第 42 讲 平面与平面的位置关系(第2课时-证面面垂直)

第一篇：第 42 讲 平面与平面的位置关系(第2课时-证面面垂直)

第 42 讲平面与平面的位置关系-证面面垂直

（第2课时）

证面面垂直常用的方法如下：

①证

过的一条垂线。理论依据是“如果一个平面经过另一平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”。

②证与构成的二面角是直二面角。理论依据是“直二面角的定义”。

③证

垂直第三平面，而∥。理论依据是“垂直于两平行平面之一的平面必垂直于另一平面”。

注意：两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行。但两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面不一定平行。

例．如图，已知平面、

相交于AB，平面平面，=BC，BCAB，求证：。

分析：观察后猜测 AB，试证之。

∵ ，AB，ABBC，∴ AB，又 AB，∴ 。

点评：本题使用方法①。

例．如图，已知空间四点A、B、C、S，ASC90，ASBBSC60，且 SA=SB=SC，求证：平面ABC平面ASC。

证明：设SAa，ASC90，SA=SC，∴ AC2a，∵ ASBBSC60，∴ AB=BC=a，由勾股定理逆定理可知ABC是等腰直角三角形，ABC90。

取AC中点D，连接DS、DB，∵ SA=SC，AB=BC, ∴ SDAC，BDAC，∴ SDB为二面角S-AC-B的平面角。

22a，又 SBa，SD=a，22

222222a)(a)a2，SB2a2，而 SDBD(22

222∴ SDBDSB，∴ SDB为直角三角形，∴ SDB90，∴平面ABC平面ASC。在RtABC中，AD=BD=

点评：本题使用方法②。

LJ

01

28-46

平面与平面的位置关系平行判定定理平行性质定理 面面距离 垂直判定定理 垂直性质定理 二面角 证面面垂直的方法 1 2 3 4

√√√√√●

1．如图，把平面四边形ABCD沿BC边折成一个空间四边形，已知BCCD，ADBD，面ABD面BCD，求证：面BAC面DAC。

证明：∵ 面ABD面BCD，ADBD，∴ AD面BCD，∵ BC面BCD，∴ ADBC，又已知 BCCD，∴ BC面DAC，又 BC面BAC，∴面BAC面DAC。点评：本题使用方法①。

2．如图，ABCD是正方形，P是正方形所在平面外的一点，且 PA=PB=PC=PD，求证：平面PAC平面PBD。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）

证明：连接PO，∵ PA=PC，AOCO，∴ POAC，同理 POBD，∴ PO平面ABCD，∵ AO平面ABCD，BO平面ABCD，∴ POAO,POBO,∴ AOB是二面角 PAC-PO-PBD的平面角，而 AOB90，∴平面PAC平面PBD。点评：本题使用方法②。

3．如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD．

（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角PBDC的大小；（3）求证：平面PAD⊥平面PAB。解：（1）PA与BD相互垂直，证明如下：

如图，取BC的中点O，连结AO，交BD于点E；连结PO，∵PBPC，∴ POBC，又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCDBC，∴ PO⊥平面ABCD，∴BD⊥PO，在梯形ABCD中（见平面图），可得RtABORtBCD，

∴BEOOABDBADBCDBA90，即 BD⊥AO，∴ BD⊥平面PAO，∴ BD⊥PA ；

（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AOBD，可得PEBD，∴ PEO为二面角PBDC的平面角，设ABBCPBPC2CD2a，则在RtPEO中，PO

tanPEO，EO

∴ 二面角PBD

C为；

（3）取PB的中点N，连结CN，由题意知：平面PBC⊥平面PAB，则同“（1）”可得CN平面PAB，ABCD，2

可得四边形MNCD为平行四边形，∴CN//DM，∴DM⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB。

取PA的中点M，连结DM,MN，则由MN//AB//CD，MN点评：本题使用方法①。

第二篇：第31课时线面垂直、面面垂直

课题：线面垂直、面面垂直

教学目标：掌握线面垂直、面面垂直的证明方法，并能熟练解决相应问题.（一）主要知识及主要方法：

1.线面垂直的证明：1判定定理；2如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另

一条也垂直于这个平面；3一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；4两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平

面.5如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直.2.面面垂直的证明：1计算二面角的平面角为90 ；

2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;

（二）典例分析：

问题1．如图，正三棱柱ABCA1B1C

1的所有棱长都为2，D为CC1中点． 求证：AB1⊥平面A1BD

P AB

A1

CQ

C1D

问题2．如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且ACBCa，求证：平面VAB⊥VCD

V

C

AB

问题3．如图，在六面体ABCDABCD中，四边形

ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，1求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面． 2求证：平面A1ACC1平面B1BDD1

