《平行四边形》基本内容复习

第一篇：《平行四边形》基本内容复习

《平行四边形》基本内容复习

1、平行四边形的性质有：①边：；

②角：；③对角线：

④对称性：

2、平行四边形的判定方法有：边：①

②

③

角：对角线：

3、矩形的性质有：①边：②角：③对角线：

④对称性：

4、矩形的判定方法有：①②③

5、菱形的性质有：①边：；

②角：③对角线：④对称性：

6、菱形的判定方法有：①②③

7、叫做正方形

8、正方形的性质有：①边：②角：

③对角线：④对称性：

9、叫做梯形；

10、等腰梯形的性质有：①边：；

②角：③对角线：④对称性：

11、等腰梯形的判定有：①②

12、叫做三角形的中位线，其性质是

13、梯形的中位线的性质是

14、菱形的面积公式是

15、n边形的内角和是, 外角和是

第二篇：平行四边形小结复习课说课稿

平行四边形复习课说课稿

各位老师大家好！

今天我说课的内容是人教版数学八年级下册第十八章：平行四边形的小结与复习第一课时。下面我从四个方面来谈谈我对本节课的理解和做法。

一、教材分析：

1、地位与作用：

本章是学生在掌握平行线，三角形，全等三角形等有关知识，且具备初步的观察，操作等活动经验的基础上出现的。通过本节的学习使学生清楚地理解各种平行四边形的关系并掌握它们的性质与判断，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力与推理论证能力。本章共分二节，平行四边形、特殊的平行四边。两节都是本章的重点，知识联系紧密，所以教学时我分两节课复习，本节复习前一节知识。

2、教学目标：

根据中学生的心理特点与当前他们的认知基础及教学内容的特点，依据《数学课程标准》，我确定如下教学目标：

（1）.通过知识回顾，进一步理解平行四边形和各种特殊的平行四边形的关系并掌握它们的性质与判断。

（2）.通过例题1和例题1的变式练习进一步培养学生的合情推理意识，增强学生的逻辑推理能力，使学生掌握说理的基本方法

3、教学重点与难点： 因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，学生在应用时常会出现“张冠李戴”的现象，在应用它们的性质与判定的时候，也会常出现用错、多用、少用条件的错误。因此我确定

教学重点：平行四边形和各种特殊的平行四边形的性质和判定。

教学难点：平行四边形和各种特殊的平行四边形之间的联系和区别。

二、教法学法

通过学生回顾，提问学生的方式帮助学生列表归纳平等四边形及特殊平等四边形的性质与判定，使其形成知识体系。再通过例题帮助学生加强运用平等四边形的有关性质与判定解决相关问题，并加强逻辑推理能力的培养。

三、教学过程： 课堂导入：

开门见山，引出四边形的发展图和平等四边形的从属关系图，使学生对平等四边与特殊的平等四边形之间有一个直观认识，同时可以帮助学生回顾所学知识。（3分钟完成）

通过提问回顾相关知识并完成列表归纳，形成体系。并运用相关知识对四边形进行判定。（17分钟完成）

例题利用平行四边形的有关性质将平行四边形的问题转化为三角形来解决相关问题，使学生在不经意间体会转化思想，并通过变式和例2，3加强学生进一步熟悉平行四边形的判定与性质的应用。

请学生畅谈这节课学习的体会和收获，各抒己见，不拘形式。教师对学生的回答予以评价和帮助，让语言表达更准确、更简练。

第三篇：《平行四边形》复习第一课时教学设计

教学设计

课程名称

人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》

教师姓名

罗玉洋

学校名称

金沙县马路乡初级中学

学科

数学

学段

初中

课型

复习课

内容分析

本节复习课的内容是人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形》复习第一课时，内容主要是平行四边形的概念、性质与判定、三角形的中位线定义与性质。本节是本章的重点，是学习特殊平行四边形的基础。此课时为复习课，它不同于起始课，内容的安排是对知识点的梳理归纳，根据教材内容的安排明确出本节重点及考点，在新知识学习的基础上有一个提升，为进一步学习特殊平行四边形打下较好的基础。

学情分析

学生已经学习了平行四边形的概念、性质及判定以及三角形的中位线，对于中等及以上水平的学生，掌握基础性的知识是没有多大问题的。针对这部分学生，需要的是在知识层面上应有一定的提升，并且要能够有条理的进行表达和书写推理过程。而对于基础较差的学生，他们对知识点的理解认知水平差，不能积极参与学习。这部分学生只能进行区别对待，鼓励并辅导他们完成基础性的、简单的问题，不作知识提升的硬性要求。

