数学实验作业证明

第一篇：数学实验作业证明

证明：当函数F(x)和G(x)强可导时且其导数分别为f(x)，g(x)则它们满足下列线性运算

（1）若cF(x)强可导那么其导数为cf(x)

证明：

因为F(x)强可导并且其导数为f(x),所以存在正数M和h（这里h可正可负）成立

下面的不等式

|F(x+h)-F(x)-f(x)h|<=Mh^2那么

|c|*|F(x+h)-F(x)-f(x)h|<=|c|*Mh^2

即：|cF(x+h)-cF(x)-cf(x)h|<=|cM|h^2

由上面的不等式即可知道cF(x)也强可导，并

且其导数为cf(x)

证毕

（2）若F(x)+G(x)强可导则其导数为f(x)+g(x)

证明：

因为F(x)+G(x)强可导则满足以下不等式

|F(x+h)+G(x+h)-F(x)-G(x)-hf(x)-hg(x)|<=Mh^2

又

|F(x+h)+G(x+h)-F(x)-G(x)-hf(x)-hg(x)|<=|F(x+h)-F(x)-hf(x)|+|G(x+h)-G(x)-hg(x)|<=M1h^2+M2h^2=(M1+M2)h^2=Mh^2(这儿令M1+M2等于M)

由上述不等式知：F(x)+G(x)强可导则导数为f(x)+g(x)

证毕

（3）若F(cx+d)强可导则导数为cf(cx+d)

证明：因为F(cx+d)强可导则满足如下不等式 |F(c(x+h)+d)-F(cx+d)-cf(cx+d)h|

=|F((cx+h)+cd)-F(cx+d)-chf(cx+d)|<=Mh^2 故F（cx+d）的导数为cf(cx+d)

证毕

第二篇：实验证明

实验证明

知识小结：

1、为了证明某种结论或某种推断，设计相应的实验方法，当出现预料的某种实验现象时，就可以得到证明。选择的实验方法力求简单易行、实验现象明显。

2、初中化学里的实验证明题，一般都是证明某种成分，或某种物质含有的某种成分，以定性证明为主。

3、应熟悉常见的检验方法，如检验水、二氧化碳、一氧化碳、氢气和碳酸盐及氯离子、硫酸根离子、铵根离子等等。检验时要注意排除干扰，避免误检。

例题分析：

1、怎样用实验证明下列事实或结论？写出实验操作步骤、实验现象、实验结论及有关化学反应方程式。

（1）酒精中含有少量水分。

（2）生石灰中含有未“烧透”的石灰石。

（3）氢氧化钠溶液长期露置在空气中，已部分变质。

2、实验室用锌粒跟稀硫酸反应制取氢气（其中含有水蒸气），现要求证明氢气具有还原性，及氢气氧化后的产物是水，试从下图中选出所需的装置（各装置可重复选用），并从左到右连成一套实验装置，完成实验要求。回答：

（1）装置连接顺序（填序号）→→→→。

（2）在C、D装置中反应的化学方程式：。

（3）证明氢气具有还原性的和氧化产物是水的现象。

提高练习：

1、为了证明盐酸中是否含有少量的硫酸，可以：

A：加入少量氯化钡溶液，观察是否有白色沉淀；

B：加入少量硝酸银溶液，观察是否有白色沉淀；

C：加入少量锌粒，观察是否有气泡产生；

D：加入少量碳酸钠溶液，观察是否有气泡产生。

2、为了证明某气体中含有水蒸气和氢气，选用下图装置连接成一套装置的顺序为： A：甲→乙→丙→丁；B：丁→丙→甲→丁→乙；

C：丁→乙→丁→甲→丁；D：甲→丁→乙→丙。

3、某混合气体由二氧化碳、氢气、一氧化碳和水蒸气组成。试胳膊下列A~E五种装置（假设每步反应都完全，每种装置限用一次），设计一个实验程序，用来证明该混合气体中确实。

4、欲证明某硫酸钠溶液中含有氯化钠。试回答：

（1）取少量样品，放在试管里，加入过量的溶液。

（2）检验溶液中硫酸根离子已全部沉淀的方法。

（3）取上层清液于另一试管中，滴加溶液，看到，证明有氯离子。

6、为了证明某混合气体是二氧化碳和一氧化碳的混合气体，做以下实验：

（1）使混合气体通过盛的洗气瓶，看到，证明混合气体中含有二氧化碳。

（2）再使混合气体通过盛溶液的洗气瓶，使混合气体中的二氧化碳全部吸收，反应的化学方程式是。

（3）再将剩余气体通过灼热的，看到，反应的化学方程式是。

（4）最后将剩余气体通过，看到，说明一氧化碳的（填氧化或还原）产物是二氧化碳。

第三篇：选修课数学实验与建模matlab作业

实验一

一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想;掌握用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形

1.1 作出函数ytanx和ycotx的图形观察其周期性和变化趋势.x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=tan(x);y2=cot(x);plot(x,y1,x,y2);axis([-10,10,-10,10])1.2将函数ysinx,yx,yarcsinx的图形作在同一坐标系内, 观察直接函数和反函数的图形间的关系.x1=-2*pi:0.1:2*pi;y1=sin(x1);y2=x1;x2=-1:0.1:1;y3=asin(x2);plot(x1,y1,x1,y2,x2,y3);

axis([-5,5,-5,5])1.3给定函数

5x2x3x4 f(x)55x5x2(a)画出f(x)在区间[4,4]上的图形;x=-4:0.1:4;y=(5+x.^2+x.^3+x.^4)./(5+5*x+5*x.^2);plot(x,y);axis([-4,4,-4,4])(b)画出区间[4,4]上f(x)与sin(x)f(x)的图形.x=-4:0.1:4;y1=(5+x.^2+x.^3+x.^4)./(5+5*x+5*x.^2);y2=sin(x).*y1;

plot(x,y1,x,y2);axis([-4,4,-4,4])

1.4 在区间[1,1]画出函数ysinx=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)

1.5 作出以参数方程x2cost,ysint(0t2)所表示的曲线的图形.t=0:0.1:2*pi;x=2*cos(t);y=sin(t);plot(x,y,0,x,x,0)1.6分别作出星形线x2co3ts,y2si3tn(0t2)和摆线x2(tsint)，1的图形.xy2(1cost)(0t4)的图形.程序1：t=0:0.1:2*pi;x=2*cos(t).^3;y=2*sin(t).^3;plot(x,y)程序2：t=0:0.1:4*pi;x=2*(t-sin(t));y=2*(1-cos(t));plot(x,y);axis([0,4*pi,0,5])x(t)costcos5t1.7 画出参数方程的图形：

y(t)sintcos3tt=-pi/2:0.01:pi/2;x=cos(t).*cos(5*t);y=sin(t).*cos(3*t);plot(x,y)1.8 作出极坐标方程为r2(1cost)的曲线的图形.t=-2*pi:0.1:2*pi;r=2*(1-cos(t));polar(t,r)

1.9

作出极坐标方程为ret/10的对数螺线的图形.t=-2*pi:0.1:2*pi;r=exp(t./10);polar(t,r)

1.10作出由方程x3y33xy所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线).ezplot('x^3+y^3-3*x*y')

1.11 分别作出取整函数y[x]和函数yx[x]的图形.程序1：ezplot('y-fix(x)',[-5,5]);grid on;

程序2：ezplot('y-x+fix(x)',[-5,5]);

Grid on;

1.12 作出符号函数ysgnx的图形.ezplot('y-sign(x)',[-5,5]);grid on

12xsin,x01.13作出分段函数f(x)的图形.x0,x0

plot([-4:0]，ones(length(-4:0))*(-1),'-',[0],ones(length(0))*0,[0:4],ones(length(0:4))*1)

axis([-5 5-2 2])

1.14 制作函数sincx的图形动画, 观察参数c对函数图形的影响.x=0:0.1:2*pi;for i=1:30;y=sin(i*x);plot(x,y);grid on;pause(0.1);end 1.15作出函数f(x)x2sincx的图形动画,观察参数c对函数图形的影响.x=-2*pi:0.1:2*pi;

for b=1:100;c=0.1*b;y=x.^2+sin(c*x);

plot(x,y);

temp=['c=',num2str(c)];

title(temp);

grid on;pause(0.1);end

实验2 极限与连续（基础实验）

实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解.掌握用 Matlab画散点图, 以及计算极限的方法.深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形

特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.作散点图

2.1 观察数列{nn}的前100项变化趋势.n=1:100;x=nthroot(n,n);stem(n,x)

