直线的方程(二) 教案示例（5篇）

第一篇：直线的方程(二) 教案示例

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com

直线的方程(二)·教案示例

目的要求

1．掌握直线方程的两点式和截距式，并能运用这两种形式求出直线的方程． 2．培养学生的数形结合的数学思想． 内容分析

本节课的重难点是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k＝0时对两点式的讨论及变形． 直线方程的两点式可由点斜式导出．对于直线方程的两点式的理解，应明确以下几点：(1)当直线平行于坐标轴时，即当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1 ＝y2)时，不能用两点式yy1xx1求出它的方程，但可以把两点式y2y1x2x1

化为整式形式：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)就可以利用它求出过平面内任意两个已知点的直线的方程．

若x1＝x2，y1≠y2，则有x2－x1＝0即x＝x1； 若y1＝y2，x1≠x2，则有y－y1＝0即y＝y1．

(2)若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程．由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．

(3)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式．

本节课有两个例题．例2是直线方程的截距式的推导，即直线方程的两点式的应用．例3是两点式方程的灵活应用．

教学过程

1．复习提问．

(1)什么叫直线方程的点斜式？它是如何导出的？(2)已知直线分别经过下列两点，求直线的方程． ①A(2，1)、B(0，－3)； ②A(0，5)、B(5，0)； ③A(－4，－5)、B(0，0)；

④A(x1，y1)、B(x2，y2)，(x1≠x2)． 让学生口答上述解题过程和答案． 2．讲授新课．

(1)直线方程的两点式推导

针对上述第④小题师生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤： ①利用直线的斜率公式求出斜率k，②利用点斜式写出直线的方程．

如第④小题：k＝y2y1(x≠x2)，x2x11

y2y1(x－x1)(Ⅰ)x2x1 ∴l的方程为：y－y1＝亿库教育网

http://www.xiexiebang.com

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com 当y1≠y2时，方程(Ⅰ)可以写成yy1xx1，(Ⅱ)y2y1x2x1

由于(Ⅱ)这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式．(2)组织讨论

①(Ⅰ)式与(Ⅱ)式有何区别与联系？为什么把方程(Ⅱ)作为直线方程的两点式？

学生甲1：(Ⅱ)式是由(Ⅰ)式导出的，它们表示的直线范围不同．(Ⅰ)式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；(Ⅱ)式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但(Ⅱ)式相对于(Ⅰ)式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆．

②两点式公式运用时应注意什么？ 学生乙1：应注意分类．

已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

yy1xx1a若x1≠x2且y1≠y2，则直线l方程为；y2y1x2x1

b若x1＝x2且y1≠y2，则直线l方程为x＝x1； c若x1≠x2且y1＝y2，则直线l方程为y＝y1．

③(Ⅱ)式变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)可用于求过平面上任意两点的直线方程吗？ 学生丙1：可以．

(3)讲解例2即直线方程的截距式推导．

已知直线l与x轴交于P1(a，0)，与y轴交于P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 解：因为直线l经过P1(a，0)和P2(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得

y0xa=b00axy就是+=1ab(Ⅰ)(Ⅱ)

点评：(Ⅱ)这个方程形式对称、美观．其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距．

因为方程(Ⅱ)是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程(Ⅱ)式叫做直线方程的截距式．(4)组织讨论

①a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？

学生甲2：a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离． ②截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？

学生乙2：截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式．

(5)口答练习(用投影仪打出)下列直线方程的截距式是怎样的〉 ①横截距为2，纵截距为3； ②横截距为－5，纵截距为＋6； ③横截距为－2，纵截距为－3； ④横、纵截距都为－3．(6)讲解例3：

三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)(如图7－16)，求这个三角形三边所在直线的方程．

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com

分析：根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式．

y0x(5)解：AB边所在直线的方程，由两点式得：＝即3x303(5)2(3)＋8y＋15＝0，BC边所在直线的方程，由斜截式得：y＝x+203 xy即5x＋3y－6＝0，AC边所在直线的方程，由截距式得：＝1即52

2x－5y＋10＝0．

(7)反馈练习(用投影仪打出)①求经过点P(4，5)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程．