（四）课后作业：

DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12．

D11 1A1D

1.如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD 的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF 与BE所成角的余弦值为.A

2.如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120。求证：平面ADE平面ABE

EB

第三篇：第5讲直线、平面垂直的判定及性质

第5讲直线、平面垂直的判定及性质

1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．

2.能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题.1个重要关系

垂直问题的转化关系：

2种必会方法

1.证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α＝b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．

2.判定面面垂直的方法有：①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 3点必须注意

1.解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程，如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件．

2.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，应用时常添加的辅助线是在一平面内作两平面交线的垂线．

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.课前自主导学

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(1)命题：如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直是真命题吗？其逆命题呢？

(2)如果两条平行线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？ 2．平面与平面垂直

吗？

(2)如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗？(3)如果两个平面都和第三个平面垂直，那么这两个平面平行吗？

考点一：有关垂直关系的判断

例1 若有平面α与β，且α∩β＝l，α⊥β，P∈α，P∉l，则下列说法中错误的是________．(填序号)

①过点P且垂直于α的直线平行于β； ②过点P且垂直于l的直线平行于β； ③过点P且垂直于β的直线在α内； ④过点P且垂直于l的直线在α内．

点拨：本题利用了几何图形来判断真假．解决本类问题应注意以下几点：

(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断．

(2)善于寻找反例，只要存在反例，那么结论就被驳倒了．

(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．

[变式探究] [2012·浙江高考]设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥β C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β 考点二：直线与平面垂直的判定与性质 例2 [2012·福建高考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．

(1)求三棱锥A－MCC1的体积；

(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.奇思妙想：在棱A1B1上是否存在一点N，使D1N∥平面A1BM？证明你的结论？

点拨：垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来． [变式探究] [2012·北京高考]如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；

(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．

考点三：平面与平面垂直的判定与性质 例3 [2012·江苏高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.点拨：证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决．

[变式探究] [2012·江西高考]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．

考点四：线面角、二面角的求法 例4 [2012·浙江高考]如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

点拨：1．求角的大致步骤：一找角，二证明，三求解．

2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足．

3．二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法．

[变式探究] 如图所示，三棱锥P－ABC中，D是AC的中点，PA＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝6.(1)求证：PD⊥平面ABC；

(2)求二面角P－AB－C的正切值大小．

经典演练提能1.[2012·安徽高考]设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2．[2012·宿迁模拟]已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n； ③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③

3．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________．(填序号)①平面ABC⊥平面ABD ②平面ABD⊥平面BCD ③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE ④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

4．[2012·辽宁高考]已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若PA＝26，则△OAB的面积为________．

第四篇：第61课时线面垂直、面面垂直

课题：线面垂直、面面垂直

教学目标：掌握线面垂直、面面垂直的证明方法，并能熟练解决相应问题.（一）主要知识及主要方法：

1.线面垂直的证明：1判定定理；2如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；3一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；4两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.5如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直.6向量法：

AP B

Q

CPQABPQAB0 PQPQACPQAC0

2.面面垂直的证明：1计算二面角的平面角为90 ；2如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;

（二）典例分析：

问题1．（07福建）如图，正三棱柱ABCA1B1C

1的所有棱长都为2，D为CC1中点． A1

1求证：AB1⊥平面A1BD；2略； 3略.（要求可用多种方法,至少要用向量法证明）D C1 1

439

问题2．（07湖北）如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且ACBCa，π

VDC0．

2

1求证：平面VAB⊥VCD；2略.CB

A

问题3．（07安徽）如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形

ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12．

D11求证：与共面，与共面． BDACACBD1111

A12求证：平面AACC平面BBDD；3略．1

440

（四）课后作业：

1.如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD 的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF 与BE所成角的余弦值为.2.（07届高三湖北八校联考）

如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120。1求证：平面ADE平面ABE ；2略.A

E

B

441

（五）走向高考：

3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，ABC90°，PA平面ABCD．PA3，AD

2，ABBC6 1求证：BD平面PAC；2略．

ABD

C

442

第五篇：2.2平面直角坐标系（第2课时）教学设计

第三章

位置与坐标

2．平面直角坐标系（第2课时）

西安高新第一中学

姬文亮

雒

萍

一、学生起点分析

《平面直角坐标系》是八年级上册第三章《位置与坐标》第二节内容。本章是“图形与坐标”的主体内容，不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容，而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵，同时又是一次函数的重要基础。《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。因此，教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究。

