高中数学选修1-2试题及答案

第一篇：高中数学选修1-2试题及答案

高二数学（文）竞赛试题

一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合要求的.1．若复数z3i，则z在复平面内对应的点位于A．第一象限

B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x3，则输出的x的值是

A．6

B．

21C．156

D．231

3．用演绎法证明函数yx3是增函数时的小前提是A．增函数的定义

B．函数yx

3满足增函数的定义C．若x1x2，则f(x1)f(x2)

D．若x1x2，则f(x1)f(x2)

4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…

① ② ③ 按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A．6n2B．8n2C．6n2D．8n2

5．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中第100项的值是

A.10B.13C.14D.100

6．有下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之

间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是A．①②③

B．①②

C．②③

D．①③④

7．求S135101的流程图程序如右图所示，其中①应为A．A101?B．A101?

C．A101?

D．A101?

8．在线性回归模型ybxae中，下列说法正确的是

A．ybxae是一次函数

B．因变量y是由自变量x唯一确定的 C．因变量y除了受自变量x

误差e的产生

D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生 9．对相关系数r，下列说法正确的是

A．|r|越大，线性相关程度越大 B．|r|越小，线性相关程度越大

C．|r|越大，线性相关程度越小，|r|

越接近0，线性相关程度越大

D．|r|1且|r|越接近1，线性相关程度越大，|r|越接近0，线性相关程度越小 10．用反证法证明命题：“

一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设AB90，正确顺序的序号为A．①②③

B．③①②

C．①③②

D．②③①。

11.在独立性检验中，统计量2有两个临界值：3.841和6.635；当2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2＞6.635时，有

99%的把握说明两个事件有关，当23.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2=20.87，16．在如图所示程序图中，输出结果是．

根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间A．有95%的把握认为两者有关

B．约有95%的打鼾者患心脏病 C．有99%的把握认为两者有关

D．约有99%的打鼾者患心脏病

12．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两条直线互相平行③垂直于同一条直线的两个平面互相平行④垂直于同一个平面的两个平面互相平行则正确的结论是A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

13．若定义运算：aba(ab)，例如233，则下列等式不能成立

b(ab)．．．．的是A．abba

B．(ab)ca(bc)

C．(ab)2a2b

2D．c(ab)(ca)(cb)（c0）

14．已知数列{a2

*

n}的前n项和为Sn，且a11，Snnan(nN)，可归纳猜想出Sn的表达式

为

A．2n

n

1B．3n1n1

C．2n1n2

D．2nn2

二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.把答案填在题中横线上.15．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物；河狸、狗属于哺乳动物；

鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整．

17．在等比数列an中，若a91，则有a1a2

ana1a2

a17n(n17，且nN)成立，类比上述性质，在等差数列bn中，若b70，则有

18.在平面直角坐标系中，以点(x0,y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(xx20)(yy0)2r2，类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点P(x0,y0,z0)为球心，半径为r的球的方程为．

19．观察下列式子：

21314111231，2342，3453，5564，归纳得出一般规

律为．

三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20．（本小题满分12分）

某市居民1999～2003年货币收入x与购买商品支出Y的统计资料如下表所示：

（Ⅰ）画出散点图，判断x与Y是否具有相关关系；（Ⅱ）已知b0.842,a0.943，请写出Y对x 的回

归直线方程，并估计货币收入为52（亿元）时，购买商品支出大致为多少亿元？

21．（本小题满分14分）

设数列an的前n项和为Sn，且满足

an2Sn(nN)．

（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；（Ⅱ）用三段论证明数列an是等比数列．

22．（本小题满分12分）

用反证法证明：如果x

1，那么x22x10.23．（本小题满分12分），已知a＞b＞0,求证:

-＜

-.数学竞赛（文）题参考答案

一、选择题（每小题4分，共56分）

1．D 2．D3． B4． D 5． C 6． D 7． B8．C 9．D

10．B

11．C

12．B

13．C

14．A

二、填空题（每小题4分，共16分）15.如图所示.16.

