张齐华 因数和倍数 教学实录

第一篇：张齐华 因数和倍数 教学实录

张齐华《因数和倍数》课堂教学实录

教学过程：

一、认识倍数和因数

师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?

生：1×12

师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？

生：12个，摆了一排。

师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？

生：三四十二

师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？

生齐：2×6

师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。

师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。

师板书：因数和倍数

师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？

师：谁先来？

生说略

师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？

生：12是12的因数，12是12的倍数。

师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？

生：自然数

师：而且谁得除外。

生：0

师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。3、5、18、20、36

生说略。

二、探索找因数倍数的方法

师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？

生1：

3、18

师：还有谁？

生2：36

师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？

生1：1

生2：4

生3：6

师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。

学生填写时师巡视搜集作业。

师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。

A：2、4、13、12、18、36

B：1、2、4、3、6、9、12、18、36

C：1、36、2、18、3、12、4、9、6

师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。

生1：都对的

师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。

生2：写全了

生大声说：没有！

师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？

生：没有写全，少了3、6、9。

师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？

生：36÷4，只写了4，没写9

师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？

生齐：两个两个找。

生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。

师：张老师提炼出两个字：“顺序”，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。

师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。

生：他应该把4、3调换一下。

师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？

师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？

生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。

师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。

生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。

师：你看你那个舒服吗？

生：舒服

师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？

生：乘法口诀

师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。

师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到

36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？

生1：找到开始重复就不找了

生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。

师：体会体会

1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。

生：

生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。

师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20

生齐：1、2、4、5、10、20

再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报

师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。

生：

21、300

师：你能把3的倍数全部写下来吗？

生：不能。太多太多了。

师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。

学生练习纸上完成，汇报。

师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？

生1：3×1、3×2

师：能理解吗？

生1：3＋3=6、6＋3＝9

师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。

生：略

师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数

学生练习纸上完成：50以内7的倍数。

师：谁来说说这一次你找了哪几个？

生：7、14、21、28

师：为什么不加省略号？

生：因为给了一个限制。

师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？

生：略

三、感受倍数和因数的神奇奥秘

师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？

生1：27

生2：36

师：把你知道的两位数跟同桌说一说。

学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81

仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？

生：都是9的倍数

师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）

师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。

师：张老师问一个问题，好不好？1—100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？

生1：1

生2：99

师：还有谁要发表的？

生3：9

师问生2：为什么认为99的因数最多？

生：9是最大的。

师：张老师公布一下答案： 60

师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60 秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。

师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的

1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律

师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为“完美数”。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？

生：1、2、3、6

师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？

学生试这四个数。

师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。

师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？

生：好奇心

师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子

（听后感）有幸去南京聆听了张齐华老师执教的《因数和倍数》，感触颇深。张老师那崭新的教学理念，独特的教学设计，丰富的文化底蕴，风趣幽默的谈吐，深深打动了我。他那开放而又充满活力的课堂教学，令我感触很深。感触一：充满人性化的评价语

听张老师的课是一种享受，尤其是聆听他那自然、精炼的评价语。如评价作业纸时，张老师说“关于A这种方法你有什么话要说？”（学生纷纷举手想要指出错误）可张老师是这样引导的：“能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？”还有，尽管学生是找错了，他这样说：“其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？”……这些人性化的评价语在课堂中还有很多，这些朴实的语言，孩子们在潜移默化中感受到的是成功，是对数学学习的无限乐趣。

感触二：丰富多彩的文化信息。

关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。“计数器’九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。

感触三：善于引导，让学生学会思考

张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了“教育的引导者。”如：“看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？”、“他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？”……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。

第二篇：张齐华《因数和倍数》

张齐华《因数和倍数》

张齐华老师的《因数和倍数》，教学理念崭新，教学设计独特，文化底蕴丰富，谈吐风趣幽默。课堂教学开放而又充满活力。

感触一：充满人性化的评价语

听张老师的课是一种享受，尤其是聆听他那自然、精炼的评价语。如评价作业纸时，张老师说“关于A这种方法你有什么话要说？”（学生纷纷举手想要指出错误）可张老师是这样引导的：“能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？”还有，尽管学生是找错了，他这样说：“其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？”……这些人性化的评价语在课堂中还有很多，这些朴实的语言，孩子们在潜移默化中感受到的是成功，是对数学学习的无限乐趣。

感触二：丰富多彩的文化信息。

关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。“计数器’九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。感触三：善于引导，让学生学会思考

张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了“教育的引导者。”如：“看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？”、“他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？”……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。

这一堂课上了55分钟，这在日常的教学中是不允许的，但在这节课中，没有这增加的十几分钟，简直是一种遗憾，那么如何解决现实与理想的矛盾呢？

教学过程：

一、认识倍数和因数

师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来? 生：1×12 师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？

生：12个，摆了一排。

师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？

生：三四十二

师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？

生齐：2×6 师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。

师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。

师板书：因数和倍数

师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？

师：谁先来？

生说略

师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？

生：12是12的因数，12是12的倍数。

师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？

生：自然数

师：而且谁得除外。

生：0 师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。3、5、18、20、36 生说略。

二、探索找因数倍数的方法

师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？

生1：

3、18 师：还有谁？

生2：36 师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？

生1：1 生2：4 生3：6 师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。

学生填写时师巡视搜集作业。

师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。

A：2、4、13、12、18、36 B：1、2、4、3、6、9、12、18、36 C：1、36、2、18、3、12、4、9、6 师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。

生1：都对的

师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。

生2：写全了 生大声说：没有！

师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？

生：没有写全，少了3、6、9。

师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？

生：36÷4，只写了4，没写9 师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？

生齐：两个两个找。

生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。

师：张老师提炼出两个字：“顺序”，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。

师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。

生：他应该把4、3调换一下。

师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？

师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？

生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。

师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。

生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。

师：你看你那个舒服吗？

生：舒服

师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？

生：乘法口诀

师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。

师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到

36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？

生1：找到开始重复就不找了

生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。

师：体会体会

1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。

生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。

师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20 生齐：1、2、4、5、10、20 再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报

师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。

生：

21、300 师：你能把3的倍数全部写下来吗？

生：不能。太多太多了。

师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。

学生练习纸上完成，汇报。师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？

生1：3×1、3×2 师：能理解吗？

生1：3＋3=6、6＋3＝9 师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。

生：略

师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数

学生练习纸上完成：50以内7的倍数。

师：谁来说说这一次你找了哪几个？

生：7、14、21、28 师：为什么不加省略号？

生：因为给了一个限制。

师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？

三、感受倍数和因数的神奇奥秘

师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？

生1：27 生2：36 师：把你知道的两位数跟同桌说一说。

学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81 仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？

