欧拉常数的证明（本站推荐）

第一篇：欧拉常数的证明（本站推荐）

调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：

由于ln(1+1/n)<1/n（n=1，2，3，…）

于是调和级数的前n项部分和满足

Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

由于

lim Sn（n→∞）≥lim ln(1+1/n)（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)

将ln(1+1/n)展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故

ln(1+1/n)-1/(n+1)>1/n-1/(2n^2)-1/(n+1)=1/(n^2+n)-1/(2n^2)>0

即ln(1+1/n)-1/(n+1)>0，所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此

S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。

于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.5772***86060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。例如求

lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞），可以这样做：lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）

=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]（n→∞）

-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）+lim[ln(n+n)-ln(n)]（n→∞）=γ-γ+ln2=ln2

欧拉常数发现的历史

著名数学家莱昂哈德·欧拉(1707-1783)该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章 De

Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。

第二篇：大数学家欧拉

大数学家欧拉（1707—1783）

近年来，一种名为“数独”的填数游戏风靡全球。这种游戏规则极其简单，玩法却变化多端，令全世界的男女老少为之痴狂。2004年，英国《泰晤士报》开风气之先，在报上公布“数独”题目娱乐大众。从那时起，短短几年光景，如今全世界大约有60个国家的350多家报纸几乎天天刊登“数独”游戏题目。近两年来，中国各地的日报、晚报后起直追，划出专门的版面，天天报道有关“数独”竞赛的消息，刊载“数独”题目。各国各大城市纷纷举办“数独”竞赛。在英国，“数独”竞赛上了电视台的黄金档节目。2006年在意大利举行了第一届世界“数独”锦标赛，获奖者被认为“智商超群”，在全世界备受瞩目。

不少“数独”爱好者都知道，这种游戏的普及多亏了一位名叫戈尔德的新西兰人。此人曾在香港担任法官15年，1996年退休以后的一次旅行途经日本，在机场偶然发现介绍“数独”游戏的小册子。戈尔德立刻着迷，从此专注于“数独”游戏的开发推广，他也因此而发了大财。但鲜为人知的是，“数独”游戏本身虽非数学问题，但是其来源却是一种被称之为“拉丁方阵”的古老数学问题，最先对它展开研究的是18世纪传奇而又高产的大数学家莱昂纳德·欧拉。

对于“拉丁方阵”的研究，在欧拉的学术范围内并不占据主要位置。这个问题源自于当年普鲁士国王腓特烈为他的仪仗队排阵。国王有一支由36名军官组成的仪仗队，军官分别来自6支部队，每支部队中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。国王要求这36名军官排成6行6列的方阵，每一行，每一列的6名军官必须来自不同的部队，并且军衔各不相同。问题看似简单，腓特烈绞尽脑汁却怎么也排列不出来，于是向著名的数学家欧拉求教。欧拉研究之后告诉国王，不必枉费心机，因为这个问题根本无解。欧拉之后，很多数学家开始研究“拉丁方阵”，并留下很多这方面的定理。

少年们正在兴致勃勃在玩数独游戏

欧拉是一位300年前的人物，可他始终距离我们不远，因为他为人类创造的智慧财富我们每天都在享用。今天所有的中学生都知道：在几何中用a、b、c与A,B,C分别表示一个三角形的三条边与三个内角，用π表示圆周率；在三角函数中使用基本的符号，例如sin A表示A角的正弦函数等等；在代数中用i表示虚数单位，也即是“-1的平方根”，用f(x)表示函数；在立体几何中揭示多面体的欧拉公式，即顶点数-棱数+面数=2。这些统统都是欧拉的创造。以欧拉冠名的定理、常数和公式随处可见。此外，欧拉还涉足物理、天文、建筑、音乐乃至哲学，并且成就辉煌。几乎在每一个数学领域里都可以看到欧拉的名字和影子。仅以数论为例，欧拉是“解析数论”的奠基人，“哥德巴赫猜想”就是在他与哥德巴赫的通信中产生的。更为重要的是他证明的“欧拉恒等式”，影响巨大。黎曼所提的、至今未能解决的世界难题“黎曼猜想”就源自于“数论”中的“欧拉恒等式”，它依然挑战着21世纪的数学家们。

欧拉成就斐然,著作等身，在人类科学发展史上的地位极其特殊，能与他相提并论的科学家只有阿基米德、牛顿和高斯。这四位先哲不仅创建发展理论，还应用他们的理论，跨越学科界限，解决了大量天文、物理和力学等方面的问题。因为他们的目光注视的并非是那些具体问题，而是整个宇宙，毕生致力于揭示宇宙的奥秘。

后世的数学家们无不推崇欧拉。大数学家拉普拉斯谦卑地说：“他是我们所有人的导师”；有“数学王子”之称的天才数学家高斯崇敬地说“欧拉的研究工作是无可替代的”。各国人民都以不同的方式纪念这位数学大师。瑞士法郎上就印着欧拉的肖像，目前在流通的货币上有其肖像的科学家只有两位，另一位是英镑上的牛顿。半个世纪前，民主德国和西德、前苏联和瑞士都分别发行过纪念邮票，纪念欧拉诞辰250周年。