②直线l过(0，0)且平分平行四边形ABCD的面积．已知平行四边形两个顶点B(1，4)、D(5，0)，求直线l的方程．

③一直线l过P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线的方程．(8)小结． ①填表：

方程名称已知条件直线方程示意图应用范围两点式截距式 ②特例：

Ⅰ)倾斜角α＝0°时，直线l的方程为y＝y1；

Ⅲ)直线l过原点(0，0)且倾斜角α≠90”时，直线l方程为y＝kx(其中k为直线l的斜率)． ③注意事项

对于“截距相等”或“横截距是纵截距多少倍”等相关问题应分两类讨论： Ⅰ)过原点(0，0)，Ⅱ)不过原点(0，0)． 布置作业

习题7．2第6、7、8、9、10题．

亿库教育网

http://www.xiexiebang.com Ⅱ)倾斜角α＝90°时，直线l的方程x＝x1；

第二篇：直线方程教案

Ⅰ.课题导入

［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：直线；

截距式的基本形式：

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。

那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－

ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。

定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。

［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－

4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直线方程的点斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.

第三篇：11.1直线方程教案

11．1（２）直线方程（点法向式）

一、教学目标

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力。

二、教学重点及难点

本节的重点是直线的点法向式方程的推导及应用。在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程。

本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

三、教学过程 复习上一堂课的教学内容 讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的。

2、概念形成 直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的。建立直角坐标平面，设P的坐标是(x0,y0)，方向用非零向量n(a,b)表示。那么如何根据条件求出直线l的方程呢？ 直线的点法向式方程的推导

设直线l上任意一点Q的坐标为(x,y)，由直线垂直于非零向量n，故PQn.根据PQn的充要条件知PQn0，即：a(xx0)b(yy0)0⑤；反之，若(x1,y1)为方程⑤的任意一解，即a(x1x0)b(y1y0)0，记(x1,y1)为坐标的点为Q1，可知PQ1n，即Q1在直线l上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线。

我们把方程a(xx0)b(yy0)0叫做直线l的点法向式方程，非零向量n叫做直线l的法向量。

3、例题解析

第四篇：11.1直线方程教案

11．1（1）直线方程（点方向式）

一、教学目标

理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。

二、教学重点及难点 重点

1.理解直线的方向向量概念

2.能根据已知条件求出直线的点方向式方程 3.理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系

4.通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义 难点

理解直线方程的定义。通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

三、教学过程 回顾

在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中，直线是一次函数的图像。在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。讲授新课

（一）直线方程

定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程f(x,y)0，满足（1）直线l上的点的坐标(x,y)都满足方程f(x,y)0；（2）以方程f(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在直线l上。那么我们把方程f(x,y)0叫做直线l的方程。

从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l上的点的集合与方程f(x,y)0的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系。

第五篇：直线与方程教案

平面解析几何 第一讲 直线方程 知识归纳：

一、直线的倾斜角与斜率

1、确定直线的几何要素是：直线上两不同的点或直线上一点和直线的方向两个相对独立的条件

注意：表示直线方向的有：直线的倾斜角（斜率）、直线的方向向量、直线的法向量

2、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角。

注意：①从用运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴绕交点按逆时针方向转到与直线重合时所成的角；

②规定：直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为00 ③直线倾斜角α的取值范围是：00≤α<1800

④在同一直角坐标系下，任何一条直线都有倾斜角且唯一，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

3、直线的斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k =tan α(α≠900)。它从另一个方面反映了直线的倾斜程度。注意：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当α=00时，k =0；当00<α<1800时，k >0；当α=900时，k 不存在，当900<α<1800时，k <0。即：斜率的取值范围为k ∈R 例

1、给出下列命题：①若直线倾斜角为α，则直线斜率为tan α；②若直线倾斜角为tan α，则直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；④直线的斜率越大，其倾斜角越大；⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为 例