317.b1b2…bnb1b2…b13n(n13，且nN)18.(xx20)(yy0)2(zz0)2r2 19.n1n(n1)(n2)

1n

三、解答题（解答题共28分）19．（本小题满分8分）

解：（Ⅰ）由某市居民货币收入预报支出，因此选取收入为自变量x，支出为因变量Y．作散点图，从图中可看出x与Y具有相关关系．……………………………4分

（Ⅱ）（A版）Y对x的回归直线方程为 y0.842x0.943……………………6分

1999年和2003年的随机误差效应分别为0.263和-0.157.……………………8分

（Ⅱ）（B版）Y对x 的回归直线方程为

y0.842x0.943……………………………6分

货币收入为52（亿元）时，即x＝52时，y42.841，所以购买商品支出大致为43亿元

……………………………8分

20．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由a1n2Sn，得a11；a2

2；a11

34；a48，猜想a1

n(2)n1(nN)．……………………………5分（Ⅱ）因为通项公式为aan1

n的数列an，若

ap，p是非零常数，n

则an是等比数列； 因为通项公式a1an1n(2)n1，又

a1

； n2

所以通项公式a1n(2)n1的数列an是等比数列．……………………………10分

21．（本小题满分10分）

证明：假设x22x1

0，则x1

容易看出1

12，下面证明112.要证明：11

2成立，3

成立，只需证：2

成立，成立.……………………………8分

上式显然成立，故有12

综上，x112，与已知条件x1

矛盾.因此，x22x10.……………………………10分

第二篇：高中数学人教版选修4-4测试题带答案

高中数学人教版选修4-4经典测试题

班级：

姓名：

一、选择题（5*12=60）

1．直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是（）

A．

B．或

C．

D．或

2．圆的圆心坐标是

A．

B．

C．

D．

3．表示的图形是（）

A．一条射线

B．一条直线

C．一条线段

D．圆

4．已知直线为参数）与曲线：交于两点，则（）A．

B．

C．

D．

5．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．

A．

B．

C．

D．

6．已知过曲线上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）

A、（3，4）

B、C、（-3，-4）

D、7．曲线为参数）的对称中心（）

A、在直线y=2x上

B、在直线y=-2x上

C、在直线y=x-1上

D、在直线y=x+1上

8．直线的参数方程为

(t为参数)，则直线的倾斜角为（）

A．

B．

C．

D．

9．曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）

A.B.C.D.10．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）

A、线段

B、直线

C、圆

D、射线

11．在极坐标系中，定点，动点在直线上运动，当线段最短时，动点的极坐标是

A．

B．

C．

D．

12．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与圆相切，则实数的取值个数为（）

A

.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题（5*4=20）

13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________；

14．在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标为_____.15．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为

．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线，极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，直线被曲线C截得的线段长为

．

三、解答题

17．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．

（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系；

（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ＋）＝a，曲线C2的参数方程为

（φ为参数，0≤φ≤π）．

（1）求C1的直角坐标方程；

（2）当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分12分）已知曲线，直线（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30°的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值．

20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；

（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．

21．（本小题满分12分）极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点

（1）求证：；

（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值

22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．

（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：

设直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是，则有

即，所以所求点的坐标为或．

故选D．

考点：两点间的距离公式及直线的参数方程．

2．A

【解析】

试题分析：，圆心为，化为极坐标为

考点：1．直角坐标与极坐标的转化；2．圆的方程

3．A

【解析】

试题分析：，表示一和三象限的角平分线，表示第三象限的角平分线．

考点：极坐标与直角坐标的互化

4．D

【解析】

试题分析：将直线化为普通方程为,将曲线化为直角坐标方程为,即,所以曲线为以为圆心,半径的圆．

圆心到直线的距离．

根据,解得．故D正确．

考点：1参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线与圆的相交弦．

5．B

【解析】

试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2），取t=1得直线过（3，-1），由斜率公式得直线的斜率为，选B