生：都是9的倍数

师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）

师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。

师：张老师问一个问题，好不好？1—100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？

生1：1 生2：99 师：还有谁要发表的？

生3：9 师问生2：为什么认为99的因数最多？

生：9是最大的。

师：张老师公布一下答案： 60 师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60 秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。

师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的 1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律

师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为“完美数”。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？

生：1、2、3、6 师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。有幸去南京聆听了张齐华老师执教的《因数和倍数》，感触颇深。张老师那崭新的教学理念，独特的教学设计，丰富的文化底蕴，风趣幽默的谈吐，深深打动了我。他那开放而又充满活力的课堂教学，令我感触很深。感触一：充满人性化的评价语

听张老师的课是一种享受，尤其是聆听他那自然、精炼的评价语。如评价作业纸时，张老师说“关于A这种方法你有什么话要说？”（学生纷纷举手想要指出错误）可张老师是这样引导的：“能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？”还有，尽管学生是找错了，他这样说：“其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？”……这些人性化的评价语在课堂中还有很多，这些朴实的语言，孩子们在潜移默化中感受到的是成功，是对数学学习的无限乐趣。

感触二：丰富多彩的文化信息。

关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。“计数器’九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。

感触三：善于引导，让学生学会思考

张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了“教育的引导者。”如：“看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？”、“他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？”……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。

只是这一堂课上了55分钟，这在日常的教学中是不允许的，但在这节课中，没有这增加的十几分钟，简直是一种遗憾，那么如何解决现实与理想的矛盾呢？

课堂实录如下：

教学过程：

一、认识倍数和因数

师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?

生：1×12

师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？

生：12个，摆了一排。

师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？

生：三四十二

师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？

生齐：2×6

师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。

师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。

师板书：因数和倍数

师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？

师：谁先来？

生说略

师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？

生：12是12的因数，12是12的倍数。

师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？

生：自然数

师：而且谁得除外。

生：0

师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。3、5、18、20、36

生说略。

二、探索找因数倍数的方法

师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？

生1：

3、18

师：还有谁？

生2：36

师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？

生1：1

生2：4

生3：6

师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。

学生填写时师巡视搜集作业。

师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。

A：2、4、13、12、18、36

B：1、2、4、3、6、9、12、18、36

C：1、36、2、18、3、12、4、9、6

师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。

生1：都对的

师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。

生2：写全了

生大声说：没有！

师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？

生：没有写全，少了3、6、9。

师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？

生：36÷4，只写了4，没写9

师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？

生齐：两个两个找。

生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。

师：张老师提炼出两个字：“顺序”，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。

师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。

生：他应该把4、3调换一下。

师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？

师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？

生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。

师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。

生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。

师：你看你那个舒服吗？

生：舒服

师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？

生：乘法口诀

师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。

师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到

36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？

生1：找到开始重复就不找了

生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。

师：体会体会

1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。

生：

生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。

师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20

生齐：1、2、4、5、10、20

再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报

师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。

生：

21、300

师：你能把3的倍数全部写下来吗？

生：不能。太多太多了。

师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。

学生练习纸上完成，汇报。

师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？

生1：3×1、3×2

师：能理解吗？

生1：3＋3=6、6＋3＝9

师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。

生：略

师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数

学生练习纸上完成：50以内7的倍数。

师：谁来说说这一次你找了哪几个？

生：7、14、21、28

师：为什么不加省略号？

生：因为给了一个限制。

师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？

生：略

三、感受倍数和因数的神奇奥秘

师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？

生1：27

生2：36

师：把你知道的两位数跟同桌说一说。

学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示： 18、27、36、45、54、63、72、81

仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？

生：都是9的倍数

师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）

师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。

师：张老师问一个问题，好不好？1—100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？

生1：1

生2：99

师：还有谁要发表的？

生3：9

师问生2：为什么认为99的因数最多？

生：9是最大的。

师：张老师公布一下答案： 60

师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60 秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。

师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的 1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律

师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为“完美数”。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？

生：1、2、3、6

师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？

学生试这四个数。

师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。

师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？

生：好奇心

师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？

学生试这四个数。

师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。

师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？

生：好奇心

师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

第三篇：张齐华《倍数和因数》课堂实录

张齐华《倍数和因数》课堂实录

上传: 邱艳萍

更新时间：2013-8-25 16:44:57 《倍数和因数》课堂实录

张齐华

教学过程：

一、认识倍数和因数

师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?

生：1×12

师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？

生：12个，摆了一排。

师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？

生：三四十二

师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？

生齐：2×6

师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。

师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。

师板书：因数和倍数

师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？

师：谁先来？

生说略

师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？

生：12是12的因数，12是12的倍数。

师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？

生：自然数

师：而且谁得除外。

生：0

师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。3、5、18、20、36

生说略。

二、探索找因数倍数的方法

师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？

生1：

3、18

师：还有谁？

生2：36

师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？

生1：1

生2：4

生3：6

师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。

学生填写时师巡视搜集作业。

师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。

A：2、4、13、12、18、36

B：1、2、4、3、6、9、12、18、36

C：1、36、2、18、3、12、4、9、6

师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。

生1：都对的

师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。

生2：写全了

生大声说：没有！

师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？

生：没有写全，少了3、6、9。

师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？

生：36÷4，只写了4，没写9

师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？

生齐：两个两个找。

生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。

师：张老师提炼出两个字：“顺序”，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。

师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。

生：他应该把4、3调换一下。

师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？

师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？

生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。

师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。

生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。

师：你看你那个舒服吗？

生：舒服

师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？

生：乘法口诀

师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。

师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到

36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？

生1：找到开始重复就不找了

生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。

师：体会体会

1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。

生：

生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。

师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20

生齐：1、2、4、5、10、20

再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报

师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。

生：

21、300

师：你能把3的倍数全部写下来吗？

生：不能。太多太多了。

师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。

学生练习纸上完成，汇报。

师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？

生1：3×1、3×2

师：能理解吗？

生1：3＋3=6、6＋3＝9

师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。

生：略

师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数

学生练习纸上完成：50以内7的倍数。

师：谁来说说这一次你找了哪几个？

生：7、14、21、28

师：为什么不加省略号？

生：因为给了一个限制。

师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？

生：略

三、感受倍数和因数的神奇奥秘

师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？

生1：27

生2：36

师：把你知道的两位数跟同桌说一说。

学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81

仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？

生：都是9的倍数

师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）

师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。

师：张老师问一个问题，好不好？1—100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？

生1：1

生2：99

师：还有谁要发表的？

生3：9

师问生2：为什么认为99的因数最多？

生：9是最大的。

师：张老师公布一下答案： 60

师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。

师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的 1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律