二、教学任务分析

知识目标：

1．知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.2．知道不同象限点的坐标的特征。

3．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，发展数形结合意识。

能力目标：

1．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合思想，培养学生的合作交流能力；

2．通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识。

情感目标：

通过生动有趣的教学活动，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度，提高学生学习数学的兴趣。

教学重点、难点：

体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，发展数形结合意识。

三、教学过程设计

第一环节　感受生活中的情境，导入新课.在上节课中我们学习了平面直角坐标系的定义，以及横轴、纵轴、点的坐标的定义，练习了在平面直角坐标系中由点找坐标，还探讨了横坐标或纵坐标相同的点的连线与坐标轴的关系，坐标轴上点的坐标有什么特点。

1、探究坐标轴上点或与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.练习.在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内这些点依次用线段连接起来.(1)D(-3,5),E(-7,3),F(-6,3),B(0,3),C(1,3),D(-3,5)；

(2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3)；

观察所描出的图形，它像什么？

解答下列问题

（1）点G与点A的坐标有什么共同特点?在坐标系中它们的位置又有什么共同特点?

（2）线段EC与x轴有什么特殊的位置关系？点E、点C的坐标有什么特点？线段EC上其它点的坐标呢？

（3）点F、点G的坐标有什么共同特点，线段FG与Y轴有怎样的位置关系？

解答：（1）线段

AG

上的点都在x

轴上，它们的纵坐标等于

0；

线段

AB

上的点都在y

轴上，它们的横坐标等于

0．

（2）线段

EC

平行于

x

轴，点

E

和点

C的纵坐标相同．

线段

EC

上其他点的纵坐标相同，都是

3．（3）点

F

和点G的横坐标相同，线段

FG

与

y

轴平行．

由点找坐标是已知点在直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对应的x轴、y轴上的数字写出它的坐标，反过来，已知坐标，让你在直角坐标系中找点，你能找到吗？这就是本节课的内容。

第二环节　分类讨论，探索新知.1．请同学们拿出准备好的方格纸，自己建立平面直角坐标系，然后按照我给出的坐标，在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来。

（－9，3），（－9，0），（－3，0），（－3，3）

（学生操作完毕后）

2．（出示投影）还是在这个平面直角坐标系中，描出下列各组内的点用线段依次连接起来。

（1）（－6，5），（－10，3），（－9，3），（－3，3），（－2，3），（－6，5）；

（2）（3.5，9），（2，7），（3，7），（4，7），（5，7），（3.5，9）；

（3）（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4，7）；

（4）（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）。

观察所得的图形，你觉得它像什么？

分成4人小组，大家合作在刚才建立的平面直角坐标系中（选出小组中最好的）添画。各人分工，每人画一小题。看哪个小组做得最快？

（出示学生的作品）画出是这样的吗？这幅图画很美，你们觉得它像什么？

这个图形像一栋“房子”旁边还有一棵“大树”。

3．做一做

（出示投影）

在书上已建立的直角坐标系画，要求每位同学独立完成。

（学生描点、画图）

（拿出一位做对的学生的作品投影）

你们观察所得的图形和它是否一样？若一样，你能判断出它像什么呢？

（像猫脸）

第三环节　学有所用.（补充）1．在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段顺次连接起来。

（1）（0，3），（－4，0），（0，－3），（4，0），（0，3）；

（2）（0，0），（4，－3），（8，0），（4，3），（0，0）；

（3）（2，0）

观察所得的图形，你觉得它像什么？（像移动的菱形）

2．在直角坐标系中，设法找到若干个点使得连接各点所得的封闭图形是如下图所示的“十”字。

先独立完成，然后小组讨论是否正确。

3.如图所示的笑脸中，（1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点。

（2）在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点。

2.不具体标出这些点，分别判断（1,2），（-1，-3），（2.，-1），（-3,4）这些点所在的象限，说说你是怎么判断的。

第四环节　感悟与收获

归纳

概括

1.位于x轴上的点的坐标的特征是:

;

位于y轴上的点的坐标的特征是:。

2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征是：；

与y轴平行的直线上点的坐标的特征是：。

本节课在复习上节课的基础上，通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状，进一步掌握平面直角坐标系的基本内容。

在例题和练习中，我们画出了不少美丽的图形，自己设计一些图形，并把图形放在直角坐标系下，写出点的坐标。

第五环节　分层作业（略）。