考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．

6．D

【解析】

试题分析：直线PO的倾斜角为，则可设，代入点P可求得结果，选B。

考点：椭圆的参数方程

7．B

【解析】

试题分析：由题可知：，故参数方程是一个圆心为（-1,2）半径为1的圆，所以对称中心为圆心（-1,2），即（-1,2）只满足直线y=-2x的方程。

考点：圆的参数方程

8．C

【解析】

试题分析：由参数方程为消去可得，即，所以直线的倾斜角满足，所以.故选C.考点：参数方程的应用；直线倾斜角的求法.9．B.【解析】

试题分析：∵，∴，又∵，∴，即.考点：圆的参数方程与普通方程的互化.10．D

【解析】

试题分析：消去参数t，得,故是一条射线，故选D.考点：参数方程与普通方程的互化

11．B

【解析】

试题分析：的直角坐标为，线段最短即与直线垂直，设的直角坐标为，则斜率为，所以的直角坐标为，极坐标为.故选B.考点：极坐标.12．C

【解析】

试题分析：圆的普通方程为，直线的直角坐标方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即，故选.考点：1.极坐标与参数方程；2.直线与圆的位置关系.13．

【解析】

试题分析：直线平面直角坐标方程为，圆的平面直角坐标方程为，此时圆心到直线的距离，等于圆的半径，所以直线与圆的公共点的个数为个．

考点：曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转换，圆与直角的位置关系．

14．（或其它等价写法）

【解析】

试题分析：转化为直角坐标，则关于直线的对称点的对称点为，再转化为极坐标为.考点：1.极坐标；2.点关于直线对称.15．2

【解析】

试题分析：由于圆M的标准方程为：，所以圆心，又因为直线（t为参数）消去参数得普通方程为，由点到直线的距离公式得所求距离；

故答案为：2．

考点：1．化圆的方程为标准方程；2．直线的参数方程化为普通方程；3．点到直线的距离公式．

16．【解析】

试题分析：将曲线化为普通方程得知：曲线C是以（2，0）为圆心，2为半径的圆；

再化直线的极坐标方程为直角坐标方程得，所以圆心到直线的距离为；

故求弦长为.所以答案为：.考点：坐标系与参数方程.17．（Ⅰ）直线与曲线的位置关系为相离．（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）转化成直线的普通方程,曲线的直角坐标系下的方程,即研究直线与圆的位置关系，由“几何法”得出结论．

（Ⅱ）根据圆的参数方程，设，转化成三角函数问题．

试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为,曲线的直角坐标系下的方程为,圆心到直线的距离为

所以直线与曲线的位置关系为相离．

（Ⅱ）设，则．

考点：1．简单曲线的极坐标方程、参数方程；2．直线与圆的位置关系；3．三角函数的图象和性质．

18．（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先根据两角和的正弦公式展开，然后根据直角坐标与极坐标的互化公式，进行化简，求直角坐标方程；（2）消参得到圆的普通方程，并注意参数的取值方范围，取得得到的是半圆，当半圆与直线有两个不同交点时，可以采用数形结合的思想确定参数的范围．表示斜率为的一组平行线，与半圆有两个不同交点的问题．

试题解析：（1）将曲线C1的极坐标方程变形，ρ（sinθ＋cosθ）＝a，即ρcosθ＋ρsinθ＝a，∴曲线C1的直角坐标方程为x＋y－a＝0．

（2）曲线C2的直角坐标方程为（x＋1）2＋（y＋1）2＝1（－1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一组平行于直线x＋y＝0的直线