2007年，适逢欧拉300年诞辰，瑞士再次发行了纪念邮票。中国与瑞士两国政府在北京 共同举办了隆重的纪念活动。这是十分罕见的，也是欧拉当之无愧的。瑞士教育与研究国务秘书查尔斯·克莱伯致词说：“若是没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”

巴塞尔：数学与神学 困难抉择

欧拉于1707年4月15日出生在巴塞尔，一个瑞士西北部与法国和德国毗邻的小城。美丽的莱茵河蜿蜒穿城而过，瑞士最古老的高等学府巴塞尔大学就在这里。

欧拉的父亲是位专职的传道牧师，但是非常喜爱数学。在这位乡村牧师的书房里，除了神学书籍之外，就是数学书籍。他给童年的欧拉讲过许多有趣的数学故事。欧拉后来满怀深情地回忆父亲对他数学的启蒙，永远记得那些令他听得入迷的故事。例如，印度国王舍罕打算奖赏那发明了象棋的大臣，问大臣想要什么。聪明的大臣请求赏赐一些麦粒，要求的数量是：在棋盘的第一格里放1粒，第二格里放2粒，第三格里放4粒，第四格里放16粒……依此类推，把棋盘上的64格都放满。舍罕国王和众人都未曾料到，国库内的麦子都搬光了以后，棋盘格子的多一半还空着呢！

为纪念欧拉诞辰300周年，2007年瑞士发行的纪念邮票

这个“幂级数求和”问题的故事，深深震撼了欧拉的心灵，使他感到了数字的力量与迷人。在父亲的书房里，10岁的欧拉自学了德国数学家鲁道夫写的《代数学》，做完书里的全部习题，毫不吃力。辅导欧拉自学的是学识渊博的数学家约翰·伯克哈特，欧拉没齿不忘的启蒙恩师。

欧拉渐渐展现出他那过人的智慧，那善于解决实际问题的超级才能。他的牧师父亲不仅“牧人”也牧羊，羊群是他家的主要生活来源，欧拉则是牧童。当家里的羊群不断增多接近百只的时候，父亲决定扩大羊圈。他计划建造一个长方形新羊圈，长40米，宽15米，面积正好600平方米。算一下需要110米的材料做围栏，但他只有100米材料，于是打算缩小羊圈的面积。这时候，欧拉却告诉父亲，只要改变羊圈桩脚的位置，造一个25米见方的正方形羊圈，材料足够，面积还会增加到625平方米呢！

牧师认为儿子智力非凡，得让儿子接受优良的教育。他当然知道，良师益友对于一个人的成长何其重要。牧师年轻时曾在巴塞尔大学读神学，从而结识了那里的数学与物理教授雅各布·伯努利和约翰·伯努利，这两兄弟都是著名的大数学家。伯努利家族是个数学世家，三代人出了8个有名的数学家。约翰·伯努利有两个儿子，名叫尼古拉和丹尼尔，兄弟二人像他们的父亲和伯父一样，酷爱数学，日后也都成了世界著名的大数学家。他们把聪明的欧拉当成小弟弟，经常给他绘声绘色地讲那些有趣的数学知识，使欧拉受益匪浅。他们同欧拉的友谊延续了一生。

约翰·伯努利教授很快就发现了欧拉的天分，决定加意培养。他推荐欧拉进入了巴塞尔大学，那年欧拉仅仅13岁。欧拉主修神学，他花很多时间学习希伯来语和希腊语，为的是能念懂圣经《旧约全书》和《新约全书》的原文。

巴塞尔大学聚集着一大批欧洲著名的学者，例如大哲学家尼采当年在那里讲授“古典文献学”，他的代表作《悲剧的诞生》就是在巴塞尔大学任教期间写出来的。

在必修的神学课程之外，少年欧拉也学习令他入迷的数学，成为约翰·伯努利教授的学生。他在班上年纪最小，但最聪明。他勤奋好学，坐在最前一排，聚精会神地听讲。约翰·伯努利不愧是大数学家，讲课中尽情挥洒，旁征博引，给学生剖析展现数学的核心思想，还引导学生们思考当时数学家们所关注的尚未解决的难题。欧拉在大师的课上不仅学到丰富的知识，还逐渐认识到数学的真谛，对数学的兴趣与日俱增。印有欧拉肖像的瑞士法郎

欧拉出众的才华得到进一步的展露，他常常成为班上唯一敢于向伯努利教授提出的难题冲锋，并且提出解决想法的学生。欧拉鹤立鸡群，这令伯努利教授非常惊喜，开始对欧拉因材施教，单独授课。欧拉在自传中回忆道：“著名的约翰·伯努利教授给了我许多宝贵的指教，引导我独立地阅读那些艰深的数学著作，研究其中的问题。他每星期六下午与我见面，和蔼地为我解答问题，严格地规定我必须读通与牢记的那些最重要的数学，指导我一步一步地走向数学的前沿。伯努利教授知道训练数学家的最好的方法，我受益终生。”欧拉对恩师的感激之情跃然纸上。顺便说一句，在古代数学家中间，我们对于约翰·伯努利的了解最多，这多亏了欧拉勤于写作，仔细地记载了许多有关他的恩师的故事。