12.2通过动画观察当n时数列an2的变化趋势.nfor n=1:inf an=1/n.^2;plot(n,an,’o’);grid on;hold on;end 2.3 设x12,xn12xn.从初值x12出发, 可以将数列一项一项地计算出来.format long,x=2^0.5;for i=1:10

x=(2+x).^0.5 end

x = 1.84775906502257 x = 1.96***6 x = 1.99036945334439 x = 1.99759091241034 x = 1.99939763739241 x = 1.99984940367829 x = 1.99996235056520 x = 1.99999058761915 x = 1.99999764690340 x = 1.99999941172576

2.4在区间[4,4]上作出函数f(x)究

xx39x的图形, 并研x3xlimf(x)和 limf(x).x1x=-4:0.1:4;y=(x.^3-9*x)./(x.^3-x);plot(x,y);

grid on;syms x;limit((x.^3-9*x)./(x.^3-x),x,inf)limit((x.^3-9*x)./(x.^3-x),x,1)

ans =1

ans =NaN 12.5观察函数f(x)2sinx当x时的变化趋x势.x=0:0.1;inf;y=1/x.^2.*sin(x);plot(x,y)1112.6设数列xn333.计算这个数列的12n前30项的近似值.作散点图, 观察点的变化趋势.sum=0;

for n=1:30

sum=sum+1/(n^3);

plot(n,sum,'o');

grid on;

hold on;end 13xn1.可以证明:这个数列的极限是3.计算这个数列的前

2xn130项的近似值.作散点图, 观察点的变化趋势.2.7定义数列x01,xn

tempn=1;

for n=1:29

tempn=(tempn+3/tempn)/2;

plot(n,tempn,'o');

grid on;

hold on;

end 2.8计算极限

11x2(1)limxsinsinx

(2)limx x0xexxtanxsinx

(4)limxx(3)lim3x0x0xlncotx

(6)limx2lnx(5)limx0x0lnx3x32x25sinxxcosx

(8)lim(7)limx5x32x1x0x2sinx

ee2xsinx1cosx

(10)lim(9)limx0xx0xsinx

syms x;(1)limit(x.*sin(1./x)+1./x*sin(x),x,0)=1(2)limit((x.^2)/exp(x),x,+inf)=0(3)limit((tan(x)-sin(x))./x.^3,x,0)=1/2(4)limit(x.^x,x,+0)=1(5)limit(log(cot(x))/log(x),x,+0)=-1(6)limit(x.^2*log(x),x,+0)=0(7)limit((sin(x)-x.*cos(x))/(x.^2.*sin(x)),x,0)=1/3(8)limit((3*x^3-2*x^2+5)/(5*x^3+2*x+1),x,0)=5(9)limit((exp(x)-exp(-x)-2*x)/(x-sin(x)),x,0)=2(10)limit((sin(x)/x)^(1/(1-cos(x))),x,0)= 1/exp(1/3)

xx1实验3 导数（基础实验）

实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义.掌握用Matlab求导数与高 阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.导数概念与导数的几何意义 3.1作函数f(x)2x33x212x7的图形和在x1处的切线.syms x;diff(2*x^3+3*x^2-12*x+7)y=6*x^2+6*x-12;x=-4:0.1:4;y1=2*x.^3+3*x.^2-12*x+7;y2=-12*(x+1)+20;plot(x,y1,x,y2)

13.2求函数f(x)sinaxcosbx的一阶导数.并求f.absyms a b x;diff(sin(a*x)*cos(b*x))

function y=f1(x)syms a b real;y=cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b;

y=f1(1/(a+b))

ans = cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b

y = cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b 3.3求函数yx102(x10)9的1阶到11阶导数.syms x;for n=1:11;

diff(x^10+2*(x-9)^9,x,n)end

ans =

10*x^9+18*(x-9)^8 ans = 90*x^8+144*(x-9)^7 ans = 720*x^7+1008*(x-9)^6 ans = 5040*x^6+6048*(x-9)^5 ans = 30240*x^5+30240*(x-9)^4 ans = 151200*x^4+120960*(x-9)^3 ans = 604800*x^3+362880*(x-9)^2 ans = 1814400*x^2+725760*x-6531840 ans = 3628800*x+725760 ans = 3628800 ans = 0

3.求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数

3.4求由方程2x22xyy2x2y10确定的隐函数的导数.syms x y;f=2*x^2-2*x*y+y^2+x+2*y+1;dx=diff(f,x);dy=diff(f,y);dy_dx=-dx/dy

dy_dx =(-4*x+2*y-1)/(-2*x+2*y+2)3.5求由参数方程xetcost,yetsint确定的函数的导数.syms t;x=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t)

dy_dx =(exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t))/(exp(t)*cos(t)-exp(t)*sin(t))拉格朗日中值定理

3.6对函数f(x)x(x1)(x2),观察罗尔定理的几何意义.(1)画出yf(x)与f(x)的图形, 并求出x1与x2.(2)画出yf(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线.syms x;diff(x*(x-1)*(x-2))

solve('(x-1)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-1)')

x=-2:0.1:4;y1=x.*(x-1).*(x-2);y2=(x-1).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-1);plot(x,y1,x,y2)

x=0:0.1:2;y1=x.*(x-1).*(x-2);y2=0.3849+0*x;y3=-0.3849+0*x;plot(x,y1,x,y2,'-',x,y3,'-')axis([0 2-0.5 0.5])

ans =

[ 1+1/3*3^(1/2)] [ 1-1/3*3^(1/2)]

3.7 对函数f(x)ln(1x)在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义.(1)画出yf(x)及其左、右端点连线的图形;f(4)f(0)(2)画出函数yf(x)的曲线图, 并求出使得

40f(4)f(0)f().40(3)画出yf(x),它在处的切线及它在左、右端点连线的图形.syms x;f=log(1+x);x=0:0.01:4;plot(x,eval(f));hold on;line([0,4],[0,eval(sym('log(5)'))],'color','r','linewidth',2);y=diff(f)-sym('log(5)')/4;ezplot(y);k=sym('log(5)')/4;X=solve(y);b=log(1+eval(X));plot(x,eval(k)*(x-eval(X))+b,'r');hold off;axis([0,4,0,1.7]);grid on;title('拉格朗日中值定理');gtext(['y=',char(f)]);gtext(['y=',char(y)]);

gtext(['切线']);3.8求下列函数的导数:(1)ye3x1x;

(2)yln[tan()];

24(1)syms x;

diff(exp((x+1)^(1/3)))

ans =1/3/(x+1)^(2/3)*exp((x+1)^(1/3))(2)syms x;

diff(log(tan(x/2+pi/4)))ans =(1/2+1/2*tan(1/2*x+1/4*pi)^2)/tan(1/2*x+1/4*pi)

3.9求下列函数的微分:(1)y2;

(2)yln(xx2a2).(1)syms x;

diff(2^(-1/cos(x)))

ans =-2^(-1/cos(x))/cos(x)^2*sin(x)*log(2)(2)syms x;

syms a real;

diff(log(x+(x^2+a^2)^0.5))

ans =(1+1/(x^2+a^2)^(1/2)*x)/(x+(x^2+a^2)^(1/2))

3.10求下列函数的一、二阶导数:(1)yln[f(x)];

(2)yf(ex)ef(x).ans= 1/f(x)*f’(x)

-1/(f(x))^2*f’’(x)

3.11求下列函数的高阶导数:(1)yxsinhx,求y(100);

(2)yx2cosx,求y(10);(1)

syms x;diff(x*sinh(x),100)ans =100*cosh(x)+x*sinh(x)(2)

syms x;diff(x^2*cos(x),10)ans =90*cos(x)-20*x*sin(x)-x^2*cos(x)

3.18求由下列方程所确定的隐函数yy(x)的导数:(1)lnxeyx1cosxe;

(2)arctanylnx2y2.x(1)

syms x y;f=log(x)+exp(-y/x)-exp(1);

fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fy ans =-(-1/x-y/x^2*exp(-y/x))*x/exp(-y/x)(2)

syms x y;f=atan(y/x)-log((x^2+y^2)^0.5);

fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fy;simplify(dy_dx)ans =(y+x)/(x-y)

3.19求由下列参数方程确定的函数的导数:

6tx,31t3xcost,(1)

(2) 236tysint;y.1t3

(1)

syms t;x=diff(cos(t)^3,t);

y=diff(sin(t)^3,t);dy_dx=y/x

ans =-sin(t)/cos(t)(2)

syms t;x=diff(6*t/(1+t^3),t);y=diff(6*t^2/(1+t^3),t);

dy_dx=y/x;simplify(dy_dx)

ans =t*(-2+t^3)/(-1+2*t^3)