师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为“完美数”。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？

生：1、2、3、6

师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？

学生试这四个数。

师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。

师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？

生：好奇心

师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

第四篇：倍数和因数教学实录

《倍数和因数》教学实录及反思

有幸去聆听了张齐华老师执教的《因数和倍数》，感触颇深。张老师那崭新的教学理念，独特的教学设计，丰富的文化底蕴，风趣幽默的谈吐，深深打动了我。他那开放而又充满活力的课堂教学，令我感触很深。

感触一：充满人性化的评价语

听张老师的课是一种享受，尤其是聆听他那自然、精炼的评价语。如评价作业纸时，张老师说“关于A这种方法你有什么话要说？”（学生纷纷举手想要指出错误）可张老师是这样引导的：“能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？”还有，尽管学生是找错了，他这样说：“其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？”……这些人性化的评价语在课堂中还有很多，这些朴实的语言，孩子们在潜移默化中感受到的是成功，是对数学学习的无限乐趣。

感触二：丰富多彩的文化信息。

关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。“计数器’九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。

感触三：善于引导，让学生学会思考

张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了“教育的引导者。”如：“看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？”、“他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？”……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。

只是这一堂课上了55分钟，这在日常的教学中是不允许的，但在这节课中，没有这增加的十几分钟，简直是一种遗憾，那么如何解决现实与理想的矛盾呢？

教学过程：

一、认识倍数和因数

师：一起看大屏幕，数一数，几个正方形？（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？行不行？能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?

生：1×12

师：猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？

生：12个，摆了一排。

师：（屏幕显示摆法）是这样吗？第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？（一样）。我们可以把他忽略不计。还可以怎么摆？同样用一道乘法算式表达出来？

生：三四十二

师：这一次每排摆了几个，摆了几排？（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。还有吗？

生齐：2×6 师：张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。也有同学可能想每排摆2个，摆6排。（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。

师：还有不同的想法吗？每排能摆5个吗？12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的

因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。

师板书：因数和倍数

师：这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数？行不行？

师：谁先来？

生说略

师：刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？ 生：12是12的因数，12是12的倍数。

师：虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？

生：自然数

师：而且谁得除外。

生：0 师：好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：试一试：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁因数和倍数？行不行？先自己试一试。3、5、18、20、36

生说略。

二、探索找因数倍数的方法

师：看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？

生1：

3、18

师：还有谁？

生2：36

师：3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？

生1：1

生2：4

生3：6 师：其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？能不能？张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。

学生填写时师巡视搜集作业。

师：张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。我把他命名为A、B、C师板书。

A：2、4、13、12、18、36

B：1、2、4、3、6、9、12、18、36

C：1、36、2、18、3、12、4、9、6 师：关于A这种方法你有什么话要说？（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？你先来。

生1：都对的

师：有没有道理？看来要找一个人的优点挺困难的。

生2：写全了

生大声说：没有！

师：正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？说说有什么问题？

生：没有写全，少了3、6、9。

师：大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？是因为什么？

生：36÷4，只写了4，没写9 师：他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？

生齐：两个两个找。

生2：先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。

师：张老师提炼出两个字：“顺序”，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。

师：第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。

生：他应该把4、3调换一下。

师：做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？

师：你想提出抗议吗？你们觉得有顺序吗？（有）你自己来说？

生：他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。

师：有没有听明白，也是同样一对一对出现的。

生：大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。

师：你看你那个舒服吗？

生：舒服

师：正是因为你的质疑，他把方法说了出来。他用了什么？

生：乘法口诀

师：非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。

师：虽然这个同学找到了尝试完了1，找到

36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？

生1：找到开始重复就不找了

生2：我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。

师：体会体会

1、学生：36、2、学生：18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。

生：

生：直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。

师：通过刚才的交流，有办法了吗？有没有方法不遗漏。试一个。20

生齐：1、2、4、5、10、20 再试一个：15，写在练习纸上。学生汇报

师：寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。会找一书的倍数吗？找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。

生：

21、300

师：你能把3的倍数全部写下来吗？

生：不能。太多太多了。

师：那怎么办？写不完可以用省略号表示。试试看。

学生练习纸上完成，汇报。

师：同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。我想听听你是怎样找的？

生1：3×1、3×2

师：能理解吗？

生1：3＋3=6、6＋3＝9

师：有理吗？不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。

生：略

师：寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？试一试。7的倍数

学生练习纸上完成：50以内7的倍数。

师：谁来说说这一次你找了哪几个？

生：7、14、21、28

师：为什么不加省略号？

生：因为给了一个限制。

师：任何自然数的倍数是无限的。会寻找一个数的因数吗？

生：略

三、感受倍数和因数的神奇奥秘

师：透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。屏幕显示：老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。这样就得到几？（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？

生1：27

生2：36

师：把你知道的两位数跟同桌说一说。

学生同桌说，师：如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81

仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？

生：都是9的倍数

师：9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）

师：发现了什么？9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。

师：张老师问一个问题，好不好？

1—100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？

生1：1

生2：99

师：还有谁要发表的？

生3：9

师问生2：为什么认为99的因数最多？

生：9是最大的。

师：张老师公布一下答案： 60

师：可以一起找一找。可以负责任的告诉你，比99多多了。是不是数越大，因数就越多。你们知道一小时有多少分？（60分），一分=60 秒，这里的60和刚才的60有关系吗？这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？特意给大家带来一本书。书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。

师：相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。数学中发现的规律

师：更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为“完美数”。想知道为什么吗？用最快的速度说一说6的因数？

生：1、2、3、6 师：把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？

学生试这四个数。

师：写出所有的因数，然后把自己给去掉。

师：正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？师板书。为什么这么惊讶？同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。你觉得什么力量使数学家们去不断努力？

生：好奇心

师：数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

《倍数和因数》---李明老师教学实录

一、教材分析：

整除概念是贯穿这部分教材的一条主线。签于学生在前面已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。因此，教材中删去了“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式a×b=c直接引出因数和倍数的概念。

二、设计思想：

这节课教学倍数和因数的认识，学习找一个自然数的倍数和因数。教材通过用12个同样大小的正方形拼成不同长方形的操作，让学生写出不同的乘法算式，直观感知倍数和因数的关系。在此基础上再依据算式具体说明倍数和因数的含义，利用已有的乘除法知识，自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法。