1722年，15岁的欧拉在巴塞尔大学获得学士学位。次年，欧拉又获得了硕士学位。他是这所古老大学有史以来最年轻的硕士。

欧拉的父亲是一位虔诚的牧师，自然希望欧拉子承父业，把精力用在钻研神学上，日后能够成为职业传道人。欧拉笃信基督，愿意“为主做工”，何况这是父亲的强烈愿望。可他同样钟情数学，实在难以割舍。欧拉陷入两难局面，犹豫彷徨。约翰·伯努利教授也是一位虔诚的基督徒，既理解牧师，更了解欧拉，他知道该怎么办。这位大学者为此事亲自登门拜望牧师，坦诚地说：“亲爱的牧师，请相信我的眼力。您的儿子无疑将是瑞士有史以来最伟大的数学家。百里挑

一、才气横溢的青年，我见过不少，但无人能和您的儿子相比。我来府上是请求您重新考虑您的决定。” 欧拉的父亲虽被伯努利教授打动了，但对儿子是否会因埋头数学而远离基督，不无担心。伯努利教授明白牧师的心思，继续说：“数学不会动摇任何人虔敬的信仰，您的儿子应该成为数学家中的神学家!”

伯努利教授慧眼识珠，坚信欧拉日后必定是数学天空中一颗最明亮的星辰。16岁的欧拉成为伯努利教授的研究助理，从此与数学相伴一生。欧拉的恩师约翰·伯努利教授

大师的关键作用就在于此。尽管欧拉天赋过人，但要是没有伯努利教授慧眼独具的赏识、循循善诱的教育与苦心孤诣的栽培，也许欧拉会如一颗珍珠，永远淹没在大海里。

巴塞尔大学在当年是医药学的研究重镇，兴趣广泛的欧拉又涉猎生物医学，并且运用他的数学能力去解决生物医学问题。欧拉建立了一个耳膜结构与声波共振的数学模型，使得医学研究精确化，从而发展了生物医学理论，令巴塞尔的医学教授们惊叹。欧拉因其出色的研究工作，连续12年获得巴黎科学院的头等大奖。圣彼得堡：高压下 自由驰骋

在欧拉的时代，瑞士和大多数国家一样，不重视理论数学的研究，也不为数学家提供生存与发展的机会。除去为数不多的大学教职之外，数学家能够赖以谋生并且施展才华的职位很少。而且18世纪以前的欧洲的大学也不是主要的学术研究机构。那些有才智、有抱负的数学家只好远离家乡，去法国、德国，甚至俄国寻求发展的空间。这些国家的君王具有远见，在他们的推动之下，巴黎科学院、柏林科学院和彼得堡科学院相继成立。拿破仑的数学很不错，自称是位几何学家，并与巴黎的许多数学家交上了朋友。数学史上最活跃的、值得大书特书的辉煌时期来临了。

俄国彼得大帝时代，国家的安定和君王的雄才大略为科学的发展创造了春天。叶卡捷琳娜继位后的两年内，完成了彼得大帝的遗愿，在首都圣彼得堡成立了国家科学院，在全国乃至欧洲网罗招聘人才。各国杰出的科学家们慕名前往。1725年约翰·伯努利教授的两个儿子丹尼尔·伯努利与尼古拉·伯努利双双应聘来到俄国科学院，担任专职的数学研究员，随后向女沙皇推荐了他们的年轻朋友，天才数学家欧拉。

受欧拉栽培提携的大数学家拉格朗日

1727年，欧拉踌躇满志地来到圣彼得堡。可是，就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天，5月17日，女皇叶卡捷琳娜一世去世了。继任沙皇疯狂地残杀异己，加之贵族纷纷武装起来，争权夺利，互相讨伐，俄国随之陷入长达20年内战的黑暗岁月。初到圣彼得堡的几年里，欧拉经常看到的是挂在绞刑架上的“罪犯”，一队队流放到西伯利亚去的“叛逆”。残酷内战中的俄国人，不仅袍泽之间彼此无情地杀戮，更加仇视外国人。外国人纷纷逃离俄国，科学院风雨飘摇。欧拉也曾经受到秘密警察的监视，处境十分艰难。“风雨如晦，鸡鸣不已。”那以后的6年时间里，欧拉埋头于自己的研究，完全沉浸于数学王国，新政权也不再为难他。尼古拉·贝努利在彼得堡溺水身亡，丹尼尔·贝努利在离开故国8年之后，思乡情切，决定离开俄国，返回瑞士。1733年，俄国进入了安娜·伊万诺夫娜女皇时代，疯狂的屠戮虽未结束，但局面略微好转。欧拉接替了丹尼尔·伯努利在圣彼得堡科学院的数学教授职位，持续研究数学长达15年之久。