实验4 导数的应用（基础实验）

实验目的

理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线 的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用Matlab作平面图形的方法和技巧.掌握用 Matlab求方程的根(包括近似根)和求函数极值(包括近似极值)的方法.求函数的单调区间 4.1求函数yx32x1的单调区间.syms x;diff(x^3-2*x+1)solve('3*x^2-2')ans =3*x^2-2 ans =1/3*6^(1/2)

-1/3*6^(1/2)求函数的极值

x4.2求函数y的极值.1x2syms x;diff(x/(1+x^2))

solve('1/(1+x^2)-2*x^2/(1+x^2)^2')ans =1/(1+x^2)-2*x^2/(1+x^2)^2 ans =[ 1][-1]

求函数的凹凸区间和拐点

14.3 求函数y的凹凸区间和拐点.12x2syms x;diff(1/(1+2*x^2),2)

solve('32/(1+2*x^2)^3*x^2-4/(1+2*x^2)^2')

x=-1:0.1:1;y1=32./(1+2*x.^2).^3.*x.^2-4./(1+2*x.^2).^2;y2=0*x;plot(x,y1,x,y2,'-')ans = 32/(1+2*x^2)^3*x^2-4/(1+2*x^2)^2 ans = [ 1/6*6^(1/2)] [-1/6*6^(1/2)] 10

4.4 已知函数

16254x2x5x60x3150x2180x25, 22在区间[6,6]上画出函数f(x),f(x),f(x)的图形, 并找出所有的驻点和拐点.disp('输入函数（自变量为x）');f(x)syms x;f=input('函数f(x)=');df=diff(f);cdf=char(df);a=[];count=0;clf;if(strfind(cdf,'x'))

sf=solve(df);

ezplot(df);

gtext(['y''=',char(df)]);

disp(['y''=',char(df)]);

count=count+1;

legend('一阶导');

hold on;

for i=1:size(sf);

a(i)=sf(i);

end

a=sort(a);

if(numel(a)~=0&numel(a)~=1&numel(a)~=inf)

for i=1:numel(sf);

strstart='-inf';

strend='+inf';

if(i==1)

x=a(i)-1;

x0=Eval(df);

strend=num2str(a(i));if(x0<0)disp(['单调减区间','[',strstart,',',strend,']']);else disp(['单调增区间','[',strstart,',',strend,']']);

end

end

if(i==numel(sf))

x=a(i)+a(i-1);

x0=Eval(df);

x=a(i)+1;

x1=Eval(df);

strstart=num2str(a(i));

x=a(i);

y=Eval(f);

else if(i==1)

x=a(i)-1;

else

x=a(i)-a(i-1);11

end

x0=Eval(df);

x=(a(i)+a(i+1))/2;

x1=Eval(df);

strstart=num2str(a(i));

strend=num2str(a(i+1));

x=a(i);

y=Eval(f);

end

if(x1<0)disp(['单调减区间','[',strstart,',',strend,']']);

if(x0>0)disp(['驻点：极大值','x=',num2str(a(i)),',y=',num2str(y)]);

end

else

disp(['单调增区间','[',strstart,',',strend,']']);

if(x0<0)disp(['驻点：极小值','x=',num2str(a(i)),',y=',num2str(y)]);

end

ddf=diff(df);

cddf=char(ddf);

if(strfind(cddf,'x'))

ssf=solve(ddf);

ezplot(ddf);

gtext(['y''''=',char(ddf)]);

disp(['y''''=',char(ddf)]);

count=count+1;

b=[];

for i=1:size(ssf);

b(i)=ssf(i);

end

b=sort(b);

if(numel(b)~=0&numel(b)~=1&numel(b)~=inf)

for i=1:numel(ssf);

strstart='-inf';

strend='+inf';

end

end

end

if(i==1)

x=b(i)-1;

x0=Eval(ddf);

strend=num2str(b(i));

if(x0<0)

disp(['单调凸区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

else

disp(['单调凹区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

end

end

if(i==numel(ssf))

x=b(i)+b(i-1);12

x0=Eval(ddf);

x=b(i)+1;

x1=Eval(ddf);

strstart=num2str(b(i));

else

if(i==1)

x=b(i)-1;

else

x=b(i)-b(i-1);

end

x0=Eval(ddf);

x=(b(i)+b(i+1))/2;

x1=Eval(ddf);

strstart=num2str(b(i));

strend=num2str(b(i+1));

end

if(x1<0)

disp(['单调凸区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

else

disp(['单调凹区间','[',strstart,',',strend,']']);

disp(['拐点','x=',num2str(b(i))]);

end

end

end

elseif(numel(b)==1)

disp(['拐点','x=',num2str(b(1))]);

end end if(~(min(a)==[]|max(a)==[]))

ezplot(f,[min(a)-1,max(a)+1]);else

ezplot(f);

gtext(['y=',char(f)]);

disp(['y=',char(f)]);

count=count+1;end switch count

case 3

legend('一阶导','二阶导','原函数');

case 2

legend('一阶导','原函数');

case 1

legend('原函数');end title('连续函数的性质');grid on;hold off;运行结果：输入函数（自变量为x）

函数f(x)=x^6/2-2*x^5-25*x^4/2+60*x^3-150*x^2-180*x-25 y'=3*x^5-10*x^4-50*x^3+180*x^2-300*x-180 单调增区间[-inf,-0.4591] 单调减区间[-0.4591,1.5529-1.8228i] 13

驻点：极大值x=-0.4591,y=19.7063 单调减区间[1.5529-1.8228i,1.5529+1.8228i] 驻点：极大值x=1.5529-1.8228i,y=-378.8847+558.3244i 单调增区间[1.5529+1.8228i,-4.4431] 驻点：极小值x=1.5529+1.8228i,y=-378.8847-558.3244i 单调减区间[-4.4431,5.1297] 驻点：极大值x=-4.4431,y=-5010.7825 单调增区间[5.1297,+inf] 驻点：极小值x=5.1297,y=-3445.4274 y''=15*x^4-40*x^3-150*x^2+360*x-300 单调凸区间[-inf,0.96967-0.77693i] 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间[0.96967-0.77693i,0.96967+0.77693i] 拐点x=0.96967-0.77693i 单调凸区间[0.96967+0.77693i,-3.2539] 拐点x=0.96967+0.77693i 单调凸区间[-3.2539,3.9812] 拐点x=-3.2539 单调凹区间[3.9812,+inf] 拐点x=3.9812 y=1/2*x^6-2*x^5-25/2*x^4+60*x^3-150*x^2-180*x-25

求极值的近似值 4.5求函数y2sin2(2x)5xxcos2的位于区间(0,)内的极值的近似值.22即得到函数y的两个极小值和极小值点.再转化成函数y的极大值和极大值点.两种方法的结

果是完全相同的.function y=f(x)y=2*sin(2*x)*sin(2*x)+5/2*x*cos(x/2)*cos(x/2);ezplot(y,[0,pi]);grid;x=fminbnd('f1(x)',0.5,2.5)f1(x)x=fminbnd('-f1(x)',0,pi)f1(x)x=fminbnd('-f1(x)',1.5,pi)f1(x)极小值点x = 1.6239

ans = 1.9446 极大值点x = 0.8642

ans = 3.7323 极大值点x = 2.2449

ans = 2.9571

项目二

一元函数积分学与空间图形的画法

实验1 一元函数积分学(基础实验)

实验目的掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察, 深入理解

定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用 定积分解决各种问题的能力.用定义计算定积分

当f(x)在[a,b]上连续时, 有

因此可将 babaf(x)dxlimnnbank0n1(ba)bafaklimnnnnakfk1n(ba) nk0n1(ba)bafak

与

nnakfk1(ba) n作为baf(x)dx的近似值.1.1 计算1sin0xxdx的近似值.fun=inline('sin(x)./x','x');y=quad(fun,0,1)y =0.9461 1.2 用定义求定积分示.bax2dx的动画演m=moviein(10)for a=1:10 for n=20:30 x=linspace(0,4,n+1);y=x.^2;for i=1:n

fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i)],[0,0,y(i),y(i)],'b')hold on end plot(x,y)m(:,a)=getframe;end movie(m,1,1)end

不定积分计算 1.3求x2(1x3)5dx.syms x;int(x^2*(1-x^3)^5)

ans =-1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^9-5/6*x^6+1/3*x^3 1.4求sinxdx.xsyms x;int(sin(x)*x)ans = sin(x)-x*cos(x)

