实背景，在现实情景中理解函数的概念。而且在研究函数的性质过程当中，重点应该是要利用图象的方法直观地发现函数。例如一次函数有什么特点？二次函数有什么特点？反比例函数呢？此外还有一个非常重要的方面，就是体会函数各种表示之间的联系。例如函数的表示法，我们有表格表示，就是具体的看有一个 x 怎么和 y 对应，另外就是有解析式表示，还有图象表示。以前在传统的教学当中，可能这个解析式的表示我们用的比较多，表格、图象表示用的比较少，不管在标准的实验稿当中还是修订稿中，我们都要关注函数的图象表示，借助函数的图象来研究函数的性质，这是一种非常直观的办法。同时在这个修订版的标准当中，也强调了对自变量取值范围的讨论，应该结合具体的实际问题，在实际问题中讨论自变量取值范围，而不是说泛泛地、一般性地讨论自变量的定义域、值域。

函数是中学数学里第一个正式研究“变化”过程的内容，是研究运动变化的重要数学模型。《新标准》对函数内容具体地的学习要求如下：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。

函数是非常有价值的内容，首先变量之间的关系在现实世界当中就是普遍存在的，如何研究变量之间的关系，从数学上解决这个问题，它的工具就是函数。所以对于学生来讲，利用函数的方法解决现实问题，实际上是从常量的数学走到变量的数学，像在方程中，x 表示未知数，它实际上不是变量，其实它是一个常量。在函数当中就不一样，它可能是自变量，也可能是因变量，所以从这个角度来讲，从学生的思维角度来讲，它是一种飞跃，而且通过变量的学习，学生可以逐渐地形成辩证唯物主义的思想。

通过变量之间关系的学习有助于培养学生的理性思维，因为学习函数，就要表示变量之间的关系，它有一个很重要的作用，就是利用函数的关系进行预测，或利用函数的关系进行计算，未知的点可以通过函数关系把它计算出来。我们预测人口，如中国二十年以后的人口数量问题，可以根据对以前人口的统计、对数量进行分析，根据它的变化规律来进行预测。进行计算也是函数非常重要的一个应用，我们根据函数的变化规律，看其中某一些位置的点的函数值是多少等等。另外由于在函数学习的过程当中，我们非常重视函数的图象表示，所以对培养学生的几何直观函数也是非常重要的载体。通过直观分析函数的性质，学生可以对函数的增减性，或者是周期性等等都能够有很好的认识。

从常量到变量数学的过渡阶段，学生从小学阶段就已经开始。到了初中阶段，学生又接触到一些新的知识，他们逐渐在丰富的自己的认识。如我们在教学中也曾经向学生出示这样的一些图象，向学生提出问题：这些图象都可以刻画什么？

不同的学生有着不同的一些想法。你能不能够在现实生活中找到这样的函数的一个实际背景或实例？例如第一个图象，学生可能会说是匀速行驶的汽车的时间和路程之间的关系，也有学生会举例子说，如果苹果一斤是 2 元钱，这个图表示的是苹果斤数和总价的关系，这些例子都是比较朴素的。不妨再来看看第八个图，有的学生会说，这个是向水桶中注水，最后达到了上限还要再注，时间与水面高度的关系；还有同学举例子说，将 20 度的水加热，加热到沸腾；有的学生是说从甲地出发到了某地之后，这个车坏了怎么修也修不好；还有的说是弹簧的承重有一个限度，但它超过这个限度之后，长度就已经超过了弹簧的承受能力，长度就不变了。当然这些所举的例子都还需要再斟酌。有的学生会说是小明的体温，开始逐渐上升，最后持续高烧，这也是一种可能的情境。有非常多的学生都提出自己的想法，用来解释以上图象，即是说他们能够从现实生活中挖掘出丰富的现实情景，去解释各种各样的函数关系，我想在这样一个过程中学生们就能真正体会到函数图象的价值。这是在用解析式表达、学习函数性质、应用函数解决问题等等之外的收获。可能我们首先应该让学生感受到的就是：函数离我们这么近，其实它就是这么普通。这样，函数的连续性、函数的取值范围等在学生的理解中也就更简化，更容易被他们所接受。

函数还有一个作用，体现在解方程中。即方程可用函数的方法去解，如果一个方程，我们不能用已学的的方法去解。例如三次方程，我们的学生还没有学，就不会解，但是我们可以画一下它的图象，然后就可以以此来大致的估计一下它的解的范围，对它的解形成一些初步的认识。实际上在初中，方程、不等式还都可以看成函数的一种特殊情况。

另外函数这一研究变量关系的方法，实际上对于其他的学科，如物理、化学、经济及一些文科都有非常重要的作用，都是非常有力的工具。因此学好函数这部分内容，搞好函数这部分的教学，在初中代数中是非常重要的。

