一元二次方程专题练习

第一篇：一元二次方程专题练习

22.2降次——解一元二次方程

专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值

1.若方程25x-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）

A．-9或11B．-7或8C．-8或9C．-8或9

222.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=.3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．

2专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围

4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

25.关于x的方程kx+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.k≤9999B.k＜C.k＜且k≠0D.k≤且k≠0 8888

6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程 为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下 列结论正确的是（）

A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c

专题三解绝对值方程和高次方程

7.若方程（x2+y-5）=64，则x+y=.8.阅读题例，解答下题：

例：解方程x2－|x－1|－1=0.22解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x－（x－1）－1=0，∴x－x=0.解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=1.22（2）当x－1＜0，即x＜1时，x+（x－1）－1=0，∴x+x－2=0.解得x1=1（不合题意，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.2依照上例解法，解方程x+2|x+2|－4=0．

222

2专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系

9.探究下表中的奥秘，并完成填空：

10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：

代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们 知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两 个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方 程x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x1=-2，x2=

．

3a0,a0,根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有 或者请判

b0b0.

断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式 说明理由．

5x

10的解集，如果不正确，请 2x3

专题五利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值

11.设x1、x2是一元二次方程x+4x－3=0的两个根，2x1（x2+5x2﹣3）+a=2，则a=． 12.【2012·怀化】已知x1、x2是一元二次方程a6x2axa0的两个实数根，2

2⑴是否存在实数a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

⑵求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．

b2

13.教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=－ac

x1·x2=.根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式的值．例如：已知

ax1、x2为方程x-2x-1=0的两根，则：

2（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x1+x2=(x1+x2)-2 x1·x2=__ __．

mn

1（2）阅读材料：已知m2m10,n2n10，且mn1．求的值．

n解：由n2n10可知n0．方程左右两边同时除以n得 1∴

20，nn

10.n2n

11．∴m,是方程x2x10的两根． nn

又m2m10,且mn1，即m∴m

1．∴mn1=1． nn

（3）根据阅读材料所提供的方法及（1）的方法完成下题的解答．

已知2m23m10,n23n20，且mn1．求m22的值．

n

知识要点：

1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac与一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； 当△<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c之间存在着如下关系： x1+x2=﹣，x1•x2=.22.3实际问题与一元二次方程

专题一利用一元二次方程解决面积问题

1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所

示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m（铝合金条的宽度忽略不计）．

2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

3.数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草坪的面积可表示为m2；

（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时余下草坪的面积为m2；

（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为1421m2．求小路的宽

x.5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感 染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有 效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

6.【2012·广元】某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于 国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

专题三利用一元二次方程解决市场经济问题

7.【2012·济宁】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定： 如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最 终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

8.【2012·南京】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售 价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售 出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给 销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部 返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

专题四利用一元二次方程解决生活中的其他问题

9.(1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有条.．．．．．．

(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？

(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明理

由.10.如图，每个正方形是由边长为1的小正方形组成．

（1）观察图形，请填写下列表格：

（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．

第二篇：《一元二次方程》基础练习

《一元二次方程》基础练习

积累●整合1、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0

B．m2x+5m+6=0

C．x3－x－1=0

D．（k2+3）x2+2x－=02、一元二次方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（）

A．x2－5x+5=0

B．x2+5x－5=0

C．x2+5x+5=0

D．x2+5=03、方程3x2－x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）

A．3

B．－

C．

D．－94、下列方程中，不含一次项的是（）

A．（2x－1）（1+2x）=0

B．3x2=4x

C．2x2=7－6x

D．x（1－x）=05、若x=1是方程x2+nx+m=0的根，则m+n的值是（）

A．1

B．－1

C．2

D．－26、下列说法正确的是（）

A．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程

B．方程3x2=4的常数项是4

C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根

D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解

7、关于x的一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的一个根是0，则a的值是（）

A．1

B．－1

C．1或－1

D．

8、若ax2－5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集为（）

A．a＞－2

B．a＜－2

C．a＞－

D．a＞－2且a≠0

拓展●应用

9、若一元二次方程2x2+（k+8）x－（2k－3）=0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k=

10、若方程（m－1）x|m|+1－2x=3是关于x的一元二次方程，则m=

11、写出一个一元二次方程，使方程有一个根为0，并且二次项系数为1，12、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的根，则－=