当直线C1与C2相切时，由得，舍去a＝－2－，得a＝－2＋，当直线C1过A（0，－1）、B（－1,0）两点时，a＝－1．

∴由图可知，当－1≤a<－2＋时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．

考点：1．极坐标与直角坐标的互化；2．参数方程与普通方程的互化；3．数形结合求参数的范围．

19．（1）（θ为参数），（2）最大值为，最小值为．

【解析】

试题分析：第一问根据椭圆的参数方程的形式，将参数方程写出，关于直线由参数方程向普通方程转化，消参即可，第二问根据线段的长度关系，将问题转化为曲线上的点到直线的距离来求解．

试题解析：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数）．直线的普通方程为．

（2）曲线C上任意一点到的距离为，则，其中为锐角，且．

当时，|PA|取得最大值，最大值为．

当时，|PA|取得最小值，最小值为．

考点：椭圆的参数方程，直线的参数方程与普通方程的转换，距离的最值的求解．

20．（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】

试题分析：（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为

2分

圆的直角坐标方程,4分

所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为.6分

(答案不唯一，只要符合要求就给分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离,8分

所以.10分

考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.21．（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）利用极坐标方程可得

计算可得；（2）将

B，C两点极坐标化为直角坐标，又因为经过点B,C的直线方程为可求与的值

试题解析：（1）依题意

则

+4cos

=+=

=

（2）当时，B,C两点的极坐标分别为

化为直角坐标为B，C

是经过点且倾斜角为的直线，又因为经过点B,C的直线方程为

所以

考点：极坐标的意义，极坐标与直角坐标的互化

22．（1）直线的普通方程为；；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先联立直线的参数方程并消去参数即可得到其普通方程，然后运用极坐标与直角坐标

转化公式将圆转化为直角坐标方程即可；（2）首先将直线的参数方程直接代入圆的直角坐标方程，并整理得到关于参数的一元二次方程，由韦达定理可得，最后根据直线的参数方程的几何

意义即可求出所求的值．

试题解析：（1）由得直线的普通方程为

又由得圆C的直角坐标方程为，即．

（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即

由于，故可设是上述方程的两实数根，所以又直线过点，两点对应的参数分别为，所以．

考点：1、参数方程；2、极坐标系；3、直角坐标与极坐标系之间的转化；4、参数方程与普通方程之间的转化；

第三篇：12全国高中数学联赛试题及详细解析

2012年全国高中数学联赛

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．

1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向

直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是_____________.6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.7．满足的所有正整数的和是_____________.8．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）

二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

9．（本小题满分16分）已知函数

（1）若对任意，都有，求的取值范围；

（2）若，且存在，使得，求的取值范围．

10．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有

（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;

（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

11．（本小题满分20分）

如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．

（1）求证：为定值；

（2）当点A在半圆（）上运动时，求

点的轨迹．

三、（本题满分50分）

设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为

求证：

四、（本题满分50分）

设，是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数的最大整数．

[来源:学.科.网]

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

参考答案及详细评分标准(A卷word版)

一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．

１．

设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂

足分别为，则的值是

．

２．

设的内角的对边分别为，且满足，则的值是

.【答案】4

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

３．设，则的最大值是

.【答案】[来源:学&科&网]

【解析】不妨设则

因为

所以

当且仅当时上式等号同时成立.故

4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是

.【答案】1[来源:Zxxk.Com]

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得

在中,由余弦定理得

当且仅当时等号成立.故的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是

．

6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是

．

【答案】

７．满足的所有正整数的和是

．

【答案】33

【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得

所以

故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是

．（用最简分数表示）

二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

９．（本小题满分１６分）已知函数

（１）若对任意，都有，求的取值范围；

（２）若，且存在，使得，求的取值范围．

１０．（本小题满分２０分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有

（１）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;

（２）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

１１．（本小题满分２０分）

如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．

（１）求证：为定值；

（２）当点A在半圆（）上运动时，求

点的轨迹．

【解析】因为所以三点共线

如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有

(定值)

(2)设其中则.因为所以

由(1)的结论得所以从而

故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为

2012年全国高中数学联赛加试试题（卷）

一、（本题满分４０分）[来源:学科网]