定积分计算

1.5 求4010(xx2)dx.syms x;int(x-x^2,0,1)ans = 1/6 1.6 求|x2|dx.syms x;int(abs(x-2),0,4)ans = 4 变上限积分

1.7

画出变上限函数形.syms t;int(t*(sin(t))^2,0,x)

x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=x.*(sin(x)).^2;y2=-1/2*x.*cos(x).*sin(x)+1/4*x.^2+1/4*sin(x).^2;plot(x,y1,x,y2)

求平面图形的面积 1.8 设f(x)e(x2)cosx和g(x)4cos(x2).计算区间[0,4]上两曲线所围成的平面的面

积.fun=inline('abs(exp(-((x-2).^2).*cos(pi*x))-4*cos(x-2))','x');y=quad(fun,0,4)

y = 6.4774 求平面曲线的弧长

1.9 f(x)sin(xxsinx),计算(0,f(0))与(2,f(2))两点间曲线的弧长.fun=inline('(1+(cos(x+sin(x)).*(1+cos(x))).^2).^0.5','x');y=quad(fun,0,2*pi)y = 7.9062 求旋转体的体积

1.10 求曲线g(x)xsin2x(0x)与x轴所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转所成的旋 转体体积.fun=inline('pi*(x.*(sin(x).^2)).^2','x');y=quad(fun,0,pi)fun=inline('2*pi*x.^2.*(sin(x).^2)','x');y=quad(fun,0,pi)y =9.8629 y =27.5349 2x0tsint2dt及其导函数的图

实验2 空间图形的画法(基础实验)

实验目的掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面 的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图

42.1作出函数z的图形.21xy2

a=10;step=0.5;x=-a:step:a;y=x;[x,y]=meshgrid(x);z=4./(1+x.^2+y.^2);mesh(x,y,z);

2.2 作出函数zxyex

a=5;step=0.3;x=-a:step:a;y=x;[x,y]=meshgrid(x);z=-x.*y.*exp(-(x.^2+y.^2));surf(x,y,z);

二次曲面 2y2的图形.x2y2z22.3作出椭球面1的图形.491(这是多值函数, 用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程为

syms u v;u=0:0.2:2*pi;[u,v]=meshgrid(u);x=2.*sin(u).*cos(v);y=3.*sin(u).*sin(v);z=cos(u);mesh(x,y,z)

x2y2z22.4作出单叶双曲面1的图形.(曲面的参数方程为

149xsecusinv,y2secucosv,z3tanu,(/2u/2,0v2.))

syms u v;u=-pi/2:0.2:pi/2;v=0:0.2:2*pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=sec(u).*sin(v);y=2.*sec(u).*cos(v);z=3*tan(u);mesh(x,y,z);axis([-10,10,-10,10,-10,10]);view(-7,60);x2y2z

22.5 作双叶双曲面1的图1.521.421.32形.(曲面的参数方程是

x1.5cotucosv,y1.4cotusinv,z1.3cscu, 其中参数0u2对应双叶双曲面的另一叶.)

syms u v;

u=0:0.2:pi/2;v=-pi:0.2:pi;,v时对应双叶双曲面的一叶, 参数2u0,v时[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);hold on;u=-pi/2:0.2:0;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);

hold off;2.6作出圆环

x(83cosv)cosu,y(83cosv)sinu,z7sinv,(0u3/2,/2v2)的图形.syms u v;

u=0:0.2:pi/2;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);hold on;u=-pi/2:0.2:0;v=-pi:0.2:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=3*cot(u).*cos(v);y=5*cot(u).*sin(v);z=2*csc(u);mesh(x,y,z);

hold off;2.7 画出参数曲面

xcosusinvysinusinvzcosvln(tanv/2u/5)的图形.u=0:0.1:4*pi;v=0.001:0.1:2;[u,v]=meshgrid(u,v);x=cos(u).*sin(v);y=sin(u).*sin(v);z=cos(v)+log(tan(v/2)+u/5);surf(x,y,z)

u[0,4],v[0.001,2]

曲面相交 2.8作出球面x2y2z222和柱面(x1)2y21相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1:pi;[u,v]=meshgrid(u,v);x=2*cos(v).*sin(u);y=2*sin(v).*sin(u);z=2*cos(u);surf(x,y,z)hold on t=0:0.1:2*pi;c=0:0.1:2;[t,c]=meshgrid(t,c);a=1+cos(t);b=sin(t);surf(a,b,c)2.9作出锥面x2y2z2和柱面(x1)2y21相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1:2;

[u,v]=meshgrid(u,v);x=cos(u).*v;y=sin(u).*v;

z=v;

surf(x,y,z)

hold on

t=0:0.1:2.1*pi;c=0:0.1:2;

[t,c]=meshgrid(t,c);a=1+cos(t);b=sin(t);

surf(a,b,c)2.10 画出以平面曲线ycosx为准线, 母线平行于Z轴的柱面的图形.（写出这一曲面的参数方程为

xtycost,t[,],sR zs取参数s的范围为[0, 8].）

t=-pi:0.1:pi;s=0:0.1:8;

[t,s]=meshgrid(t,s);x=t;y=cos(t);z=s;

surf(x,y,z)

空间曲线

xsint2.11绘制参数曲线 y2cost 的图形.zt/2t=-4*pi:0.1:4*pi;x=sin(t);y=2*cos(t);z=t/2;plot3(x,y,z,’r’)grid on

xcos2t12.12绘制参数曲线 y的图形.12tzarctantt=-2*pi:0.1:2*pi;x=(cos(t)).^2;y=1./(1+2*t);z=atan(t);plot3(x,y,z)grid on

动画制作

2.13用动画演示由曲线ysinz,z[0,]绕z轴旋转产生旋转曲面的过程.（该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为x2y2sin2z, 其参数方程为

xsinzcosu,ysinzsinu,zz,(z[0,],u[0,2])）

m=moviein(10);

for i=1:10

u=0:0.1:pi/5*(i+0.2);

v=0:0.1:pi;

[u,v]=meshgrid(u,v);x=sin(v).*cos(u);y=sin(v).*sin(u);z=v;

mesh(x,y,z)

m(:,i)=getframe;

end

movie(m,1);

项目三

多元函数微积分

实验1 多元函数微分学（基础实验）

实验目的掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元

函数极值和条件极值的方法.理解和掌握曲面的切平面的作法.通过作图和观察, 理解二元 函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分

zz2z2z，,.xyx2xysyms x y;z=sin(x*y)+cos(x*y)^2;zx=diff(z,x)

zy=diff(z,y)

zzxx=diff(z,x,2)zzxy=diff(zx,y)1.1设zsin(xy)cos2(xy),求

zx =cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*y zy =cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*x zzxx =-sin(x*y)*y^2+2*sin(x*y)^2*y^2-2*cos(x*y)^2*y^2 zzxy =-sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+2*sin(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)^2*x*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)

uuvv1.2设xeuusinv,yeuucosv,求，,.xyxysyms x y u v;f1=exp(u)+u*sin(v)-x;

f2=exp(u)-u*cos(v)-y;

f1u=diff(f1,u);

f1v=diff(f1,v);

fx=diff(f1,x);f2u=diff(f2,u);f2v=diff(f2,v);fy=diff(f2,y);ux=-fx/f1u uy=-fy/f2u vx=-fx/f1v vy=-fy/f2v

ux =

1/(exp(u)+sin(v))uy = 1/(exp(u)-cos(v))vx = 1/u/cos(v)vy = 1/u/sin(v)微分学的几何应用

1.3 求出曲面z2x2y2在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.[x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);z=2.*x.^2+y.^2;mesh(x,y,z)hold on [x,y]=meshgrid(-10:0.1:10);z=4*x+2*y-3;plot3(x,y,z)hold on line([41,-39],[21,-19],[-7,13])axis([-20 20-20 20-40 40])

41.4求曲面k(x,y)2在点xy211164，处的切平面方程, 并把曲面和它的4221切平面作在同一图形里.syms x y k;

df_dx=diff(4/(x^2+y^2+1),x)

df_dy=diff(4/(x^2+y^2+1),y)

a=linspace(-10,10,100);

b=a;

[a,b]=meshgrid(a,b);

c=4./(a.^2+b.^2+1);

d=-8/((1/4)^2+(1/2)^2+1)^2*(1/4);

e=-8/((1/4)^2+(1/2)^2+1)^2*(1/2);

f=d.*(a-1/4)+e.*(b-1/2)+64/21;

mesh(a,b,c);

hold on;

mesh(a,b,f);

axis([-10,10,-10,10,-2,5]);