同年，欧拉与格塞尔小姐结婚。她的父亲是位画师，是彼得大帝游历西欧国家时，把他从瑞士请来的。两家是同病相怜的异乡异客，欧拉与格塞尔相濡以沫。若干年后，妻子病逝，欧拉续娶的则是她的同父异母妹妹。两个女人一共生了13个孩子，欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着父亲嬉戏。他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。

当时彗星轨道的计算问题是一个摆在所有天文学家面前的棘手的难题。为此，法国在1735年设立了一项天文学的大奖。欧洲数学家们估计，解决这个问题至少要几个月的时间。没有人想到，欧拉攻克这个难题仅仅用了三天三夜。他提出了一套计算彗星轨道的新方法，其计算的基本原则沿用至今。但欧拉为此付出了惨痛的代价，他累得病倒了，并从此失去了右眼的视力，那年他才28岁。

欧拉在这段时间里几乎与世隔绝，没有社交酬酢，没有会议交流，唯有闭门钻研，读书写作。《欧拉全集》中的一大部分就是他在这个时期的作品。欧拉能如此罕见地笔耕多产，很大程度上是因为他对数学的极度热爱与眷恋。他说：“数学家与艺术家是一样的充满激情。米开朗基罗以对上帝无比的眷恋，一笔一笔地在大教堂的天花板上描绘出那美轮美奂的图画，我则是一笔一笔地描述数学，它是上帝的花园中那些美丽迷人的花卉。”

欧拉虽然在高压与困苦中孤军奋战，但因其学富五车、著作等身，他的书籍和论文传遍欧洲，而被当世人称为“数学的顶梁柱”。柏林：冷眼中 一往情深

世界科学的发展往往由一个时代的最重要的科学家所引领，他们的名字也因此而成为那个时代的里程碑。人们说17世纪是牛顿的时代，18世纪无疑属于欧拉，那时欧洲各国数学家们谈论的都是“欧拉的数学”，他的名声已经传遍欧洲大陆。在伊万诺夫娜女皇退位后，普鲁士国王腓特烈盛情邀请欧拉到柏林科学院担任数理学院院长，宫廷数学家，并兼任公主安哈特·蒂苏的老师。

普鲁士王太后对诚恳老实、稳重谦逊、淳朴温和的欧拉颇具好感，喜欢和欧拉聊聊天，但却谈不起来，因为欧拉非常紧张，只是用“是”与“否”回答王太后。王太后不解，这位举世闻名的大学者何以如此谨言慎行？欧拉回答说：“我在那样一个国家居住了十几年，那里的人若是说错了话就会被吊死。”

欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从不受嘈杂和喧闹的干扰；镇静自若，孜孜不倦。

1726年，19岁的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院的资金。这标志着欧拉的羽毛已丰满，从此可以展翅飞翔。

欧拉的成长与他这段历史是分不开的。当然，欧拉的成才还有另一个重要的因素，就是他那惊人的记忆力！，他能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil）的史诗Aeneil，能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容。高等数学的计算他可以用心算来完成。

尽管他的天赋很高，但如果没有约翰的教育，结果也很难想象。由于约翰·伯努利以其丰富的阅历和对数学发展状况的深刻的了解，能给欧拉以重要的指点，使欧拉一开始就学习那些虽然难学却十分必要的书，少走了不少弯路。这段历史对欧拉的影响极大，以至于欧拉成为大科学家之后仍不忘记育新人，这主要体现在编写教科书和直接培养有才华的数学工作者，其中包括后来成为大数学家的拉格朗日（J.L.Lagrange,1736.1.25-1813.4.10）。

欧拉本人虽不是教师，但他对教学的影响超过任何人。他身为世界上第一流的学者、教授，肩负着解决高深课题的重担，但却能无视“名流”的非议，热心于数学的普及工作。他编写的《无穷小分析引论》、《微分法》和《积分法》产生了深远的影响。有的学者认为，自从1784年以后，初等微积分和高等微积分教科书基本上都抄袭欧拉的书，或者抄袭那些抄袭欧拉的书。欧拉在这方面与其它数学家如卡尔·弗里德里希·高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）、艾萨克·牛顿（I.Newton,1643.1.4-1727.3.31）等都不同，他们所写的书一是数量少，二是艰涩难明，别人很难读懂。而欧拉的文字既轻松易懂，堪称这方面的典范。他从来不压缩字句，总是津津有味地把他那丰富的思想和广泛的兴趣写得有声有色。他用德、俄、英文发表过大量的通俗文章，还编写过大量中小学教科书。他编写的初等代数和算术的教科书考虑细致，叙述有条有理。他用许多新的思想的叙述方法，使得这些书既严密又易于理解。欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数R有无穷多个对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究。在这以前，每个公式仅从图中推出，大部分以叙述表达。欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。欧拉用a、b、c 表示三角形的三条边，用A、B、C表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。欧拉得到的著名的公式,又把三角函数与指数函联结起来。