三、教学目标：

1、通过操作活动得出相应的乘法算式，帮助学生理解倍数和因数的意义；探索求—个数的倍数和因数的方法，发现一个数倍数和因数的某些特征。

2、在探索一个数的倍数和因数的过程中培养学生观察、分析、概括能力，培养有序思考能力。能在1-100的自然数中找出10以内某个数的所有倍数，能找出100以内某个数的所有因数。

3、通过倍数和因数之间的互相依存关系使学生感受数学知识的内在联系，四、教学重点：理解倍数和因数的意义和掌握求一个数的倍数和因数的方法。

五、教学难点：探索求一个数的因数的方法。

六、学情分析：

因数和倍数是最基本的两个概念，理解了因数和倍数的含义，对于一个数的因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的等结论自然也就掌握了，对于后面的奇数、偶数、质数、合数等概念的理解也是水到渠成。

要引导学生用联系的观点去掌握这些知识，而不是机械地记忆一堆支离破碎、毫无关联的概念和结论。数论本身就是研究整数性质的一门学科，有时不太容易与具体情境结合起来，而学生到了五年级，抽象能力已经有了进一步发展，有意识地培养他们的抽象概括能力也是很有必要的，如让学生通过几个特殊的例子，自行总结出任何一个数的倍数个数都是无限的，逐步形成从特殊到一般的归纳推理能力，等等。

七、教学过程：（实录）

一、创设情境，引入新课。

师：在课前的谈话中，我们知道人和人之间存在着这样、那样的关系，其实，数和数之间也存在着多种关系，这一节课，我们一起来探究两数之间的一种关系。

二、认识倍数和因数

1.操作活动：

师：一起看大屏幕，老师这儿有12个大小相同的正方形,如果请你把这12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？能不能用一个乘法算式来表示，试试看。

2.学生汇报算式，然后思考是怎样摆的。生：4×3=12

师：想一想，他是怎么摆的 生：摆3排，每排4个

师：（演示课件）是这样摆的吗？（是）这个算式还可以怎么摆？ 生：还可以摆4排，每排3个

师：对，其实这种摆法是把这个图形竖起来，和这一种摆法是一样的。师：还有别的算式吗 生：6×2=12

师：这个算式又是怎么摆的呢？ 生：每排6个，摆了2排。

师：当然也可以是每排2个，摆上6排。还有不同的算式吗？ 生：12×1=12

师：是这样摆的吗？（演示课件）生：是的

师：还有不同的摆法了吗？(没有了)

师：12个同样大小的正方形能摆出3种不同的长方形，并能写出3个乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。3.认识倍数和因数。

师：以第一道乘法算式为例，4×3=12，数学上我们就说：12是4的倍数，12也是（3的倍数）

师：大家很会联想，反过来说，4是12的因数，同样，3也是（12的因数）。（课件出示这四句话）

师：这就是我们今天研究的内容（板书课题）师：仔细观察这个算式，齐读一下。

师：这儿还有两道乘法算式，选你喜欢的一个，说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数吗？

生：我选6×2=12，12是2的倍数，12也是6的倍数，2是12的因数，6也是12的因数。

生：我选12×1=12，12是12的倍数，12也是1的倍数，12是12的因数，1也是12的因数。

师：刚才这位同学在说的时候，你们是不是感觉到有两句比较特别啊，是哪两句？

生：12是12的倍数，12是12的因数

师：真是这样，12既是12的倍数，同是12也是它本身的因数。师：为了研究方便，我们在说倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。

师：现在你能写一个算式,找一找其中的倍数和因数吗？（同桌互相交流）

师：屏幕上也有几个算式，你能不能说一说其中谁是谁的倍数，谁是谁的因数呢？

（重点是最后一个算式18÷3=6）

生：18是3的倍数，也是6的倍数，3是18的因数，6也是18的因数。师：看来，我们不仅可以用乘法算式，同样也可以用除法算式来找一个数的因数和倍数。

三、探索找一个数的倍数的的方法 1.找一个数倍数的方法

师：在刚才的学习中我发现12是3的倍数，18也是3的倍数，那3的倍数只有12和18吗？（不是的）

师：你能把3的倍数写出来吗，给你们1分钟的时间，开始。师：时间到，你写了多少个3的倍数？ 生：15个 生：24个

师：很厉害，写的真多，那有写完的吗？（没有）师：为什么？

生：因为3的倍数有无数个，写不完 师：可以怎么办呢？（用省略号）

师：好办法，我们一起来看几位同学的作品（展台呈现）生：我是用乘法口诀，一三得三，二三得六，这样写下去的。生：我也是用乘法，用3去乘

1、乘2等等 师：哪些同学也是用乘法的

师：你们都是用3去乘一个数，所得的积就是3的（倍数）师：还有不同的方法吗？

生：我是用加法的，用3＋3=6、6＋3＝9依次加下去

师：你是用加法，同意吗？不要小看了加3，当数大的时候也比较方便。师：我们一起来写3的倍数，在写一个数的倍数时，一般可以从小到大写前面5个，后面用省略号表示。

师：现在你会找一个数的倍数了吗？（会了）

师：写出2的倍数行不行？（行）5的倍数呢？（行）。师：打开课本完成书上的“试一试”，看谁写得又快又好。学生汇报,出示课件

2．发现一个数的倍数的特征

师：刚才我们分别找了3、2、5的倍数，下面请同学们观察3、2、5的倍数，你能发现这些数的倍数有什么共同的特征吗？和你的同桌交流一下

生：最小的和它一样

师：一个数最小的倍数就是它“本身”。（板书：最小 本身）师：最大呢？（生：找不到最大的）

师：也就是说一个数没有最大的倍数。（板书：最大没有）生：一个数的倍数有无数个

师：无数个我们页可以说是“无限”（板书：个数 无限）

四、探索找一个数的因数的的方法 1.找一个数的因数的方法

师：刚才我们研究了找一个数的倍数，你们还想再研究什么？ 生：找一个数的因数

师：其实刚才我们已经找了12的因数，说说看12的因数有哪些？ 生：1.2.3.4.6.12

师：我们是根据什么找出这些因数的？ 生：乘法算式

师：具体举个例子说说

生：比如在算式3×4=12中，我们找到了3和4是12的因数

师：看来我们是根据乘法算式中，哪两个数相乘得12，这两个数就是12的（因数）

师：找12的因数难不住大家，来个大点的数，找36的因数，行吗？（行）师：谁来说几个36的因数 生：4和9 生：3、2、6

师：看来要找出36的几个因数并不难，难就难在要找出36所有的因数，一个不漏的全写出来，行吗？（行）

师：听清要求，你可以独立的完成这个任务，当然如果有困难可以和你的同桌进行讨论，或者也可以向课本求教，开始。学生填写时师巡视搜集作业。

师：李老师找到了几份不同的作业，我们一起来看看，先看这一份，你有什么话要说？（生一：1、2、3、4、6）

生：没有写全，还少了好几个，有1就应该想到36 师：那他写的有没有什么优点呢？ 生：他是按照从小到大的顺序写的

师：是这样的吗？大家有没有发现啊，你很善于发现别人的优点。师：刚才的同学提到了有1就应该想到36，这让我想到另一位同学的作业，似乎和他有相同的想法，而且他还写了一些乘法算式来说明他的想法，我们一起来看一看（生二：1、36、2、18、3、12、4、9、6）师：他是怎么想的，似乎写的有点乱，没有顺序。（不乱）师：那谁来帮他解释一下