多元函数的极值

1.5求f(x,y)x3y33x23y29x的极值.syms x y;f=x^3-y^3+3*x^2+3*y^2-9*x;fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)fxx=diff(fx,x)fxy=diff(fx,y)fyy=diff(fy,y)

1.6 求函数zx2y2在条件x2y2xy10下的极值.syms x y m;z=x^2+y^2;df_dy=diff(z,y);df_dx=diff(z,x);q=x^2+y^2+x+y-1;dq_dx=diff(q,x);dq_dy=diff(q,y);[x,y,m]=solve(df_dx+m*dq_dx,df_dy+m*dq_dy,q)

x =[-1+1/3*3^(1/2)][-1-1/3*3^(1/2)] y =[-1/2+1/2*3^(1/2)][-1/2-1/2*3^(1/2)] m =[-1/2+1/2*3^(1/2)][-1/2-1/2*3^(1/2)]

实验2 多元函数积分学（基础实验）

实验目的

掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法;深入理解曲线积分、曲面积分的 概念和计算方法.提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.计算重积分

2.1计算xydxdy, 其中D为由xy2,x2Dy, y2所围成的有界区域.syms x y;int(int(x*y^2,x,2-y,y^0.5),y,1,2)

ans =193/120 2.2计算(x2y2z)dxdydz, 其中由曲面z2x2y2与zx2y2围成.syms t r z;int(int(int((r^2+z)*r,z,r,(2-r^2)^0.5),r,0,1),t,0,2*pi)

ans =2.1211 重积分的应用

2.3 求由曲面fx,y1xy与gx,y2x2y2所围成的空间区域的体积.syms t r;int(int((3/2-r^2)*r,r,0,(3/2)^0.5),t,0,2*pi)ans =3.5343 2.4 在Oxz平面内有一个半径为2的圆, 它与z轴在原点O相切, 求它绕z轴旋转一周所得旋转体体积.syms x;int(4*pi*x*(4-(x-2)^2)^0.5,x,0,4)

ans =157.9137

计算曲线积分

2.5求 Lf(x,y,z)ds, 其中fx,y,z130x210y,积分路径为

L:xt,yt2,z3t2,0y2.(注意到,弧长微元dsxt2yt2zt2dt, 将曲线积分化为定积分)syms t;x=t;y=t^2;z=3*t^2;f=diff([x,y,z],t);fun=inline('((1+30*t.^2).^0.5+10*t.^2).*(1+40*t.^2).^0.5','t');quad(fun,0,2)

ans =348.9428 2.6求F.dr, 其中

LFxy6i3x(xy52)j,r(t)2costisintj,0t2.syms t;

x=cos(t);

y=sin(t);

int(x*y^6*(-2*sin(t))+3*x*(x*y^5+2)*cos(t),t,0,2*pi)

ans = 6*pi

计算曲面积分

2.7计算曲面积分得的有限部分.222z2(注意到,面积微元dS1zxydxdy, 投影曲线xy2x的极坐标方程为 (xyyzzx)dS, 其中为锥面zx2y2被柱面x2y22x所截

2将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.)

syms t r;

x=r*cos(t);24

r2cost,t2，y=r*sin(t);

z=r;

int(int((x*y+y*z+x*z)*r*2^0.5,r,0,2*cos(t)),t,-pi/2,pi/2)

ans = 6.0340 2.8计算曲面积分x3dydzy3dzdxz3dxdy, 其中为球面x2y2x2a2的外侧.syms t s r;syms a real;int(int(int(3*r^4*sin(s),r,0,a),s,0,pi),t,0,2*pi)

ans = 12/5*a^5*pi

实验3 最小二乘拟合（基础实验）

实验目的了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理.学会观察给定数表的散点图, 选择 恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理 给定平面上的一组点

(xk,yk),k1,2,,n, 寻求一条曲线yf(x),使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合.最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求f(x),使

[f(x)ykk1nk]2

达到最小.拟合时, 选取适当的拟合函数形式

f(x)c00(x)c11(x)cmm(x)，其中0(x),1(x),,m(x)称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将f(x)的表达式 代入, 对变量ci求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由m1个方程组成的方程组, 从中 可解出ci(i0,1,2,,m).曲线拟合

3.1 为研究某一化学反应过程中温度x(C)对产品得率y(%)的影响, 测得数据如下: x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 试求其拟合曲线.x=[100,110,120,130,140,150,160,170,180,190];

y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89];

a=polyfit(x,y,1)

z=polyval(a,x);

plot(x,y,'gp',x,z,'r');

a = 0.4830

-2.7394

即拟合曲线为：y=0.4830x-2.7394

3.2 给定平面上点的坐标如下表: x0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

y5.12345.30575.56875.93786.43377.09787.94939.025310.3627试求其拟合曲线.x=[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9];

y=[5.1234,5.3057,5.5687,5.9378,6.4337,7.0978,7.9493,9.0253,10.3627];

a=polyfit(x,y,3)

z=polyval(a,x);

plot(x,y,'bp',x,z,'r');

a = 4.9875

0.6902

1.3202

4.9774

即拟合曲线为：y=4.9875x^3+0.6902x^2+1.3202x+4.9774

项目四 无穷级数与微分方程

实验1 无穷级数（基础实验）

实验目的

观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的 逼近.掌握用Matlab求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展 开周期函数为傅里叶级数的方法.数项级数

1.1(1)观察级数

x=0;

for n=1:50;

x=x+1/n^2;

plot(n,x,’r*’)

hold on

end

(2)观察级数势.nn112的部分和序列的变化趋势.n的部分和序列的变化趋n11

x=0;

for n=1:100;

x=x+1/n;

plot(n,x,’r*’)

hold on

end 10n1.2 设an, 求n!an1n.s=10;

for i=1:inf;

s=s+s*10/(i+1);

end

s =5.2257e+086

求幂级数的收敛域

1.3 求n042n(x3)n的收敛域与和函数.n

1syms n x k;

limit(4^(2*n)/(n+1)/(4^(2*n+2)/(n+2)),n,inf)%|x-3|<1/16

s=symsum(4^(2*n)*(x-3)^n/(n+1),n,0,inf)%-1/(x-3)*(x-3+1/16*log(49-16*x))

ans = 1/16 收敛域是[-1/16,1/16]

s =-log(49-16*x)/(16*x-48)

函数的幂级数展开

1.4 求cosx的6阶麦克劳林展开式.syms x;taylor(cos(x),7)

ans =1-1/2*x^2+1/24*x^4-1/720*x^6 1.5求arctanx的5阶泰勒展开式.syms x;taylor(atan(x))

ans =x-1/3*x^3+1/5*x^5 x12x1

21.6 求e在x1处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多

syms x;

t=taylor(exp(-(x-1)^2*(x+1)^2),9,1)

ezplot(t);

hold on;x1=-10:0.01:10;y=exp(-(x1-1).^2.*(x1+1).^2);plot(x1,y,'r');

axis([0,2,-1,1]);ans=1-4*(x-1)^2-4*(x-1)^3+ 7*(x-1)^4+16*(x-1)^5+ 4/3*(x-1)^6-28*(x-1)^7-173/6*(x-1)^8 实验2 微分方程（基础实验）

实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用 Matlab求微分方程及方程组解的常用命令和方法.求解微分方程

2.1求微分方程 y2xyxex的通解.y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')

y =(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)2.2求微分方程xyyex0在初始条件yx122e下的特解.y=dsolve('x*Dy+y=exp(x)','y(1)=2*exp(1)','x')

y =(exp(x)+exp(1))/x 27

2.3求解微分方程y2xex, 并作出其积分曲线.y=dsolve('D2y-2*x=exp(x)','x')

x=-2:0.1:2;y=1./3*x.^3+exp(x)+x+1;plot(x,y)dxtdtx2ye2.4求微分方程组在初始条件dyxy0dtxt01,yt00下的特解.[x y]=dsolve('Dx+x+2*y-exp(t)','Dy-x-y','x(0)=1','y(0)=0','t')

x =cos(t)

y =1/2*sin(t)-1/2*cos(t)+1/2*exp(t)

2.5求出初值问题

22yysinxycosx y(0)1,y(0)0的数值解, 并作出数值解的图形.function dy=ffer(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(2)*(sin(x))^2-y(1)+(cos(x))^2;

[X,Y]=ode23s('ffer',[0 4],[1 0])plot(X,Y(:,1),'-')