13、关于x的方程（k2－4）x2+（k－2）x+3k－1=0，当k=

时为一元一次方程；当k

时为一元二次方程。

14、根据题意，列出方程：

（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为

（2）有一个面积为20cm2的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为

探索●创新

15、学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：

（1）它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）

（2）它的二次项系数为5

（3）常数项是二次项系数的倒数的相反数

你能写出一个符合条件的方程吗？

16、已知关于x的方程（m－n）x2+mx+n=0，你认为：

（1）当m和n满足什么关系时，该方程是一元二次方程？

（2）当m和n满足什么关系时，该方程是一元一次方程？

参考答案

1、答案：D

解析：A要想成为一元二次方程，需加条件a≠0，B需加条件m≠0，C是一元三次方程，D中不论k为何值，k2+3永远为正，所以D是一元二次方程，故选D2、答案：A

解析：去括号，合并同类项即可得到答案A3、答案：D

解析：二次项系数为3，一次项系数为－，常数项为，3×（－）×=－94、答案：A

解析：（2x－1）（1+2x）=4x2－1，故选A5、答案：B

解析：将x=1代入x2+nx+m=0，得到1+n+m=0，即m+n=－1，故选B6、答案：C

解析：A中需加上a≠0才是一元二次方程，B中的常数项为－4，D中的一元二次方程解可能为0，例如：x2=0，故选C7、答案：B

解析：将x=0代入方程得到a2－1=0，即a=±1，因为原方程为一元二次方程，即a－1≠0，所以a≠1，所以a=－1，故选B8、答案：D

解析：因为ax2－5x+3=0是一元二次方程，所以a≠0，3a+6＞0，即a＞－2，所以a＞－2且a≠0。故选D9、答案：8

解析：2+（k+8）+（－2k+3）=5，所以k=810、答案：－1

解析：|m|+1=2，所以m=±1，因为m－1≠0，即m≠1，所以m=－111、答案：x2－x=0（答案不唯一）

解析：发挥聪明才智，大胆想象

12、答案：－2

解析：将x=－2代入方程，m=－3，－=－=1－m－3+m=－213、答案：－2，≠±2

解析：方程为一元一次方程，k2－4=0，即k=±2，且k－2≠0，即k≠2，所以k=－2

方程为一元二次方程，k2－4≠0，即k≠±214、答案：（1）x（6－x）=［10（6－x）+x］

（2）x（x－3）=20

解析：（1）个位数为x，那么十位数为6－x，根据题意得x（6－x）=［10（6－x）+x］

（2）这条边长度为x，那么这条边上的高为x－3，根据三角形的面积公式得x（x－3）=2015、答案：这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）

解析：由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定a、c，而b的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键。

16、答案：（1）当m≠n时，方程是一元二次方程

（2）当m=n且m≠0时，方程是一元一次方程

解析：本题主要考查一元二次方程及一元一次方程的定义，一元二次方程中ax2中的a不可能为0，即m－n≠0；而一元一次方程中ax中的a不可能为0，即m≠0。对于一元二次方程ax2+bx+c=0一定要注意“a≠0”，当二次项系数为0，而一次项系数不为0时为一元一次方程。

第三篇：一元二次方程实际问题

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过10000=250kg，在这个提前下，40

•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-40）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

例4.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2（不符，舍去），x2=

答：所求的年利率是12．5%．

1=0.125=12.5% 8

第四篇：一元二次方程应用2010

1、（2009烟台市）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

2、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？

3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量达到60400个?

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

5、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

6、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2

间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式。

7、（2009年甘肃庆阳）（8分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

8、(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.9.建造一个面积是140平方米的仓库，要求其一边靠墙，墙长16米，在与墙平行的一边开一道２米宽的门。现人32米长的材料来建仓库，求这个仓库的长是多少米？

10、如图在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。点P从A点开始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC方向以每秒厘米移动。问几秒时△PBQ的面积等于8平方厘米？

11．（2009年甘肃庆阳）若关于x的方程x2

2xk10的一个根是0，则k．

12.、（2009威海）若关于x的一元二次方程x2

(k3)xk0的一个根是2，则另一个根是______．、（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价P 13由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．

第五篇：2014最新人教版一元二次方程 简单

《一元二次方程》单元训练题

班级：姓名：

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．方程x2＝2x－3化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为()

A． 1、2、－3B．

1、2、－3C．

1、－

2、3D．1、2、3

2．方程(m2)x23mx10是关于x的一元二次方程，则（）

A．m2B．m2C．m2D．m2

3．一元二次方程x2－4＝0的解是()

A．x1＝2，x2＝－2B．x＝－2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0

4．用配方法解方程x2－4x＝－2，下列配方正确的是()

A．(x－2)2＝2B．(x＋2)2＝2C．(x－2)2＝－2D．(x－2)2＝6

5．已知一元二次方程x2＋x－1＝0，下列判断正确的是()

A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定

6．若x1、x2是方程x23x50的两个根，则x1x2的值为（）

22A.3B.5C.3D.5 7．如果x＝4是一元二次方程x3xa的一个根，则常数a的值是（）

A．2B．－2C．±2D．±4

8．为了美化环境，某市加大对环境绿化的投资．2009年用于绿化投资20万元，2011年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为()

A．20x2＝25B．20(1＋x)＝25C．20(1＋x)2＝25D．20(1＋x)＋20(1＋x)2＝25

二、填空题（每小题3分，共21分）

9.一元二次方程x2x的解为：；

10．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根，则p的值是_______．

11．已知

3、－5是关于x的方程x+px+q=0的两根,则 ,.12．已知x2＋x－1＝0，则3x2＋3x－5＝_______．

13．三角形的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x6x80的一个根，则这个三角形的周长是

14．已知代数式x2x3与x7的值相等，则x的值是．

15．已知方程x－4x+3=0的两根为x1、x2, 则x1+x2=，x1·x2=，三．解下列方程（每小题5分，共20分）

21．x90；2．3x216x． 2222211． x1x

22x4．2x(x3)5x( 33．2x13

四．解答题（共35分）

1．已知x1＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，求m的值及方程的另一个根x2．(8分)

4．已知关于x的一元二次方程x+（m+1）x+m+4=0，当m为何值时，方程有两个相等的实数根．（8分）

2．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．问该公司的年增长率是多少？（8分）

3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．

设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（11分）