生：他是想着1×36=36就找到了1和36是36的因数，2×18=36就找到了2和18是36的因数，3×12=36就找到了3和12是36的因数，4×9=36就找到了4和9是36的因数，6×6=36就找到了6是36的因数 师：听明白他的意思吗？（明白）他们都是用乘法去找的，哪些同学也是用乘法去找36的因数的，举手

师：很多同学都是的，那你们在找因数的时候是一个一个找的吗？ 生：是两个两个找的

师：恩，也就是一对一对找的，是吗？（是的）

师：你们用乘法去找，就是看哪两个数的乘积是36，这两个数就是36的—— 生：因数

师：都是用乘法找的吗，有没有不同的想法了？ 生：还可以用除法找 师：具体说说看

生：36÷1=36就能找到1和36，就是用36去除一个数，看能得到几 师：老师刚才也发现了一个同学用的是除法，我们一起来看他的算式（生三：36÷2=18 36÷3=12 36÷4= 9 36÷6= 6）师：看来找一个数的因数不但可以用乘法，还可以用除法

师：老师发现不管是用乘法还是用除法，你们都是从几开始的啊 生：从1开始算 师：为什么？

生：这样找比较有序

师：那为什么算到6，你们就不往后找了呢？ 生：因为是一对一对找，再往后找就出现重复了

师：现在我们一起来写出36的因数，根据算式，找到了1就找到了36，找到了2就找到了18，依此类推，为了美观，我们要按从小到大的顺序来写，最后写上句号。

师：现在你会找一个数的因数了吗？ 生：会了

师：能找出15的因数吗？（能）16的因数呢？（能）师：来，动手试一试，完成课本上的填空 生：15的因数有1、3、5、15 生：16的因数有1、2、4、8、16 2.发现一个数因数的特征

师：刚才我们找了36、15和16的因数，请大家仔细观察这几个数的因数，你发现这些数的因数有什么共同的特征？和你同桌交流一下 生：最小的是1

师：一个数最小的因数是1。生：最大的是它本身

生：一个数的因数的个数是有限的

五、巩固练习

1.找倍数和因数的练习

师：刚才我们学会了找一个数的倍数和因数，现在你能根据屏幕上的几个数，说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗？

2.游戏——猜年龄

师：下面我们来玩个游戏，想不想猜一猜老师的年龄？（想）

师：老师的年龄既是30的因数，又是5的倍数。猜一猜，老师多少岁了

3．游戏——“找朋友”

师：下面我们来玩一个游戏——找学号。想玩吗？（想）

师：同学们每人都有一个学号，每个学号都是一个自然数，如果我要找的朋友是你，请你站起来，并把写着自己学号的卡片高高举起，让其他同学也看看你是不是我要找的朋友。准备好了吗？ 师：是20的倍数的同学请起立 师：是20的因数的同学请起立

师：学号是20的同学，你怎么站了两次？

生：20既是它本身的倍数，又是它自己的因数。师：是6的倍数的同学请起立

师：谁来说一句话，让大家都是我的朋友。生：是1的倍数的同学请起立 师：那就请是1的倍数的同学起立

师：既然大家都起立了，那我们这节课就学到这里，下课！

教学内容：苏教版(义教课标数学)四下第70-71的例题以及72页“想想做做”的1-3页。

教学目标：

1、通过操作活动得出相应的乘除法算式，帮助学生理解倍数和因数的意义；探索求—个数的倍数和因数的方法，发现一个数倍数和因数的某些特征。

2、在探索一个数的倍数和因数的过程中培养学生观察、分析、概括能力，培养有序思考能力。

3、通过倍数和因数之间的互相依存关系使学生感受数学知识的内在联系，体会到数学内容的奇妙、有趣。

教学重点：理解倍数和因数的意义。

教学难点：探索求一个数的倍数和因数的方法。

教学准备：每桌准各12个一样大小的正方形，每人准备一张自己学号的卡片。

设计理念：通过竟猜、操作、比一比谁写得多，找朋友等形式多样的活动激发学生持续的学习兴趣；学生通过独立思考、合作文流进行自主探索；教师引导学生掌握数学思考的方法。

教学过程：

一、智力竞猜 引入新课

1、让学生进行“智力竞猜”——春暖花香的季节，公园里许多人在划船，一条船上有两个父亲两个儿子，但总共只有3个人，这是怎么回事呢?(部分学生能猜出三个人分别是孙子、爸爸、和爷爷)

2、孙子、爸爸、爷爷的名字分别是韩韩，韩有才、韩广发。请学生以韩有才为中心介绍—下三个人的关系。学生可能会说出“韩有才．是爸爸”，“韩有才是儿子”的语句，这时引导学生说出“谁是谁的爸爸”“谁是准的儿子”。

3、上述“父子关系”是一种互相依存的关系，在表述时一定要完整。并向学生说明自然数中某两个数之间也有这种类似的依存关系——倍数和因数。

设计说明：“智力竞猜”走学生喜欢的形式，因为每个学生都有争强好胜之心，“竞猜”有两个作用，一是激发学生的学习兴趣，二是以此引出“相互依存”的关系，为理解倍数和因数的相互依存关系作铺垫。

二、操作发现 理解概念

1、师：“‘智慧从手指问流出’，通过操作我们能发现许多的知识。请同桌同学拿出课前准备的12个同样大小的正方形，试一试能摆出几个不同的长方形，并思考一下其中蕴涵着哪些不同的乘除法算式。”

2、请学生汇报不同的摆法，以及相应的乘除法算式。(乘法算式和除法算式分开写)再向学生说明：如果一个图形经过旋转后和另一个图形一样，我们就认为这两个图形是一样的，让学生特重复的图形和算式去掉。(板书三十乘法算式，和几十相应的除法算式)