2.6洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味.试求解洛伦兹方程组

x(t)16y(t)16x(t)y(t)x(t)z(t)45x(t)y(t), z(t)x(t)y(t)4z(t)x(0)12,y(0)4,z(0)0并画出解曲线的图形.function dy=lorenz(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=16*y(2)-16*y(1);dy(2)=-y(1)*y(3)+45*y(1)-y(2);dy(3)=y(1)*y(2)-4*y(3);

[T,Y]=ode45('lorenz',[0 0.1],[12 4 0])plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')

项目五

矩阵运算与方程组求解

实验1 行列式与矩阵

实验目的

掌握矩阵的输入方法.掌握利用Matlab对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.矩阵A的转置函数Transpose[A] 131.1 求矩阵51

A'

ans = 7242的转置.6314

A=[1 7 2;3 4 2;5 6 3;1 1 4];矩阵线性运算 1.1 设A345427,B192,求AB,4B2A.426A=[3 4 5;4 2 6];

B=[4 2 7;1 9 2];

A+B

4*B-2*A

ans = ans =

0

-4 矩阵的乘法运算

42711.3 设A192,B0,求AB与BTA,并求A3.0351A=[4 2 7;1 9 2;0 3 5];B=[1 0 1]';A*B B'*A A^3 ans =11

ans =

ans =

119

660

555

141

932

444

477

260 1113211.4设A111,B041,求3AB2A及ATB.123124A=[-1 1 1;1-1 1;1 2 3];B=[3 2 1;0 4 1;-1 2-4];

3*A*B-2*A A'*B ans =

-33 ans =

0

-10 求方阵的逆

251.5设A03132233,求A1.146215A=[2 1 3 2;5 2 3 3;0 1 4 6;3 2 1 5];inv(A)ans =

-1.7500

1.3125

0.5000

-0.6875

5.5000

-3.6250

-2.0000

2.3750

0.5000

-0.1250

-0.0000

-0.1250

-1.2500

0.6875

0.5000

-0.3125 3x2yz7,1.6 解方程组xy3z6，2x4y4z2.a=[3 2 1;1-1 3;2 4-4];b=[7 6-2]';x=ab

x =

1.0000

1.0000

2.0000 求方阵的行列式

1x121.7 计算范德蒙行列式x13x14x11x22x23x24x21x32x33x34x31x42x43x44x41x52.x53x54x5syms x1 x2 x3 x4 x5 A=[1,1,1,1,1;x1,x2,x3,x4,x5;x1^2,x2^2,x3^2,x4^2,x5^2;x1^3,x2^3,x3^3,x4^3,x5^3;x1^4,x2^4,x3^4,x4^4,x5^4];a=det(A);a=simple(a)a=(-x4+x3)*(x5-x4)*(x5-x3)*(x2-x4)*(x2-x3)*(x2-x5)*(-x4+x1)*(x1-x3)*(x1-x5)*(x1-x2)

371.8 设矩阵 A1125792462403, 求|A|,tr(A),A3.76569783790A=[3 7 2 6-4;7 9 4 2 0;11 5-6 9 3;2 7-8 3 7;5 7 9 0-6];det(A)A' A^3

ans =

11592 ans =

0

0

-6 ans =

726

2062

944

294

-358

1848

3150

1516

228

1713

2218

1006

404

1743

984

-451

1222

384

801

2666

477

745

-125 向量的内积

1.9求向量u{1,2,3}与v{1,1,0}的内积.u=[1 2 3];v=[1-1 0]';

u*v

ans =-1 实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组

实验目的学习利用Matlab求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换;求向量组的秩与极大无关组.求矩阵的秩

321322.1 设M21313, 求矩阵M的秩.70518m=[3 2-1-3-2;2-1 3 1-3;7 0 5-1-8];rank(m)ans =2 32132.2 已知矩阵M2131的秩等于2, 求常数t的值.70t1syms t;M=[3 2-1-3 1;2-1 3 1 1;7 0 t-1 1] m=rref(M)

%分母为t-5，将5代入M M=[3 2-1-3 1;2-1 3 1 1;7 0 5-1 1];refm=rref(M)%所以t=5 解得 t=5 矩阵的初等行变换

22382.4 设A212212,求矩阵A的秩.1314A=[2-3 8 2;2 12-2 12;1 3 1 4];rank(A)ans =2 向量组的秩

2.5 求向量组1(1,2,1,1),3(0,4,5,2),2(2,0,3,0)的秩.a1=[1 2-1 1];a2=[0-4 5-2];a3=[2 0 3 0];rank([a1;a2;a3])

ans = 2

向量组的极大无关组 2.6求向量组

1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,1,2,0),5(2,1,5,0)的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.33

a1=[1-1 2 4];a2=[0 3 1 2];a3=[3 0 7 14];a4=[1-1 2 0];a5=[2 1 5 0];rank([a1;a2;a3;a4;a5])rank([a1;a2;a3])rank([a1;a3;a4])rank([a1;a2;a4])ans = 3 ans = 2 ans = 3 ans = 3 向量组的等价 2.7设向量

1(2,1,1,3),2(3,2,1,2),1(5,8,5,12),2(4,5,3,7)，求证:向量组1,2与1,2等价.a1=[2 1-1 3];a2=[3-2 1-2];b1=[-5 8-5 12];b2=[4-5 3-7];rank([a1;a2;b1;b2])rank([a1;a2])rank([b1;b2])rref([a1;a2])rref([b1;b2])ans =2 ans =2 ans =2 ans =

1.0000

0

-0.1429

0.5714

0

1.0000

-0.7143

1.8571 ans =

1.0000

0

-0.1429

0.5714

0

1.0000

-0.7143

1.8571 实验3 线性方程组

实验目的 熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程 组的解.理解计算机求解的实用意义.x1x22x3x40,3xxx32x40,3.1求解线性方程组12

5x7x3x0,2342x13x25x3x40.a=[1 1-2-1;3-1-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];b=[0 0 0 0]';x=ab

ans = 3.2向量组1(1,1,2,3),2(1,1,1,1),3(1,3,4,5),4(3,1,5,7)是否线性相关? a1=[1 1 2 3];a2=[1-1 1 1];a3=[1 3 4 5];a4=[3 1 5 7];rank([a1;a2;a3;a4])

ans =

线形无关

非齐次线性方程组的特解

x1x22x3x443x2x2x32x423.3求线性方程组15x27x33x422x13x25x3x44 的特解.A=[1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];B=[4;2;2;4];C=[1 1-2-1 4;3-2-1 2 2;0 5 7 3 2;2-3-5-1 4];

% C为增广矩阵% rref(C)

ans =

1.0000

0

0

0.6667

1.0000

0

1.0000

0

-0.3333

1.0000

0

0

1.0000

0.6667

-1.0000

0

0

0

0

0 由结果可以看出x4为自由未知量，方程组得解为： x1=-0.6667x4+1.0000 x2=0.3333 x4+ 1.0000 x3=-0.6667x4-1.0000 x1x22x3x443x2x2x32x423.4求线性方程组15x27x33x422x13x25x3x44B=[4;2;2;4];

的特解.A=[1 1-2-1;3-2-1 2;0 5 7 3;2-3-5-1];C=[1 1-2-1 4;3-2-1 2 2;0 5 7 3 2;2-3-5-1 4];

% C为增广矩阵% rref(C)

ans =

1.0000

0

0

0.6667

0

0

1.0000

0

-0.3333

0

0

0

1.0000

0.6667

0

0

0

0

0

1.0000 由结果可知，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩不相等，故方程组无解。

3.5求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式ax2bxc,并画出其图形.A=[0 0 1;1 1 1;4 2 1];B=[7 6 9]';abc=inv(A)*B

ezplot('2*x^2-3*x+7')abc =

3.6求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足f(1)20,f(1)9的4次多项式f(x).A=[0 0 0 0 1;1 1 1 1 1;1-1 1-1 1;-4 3-2 1 0;4 3 2 1 0];B=[0 1 3 20 9]';abcde=inv(A)*B

abcde =

-4.7500

7.7500

6.7500

-8.7500

0 非齐次线性方程组的通解

x1x22x3x412xx2x32x433.7解方程组1x1x3x423x1x23x45a=[1-1 2 1;2-1 1 2;1 0-1 1;3-1 0 3];b=[1;3;2;5];rref([a b])

ans =

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

由结果可以看出x3,x4为自由未知量，方程组得解为：

x1=2+x3-x4;x2=1+3*x3;ax1x2x313.8当a为何值时,方程组x1ax2x31无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有

xxax1231解时,求通解.syms a;A=[a 1 1;1 a 1;1 1 a];Ab=[a 1 1 1;1 a 1 1;1 1 a 1];b=[1 1 1]';rref(A)%A的秩为3，rref(Ab)%增广矩阵的秩为3，所以a不等于-2时，方程组都有解，且只有唯一解 Ab1=[-2 1 1 1;1-2 1 1;1 1-2 1];rref(Ab1)%a=-2时,A的秩为2，增广矩阵的秩为3，无解 x=inv(A)*b %x即为a不等于-2时方程组的解