教学目标

1.知识与技能：

回顾本节知识点，领会平行四边形、三角形中位线的概念及相关性质。

2.过程与方法：

经历参与讨论、思考、证明等数学活动，发展学生的合情推理能力。

3.情感与价值观：

在数学活动中培养学生的归纳总结能力。

教学重点

难点

重点：理解平行四边形、三角形中位线的概念和性质。

难点：能应用平行四边形及三角形中位线概念及性质，并能正确书写证明过程。

教学策略

1.教法：引导学生积极参与学习，总结、归纳知识，勤动脑对问题进行分析探索，始终围绕学生“以学定教”开展教学，较好的激发学生的学习兴趣。教师做好学生学习的引导和辅导，以学生的学习为中心，课堂主动权留给学生。

2.学法：学生讨论研究、合作交流。以学生为主体，开展小组合作学习，积极回答问题，并有条理地进行表达。

教学准备

教材、教案、课件、电脑

执教日期

2022年4月

日

执教学校

金沙县西洛街道初级中学

教学过程

教学过程设计

教学活动

预设师生活动

设计意图

一.导入新课

开门见山，直奔主题。同学们，中考即将来临，为备战中考，我们一起加油！“备战中考，加油！加油！加油！”我们已经学习了第十章《平行四边形》，今天，我们共同来复习《平行四边形》（一）

教师导语，直接叙述今天的学习主题。

鼓励学生学习信心。

二.明确目标

回顾本节知识点，领会平行四边形、三角形中位线的概念及相关性质。

积极参与讨论、思考、证明等数学活动，发展学生的合情推理能力，正确书写证明过程。

教师叙述教学目标。

让学生知道本节课的目标，有的放矢。

三.知识梳理

一、平行四边形

1.平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：

A

B

C

D

O

图1

边：对边平行（定义）、对边相等；

在▱ABCD中，AB//CD,AD//BC;AB=CD,AD=BC。

角：对角相等、邻角互补；

∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA;

∠ADC+∠DCB=180°,对角线：对角线互相平分；

OA=OC,OD=OB。

对称性;平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

▱ABCD是中心对称图形，对称中心是点O.3.平行四边形的判定：

边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；

AB//CD,AD//BC,则四边形ABCD是平行四边形。

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形。

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

AD=BC且AD//BC,则四边形ABCD是平行四边形。

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA,则四边形ABCD是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

OA=OC,OD=OB,则四边形ABCD是平行四边形。

二、三角形的中位线

1.三角形的中位线的定义：

连接三角形两边中点的线段。

A

B

D

E

C

2.三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

在△ABC中，点D、E是AB、AC的中点，则线段DE叫△ABC的中位线。

所以，DE//BC,用一问一答的方式进行知识点复习，课件展示出标题，学生回忆，然后提问，尽量顾及学习水平在中等及以下的学生。

通过提问回答的方式复习，让学生能对知识点识记、理解。

在复习中，渗透数学转化思想---四边形和三角形的转化。

四.直击考点

考点一：平行四边形的定义

1.如图，在四边形ABCD中，∠A=110°，∠B=70°，∠1=70°，四边形ABCD是平行四边形吗？

2.在▱ABCD中，若∠A=100°，则∠B=

度，∠C=

度。

考点二：平行四边形的性质

3.如图，在▱ABCD中，AB=6cm,AC+BD=14cm,△AOB的周长是多少？

考点三：平行四边形的判定

4.在四边形ABCD中,已知AB//CD,若要使四边形ABCD成为平行四边形，可再增加一个条件：。

考点四：三角形的中位线

5.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=4cm,AE=3cm,AD=2.5cm,则△ABC的周长是多少？

教师展示问题，学生读题、思考、交流，然后教师提问。

教师在巡视学生完成情况及交流情况时，要关注和辅导差生。

以学生学习为中心，教师不要代替学生完成问题，对学习有困难的学生做好辅导即可。

运用“直击考点”的方式呈现出平行四边形及三角形的中位线等知识点，让学生明白并理解本节课学习的重点内容。在学生解决问题的过程中，培养学生合作学习意识和有条理的表达能力，渗透数学转化思想（四边形通常转化为三角形）

五.小试牛刀

展现自我：

如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,四边形AECF是平行四边形吗？试说明理由。

作业：

1.D

A

变式训练，提升自我：如图，在▱ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,四边形AECF是平行四边形吗？试说明理由。