2、已知直线的倾斜角为α，且sin α=4，求直线的斜率k 5

4、直线斜率的坐标公式

经过两点P 的直线的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式与两点的顺序无关，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特别地：当y 1=y 2, x 1≠x 2时，k =0；此时直线平行于x 轴或与x 轴重合；当y 1≠y 2, x 1=x 2时，k 不存在，此时

直线的倾斜角为900，直线与y 轴平行或重合。

例

3、已知点P(2,1),Q(m ,-3)，求直线P , Q 的斜率并判断倾斜角的范围。

例

4、（三点共线问题）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三点，证明这三点在同一条直线上 例

5、（最值问题）已知实数x , y，满足2x +y =8，当2≤x ≤8时，求y 的最大值和最小值 x

5、直线的方向向量：已知P 是直线l 上的两点，直线上的向量PP 及与它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12称为直线的方向向量。直线PP 与x 轴不垂直时，x 1≠x 2，此时，向量12的坐标是

1也是直线PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 为直线PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直线的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量。

二、直线的方程

1、定义：一般地，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，这是，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

2、直线方程的几种形式（1）点斜式：

问题：若直线l 经过点P，且斜率为k，求直线l 的方程。0(x 0, y 0)解析：设点P(x , y)是直线l 上不同于点P 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式，得k =y-y 0，可化为0 x-x 0、斜率为k 的直线l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即为过点P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直线上一点及其斜率确定的，把这个方程叫做直线的点斜式的方程，简称点斜式。注意：①k =y-y 0与y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直线上缺少一个点x ≠x 0，后者才是整条直线； x-x 0 ②当直线l 的倾斜角为00时，tan 00=0，即k =0，这时直线l 的方程为y =y 0 ③当直线的倾斜角为900时，直线l 斜率不存在，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 轴的直线。④经过点P 的直线有无数条，可分为两类情况： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率为k 的直线，方程为y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直线，方程为x-x 0=0或写为x =x 0 例

6、根据条件写出下列各题中的直线的方程

①经过点P，倾斜角α=450，②经过点P , 2)，斜率为2 ③经过点(4,2)，且与x 轴平行 1(-2,3)1(1④经过点(-2,-3)，且与x 轴垂直（2）斜截式：

问题：已知直线l 的斜率是k，与y 轴的交点是P(0,b)，代入直线方程的点斜式，得直线l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我们称b 是直线l 在y 轴上的截距。

这个方程是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 轴的直线

③斜截式方程和一次函数的解析式相同，都是y =kx +b，但有区别：当斜率不为0时，y =kx +b 是一次函数，当k =0时，y =b 不是一次函数；一次函数y =kx +b（k =0）必是一条直线的斜截式方程。例7、求倾斜角是直线y =+1的倾斜角的1，且在y 轴上的截距为-5的直线的方程。4（3）两点式：

问题：已知直线l 经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直线l 的方程 解析：因为直线l 经过两点P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入点斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，当y 2≠y 1时，方程可以写成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线的两点式方程，简称两点式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)与方程y-y 1=x-x 1比较，后者比前者表示直线的范围更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直线，后者除此外，还不能表示斜率为0的直线；局限性：不能表示垂直于坐标轴的直线。②两点式方程与这两个点的顺序无关。例

8、已知点A(-5, 0)，B(3,-3)，求直线AB 的方程

例

9、一条光线从点A(3,2)出发，经x 轴反射，通过点B(-1, 6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程（4）截距式：

问题：已知直线l 与x 轴的交点为(a , 0)，与y 轴的交点为(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直线l 的方程。解析：因为直线l 经过A(a , 0)和B(0,b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得如果直线与x 轴的交点为(a , 0)，则称a 为直线在x 轴上的截距。

以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线的截距式方程，简称截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示与坐标轴平行（重合）的直线，还不能表示过原点的直 a b y-0x-a，即为x +y =1 = b-00-a a b 线。

例

10、过两点A(-1,1)，B(3,9)的直线在x 轴上的截距为（5）一般式方程：

以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一个关于x y 的二元一次方程表示； 而关于x y 的二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式。