项目六

矩阵的特征值与特征向量

实验1 求矩阵的特征值与特征向量

实验目的

学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.求方阵的特征值与特征向量.1021.1求矩阵A121.的特征值与特值向量.130A=[-1 0 2;1 2-1;1 3 0];[V D]=eig(A,'nobalance')V =

1.0000

1.00000.0000i

0.0000

1.00000.0000i

1231.2 求方阵M213的特征值和特征向量.336M=[1 2 3;2 1 3;3 3 6];[V D]=eig(M,'nobalance')V =

0.7071

0.5774

0.4082

-0.7071

0.5774

0.4082

0

-0.5774

0.8165 D =

-1.0000

0

0

0

-0.0000

0

0

0

9.0000 3001.3已知2是方阵A1t3的特征值,求t.123syms t;A=[3 0 0;1 t 3;1 2 3];E=eig(A)solve(1/2*t+3/2-1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)-2)E = 1/2*t+3/2+1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)1/2*t+3/2-1/2*(t^2-6*t+33)^(1/2)ans = 8 2121.4 已知x(1,1,1)是方阵A5a3的一个特征向量,求参数a,b及特征向量x所1b2属的特征值.syms a b c;A=[2-c-1 2;5 a-c 3;-1 b-2-c];x=[1;1;-1];A*x [a b c]=solve('-1-c','2+a-c','1+b+c','a,b,c')ans =

-1-c 2+a-c 1+b+c a =-3 b = 0 c =-1 矩阵的相似变换

4111.7设矩阵A222,求一可逆矩阵P,使P1AP为对角矩阵.222A=[4 1 1;2 2 2;2 2 2];[P D]=eig(A)P =

0.5774

0.5774

-0.0000

0.5774

-0.5774

-0.7071

0.5774

-0.5774

0.7071 D =

6.0000

0

0

0

2.0000

0

0

0

-0.0000 2001001.8已知方阵A2x2与B020相似, 求x,y.31100ysyms x;A=[-2 0 0;2 x 2;3 1 1];E=eig(A)y=-2 x=solve(1/2*x+1/2+1/2*(x^2-2*x+9)^(1/2)-2)y =-2 x = 0 011.9 对实对称矩阵A10110010,求一个正交阵P,使P1AP为对角阵.100002A=[0 1 1 0;1 0 1 0;1 1 0 0;0 0 0 2];[P D]=eig(A)P =

-0.7152

0.3938

0.5774

0

0.0166

-0.8163

0.5774

0

0.6987

0.4225

0.5774

0

0

0

0

1.0000 D =

-1.0000

0

0

0

0

-1.0000

0

0

0

0

2.0000

0

0

0

0

2.0000 1.10 求一个正交变换,化二次型f2x1x22x1x32x2x32x4为标准型.A=[0 1 1 0;1 0 1 0;1 1 0 0;0 0 0 2];[Q D]=eig(A)Q =

-0.7152

0.3938

0.5774

0

0.0166

-0.8163

0.5774

0

0.6987

0.4225

0.5774

0

0

0

0

1.0000 D =

-1.0000

0

0

0

0

-1.0000

0

0

0

0

2.0000

0

0

0

0

2.0000 1.11 已知二次型

222f(x1,x2,x3)x12x2x32x1x24x1x32x2x3

(1)求标准形;(2)求正惯性指数;

(3)判断二次型是否正定.（1）

A=[1 1-2;1-2 1;-2 1 1];[Q D]=eig(A)

Q =

0.4082

0.5774

-0.7071

-0.8165

0.5774

-0.0000

0.4082

0.5774

0.7071

D =

-3.0000

0

0

0

0.0000

0

0

0

3.0000（2）由对角矩阵D得，正惯性指数是1。（3）D=diag([-3,0,3]);

if all(D>0)

disp('二次型正定')

else disp('二次型非正定')

end 二次型非正定

第四篇：数学实验作业8月14日第五组

数学实验作业第五组

侯永利（121170011）吕菊香（121170012）陈智杰（121170018）2014年8月14日星期四

第五篇：实验作业1（推荐）

基本分析

一、实验内容

1、具备解读宏观经济数据的基本能力。

2、获取宏观分析、行业分析以及公司分析报告。

3、获取数据、行业数据、公司数据。

二、实验作业

1、查找国家统计局发布的2012统计公报及2012贵州省统计公报，并简要评述我国2012年宏观经济总体情况。

答：根据中央经济工作会议的部署，2012年经济工作的总体要求，即：继续实施积极的财政政策和稳健的货币政策，保持宏观经济政策的连续性和稳定性，增强调控的针对性、灵活性、前瞻性，继续处理好保持经济平稳较快发展、调整经济结构、管理通胀预期的关系，加快推进经济发展方式转变和经济结构调整，着力扩大国内需求，着力加强自主创新和节能减排，着力深化改革开放，着力保障和改善民生，保持经济平稳较快发展和物价总水平基本稳定，保持社会和谐稳定。

中央明确2012年经济工作的总基调是稳中求进。稳，就是要保持宏观经济政策基本稳定，保持经济平稳较快发展，保持物价总水平基本稳定，保持社会大局稳定。进，就是要继续抓住和用好我国发展的重要战略机遇期，在转变经济发展方式上取得新进展，在深化改革开放上取得新突破，在改善民生上取得新成效。所以，在2012年，我国宏观经济政策的基本趋势是，在继续实施积极财政政策和稳健货币政策的同时，还会增强宏观经济政策的弹性与灵活性，进一步释放中小型企业及新兴产业的活力和潜力，努力防范和化解风险，积极推进体制改革和结构调整，力争在转变经济发展方式上取得实质性进展。

展望2012全年，转型成为宏观经济的主要特征，经济增长中枢将下移，而政策促转型所释放的政策红利将带来结构性机会。三驾马车中内需对经济的拉动依然较强，在政策刺激和物价回落背景下，消费实际增速将有所提高;受房地产调控的拖累，固定资产投资将进一步下滑;由于全球经济复苏前景黯淡，出口对经济的贡献将成为负拉动。2011年GDP同比增长9.2%，预计2012年GDP同比增长8.6%。预计整体上，2012全年政策取向将是货币政策中性偏松、财政政策积极促转型。货币政策方面，12月央行三年来首次下调存款准备金率，2012年上半年存款准备金率将继续下调，而降息窗口开启可能在下半年。财政政策将更加积极担当转型重任，充实经济内生增长动力。

2、查找2012年前两个季度我国主要宏观经济数据：GDP、CPI、PPI、货币供应量、工业总产值、进出口贸易总额，并简要评述我国2012年前两个季度宏观经济总体情况。

答：2012年上半年GDP增长7.6%（第2季度为7.5%），工业增加值增长9.3%，CPI上涨

2.4%（6月份上涨2.7%），延续了稳中趋降的走势。这是好事，它为经济调整转型、减速换档腾出了空间。在流动性总量宽裕的情况下发生“钱荒”，根源在于银行资产负债期限错配和空转，央行“不宽松，不放水”的举措得当，有利于用短期市场波动来换取金融和经济的长期稳定发展。环境危机已经迫在眉睫，直接危及人们的生存，需要改变思路，使环境保护优于和重于经济发展。

3、查找2012年银行业（或证券业或其它行业）统计数据，并简要评述2012年银行业（或证券业或其它行业）发展情况。

答：摘要：在我国，银行是经营货币和信用业务的金融机构，银行业是指以银行为主体，监

管机构、自律组织等参与其中并发挥作用的一种行业。

金融是现代经济的核心，银行业是最

主要的金融机构之一，是现代金融业务的主体。

银行业的存在和发展对改善社会民生、促进

国民经济的稳健发展具有枢纽般的作用。

本文从宏观因素、银行业务、经营业绩、发展转型、热点问题五个角度，对

2012

年中国银行业的发展进行阐述和分析。这对于了解中国银行业的发展具有重要意义，对于职业生涯的规划也具有一定的参考意义。

宏观因素分析。第一，在国内外经营环境上，2012

年世界经济增速进一步放缓，“欧债

危机”