F

E

C

B

2.在▱ABCD中,若周长为44cm,AB-BC=2cm,则CD=,AD=。

教师展示问题，学生先独立思考、然后交流、讨论，在练习本上规范写出证明过程。教师巡查学生完成情况，做好辅导，抽学生上黑板书写解答过程，做好指导和评价。

如果学生能在课堂完成的，就在课堂完成，不能完成的就作为课后作业。

通过知识点的复习之后，能运用知识点解决问题。

让学生了解三角形在四边形的问题解决中的重要作用。

六、归纳总结

1.平行四边形的性质及判定；

2.三角形的中位线的概念及性质。

3.四边形与三角形的转化。

学生谈学习所感

再次回顾知识点及课堂所获。

板书设计

第十八章

平行四边形（一）

一、平行四边形的定义

二、平行四边形的性质--边、角、对角线

三、平行四边形的判定--边、角、对角线

四边形

三角形

转化

四、教学反思

第四篇：四川省中考复习专题：特殊的平行四边形

2021年四川中考复习专题：特殊的平行四边形

一、解答题

1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．

（1）求证△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．

2．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

3．如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．

4．如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．

5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．

6．如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN．

7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

8．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．

9．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）连接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，则EF的长为

；菱形EFCD的面积为

．

10．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE．

11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．

12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．

（1）求证四边形EMFN是平行四边形；

（2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形．

13．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求证：△ABF≌△DCE；

（2）求证：四边形ABCD是矩形．

14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC交于点O，连接CE．

（1）求证：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形．

15．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．

16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E．

（1）求证：四边形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积．

17．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．

（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

18．如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．

（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；

（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．

19．【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．已知平行四边形的对角线互相平分，如图连接OE，FN相交于点M，则OE，FN是平行四边形ONEP的对角线，且OE，PN互相平分，即点M是线段OE，FN的中点．

【运用】（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M是线段OE中点，则点M的坐标为

．

（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．

（1）求证：DH⊥CE；

（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．

21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．

22．如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的长．

23．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．

（1）求证：PD＝PE；

（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则DEBP是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．

24．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．

25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．

26．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．

27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

28．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．

（1）求证：△EBF≌△ABC；

（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（3）△ABC满足

时，四边形AEFD是正方形．

29．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：PB＝PE；

（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．

30．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC．

2021年四川中考复习专题：特殊的平行四边形

参考答案与试题解析

一、解答题

1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．

（1）求证△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵BE＝DF，∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．

2．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，∠BAE=∠DAFAB=AD∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．

3．如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．

【解答】证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形BEDF为菱形．

4．如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．

【解答】证明：连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．

∴BE＝CE＝2，CF＝1，DF＝3，由勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20，EF2＝CE2+CF2＝22+12＝5，AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25，又∵AE2+EF2＝AF2，∴△AEF是直角三角形，即∠AEF＝90°．

5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．

【解答】证明：如图，连接BD，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，在△EDB和△FDB中，DE=DF∠EDB=∠FDBBD=BD，∴△EDB≌△FDB（SAS），∴BE＝BF．

6．如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DM⊥AB，DN⊥BC，∴∠DMA＝∠DNC＝90°，在△DAM和△DCN中，∠A=∠C∠DMA=∠DNC=90°AD=CD，∴△DAM≌△DCN（AAS），∴AM＝CN．

7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

8．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F

∴∠AEO＝∠BFO＝90°，∵∠AOE＝∠BOF，在△AEO与△BFO中，∠AEO=∠BFO=90°∠AOE=∠BOFOA=OB，∴△AEO≌△BFO（AAS），∴AE＝BF．

9．如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）连接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，则EF的长为　2　；菱形EFCD的面积为　23　．

【解答】证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD，∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴DE＝CF＝CD，又AD∥BC，∴四边形EFCD是平行四边形，又∵CD＝DE，∴四边形EFCD是菱形；

（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，∵四边形EFCD是菱形，∴DE＝EF＝AE，∵∠DEF＝60°，∴∠EFH＝30°，∴EH=12EF，FH=3EH，∴AH＝AE+EH＝3EH，∵AF2＝AH2+HF2，∴12＝9EH2+3EH2，∴EH＝1，∴EF＝2＝DE，HF=3，∴菱形EFCD的面积＝2×3=23，故答案为：2，23．

10．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O的直线交AD，BC分别于点E，F，连接CE，AF．求证：AF＝CE．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠DAC=∠BCAAO=CO∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE．

11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=102-62=8，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=82+42=45，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE=12AC=25．

12．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．

（1）求证四边形EMFN是平行四边形；

（2）若AB⊥AC，求证▱EMFN是菱形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝DE＝BF＝CF，在△AEM和△CFN中，AE=CF∠EAM=∠FCNAM=CN，∴△AEM≌△CFN（SAS），∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，∴∠EMN＝∠FNM，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形；