注意：①直线的一般式方程能表示所有直线的方程，这是其他形式的方程所不具备的。②直线的一般式方程成立的条件是A,B 不同时为0。

③虽然直线的一般式有三个系数，但是只需两个独立的条件即可求直线的方程，若A ≠0, 则方程可化为x +B y +C =0;若B ≠0，则方程可化为A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0时，方程化为y =-C , 它表示与x 轴平行或重合的直线； B 若A ≠0，B =0时，方程化为x =-C，它表示一条与y 轴平行或重合的直线； A 若ABC ≠0时，则方程可化为 x-A + 因此只需要两个条件即可。y =1-B ④直线方程的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后结果互为直线的一般式 例

11、设直线l 的方程为(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根据下列条件分别确定m 的值（1）l 在x 轴上的截距为-3（2）l 的斜率是-1（6）点向式：

问题：设直线l 经过点P，v =(a , b)是它的一个方向向量，求直线l 的方程 0(x 0, y 0)解析:设P(x , y)是直线l 上的任意一点，则向量P 与v 共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以⎧方程组①称为直线的参数式方程。0P =tv ⎨ ⎩y =y 0+bt 2 2 如果直线l 与坐标轴不平行，则ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去参数t，得到直线l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 这个方程称为直线l 的点向式方程，a , b 叫做直线l 的方向数。= a b 思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的方向向量？（7）点法式：

问题：设直线l 有法向量n =(A , B)，且经过点P，求直线l 的方程 0(x 0, y 0)解析：设P(x , y)是直线l 上的任意一点，则有P，即P 0P ⊥n 0P ⋅n =0 因为PP 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 这个方向是由直线l 上一点P 及直线l 的法向量n 确定的，称为直线l 的点法式。0(x 0, y 0)思考：若给出直线的一般式方程Ax +By +C =0，如何确定直线的法向量？

三、直线的位置关系（同一平面上的直线）

1、平行与垂直（1）两条直线平行的判定

①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定

设两条直线分别为，则l 1, l 2的倾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此时b 1≠b 2；反之也成立。所以有l 1//l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2 ②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为900，若不重合，则它们也是平行直线 注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1不为0）或l 1//l 2⇔A（可用直线的方向向量或法向量解释）1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知点A(2,2)和直线l ：3x +4y-20=0，求过点A 和直线l平行的直线。（引出平行直线系方程）（2）两条直线垂直的判定

①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定 设两条直线分别为，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 则得直线l 1的方向向量为：a =(1, k 1)l 2的方向向量为：b =(1, k 2)，所以有l 1⊥l 2⇔a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔1⨯1+k 1⋅k 2=0 即l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1 注意： 或用两条直线的倾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2⇔A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1⋅k 2=-1 tan α1

②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，l 1⊥l 2⇔k 1⋅k 2=-1或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。

注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论： 设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知两直线l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标

例

16、求证：不论m 为取什么实数，直线(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5总通过某一定点 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求与直线3x +4y +1=0垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程）)例

17、已知直线ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)时，y >0恒成立，求a 的取值范围； 16 时，恒有y >0，求x 的取值范围

四、到角、夹角（1）到角公式

定义：两条直线l 1和l 2相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线l 1绕交点按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角，如图，直线l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：设已知直线方程分别是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1⋅k 2=0，即k 1⋅k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1⋅k 2≠0，设l

1、l 2的倾斜角分别为α1, α2，则tan α1=k 1, tan α2=k 2 由图1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由图2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夹角公式

定义：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以当l 1与l 2相交但不垂直时，在θ和π-θ中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为α，则tan α=当直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角为 k 2-k 1，即为夹角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x-2y-2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y-1=0，点(-2,0)在另一腰上，求这条腰所在直线l 3的方程

五、两条直线的交点坐标：

1、设两条直线分别为l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 则l 1与l 2是否有交点，只需看方程组

⎧A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ⎨ ⎩A 2x +B 2y +C 2=0 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合

例

19、求经过两直线2x-3y-3=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y-1=0平行的直线方程。经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直线l 2。

2、对称问题

（1）点关于点的对称，点A(a，b)关于P , y 0)的对称点B（m，n），则由中点坐标公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）点关于直线的对称，点A(x 0, y 0)关于直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）的对称点