设计说明；让学生写出蕴涵的乘除法算式符合学生的知识基础，学生有的可能用乘法表示，也有的可能用除法表示；让学生将旋转后相同的去掉，这是一次简化，很多学生并不知道，需要指导，这样可以使学生认识到事物的本质。

3、让学生一起看乘法算式4×3=12，向学生指出：12是4的倍数，12也是3的倍数，4是12的因数，3也是12的因数。

4、先请一个学生站起来说一说．然后同桌的同学再互相说一说。

5、让学生仿照说出6×2=12和12×1=12中哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。

6、学生相互出一道乘法算式，并说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。学生可能会出现0×()=0的情况，借此向学生说明我们研究因敷和倍数一般指不是0的自然数。

设计说明：倍数和因数是全新的概念，需要教师的“传授、讲解”，需要学生的适当“记忆”——重复、仿照。当然，要使学生真正理解还必须举一反三，通过互相举例可以逐步完善学生对倍数和因数的认识，同时使学生明确倍数和因数的研究范围。

7、以4×3=12与12÷3=4为例，向学生说明后面的除法算式是由前面的乘法算式得到的，根据这个除法算式可以说谁是谁的倍数，谁是谁的因数，说好后再让学生试一试其他几个除法算式中的关系。

8、练习：根据下面的算式，说说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数

5×4=20 35÷7=5 3+4=7

(1)学生回答后引发学生思考：能不能说20是倍数，4是因数。使学生进一步理解倍数是两个数之间的一种相互依存的关系，必须说哪个是哪个的倍数，因数也同样如此。

(2)通过3+4=7使学生进一步理解倍数和因数都是建立在乘法或除法的基础之上的。

设计说明：乘法和除法是一种互逆的关系，在学习中应该沟通它们之间的联系；通过三道练习可以巩固刚刚获得的对倍数和因数的认识，将融会贯通落到实处。

三、探索方法 发现特征

1、找一个数的因数。

(1)联系板书的乘除法算式观察思考12的因数有哪些，井想办法找出15的所有因数。

(2)学生独立思考，明白根据一个乘法(除法)算式可以找出15的两个因数，在学生充分交流的基础上引导学生有条理的“一对一对”说出15的因数。

(3)用“一对一对”的方法找出36的所有因数。可能有的学生根据乘法算式找的，也有的学生是根据除法算式找的，都应该给予肯定。

(4)引导学生观察12、15、36的因数，说一说有什么发现。一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数都是1，最大的都是它本身。

设计说明：先安排学生“找一个数的因数”可以使学生利用操作得到的算式进行，观察，这样比较自然，而且为于找一个数的因数指明了方向。学生交流时突出了方法的多样性，既可以根据乘法算式想，也可以根据除法算式想，交流后引导学生“一对一对”的找是必要的，它可以培养学生的有序思考。最后引导学生观察。使学生自主发现、归纳出一个数的因数的某些特征。

2、找一个数的倍数。

(1)让学生找3的倍数，比一比谁找得多。

(2)学生汇报后，引导学生有序思考，并得出3的倍数可以用3乘连续的自然数1、2、3„„，3的倍数的个数是无限的，所以写3的倍数时要借助省略号表示结果。

(3)找出2的倍数和5的倍数，并引导学生观察3、2、5的倍数情况，说一说有什么发现。一个数的倍数个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

设计说明：让学生比一比谁找的倍数多，可以使学生产生认知冲突，认识到一个数的倍数个数是无限的，在学生汇报后同样需要引导学生的有序思考，需要引导学生自主发现、归纳一个数倍数的特征。

四、巩固练习

师；刚才同学们认识了倍数和因数，并且探索了求一个数因数和倍数的方法，想不想检查一下自己掌握得如何?

1、“想想做做”的第l题。学生表述后强调哪个是哪个的倍数(或因数)。

2、“想想做做”的第2题。学生填好后引导学生说一说：表中的“应付元数”其实都是什么?表格中为什么用省略号?

3、“想想做做”的第3题。学生填好后引导学生说一说：表格中所有数都是什么?这个表格中为什么没有省略号？

4、游戏——“找朋友”。让学生拿出各自的学号卡片，找出自己学号数的所有因数，使学生发现每个学号数的因数都在全班的学号数以内；再让学生找一找自己学号数的倍数，井说一说能不能在全班学号数内部找到一个，还有其他的吗?

设计说明：第l题是基础练习．可以巩固对倍数和因数的认识，2、3两题联系实际，使学生感悟到其中蕴藏着求一个数倍数和因数的方法，以及倍数和因数的某些特征。第4题通过游戏活动进一步激发学生持续的学习热情，而且可以综合应用求倍数和因数的方法，再次认识到倍数和因数的某些特征。

五、自我梳理 探索延伸

1、通过这节课的学习你有什么收获?向你的同伴介绍一下。

2、生活中许多现象与我们学习的“倍数和因数”的知识有关，课后同学们可以利用今天所学的知识探索一下“1小时等于60分”的好处。通过探索使学生明白由于60的因数是两位数中最多的，可以方便计算。

设计说明：“向同伴介绍自己的收获”可以将课堂中学到的知识进行自我梳理，同时通过探索“1小时等于60分”的好处“，可以巩固倍数和因数的相关知识，沟通知识间的联系，拓展学生的知识面，使学生认识到数学知识的应用价值。

第五篇：倍数与因数教学实录

“倍数和因数”教学实录

方桥中心小学 魏冬春

课 题：倍数和因数 课 时：1课时

执教时间：2014年4月2日 执教班级：方桥小学四（3）执教老师：徐琴

教学内容：

苏教版国标本小学数学四年级下册第70-72页内容。

教学目标：

1.从拼图活动中理解倍数和因数的意义，掌握找一个数的倍数和因数的方法，发现一个数的倍数、因数中最大的数、最小的数及其个数方面的特征。2．在探索一个数的倍数和因数的过程中培养学生观察、分析、概括能力，培养有序思考能力。

3．通过倍数和因数之间的互相依存关系使学生感受数学知识的内在联系，体会到数学内容的奇妙、有趣。

教学过程：

一、播放动画，引入新课

师：谁来说说大头儿子和小头爸爸是什么关系？ 生:父子关系。

师：还可以怎样说？

生：小头爸爸是大头儿子的爸爸，小头儿子是大头爸爸的儿子。师：那我和你们的关系呢？

生：你是我们的老师，我们是你的学生。

师：人与人之间就是这样存在各种相互依存、相互联系的关系，在数学中，数与

数之间同样也存在着这样的关系。

【设计意图】：良好的开头是成功的一半。课前通过轻松、愉快的谈话引入，说明人和人之间存在着相互依存相互联系的这样的关系，从而为说清楚“倍数”和“因数”这两个好朋友之间的关系打下基础，对感知倍数和因数相互依存的关系进行有效的渗透和拓展。