（2）连接EF交AC于O，如图所示：

由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，∴四边形AEBF是平行四边形，∴AB∥EF，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠COF＝∠BAC＝90°，∴EF⊥MN，∴▱EMFN是菱形．

13．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求证：△ABF≌△DCE；

（2）求证：四边形ABCD是矩形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝FD，∴AE+EF＝FD+EF，即AF＝DE，在△ABF和△DCE中，AB=CDBF=CEAF=DE，∴△ABF≌△DCE（SSS）；

（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴▱ABCD为矩形．

14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC交于点O，连接CE．

（1）求证：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCE是菱形．

【解答】证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，且AE＝BD，又∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝EC；

（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，由（1）得：四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形．

15．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．

【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，∵CE＝AF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD，∴AB＝AD，在△ABF和△ADF中，AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴BF＝DF，∴四边形BEDF是菱形．

16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE∥BD，过B作BE∥AC，两直线相交于点E．

（1）求证：四边形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四边形DBEC的面积．

【解答】证明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，D是AC中点，∴BD＝DC，∴四边形DBEC是菱形；

（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB=3BC＝23，∴S△CDB=12S△ABC=12×12×2×23=3，∵四边形BECD是菱形

∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝23．

17．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．

（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．

理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠EOF＝∠AOB＝90°，∴∠EOA＝∠FOB，在△EOA和△FOB中，∠EOA=∠FOBOA=OB∠OAE=∠OBF，∴△EOA≌△FOB（ASA），∴AE＝BF，在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；

（2）在BC上取一点H，使得BH＝AE．

∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，在△OAE和△OBH中，OA=OB∠OAE=∠OBHAE=BH

∴△OAE≌△OBH（SAS），∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，∵∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠BOF＝45°，∴∠BOF+∠BOH＝45°，∴∠FOE＝∠FOH＝45°，在△FOE和△FOH中•，OF=OF∠FOE=∠FOHOE=OH，∴△FOE≌△FOH（SAS），∴EF＝FH，∵∠FBH＝90°，∴FH2＝BF2+BH2，∴EF2＝BF2+AE2，18．如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．

（1）当点F在对角线AC上时，求FC的长；

（2）当△FCE是直角三角形时，求BE的长．

【解答】解：（1）如图所示：

∵AB＝23，BC＝3，∴AC=AB2+BC2=21，∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，∴AF＝AB＝23，∴FC＝AC﹣AF=21-23．

（2）当△FCE是直角三角形时，①当∠CFE是直角时，如（1）图所示：

由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，设BE＝x，则EF＝x，∴S△ABC=12×3×23=33，S△ABE=12×23×x=3x，S△ACE=12×21×x，∴33=3x+212x，解得：x＝27-4．

∴BE＝27-4．

②当∠FCE是直角时，如图所示：

∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．

∴AB＝AF，BE＝EF，在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝23，∴DF=AF2-AD2=12-9=3，CF＝DC﹣CE＝23-3=3，设BE＝x，则EF＝x，CE＝3﹣x，∴在Rt△ADF中，EF2＝CE2+CF2，x2＝（3﹣x）2+(3)2，解得：x＝2，∴BE＝EF＝2；

③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，如图所示：

由题意得：BE＝AB＝EF＝23．

19．【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．已知平行四边形的对角线互相平分，如图连接OE，FN相交于点M，则OE，FN是平行四边形ONEP的对角线，且OE，PN互相平分，即点M是线段OE，FN的中点．

【运用】（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M是线段OE中点，则点M的坐标为（2，32）．

（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

【解答】解：（1）∵四边形ONEF是矩形，∴M是OE的中点，∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），∴M（42，32），即M（2，32）；

故答案为：（2，32）；

（2）如图，有三种情况：

①当AC和BC为平行四边形的边时，连接对角线AB、CD1交于E，∴AE＝EB，CE＝ED1，∵A（﹣1，2），B（3，1），∴E（1，32），∵C（1，4），∴D1（1，﹣1）；

②当BC和CD2为平行四边形的边时，连接对角线BD2和AC交于G，同理可得D2（﹣3，5）；

③当AC和AB为平行四边形的边时，连接

AD3和BC交于F，同理可得D3（5，3）；

综上所述，点D的坐标为（1，﹣1）或（﹣3，5）或（5，3）．

20．如图1，点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．

（1）求证：DH⊥CE；

（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAH＝∠CDE＝90°，在△HAD与△EDC中，AD=CD∠DAH=∠CDEAH=DE，∴△HAD≌△EDC（SAS），∴∠ADH＝∠DCE，∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°，∴∠DFC＝90°，∴CE⊥DH；