如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。

证法一:令消去得

由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.把最小的正整数解记为则,故使是的倍数．……40分

证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组

在区间上有解即存在使是的倍数．…………40分

证法三:由于总存在使取使则

存在使

此时因而是的倍数．……………40分

三、（本题满分５０分）

设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为

求证：

四、（本题满分５０分）

设，ｎ是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数．

【解析】证法一:(1)对任意,有

证法二:(1)

第四篇：高中数学选修4-5完整知识点

高中数学选修4--5知识点 ①（对称性）ba

②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd

（异向可减性）ab,cdacbd

④（可积性）ab,c0acbc

ab,c0acbc

⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd（异向正数可除性）ab0,0cdab

cd

⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1)

⑦（开方法则）ab0nN,且n1)⑧（倒数法则）ab0

1111;ab0 abab

a2b

2.①ab2aba，bR,（当且仅当ab时取“”号）.ab222

②（基本不等式）

aba，bR,（当且仅当ab时取到等号）.2

2ab变形公式：

abab.2

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③

（三个正数的算术—几何平均不等式）

等号）.④abcabbccaa，bR 222abc(a、b、cR)（当且仅当abc时取到

3（当且仅当abc时取到等号）.⑤abc3abc(a0,b0,c0)

（当且仅当abc时取到等号）.333

ba2（当仅当a=b时取等号）ab

ba若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab

bbmana1，⑦（其中ab0，m0，n0)aambnb⑥若ab0,则

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a0xax2a2xa或xa;

xax2a2axa.⑨绝对值三角不等式ababab.2ab①平均不等式：1，当且仅当ab时取“”号）.（a,bR1ab2（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：

22(ab)2abab22.ab;ab222

2②幂平均不等式：

a12a22...an21(a1a2...an)2.n

③二维形式的三角不等式：

(x1,y1,x2,y2R).④二维形式的柯西不等式：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：

(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.⑥一般形式的柯西不等式：

(a12a22...an2)(b12b22...bn2)(a1b1a2b2...anbn)2.⑦向量形式的柯西不等式：

设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号

成立.⑧排序不等式（排序原理）：

设a1a2...an,b1b2...bn为两组实数.c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则，当a1bna2bn1...anb1a1c1a2c2...ancna1b1a2b2...anbn.（反序和乱序和顺序和）

且仅当a1a2...an或b1b2...bn时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)则称f(x)为凸（或凹）函数.).2常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如(a)

②将分子或分母放大（缩小），如12231(a)2;421111,,22kk(k1)kk(k

1)

kN*,k1)等.5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式ax2bxc0(或0)

(a0,b24ac0)解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7f(x)0f(x)g(x)0g(x)

f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0“或”（时同理）

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8f(x)0 a(a0)2f(x)a

f(x)0a(a0) 2f(x)a

f(x)0f(x)0

g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2

f(x)0

g(x)g(x)0

f(x)[g(x)]2

f(x)0 g(x)0

f(x)g(x)9⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)

⑵当0a1时, af(x)ag(x)f(x)g(x)10f(x)0⑴当a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

f(x)0.⑵当0a1时, logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

11⑴定义法：aa(a0).a(a0)

22⑵平方法：f(x)g(x)f(x)g(x).⑶同解变形法，其同解定理有：

①xaaxa(a0);

②xaxa或xa(a0);

③f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)

④f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(g(x)0)

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13解形如axbxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a与0的大小；

⑵讨论与0的大小；

⑶讨论两根的大小.14⑴不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时 b0,c0;2

2②当a0时

2a0 0.⑵不等式axbxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a0时b0,c0;

②当a0时a0 0.