二、认识倍数和因数的意义

师：小头儿子喜欢玩拼图游戏，他要把12个小正方形拼成大长方形，如果是你，你会怎样拼?请你用一道乘法算式表示出你的拼法。

生1：3×4=12，每排摆3个，可以摆4行。生2： 2×6=12。

师:猜一猜他每排摆了几个，摆了几排？

生3:他是每排摆6个，摆了2排。

生4：1×12=12，每排摆12个，可以摆1排。

（课件演示不同摆法）

师：用12个同样的小正方形，可以摆出三种不同的长方形，得出三道不一样的乘法算式。今天我们研究倍数和因数就从这三道乘法算式开始。以3×4=12为例（板书：3×4=12）我们可以说12是3的倍数，12也是4的倍数。反过来，我们还可以说3是12的因数，4也是12的因数，3和4都是12的因数。哪位同学愿意说一说它们之间的关系。

师：这儿还有两道算式2×6=12，1×12=12选其中的一道乘法算式和同位说一说。

生：12是2的倍数，12也是6的倍数。2是12的因数，6也是12的因数，2和6都是12的因数。

生：12是1和12的倍数，12和1都是12的因数。

师：为了研究的方便，在研究倍数和因数时，我们所说的数一般指不是零的自然数。

师：18÷3=6这道算式中，谁是谁的倍数?谁是谁的因数呢？ 生：18是3和6的倍数，6和3都是18的因数。

师：除法是乘法的逆运算，18÷3=6可以看成6×3=18。师：能不能单独说12是倍数？

生：不能，因为要说清楚12是谁的倍数，倍数和因数之间是相互依存的关系。

【设计意图】：从学生的操作入手，由浅入深，利用学生对乘法运算以及长方形的长、宽和面积关系的已有认识，在操作中引出倍数和因数的概念。有意义的操作和想象活动，由形到数，再由数到形，学生自主体验其中的因倍关系，为高效的学习倍数因数知识打下了坚实的基础。

让学生自己举例，同桌相互说，促成学生对倍数、因数的认识，提升、巩固学生语言表达的完整性、有效性，避免学生不能全面的正确的表达。

三、探索找倍数和因数的方法

（一）探索找一个数的倍数的方法 1.找3的倍数

师：12是3的倍数，18也是3的倍数，3的倍数还有其它的吗？

你能在20秒内写出多少个3的倍数？当然，如果你在写3的倍数时有什么发现也可以跟大家一起分享！（板书：3的倍数）

生：我写了17个。

师：真不少，你是怎样找3的倍数的？

生：我是用1×3、2×3、3×3„„这样得到的。师：很好，能把你找的3的倍数说一下吗？ 生：3，6，12，15（生边说师边板书：3的倍数：3，6，9，12，15）

师：刚才老师只给你们20秒时间，如果给你足够的时间，你能找到—— 生：无数个。

师：无数个应该怎样表示呢？ 生：用省略号。师：太棒了！（板书：3的倍数：3，6，9，12，15„„）

师：刚才那位同学介绍了方法，用3依次乘一个不是零的自然数。就可以找到3的倍数。现在请大家观察一下这些3的倍数，你有没有什么发现？

生：有顺序。师：因为他做到了有序思考，所以他在这么短的时间内找到了这么多3的倍数。（板书：有序）

2．找自己写的一个自然数的倍数

师：下面请你们在作业纸上自己任意写一个自然数，然后写出它的倍数。请学生板演：6的倍数：6，12，18，24，30„„

2的倍数：2，4，6，8，10„„

师：我们一起来看一看这两位同学找的倍数。3.讨论发现一个数的倍数的特征

师：刚才我们一起找了3的倍数、6的倍数、2的倍数，认真观察一个数的倍数，你有什么发现？同位之间相互讨论一下！

生：我们发现最小的倍数是它本身。师：有最大的吗？个数怎样？ 生：没有最大的。个数是无数个。【设计意图】：这一段教学把学生的小组讨论和自主探索结合起来。在研究找一个数的倍数的方法时，在根据具体事例抽象概括出结论时让学生小组合作，相互启发，互动发展；在运用方法具体计算时让学生独立完成。学生学习方式的选择与要解决的问题的难度是相适应的。

（二）探索找一个数的因数的方法 师：刚才我们已经会有序地找一个数的倍数了，那我们今天还要研究什么？ 生：（齐）因数。1.找12的因数

师：那你们会找一个数的因数吗？让我们一起来看这三道算式。师：谁能说一说12的因数有哪些？ 生：1和12,2和6，3和4。师：你是怎样找的？

生：我是两个两个的找的。师：也就是一对一对地找。

师：掌握了方法，那我们来点挑战，选个更大的数。2.找出36的所有因数 出示：36。

生：唉!这么小的数！师：“36”大家觉得不够大是不是？ 生：（齐）是!师：但请同学们看清这两个字—— 生：（齐读）所有！

师：对，所有！其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有方法把36的所有因数全部找出来！现在请大家开始吧!师：当你找出36的所有因数时，请别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的过程也写在下面就更好了。

学生填写时师巡视并搜集作业。请三名学生上黑板板演。

师：下面写好的同学，请大家仔细观察黑板上的三份作业。我分别把它命名为A、B、C。

A：1,36,2,18,3,12,4,9,6,6 B：1,36,2,18,3,12,4,9,6 C：4,9,6 师：关于A、B、C这三份作业，你有什么话要说？ 生1：C找的太少了，不全。

生2：我也觉得C找的不全，没有A和B找的多。老师是让我们找出所有36的因数。

师：找的不全，也就是出现了遗漏。师：谁能说说他出现遗漏的原因？ 生：不细心。

师：他的遗漏仅仅是因为不细心吗？

生：我觉得主要是他没掌握正确的方法，没按顺序找。

师：说的太好了，那你能介绍一下你找36所有因数的方法吗？

生1：我是用乘法找的，1×36=36，就找到了1和36；2×18=36，找到了2和18；3×12=36，找到了3和12；4×9=36，就找到了4和9；6×6=36，就找到了6和6。

生2：我认为6和6是相同的，只要写一个就可以了。师：也就是不要写—— 生：（齐）重复！师：感谢同学们的精彩发言！正是你们精彩的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数。