（2）如图2，过F作FG⊥AD，交DA的延长线于G，∵FH⊥AO，∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°，∴四边形AGFH是矩形，∴FG＝AH＝DE，∠G＝90°，在△GFE和△DEC中，∠GEF=∠DCE∠G=∠DGF=DE，∴△GFE≌△DEC（AAS），∴EG＝DC＝AD，∴EG﹣AE＝AD﹣AE，∴AG＝DE＝FH＝AH，∴FH＝AH．

21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证：∠AEB＝∠BFC．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝∠BOC＝90°，∴OB＝OC，在△OCF和△OBE中，∠OCF=∠OBEOC=OB∠COF=∠BOE，∴△OCF≌△OBE（ASA），∴∠OFC＝∠OEB，∴∠BFC＝∠AEB．

22．如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO=12BD＝3，AO＝CO，AC⊥BD，∵∠ACD＝30°，∴CO=3DO＝33，∴AC＝2CO＝63．

23．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．

（1）求证：PD＝PE；

（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则DEBP是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，在△BCP和△DCP中，BC=DC∠BCP=∠DCPPC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；

（2）DEBP=2，理由如下：

∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∵∠CFE＝∠DFP（对顶角相等），∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC＝90°，又∵PD＝PE，∴DE=2PE，∴DEBP=2．

24．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．

25．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点．

（1）求证：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．

【解答】（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，∴MD＝ME=12BC，∴点N是DE的中点，∴MN⊥DE；

（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等边三角形，∴DE＝DM，有（1）知DM=12BC＝6，∴DE＝6，∵N是DE的中点，∴DN=12DE＝3，∴MN=DM2-DN2=33．

26．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形；

（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE=12AD＝2，DE=3AE＝23，由（1）得：四边形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝23，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=12∠DAB＝30°，∴AB=3BF=3×23=6，∴▱ABCD的面积＝AB×DE＝6×23=123．

27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．

（1）求证：▱ABCD是菱形；

（2）若点P是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PE+PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝16，AB＝10，∴AO＝CO=12AC＝6，BO＝DO=12BD＝8，∵62+82＝102，∴AO2+BO2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；

（2）解：是定值，连接OP，过B作BH⊥DA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，S△ABD=12S菱形ABCD=12×12AC•BD=14×12×16＝48，∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO=12AB•PE+12AD•PF=12AD（PE+PF）=12AD•BH，∴PE+PF＝BH，∵S△ABD=12AD•BH=12×10•BH＝48，∴BH=485，∴PE+PF=485．

故PE+PF定值为485．

28．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．

（1）求证：△EBF≌△ABC；

（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（3）△ABC满足　AB＝AC，∠BAC＝150°　时，四边形AEFD是正方形．

【解答】（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，在△EBF和△ABC中，EB=ABFBE=∠CBABF=BC，∴△EBF≌△ABC（SAS）；

（2）证明：∵△EBF≌△ABC，∴EF＝AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD＝DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴AB＝AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形；

（3）解：当AB＝AC，∠BAC＝150°时，四边形ADEF是正方形．

理由是：∵△ABE、△ACD为等边三角形，∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，∵AB＝AC，∴AE＝AD，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形，∵∠BAC＝150°，∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四边形ADEF是正方形，故答案为：AB＝AC，∠BAC＝150°．

29．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：PB＝PE；

（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．

【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．

∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．

∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．

∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．

在△PGB和△PHE中，∠PGB=∠PHEPG=PH∠BPG=∠EPH，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．

（2）解：PE的长度不变．

连接BD，如图2．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEPB=PE，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．

∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC=2OB．

∵BC＝2，∴OB=2，∴PF＝OB=2．

∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为2．

30．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE．

（2）证明：四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∴∠E+∠DFE＝90°，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，由（1）知△ADP≌△CDP，∴∠PAD＝∠PCD，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°，∴∠CPE＝90°，∴∠BPC+∠DPE＝90°，∵PD＝DE，∴∠DPE＝∠E，∴∠DPE＝∠PCD，∵∠BCP+∠PCD＝90°，∴∠BPC＝∠BCP，∴BP＝BC．

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日期：2021/5/14

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第五篇：初二特殊平行四边形证明题复习教案专题

教学设计方案

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1.在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；

（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．求证：四边形AECD是菱形．

C

B A

E

3.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；

（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．

4.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

A

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积． OEB

5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、OE、OF.求证：四边形AEOF是菱形.B D

O

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