在普及教育和科研中，欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于学生的学习，又有助于数学的发展，所以欧拉创立了许多新的符号。如用sin、cos 等表示三角函数，用 e 表示自然对数的底，用f(x)表示函数，用 ∑表示求和，用 i表示虚数等。圆周率π虽然不是欧拉首创，但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行。而且，欧拉还把e、π、i 统一在一个令人叫绝的关系式中。发布者：郭玉珍 发布时间： 2012-10-19 15:55:26

1、数学成就

众所周知，欧拉是一位了不起的数学家，他的数学成就令人瞩目，为数学的发展做出了诸多贡献。而且，欧拉的研究领域一直非常广泛，在数学各个范畴里，都能看到欧拉的身影，其中主要几方面就有各种数学符号的引入，分析学的完善，数论研究，图论开拓。下面就这几个方面做详细介绍。

1.1常用数学符号的引入

在欧拉一生中，他引入了不少数学符号和定义，这些符号至今都被广泛运用，在各类数学书籍中，我们能经常遇到。首先，我们不得不提的就是用f(x)来表示函数，欧拉是第一人，x表示参数，三角函数的符号也是他引进的。1727年，欧拉开始用小写字母e来作为自然对对数的底数，1775年提出用Σ表示加和，1777年提出用i表示虚数单位，π表示圆周率，Δy和Δ2y的引入也归功于欧拉……这些符号的引入为后来的数学运算及表示带来了了很多便捷，这是数学史上的一大进步。

1.2分析学的研究

在18世纪的数学研究里，微积分发展最为迅速，作为欧拉朋友的贝努力一家（约翰·贝努力、丹尼尔·贝努力、尼古拉·贝努力）亦是众多研究者中的一员，受他们的影响，欧拉从一开始就致力于分析学的研究。与其他人不同的是，欧拉没有用通常的方法来证明分析问题，他的独具一格让分析学前进了一大步。欧拉在解决分析问题时，频繁地使用了幂级数以及用函数的无限求和（the expression of functions as sums of infinitely many terms.）

欧拉在分析学上的一个显著成就就是他直接证明了e的幂级数展开和反正切函数（原本在1670和1680年分别是牛顿和莱布尼兹在用逆幂级数间接证明过）。在1735年，他对幂级数的大胆使用让他解决了著名的贝努力问题，在1741年，他又再次给出了更详尽的解决方法解答。[9]

欧拉将指数函数和对数函数引入到分析学的证明中，并且找出很多方法用幂级数来表示对数函数。他成功定义了负数的对数和复数，拓展了对数函数的应用[10]他给出了复数指数函数的定义，并且找出它与三角函数之间的关系：对任意实数x，等式 成立。

当时，得到是欧拉的公式的特殊情况，就是大家俗称的欧拉恒等式。欧拉恒等式被理查德·费曼（Richard Feynman）称为“数学里最了不起的公式”,因为它只是运用了加法，乘法，取幂和常见的0,1，e,i建立了等式。[11]在1988年，它又当选为“数学史上最美的公式”。[12]在民意测评中，数学史上五个最顶级的工商公式，其中三个都源自欧拉。[12]

棣莫弗公式就是由欧拉公式直接推导而来。

在另一方面，欧拉在超越函数的高级理论中也有独到见解，他在其中引入了γ函数并且提出一种解决四次方程的新方法。在计算复杂的极限上，他找到了一种新的方法，为现代复变函数论奠定了基础，他发明了变分法，其中就包括著名的欧拉-拉格朗日方程。

欧拉倡导用解析法解决数论问题，在处理的时候，他联合了两个完全不同的数学分支，推出了一个新的领域——解析数论。在开拓这个新领域时，欧拉提出了超几何级数定理和q-级数、双区三角函数以及连续函数的解析理论。例如，他利用调和级数证明了素数的无穷性，用解析方法得到了素数的分散情况。欧拉的这些工作都为后来的素数定理发展提供了依据。

1.3数论研究

欧拉对数论的兴趣可以追溯到他圣彼得堡科学院挚友——哥德巴赫（Christian Goldbach克里斯汀·哥德巴赫）——对他的影响。欧拉早期的数论工作是建立在费尔马（Pierre de Fermat）工作的基础上。欧拉将费尔马的一些观点加以推广，同时也反驳他的一些猜想。

欧拉证明了牛顿恒等式，费马小定理，费马平方和定理，在四方和定理的证明中，欧拉做出了显著贡献。在1729年时，哥德巴赫曾和他讨论过费尔马猜想：当n=2k（k是自然数），则2n+1一定是素数。欧拉运算发现，在n=1,2,4,8,16时，猜想是正确的，然而，在1732年，欧拉计算得到232+1=4294967297可以被641整除，因此不是素数。欧拉对费尔马其它一些还未证明的猜想也进行了深入研究，并在研究的基础上向世人推出了欧拉ϕ函数：

φ（n）=n(1-p1)(1-p2)……(1-pk),其中，p1，p2……pk(1≤k≤n)是n的质因子。他在1749年成功证明了费尔马的另一个猜想：a和b互素，若m是a2+b2的因子，则不存在自然数n,使得m=4n-1。