仍未得到实质性地解决，美国经济趋于好转但未能明显回暖，日本仍然深陷紧缩当中，经济疲软，新兴经济体经济增速下降，通胀压力下行，国内经济增速则创下

世纪年以来

最低增速，不容乐观的经济环境对银行业的发展产生了较大的不利影响；

第二，在货币政策

上，2012

年基准利率两次降低，存款利率市场化改革提速，银行“净息差”基本稳定并呈

现见顶缓慢回落的态势，使得其对银行利润增长的拉动作用弱化；第三，“金融脱媒”不断

深化，一定程度上削弱了银行的业务优势，对其传统业务模式、盈利能力带来了负面影响，对其风险管理能力也提出了更高的要求；

第四，在监管政策上，监管政策密集出台，规范严

格。安全超越效率，成为银行业监管的核心价值观。监管指标的强化、监管范围的扩大、监 管力度的日趋严格，对银行的业务发展形成了更多的制约，对银行提高业务创新能力、金融

服务水平和自我规范约束提出了新的要求。

银行业务分析。第一，在资产业务上，增速继续有所放缓，不良贷款小幅反弹，资产质

量遭遇挑战。房地产开发贷款、对公贷款、“小微”企业贷款等特定领域贷款的走势成为控

制资产质量的关键，资产结构调整压力相应有所加大。

同时，因受限于商业银行常规的资产

规模扩张方式，银行为保持业务增长和流动性指标稳定，同业资产业务规模快速增长；

第二，在负债业务上，银行业负债业务和存款规模仍小幅增长，增速继续呈回落趋势。

储蓄存款占

比保持稳定，增长呈明显的季节性特征。

定期存款占比趋于上升，但增速回落且进一步长期

化。主动负债业务稳中有升，同业存款、拆入资金占比进一步提高，交易性金融负债、衍生 金融负债等业务的规模明显扩大；第三，在中间业务上，增长普遍乏力。虽然具有资本占用

少、直接风险低、创新空间大等特性的银行中间业务发展仍处于重要战略机遇期，具备新的空间，具有新的动力，但经济增速放缓、监管趋严等对其产生了较大影响，构成挑战，整体

上呈平稳发展态势，但收入增速明显放缓。

经营业绩分析。第一，在生息资产平均余额方面，受银行信贷总体需求放缓、贷款新规

继续深入实施、境外资金流入放缓、存款增长形势依然严峻等因素的综合影响，生息资产平

均余额增长缓慢，但仍然是拉动银行利润的重要因素；第二，在净息差方面，经济增速下行

使得信贷需求有所放缓，基准利率两次下调，存贷款利率市场化，收益率较低的同业资产占

生息资产的比重上升，银行贷款议价能力有所下降，存款结构进一步定期化，净息差逐步见

顶回落。

净息差的下降，弱化了净息差对银行利润的拉动作用，铸成了银行业利润增速下降的主要因素。第三，在手续费收入方面，受经济增速下行、物价涨幅收窄、外贸增长低迷、管理层规范收费行为等因素的影响，由经济相应带动的银行手续费和国际结算手续费收入增

速创下近年新低，除此之外监管规范收费行为压力的增强也使得银行手续费收入的增长受到

限制，手续费收入的增长对银行利润的贡献度由正转负，信用成本则具有微幅的正面贡献； 第四，在成本收入比方面，由于银行业收入增长放缓而管理费用增长稳定，前期持续下降的成本收入比已经达到历史新低，近期成本收入比则有小幅反弹，未来一个时期将基本保持稳

定，不会对银行业盈利增长产生明显贡献。由此可知，银行业经济业绩整体上明显下行。

发展转型分析。第一，在发展上，经营国际化、综合化加速。在国际化发展上服务网络

向纵深拓展，本地化管理能力进一步提升，成熟市场与新兴市场并举，以物理网点、电子渠

道、业务拓展的有机结合来拓展服务网络，通过股权并购和战略合作探索国际化发展新思路。

综合经营平台功能不断健全，银行业金融机构通过集团管理体制机制，提升与非银行控股子

公司之间的协同效应；第二，在转型上，以差异化战略引领转型发展，以金融创新驱动转

型发展，以体制机制改革助推转型发展，发挥自身的专业特长或区域优势，形成自己的“核

心竞争力”，避免“同质化”

；信息技术应用和电子化发展加快，从“银行信息化”向“信息

化银行”转变，信息化建设的重点逐步从业务生产向经营分析、风险控制、战略决策、深入 的客户信息挖掘等管理环节渗透，信息化水平和效益不断提高。

热点问题分析。

利率市场化改革作为金融界的热点问题，在近期得到提速实施，使得银

行业存贷利差收窄，经营风险加大，定价能力亟待提高，业务模式转型压力增大。

对此银行

可以采取以下措施：第一，调整资产负债结构，提升投资业务、主动负债、零售贷款占比； 第二，调整收入结构，大力发展中间业务，提升非利息收入占比；第三，调整客户结构，降

低大型企业客户占比，大力拓展中小型企业客户和个人客户；

第四，尝试开展综合化、国际

化、专业化经营，大型银行可以尝试开展综合化经营，有条件的银行可以适度开展国际化经

营，另外从多方面入手，推进专业化经营；第五，着力提升定价管理、风险管理和资产负债 管理水平，以内部管理转型来支撑业务模式转型。

应对利率市场化应该是银行业不可避免的挑战。

综合上述分析，可知，银行业的发展，深受宏观经济环境的影响，2012

年银行利润虽

然实现增长，但相比去年增速有较大幅度下降，同时在接下来的里，受经济预期回暖的影响，有望实现恢复性增长，但面临利率市场化带来的业务模式转变和战略转型问题，以及不确定的降息或不良资产率的上升带来的净利润增长的风险问题。

4、查找工商银行（或任一家银行业上市公司）/中信证券（或任一家证券业上市公司）/或任一家上市公司的2012年报告，结合2012年的宏观、行业及公司数据，简要评述工商银行（或任一家银行业上市公司）/中信证券（或任一家证券业上市公司）/或任一家上市公司的基本面，提出者投资建议。

答：报告中对维护员工合法权益的内容很少涉及。一些工作年限较长、没有职务的老员工，工资级别和档次被定的很低，其收入还不如刚参加工作一二年的大学生高。虽然老员工中相当一部分人，既有大学文凭又有职称，所学专业既专业对口又有经验和能力，仅仅因为学历是非全日制，工资级别就被规定为比刚工作的新人低一到三级，甚至比非金融或非经济专业的全日制学生低一到三级，难道在工商银行工作了二三十年的，不如在工商银行工作了2、3年的贡献大？难道金融本科不如非对口专业的更能适应工作？难道拥有国家统考中级职称的不如没有职称的专业能力和工作能力强吗？虽然事情并非绝对，但总不能倒过来规定吧。仅仅有个全日制学历就武断地规定谁谁贡献大能力强，这是什么逻辑？往轻里说，这是号称责任大行的工商银行对没有职务的老员工的傲慢与偏见，是工行制度安排层面上的荒唐与胡闹；往重里说，这是对弱势群体员工合法权益的轻视与侵犯，是违反国际规则和国家有关规定的“学历歧视”行为。员工不仅是工行人，同时也是社会人。一个银行如果连对自己老员工的切身利益和权益都没有维护好，谁还相信该行诚信实意地履行社会责任呢？

建议：

作为最负责任的银行、最会赚钱的银行，应该高度重视维护好自己员工的合法权益，把相关内容写入履行社会责任报告中。

凡是涉及员工切身利益的重大事项及员工重大关切，一律在全行范围内公开。如，2007年的工资级别定级套改，其指导思想、原则、方案、标准、程序等等，应该在全行公开，逐级传达到每一位员工，接受员工监督。严禁暗箱操作。

畅通员工反映问题的渠道，鼓励员工提出合理化建议。现在，工商银行开展了“金点子”活动，若“金点子”被采纳，能得到一定奖励。但“金点子”只是针对产品和操作程序等业务方面的，涉及银行改革或政策制度体制管理等方面的，不属于“金点子”范畴。建议设立合理化建议奖，鼓励员工提合理化建议并纳入业绩考核范围。

4、在社会责任报告发布前，应多征求基层员工代表的意见建议。特别是那些在社会上有一定群众代表性、参政议政能力强，如担任人大代表、政协委员、社会监督员、特邀监察员的普通基层员工等，采取召开座谈会、发放征询意见表等形式，认真听取他们的意见建议，完善社会责任报告，增强社会责任报告的社会信任度和客观真实度。

三、要求

1、独立完成，有自己的观点和看法。

2、实验内容第4项，提交一份800字以上的关于所选公司的投资分析报告，并提出投资建

议。

3、第15周交。