A '(x 1, y 1)，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。

（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交点的已知点P 1关于对称轴对称的点P 2，那么经过交点及点

P 2的直线就是l 2；若直线l 1与对称轴l平行，则在l 1上任取两不同点P

1、P 2，求其关于对称轴l 的对称

点P

1、P 2，过P

1、P 2的直线就是l 2。

例题20、已知直线l :x +y-1=0，试求①点P(4,5)关于l 的对称坐标；②直线l 1:y =2x +3关于直线 ' ' ' ' l 的对称的直线方程。例题21、求函数y =

六、两点间的距离，点到直线间的距离 +的最小值。

P（1）两点间的距离：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)则

（2）点到直线的距离: l 已知点P，求点P 0(x 0, y 0)，直线l :Ax +By +C =0（A、B 不同时为0）0到直线的距离。解法一：如图，作P 0Q ⊥l 于点Q，设Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 则由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，⎧Ax +By +C =0 ⎪

B ⎨B y-y =(x-x)从而直线P 的方程为，解方程组Q y-y =(x-x 0)得0000⎪A ⎩A ⎧B 2x 0-ABy 0-AC x =⎪⎪1A 2+B 2 ⎨2 ⎪y =A y 0-ABx 0-BC 1⎪⎩A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。

l 解法二：如图，设A ≠0,B ≠0，则直线l 与x 轴和y 轴都相交，过点P 0分别作x 轴和y 轴的平行线，交直线

于R 和S，则直线P 0R 的方程为y =y 0，R 的坐标为（-By 0+C , y 0）； A x ,-直线P 0S 的方程为x =x 0，S 的坐标为（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面积公式可得d ⋅RS =P 设PQ 00R ⋅P 0S.于是得d = 因此，点P 0(x 0, y 0)到直线l :Ax +By +C = 0的距离d =上式仍成立。注意: P 0R ⋅P 0S RS = 容易验证，当A=0或B=0时，①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离； ②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；

③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时Ax 0+By 0+C =0。（3）两平行线间的距离。

定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。

两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2= 0的距离公式d = 推导过程：设P 则P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距离

0(x 0, y 0)为直线l 1:Ax +By +C 1=0上任意一点，0为d =，又因为P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y 的系数分别相等。

例题

22、求经过点A(-1,2)与B(-,0)的直线上一点C（5，n）到直线x +y =1的距离。例题

23、求经过点A（1，2）且到原点的距离等于1 的直线方程。例题

24、已知三角形ABC 中，点A（1，1），B（m）（1

例题

25、求过点P（1，2）且与A（2，3），B(4,-5)两点距离相等的直线方程。作业：

1、设θ∈(52 π 2 , π)，则直线x cos θ+y sin θ+1=0的倾斜角α为（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、设P（x，y）是曲线C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一点，则 y 的取值范围是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]⋃*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]⋃*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l 过点A(1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．过点P（6，－2）且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直线l 经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2, 则直线l 的条数为(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如图所示，直线l 1：ax －y ＋b=0与l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的图象只可能是()

7、若三点A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一条直线上, 则有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直线l 经过原点和点(－1, －1), 则它的倾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直线l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0与直线l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，则方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.过l 1与l 2交点的一切直线 B.过l 1与l 2的交点，但不包括l 1可包括l 2的一切直线 C.过l 1与l 2的交点，但包括l 1不包括l 2的一切直线 D.过l 1与l 2的交点，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直线 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直线()A.恒过定点(－2,3)B.恒过定点(2，3)C.恒过点(－2,3)和点(2，3)D.都是平行

11、过点(-1，)且与直线3x-y +1=0的夹角为 π 的直线方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的取值范围是_________。

13、直线l 的方向向量为（-1，2），直线l 的倾斜角为

14、已知直线L 过P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），则直线L 的方程为。

15、已知点M(a , b)在直线3x +4y = 15上，则

16、△ABC 的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直线的方程;（2）BC 边上中线AD 所在直线的方程;（3）BC 边的垂直平分线DE 的方程.17、求到两直线l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距离相等的点P(x , y)满足的方程