一方面，在小学阶段，《新标准》就提出了“探索规律”的学习任务，这实际上就是函数学习的初期；另一方面，初中阶段的数学课程中，函数的定义也仅仅是采用了较为直观的“变量说”：一个变量的变化，引起另一个变量的变化，而没有采用抽象的“映射说”；同时，函数的三要素、函数的单调性，奇偶性等基本特性也没有系统提及；而只是要求结合具体的函数，有效地渗透，逐步揭示函数的直观、本质特征——联系和变化；但同时，《新标准》也突出了将函数作为初中代数内容主线的观点。所以，函数学习在初中阶段并不是一个“全新”的内容，需要关注其与小学阶段的延续性；同时，初中阶段的学习也不是理论性的，还是以直观研究为主；但需要介绍函数与方程、不等式等内容的联系。因此，函数是研究运动变化现象的重要数学模型，是初中代数的主线

第四篇：怎样理解函数是初中数与代数课程领域学习的主线

我们采用的是北师版的教材，教材安排在七年级下册第六章安排了《变量之间的关系》，为函数奠定基础。在八年级上安排了《位置的确定》和《一次函数》，八年级下安排了《一元一次不等式与一元一次不等式组》，并在其中特意安排了一节为《一元一次不等式与一次函数》。在九年级上安排了《反比例函数》，九年级下安排了《二次函数》，并在其中特意安排了一节《二次函数与一元二次方程》。因此，但从表面看来就可以看出：函数贯穿了整个初中数学课堂。

在昨天讨论到“双基”变“四集”时，就提到了数学思想和数学活动经验。函数集中体现数形结合思想、模型思想、转化思想等许多的数学思想方法，同时也渗透了如公式法、配方法等许多解决问题的实用方法，它与方程与方程组，不等式与不等式组等都有着广泛而紧密的联系。实质上，函数是贯穿初中数与代数课程学习的一条主线。

1、函数的图像直观地表现数量关系；函数用图像来表现数量关系，直观而生动，一次函数的直线图像，让学生体会到数与数之间的微妙关系；二次函数的抛物线图像，处处透露着数学的美感。初中阶段的数与代数课程，大致包括数、代数式、方程和不等式、变量与函数四个大的方面，这些内容相对独立又互相联系，没有有理数、实数及代数戒指概念，就无法学习方程、函数的相关知识；而方程和不等式又是函数的特殊情况，由此可见，函数在初中数与代数的课程中起到了重要的联系作用。

2、函数思想对于解决数学问题及实际问题有重要的意义；利用函数思想方法，不仅可以解决数学问题，更能解决现实生活中的许多实际问题，如利润最大问题、面积最大问题、方案选择问题，而这些现实问题恰恰与人们的生活关系密切，体现了课程标准中要求，数学来源于生活，又服务于生活。

3、几种函数类型的解题方法与各种代数思想密不可分。在解决函数问题时用到了许多代数方法，如在解决二次函数最值问题时用到配方法、公式法，在解决实际问题时首先转化为函数问题，在方案选择时用到分类讨论的思想等，这些正是初中数学重要的代数思想方法，对学生数学学习能力的提高有重大作用。

2011版课程标准突出了函数作为初中代数内容主线的观点，以直观研究为主，在解决具体问题基础上，让学生体验函数的直观的本质的特征，体会变量之间的联系和变化。因此，作为研究运动变化现象的重要数学模型，函数在初中数学中具有重要的地位，是初中代数课程的主线。

第五篇：怎样理解函数是初中数与代数课程领域学习的主线

怎样理解函数是初中数与代数课程领域学习的主线 函数是中学数学里第一个正式研究“变化”过程的内容，是研究运动变化的重要数学模型。《新标准》对函数内容具体地的学习要求如下：探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。

一方面，在小学阶段，《新标准》就提出了“探索规律”的学习任务，这实际上就是函数学习的初期；另一方面，初中阶段的数学课程中，函数的定义也仅仅是采用了较为直观的“变量说”：一个变量的变化，引起另一个变量的变化，而没有采用抽象的“映射说”；同时，函数的三要素、函数的单调性，奇偶性等基本特性也没有系统提及；而只是要求结合具体的函数，有效地渗透，逐步揭示函数的直观、本质特征——联系和变化；但同时，《新标准》也突出了将函数作为初中代数内容主线的观点。所以，函数学习在初中阶段并不是一个“全新”的内容，需要关注其与小学阶段的延续性；同时，初中阶段的学习也不是理论性的，还是以直观研究为主；但需要介绍函数与方程、不等式等内容的联系。因此，函数是研究运动变化现象的重要数学模型，是初中代数的主线