在素数定理以及二次互反性的规律上，欧拉也做了不小贡献，这两个定理后来成为数论基本定理，为后来高斯（Carl Friedrich Gauss卡尔·弗雷德里希·高斯）的研究奠定了坚实的基础。[2]

在1772年，欧拉证明了231-1=2,147,438,647，俗称梅森素数，到1867年为止，它一直是人们所知道的最大的素数。[11]

1.4图论研究

欧拉在图论研究上也有不小的成绩，其中最著名的要数哥尼斯堡七桥问题。

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥——这就是哥尼斯堡七桥问题。这个问题一直困扰着大家，于是一些学生写信向欧拉求助。而欧拉，也不负重望的给出了解答，并发表了论文。欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.也就是，若想能一笔画完，几点个数必须是0或2.当然他也解说了，从始发点出发经过七桥分别一次并回到初始位置，这是不可能实现的的。

欧拉的这个理论被认为是图论的第一条定理，尤其在作为平面图形理论中有重要价值。[13]

除此之外，欧拉还得到了凸多面体的点、线、面公式：V-E+F=2。

[15]

[14]

在这个公式里的常量被称为图形中欧拉示性数，并且与数学对象的类别有很大关系。这个公式的出现和概括，柯西[16]和L.赫里尔（L'Huillier）

[17]

称是拓扑学的起源。

1.5应用数学的研究

在数学研究上，欧拉不仅注重理论研究，同时也希望能实际问题结合研究，在这一方面，欧拉的主要成就在于他用了解析的方法解决实际问题并且论述了贝努力常数、傅里叶级数、维恩图解、e和π、连续函数和积分在实际问题中的应用。他将莱布尼兹的微分学理论和牛顿的流动理论加以结合，创造了一些新工具，它们使得用微积分解决物理问题更加简便容易。在数值逼近积分研究领域，他又再次跨越了一大步，尤其是欧拉近似法的引入，更是令人瞩目。值得一提的是，这些近似法是欧拉法，也是麦克劳林求和公式（欧拉和麦克劳林几乎同时发现）。而且他利用微分方程，又将麦克劳林公式简化了。

欧拉的另一项重要贡献就是数学在音乐上的应用。1739年，欧拉发表《音乐新理论尝试》一文，关于音乐学，欧拉也发表了一些理论，尤其是他1739年发表的《音乐新理论的尝试》，在此书中，他试图将数学与音乐结合：...part of mathematics and deduce in an orderly manner, from correct principles, everything which can make a fitting together and mingling of tones pleasing.（……按照一些恰当的有序的数学计算和推导原则，任何事物都能组合成令人欢愉的音乐。）

然而，他的工作并没有受到瞩目，甚至被评到：...for musicians too advanced in its mathematics and for mathematicians too musical.（对音乐家而言，这太过深奥了，而对数学二家而言，又太过音乐化。）[18] 物理学和天文成就

人们在谈及欧拉时，都会提到他是一位数学家，但不要忘记，欧拉也是一位杰出的物理学家。在数学领域上，欧拉的成就让世人瞩目和惊叹，而在物理学，尤其是力学上，他也做出了重要的贡献，在天体研究上，欧拉也功不可没。那么在物理学和天文学上具体都做了什么，我们一起来看：

欧拉为欧拉-贝努力射线理论的发展做出了不小的贡献，这一理论的成功建立为工程学的发展奠定了基础。除了在经典力学中成功引入了解析方法外，欧拉还将这些方法用来接解决天体问题。在天文学上，欧拉做了很多工作：...determination of the orbits of comets and planets by a few observations, methods of calculation of the parallax of the sun, the theory of refraction, consideration of the physical nature of comets,....His most outstanding works, for which he won many prizes from the Paris Académie des Sciences, are concerned with celestial mechanics, which especially attracted scientists at that time.（……彗星和行星轨道的测定，太阳视差估计表，折射理论，彗星物理性质的考究。在那个时期，天体力学的研究吸引了许多科学家，欧拉在这方面的研究最是杰出，因此多次获[4]得巴黎科学院的大奖。）

欧拉的月球运动理论被托拜厄斯·迈耶（Tobias Mayer）用于构造了月球数据表，他的数据表解决了经线测定这一难题，在1765年，柏林政府奖励了他3000法郎，欧拉也因为他的理论贡献而得到300法郎的奖励。

另外，欧拉，在光学研究上也有重大贡献。他反对牛顿的光的微粒说，虽然那个时候牛顿的理论得到普遍的附和。在18世纪40年代，欧拉发表了多篇论文，为惠更斯（Christian Huygens）后来提出的光的波动理论奠定了理论基础。在光的量子理论出现之前，惠更斯的理论一直都占据着主导地位。对欧拉的这一成就和行为，我们不得不感慨，也不得不尊敬佩服。

3逻辑学成就

和其他领域相比，欧拉在逻辑学上只能算是小有成就，当然，他小有的成就对他人而言都是令人羡慕的。1768年的时候，欧拉将三段论推理限制在封闭曲线里。这些图解都成了后来著名的欧拉图。[19]