⑶f(x)a恒成立f(x)maxa;

f(x)a恒成立f(x)maxa;

⑷f(x)a恒成立f(x)mina;

f(x)a恒成立f(x)mina.15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：

法一：取点定域法：

由于直线AxByC0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x0,y0)（如原点），由Ax0By0C的正负即可判断出AxByC0(或0)表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据AxByC0(或0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，AxByC0(或0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数zAxBy(A,B为常数）的最值：

法一：角点法：

如果目标函数zAxBy（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：画——移——定——求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l0:AxBy0，平移直线l0（据可行域，将直线l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x,y)；第四步，将最优解(x,y)代入目标函数zAxBy即可求出最大值或最小值.第二步中最优解的确定方法：

利用z的几何意义：yAzzx,为直线的纵截距.BBB

①若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值；

②若B0,则使目标函数zAxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值.①“截距”型：zAxBy;②“斜率”型：zyyb;或zxxa

22③“距离”型：zx

y或z

z(xa)2(y

b)2或z

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

第五篇：高中数学选修教材目录

高中数学选修教材目录

1-1

第一章

常用逻辑语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 小结

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

探究与发现 为什么截口曲线是椭圆

信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆

2.2 双曲线

探究与发现的渐近线 2.3 抛物线

阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用

小结

第三章 导数及其应用

3.1 变化率与导数 3.2 导数的计算

探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解

3.3 导数在研究函数中的应用

信息技术应用图形技术与函数性质

3.4 生活中的优化问题举例 实习作业走进微积分

小结

1-2

第一章

统计案例

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

第二章

实习作业 小结 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

阅读与思考 科学发现中的推理

2.2 直接证明与间接证明

第三章

小结

数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算

第四章

小结 框图 4.1 流程图 4.2 结构图

信息技术应用 用word2002绘制流程图 小结

2-1

第一章

常用逻辑语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 小结

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

探究与发现 为什么截口曲线是椭圆

信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆

2.2 双曲线

探究与发现 为什么

2.3 抛物线

yax2bxc(a0)

探究与发现为什么二次函数的图像是抛物线

2.4 直线与圆锥曲线的位置关系

阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用 2.5 曲线与方程

探究与发现圆锥曲线的离心率与统一方程 小结

第三章

空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算

阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法 小结

2-2

第一章

导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.2 导数的计算

探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解 1.3 导数在研究函数中的应用

信息技术应用图形技术与函数性质 1.4 生活中的优化问题举例 1.5 定积分的概念

信息技术应用 曲边梯形的面积 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用 实习作业走进微积分

第二章

推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理

阅读与思考平面与空间中的余弦定理

2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 小结

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 阅读与思考代数基本定理

小结

2-3

第一章

计数原理 1.1 分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少

1.2 排列与组合探究与发现 组合数的两个性质

1.3 二项式定理 小结

第二章 随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2 二项分布及其应用

阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?

探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4 正态分布

信息技术应用µ,б对正态分布的影响

小结

第三章 统计案例

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 实习作业

小结

4-1几何证明选讲

第一讲 一 二 三

相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线分线段成比例定理 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定 2 相似三角形的性质 直角三角形的射影定理 直线与圆的关系 圆周角定理

圆内接四边形的性质与判定定理 圆的切线的性质及判定定理 弦切角的性质

与圆有关的比例线段 圆锥曲线性质的探讨平行射影

平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线

四 第二讲 一 二 三 四 五 第三讲 一 二 三

4-4坐标系与参数方程

第一讲 一 二 三 四 第二讲 一 二 三 四

坐标系

平面直角坐标系 极坐标系

简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系 参数方程

曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 直线的参数方程 渐开线与摆线

4-5不等式选讲

第一讲 一

不等式和绝对值不等式 不等式 1 不等式的基本性质基本不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式二

绝对值不等式 1 绝对值三角不等式 2 绝对值不等式的解法 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法

二 综合法与分析法 三 反证法与放缩法

第三讲 柯西不等式与排序不等式 一

二维形式的柯西不等式

阅读与思考法国科学家柯西二 一般形式的柯西不等式 三 排序不等式

第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法

二

用数学归纳法证明不等式