师：刚才有同学说他是想乘法算式找因数，有没有谁的方法和他的不一样？ 生：有！我跟他的不一样，我是用除法找的，就是先用36÷1=36；36÷2=18；36÷3=12 ；36÷4=9；36÷6=6。

师：这种方法也很有道理呀！师：那除到什么时候为止呢？ 生：除到相同或接近就可以了。师：他的发言对大家有启发吗？ 生：有！

师：老师也找到了36的所有因数，想不想看一看。

生：想！（课件演示找的过程，让学生体会有序。）3.找出15和16的因数

师：既然大家都会了，下面我们就来试一试，请你找出15和16的所有因数，比比谁找得最快最全！

师：哪位同学愿意说一说你找到的15的因数？ 生1 ：1，3，5，15。

师：非常棒！16的因数有哪些呢？ 生2：1,2,4,8,16。

4．讨论发现一个数的因数的特征

师：我们刚才发现了一个数它倍数的特征，现在让我们看大屏幕。仔细观察这三个数的因数，你发现了什么？

生：我发现了一个数的因数的最小是1；最大是它本身；因数的个数是有限的

师：真了不起！老师现在要考考大家——猜数。一个数最大的因数是20，这个数是多少？

生：20。

师：一个数最大的因数是25，这个数是多少？ 生：25。

师：一个数最大的因数是60，这个数是多少？ 生：60。

师：真难不倒大家！

【设计意图】：在找36的因数时，无论想乘法算式还是想除法算式，学生一般都从无序到有序，从有重复或遗漏到不重复不遗漏。教学要承认学生实际，允许他们经历这样的过程。先按自己的思路、用自己的方法写36的因数，能写几个就写几个，是什么顺序就什么顺序。然后在交流中相互评价，删去重复的，补上遗漏的，并组织学生认真讨论“怎样找才能不重复不遗漏”，体会过程、总结方法、提升水平，学会有序地思考和寻找。

四、总结全课：

师：现在请大家回想一下，这节课我们学习了哪些内容？ 生1：我知道了倍数和因数之间的相互依存的关系。生2：我们学会了找一个数的倍数和因数的方法。

生3：我还知道了一个数的倍数的个数是无限的，一个数的因数是有限的。„„

师:同学们学的真不错，下面我们一起来玩个游戏。

五、巩固深化 1.快乐大转盘：

师：先请同学们听清游戏说明，转动转盘后，用指针指到的数和转盘中间的8，说一说谁是谁的倍数？谁是谁的因数？明白了吗？

生：（齐）明白了！师请个小助手转转盘。师：开始！生：（齐）停！（指针指着32）

生1：32是8的倍数；8是32的因数。师：说得真不错！你行吗？再来一个！（指针转到8）

生2：8是8的倍数，8是8的因数。（指针转到80）

生3：80是8的倍数，8是80的因数。„„

2.比比谁的反应快

师:刚才的游戏玩得开心吗？ 生：（齐）开心！

师：现在老师变个魔术，请看，1、2、3，变变变，转盘只剩下8了，现在请同学们拿出老师发的学号卡，听清我的要求：请学号是8的因数的同学到讲台前来，上来的同学请按一定的顺序站好并举起你的卡片。

（1,2,4,8,21号走到讲台前。）生：（异口同声）21不是8的因数。

师：同学们的反应真快！是呀！21不是8的因数，我们要想着站，不要抢着站！

师：现在再请学号是8的倍数的同学到前面来。（8,16,24,32,40,48,56号迅速地上台）

师：老师想问问8号，为什么刚才你上来了，现在又上来了呢？ 生：因为8是8的倍数，8也是8的因数。

师：原来如此!现在我们再变一个数（滚动数字9），现在请学号是9的倍数的同学上台。

（9,18,27,36,45,54号迅速地上台）师：老师有个疑问，刚才我们不是发现了一个数的倍数是无限的吗？为什么现在只上来6位同学呢？

生1：因为我们班只有61人，八八六十四了。

生2：我认为在一定范围内，一个数的倍数的个数也是有限的。师：谢谢你俩精彩的发言！（继续滚动数字）现在请学号是14的因数的同学上台。

（1，2，7，14号迅速地上台）

师：上来的同学反应真快呀！不过下面的同学反应也相当快，没有抢着上。师：现在谁能象老师一样，说一句话让全班的同学都起立。生：应该是1的倍数的同学请起立。

师：真了不起呀！现在就请学号是1的倍数的同学起立！

今天这节课就上到这儿，谢谢同学们！再见！

生：（齐）老师再见！

【设计意图】在这一环节设计的内容有： 游戏大转盘,找学号。游戏大转盘的设计，让学生在快乐的氛围中不知不觉运用了本节课上所学的知识；找学号的设计，让学生对“因数”和“倍数”的概念有了更清晰的认识，从而达到学以致用的目的。完美数的设计，激励孩子们对数学的探索兴趣。

【总评：】《倍数和因数》这一节内容是让学生在已学过的知识经验的基础上，自主探索和总结找一个数的倍数和因数的方法,用“列举法”研究一个数的倍数的特点和一个因数的个数，倍数和因数两个概念是比较抽象的，现实生活中不经常出现，对这样的概念教学，要想让学生理解、掌握，需要一个消化理解的过程。

听了徐老师的课，总的感觉就是整个教学过程形如高山流水，顺畅自然，各环节始终围绕中心，层层递进。练习的设计具有层次性与趣味性，易激发学生的学习兴趣，让学生在快乐的氛围中巩固理解今天的所学内容。语言简洁明了，亲切自然。

在教学过程中她不断给学生独立思考的空间，使其提出各自的解法或见解，培养了思维的独创性，让学生通过自己的努力解决出现的问题，增强了学生学习数学的信心。在找一个数的因数时引导学生一对一对有序地找，培养思维条理性；既直接运用除法算式的抽象思维，又有乘法口诀的综合运用，在感受解法多样性中，培养了学生思维的灵活性。而整个教学过程更加深了学生找一个数的因数时不管用什么方法，都要一对一对地找，使整节课重难点非常突出。

徐老师的课是一节值得我去学习的非常好的课，但是本节课容量比较大，给

学生的时间和空间还不够充分，我觉得在初次展现倍数和因数的概念时，应给予学生一些时间理解，老师再给孩子解释下这两个概念，比如2x6=12，学生说完谁是谁的倍数谁是谁的因数时，老师再这样（当两个数相乘等于一个积时，这两个数是积的因数，积是第一个数的倍数也是第二个数的倍数。）总结一下比较好。本节课内容比较多，我觉得可以适当去掉一些练习。