第三篇：欧拉的故事

数学故事演讲

回望欧拉 学习欧拉

尊敬的各位老师,亲爱的同学们: 大家好,今天我演讲的题目是《回望欧拉 学习欧拉》。

在瑞士的钱币和许多国家的邮票上都有这位伟大科学家的身影，请大家猜猜他是谁？他就是被数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一——欧拉，1707年4月出生于瑞士，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。

不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校开除了的小学生。

小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上有多少颗星星。其实，天上的星星数不清，是无限的。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天上有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到天幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？上帝会不会太粗心了呢？”老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。

在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，小欧拉没有与教会和上帝“保持一致”，学校便开除了他。但是，在小欧拉心中，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。

欧拉回家后无事，他就帮助爸爸放羊，他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现只有100米的篱笆，还少10米。父亲感到很为难，要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6平方米。小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只要稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。

父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一定能两全齐美。小欧拉仰头想了一会，又在地上用树枝画了一些什么，然后对父亲说：

“爸爸，您可以把长宽都定为25米，那羊圈面积成了625平方米，比您设计的还大了25平方米，但篱笆却只要100尺，您就不用愁了！”

父亲心里感到非常高兴，孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大有出息。让这么聪明的孩子放羊实在是太可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。在他的推荐下13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学。这在当时是个奇迹，整个瑞士大学校园里年龄最小的学生，曾轰动了整个数学界。

18世纪，在柯尼斯堡有条河，上面有两个小岛，从河的两岸分别有三座桥和它们相连；另外又有一座桥把两个小岛连接起来。有位爱思考的居民提出来一个问题，一个散步的人能不能一次走遍七座桥，而且每座桥只能走一次?这个问题谁也回答不了。有人说可以，可是走来走去，始终没有走通；有人说不行，可惜又说不出令人信服的理由。有位小学老师出来解围：为什么不写封信去请教鼎鼎大名的欧拉呢? 欧拉接到问题，先把柯尼斯堡七桥画成一

个线条图，在他的图形里，小岛和河岸变成了点，桥成了连接这些点的线。这样，问题就成为：从图上某一点开始，中间任何一条线不得画两遍，铅笔不准离开纸，能不能把这张图一笔画出来?经过一番思索，欧拉终于找到一个彻底而漂亮的答案。七桥问题的圆满解决使柯尼斯堡人心满意足。

在儿童游乐场里，大家一定见过滑梯吧。但有谁想过，从顶部A到着地处B，滑梯做成什么样才最省时间呢?有人说，这很简单，把滑梯做成直的就行啦，因为两点之间线段最短。可是，距离最短并不等于时间最省，因为他还没有考虑到速度大小呢。直的滑梯下滑的速度是增加得比较慢的。那么，滑梯该做成什么形状好呢?早在1696年6月号的《教师学报》上，欧拉的老师约翰·伯努利就把它提出来向其他数学家挑战。

第二年就由牛顿、莱布尼兹、雅各布·伯努利和约翰·伯努利本人先后给出了解答。可惜他们的工作只到这里为止。欧拉在1728年开始涉足这个困难的领域。他开始研究连接曲面上的两点，什么样的曲线距离最短?欧拉很快找到了答案。不久，他把最速降线问题加以推广，并且考虑了摩擦和空气的阻力。接着，他又致力于寻找解决这类问题的更一般的方法。经过前后16年的不懈努力，终于获得成功。于是他被公认为当时最伟大的数学家。他倡导的变分法也作为一个新的数学分支诞生了。

他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。

欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年），欧拉公式等。

欧拉在他的一生中共著有886种之多，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。

过度的工作使他得了眼病，在他28岁时，不幸右眼失明了，1741担任科学院物理数学所所长，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而来，一场大火灾把他的书房和大量研究成果全部化为了灰烬。他发誓要把损失夺回来．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算继续进行研究，他还口述了几本书和400篇左右的论文．还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁。

正是由于少年时期的欧拉爱学习，爱思考，不惧畏权威，才为他走向成功的道路打下了良好的基础。

也正是由于他的严谨态度和锲而不舍的探索精神，才为数学打下了坚实的基础。

也正是由于从细微的事情中发掘数学的道理、发现问题的存在，从而产生莫大的兴趣与执着的研究精神。

也正是由于他顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神，引领数学科学向前发展，他永远是我们学习的榜样。

读读欧拉，他永远是我们可敬的老师。

第四篇：自然常数e的证明

当然，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利率只有5%，那么1块存一年最多可以拿到多少钱呢？lim(1n5%n

1000)? n在100%利率的情况下，当n=1000所得到的数值非常接近e：(1100%

1000)1000(10.1)e。

5%

50)50为了便于思考，取n=50,：(1

5%

50100%1000(10.1)150。因此，5%利率相当于e的20分之一1次方：(1)50[(1)1000]20e20

注意：20分之一正好等于利率5%，所以公式可以写成：

FVerate，式中rate就是利率。这说明只要是持续不断的复合式增长，e可以用于任何增长率的计算。

再考虑时间因素，如果把钱在银行里存t年，最多可以得到多少钱呢？

rtrtFV(e)e，此式为计算本利和的万能公式，可以适用于任何时间，任何利率。

进一步思考，如果银行利率是5%的复利，请问1元存款翻倍需要多少时间？

求解需要多少时间等价于解方程：1

e5%t

2t

ln25%



0.6935%



69.3

5

725，结果是13.86年。上式最后一个等号，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致时间，这就是经济学上著名的72法则。

e在自然科学中有着重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物质的衰变，生物增殖问题，地质科学中考察地球年龄，用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度，物体的冷却等等

讲了这么多，e是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作用。但如此重要的极限，在一般的教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论。下面我尝试证明极限e的存在，并且确定它的值。

一、极限e存在性的证明

Lim(1为了证明极限

x

1x)

x

e

首先给出关于极限存在的两个基本准则。I 夹逼准则：如果函数(x)f(x)

Limf(x)A。

(x)且Lim(x)

A，Lim(x)A，那么

II 单调有界数列必有极限。

f(x)(1

(1

1x

1x)

x

这个函数既不是幂函数也不是指数函数，我们称之为幂指数函数。

只有当)0时这个函数才有定义，故只对x0与x

1来证明。

1、当x0时，首先让x取正整数，即x=n，n=1,2,3……若x0而(1x)0有伯努利不等式(1

x)

n

1nx，这个不等式可由二项式定理推出，并且对1x0时不等式仍

然成立，可由由数学归纳法证明。因此，对伯努利不等式将x换成(

(1

1n

1n)，便有)

n

1

1n

或者(1

1n)(1

n

1n)

n

(1

1n)

故对n1有 f(n)(1

1n)

(1n)

n

n1

n

11

1

n1

n1

f(n1)

说明f(n)是随n的增加而增加的，即f(n)是单调增加数列，另一方面由二项定理知

f(n)(11111

12!12!

1n)11n)

n

n11!n(11n!

1n

n(n1)12!)(1

2n12n



1n!

n(n1)3211

n!1n)(1

2n)(1

n

n

n

(113!

3!)1

2(112

n1

n1n)1



3111

112

12

3

n1

说明f(n)是单调增加有界数列，根据准则II，f(n)的极限存在，以e表示之，即

Lim(1

n

1n)e

n

（1a）

其次，对任意x0，必存在两个相邻的整数m与m+1，使得mxm1，因而

1mx1m)

1m1

从而

1x)

x

(1

m1

(11

(1

1m1)或者

1m1)

1

m

f(m)(1

m)f(x)f(m1)(1

1m)1，(1

1m1)

1

(1m并且f(m)e，f(m1)e，当x时，1

由准则I知

Limf(x)Lim(1

x

x

1x)

x

e（1b）

2、当x1时，xx

1x

x



x1

x

f(x)(1)

x

1

1

x1

x

1(1

1x1)f(x1)(1

1x1)，当

x时，x，(1

1x1)1，f(x1)e

所以Lim(1

x

1x)f(x1)(1

x

x

1x1)e（1c）

综合1a，1b，1c对于x0与x1，极限得到了证明。

二、极限e的确定与求法

由二项定理及极限1可得到e的表达式

eLim(1

n

1n)Lim(1

n

n

11!



12!



1n!)或者e11

12!



13!



由此可知e是个无理数，整数部分是2，小数部分是个无限不循环小数。数e的近似值可以通过f(x)e的泰勒展开式：

x

e1

x

x1!



x

2!



x

3!



x

n1

(n1)!

e

Qx

x

n

n!

其中1eexex，当x=1时有

e11

12!13!



1(n1)!

e

Q

n!

（1eQe3）

如取n=9，可得

e11

12!13!14!15!16!17!18!19!e

Q

110.50.1666670.0416670.0083330.0013890.0001980.0000250.000003e

Q

=2.718279

由此计算方法可见，若要求精度越高，则n取的越大，且计算每一项的精确度比要求的精度要高，当n<10时高一位，n<100时高二位，……

第五篇：复变函数中的欧拉公式的证明

复变函数中的欧拉公式的证明

一、欧拉公式：

eiπ+1=0

eix=cosx+isinx

二、证明

a)将ex展开：

23ex=1+x+x

2!+x

3!x456784!+xxxx

5!+6!+7!+8!+···

b)将x用ix替换：

2345678

eix=1+ix··c)将cosx展开：

cosx=1-x2

2!+x4

4!x6

6!+x8

8!x10

10!+x12

12!··

d)将sinx展开：

x3x5x7x9x11

3!5!-7!+9!-11!+x13

sinx=x-13!+···e)上式等号两边同时乘i：

ix3ix5ix7ix9ix11

3!+5!-7!+9!-11!+ix13isinx=ix-13!··f)联立Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ三式得： eix=cosx+isinxⅥ g)同理可得：

e-ix=cosx-isinxⅦ h)对于Ⅵ，令x=π便可得： eiπ+1=0 i)Ⅵ、Ⅶ二式联立可得：

eix-e-ix

sinx=eix+e-ix

2icosx=2 Ⅰ Ⅲ Ⅴ Ⅱ Ⅳ