高二数学教案：直线的方程

第一篇：高二数学教案：直线的方程

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直线的方程（1）

【教学目标】1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；

2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜率k及在y轴上的截距b）求直线方程； 3.掌握斜率不存在时的直线方程，即xx1．

【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用.【教学难点】直线的点斜式的推导。【教学过程】

（一）复习：（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线上两个不同点(x1,y1),(x2,y2)，x1x2，求此直线的斜率k．

（二）新课讲解： 1．点斜式

问题引入：已知直线l经过点P1(x1,y1)，且斜率为k，求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l不同于点P1(x1,y1)的任意一点，根据直线的斜率公式，得：kyy1xx1，可化为yy1k(xx1)．

可以验证：直线l上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线l上.这个方程就是过点P1，斜率为k的直线l的方程，叫做直线方程的点斜式．

2．两种特殊的直线方程

（1）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为0，则ktan00，直线l的方程是yy1；（2）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为90，则斜率不存在，因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，直线l的方程是xx1．

此时不能使用直线方程的点斜式求它的方程，这时直线l的方程是xx1。3．问：kyy1xx1与yy1k(xx1)表示同一直线吗？．

（三）例题分析：

例1．一条直线经过点P1(2,3)，倾斜角为45，求这条直线方程，并画出图形。

解：∵直线经过点P1(2,3)，且斜率ktan451，代入点斜式，得：y3x2，即xy50．

xy50

y

5 O x

例2．直线l斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。

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解：代入直线的点斜式，得：ybk(x0)，即ykxb．

说明：（1）直线l与x轴交点(a,0)，与y轴交点(0,b)，称a为直线l在x轴上的截距，称b为直线l在y轴上的截距；

（2）这个方程由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定，叫做直线方程的斜截式；

（3）初中学习的一次函数ykxb中，常数k是直线的斜率，常数b为直线在y轴上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直线l经过点P(2,1)，且倾斜角等于直线y2x1的倾斜角的2倍，求直线l的方程．

解：设已知直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角为2，2tan4 ∵tan2，∴ktan2，21tan3又∵直线l经过点P(2,1)，∴直线l的方程为y1(x2)，3即所求的直线方程为4x3y110． 4例4．求直线y3(x2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。

解：设直线y3(x2)的倾斜角为，则tan3，又∵[0,180)，∴120，∴所求的直线的倾斜角为1203090，所以，所求的直线方程为x2．

例5：已知直线过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。

分析：关键是求斜率k.解：因为直线与x轴不垂直，所以可设直线的方程为y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=12（|2k3）(3k3k3k2 由题意得：

2)|4，2)8,无解；若（2k3）(3k2)8,解得：k12,k92若（2k3）(

所求直线的方程为y312(x2)和y392(x2)

即x2y40和9x2y120规律：已知直线过一个点常选用直线方程的点斜式。

（四）．课堂练习：1．课本第39页练习1，2，3；

 2．求直线yxcot1,(,)的倾斜角； 3．求过点(2,1)且倾斜角满足sin

45的直线方程.3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网

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（五）．小结：要求直线方程，通过待定系数：直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜

率k及在y轴上的截距b，代入点斜式或斜截式求出直线方程.（六）．作业：课本第44页第1题（1）（3）（5）

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第二篇：高三数学教案：直线方程(5课时)

第一课时

3.1.1 直线的倾斜角与斜率

教学要求：会根据直线上的两点坐标求直线的倾斜角与斜率,给出一直线上的一点与它的斜率,能够画出它的图象.教学重点：理解倾斜角, 斜率.教学难点：倾斜角, 斜率的理解及计算.教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2.在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?

二、讲授新课：

1.教学平面倾斜角与斜率的概念：

① 直线倾斜角的概念： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角

注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。

讨论:倾斜角的取值范围是什么呢?

② 直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.常用k表示,ktan

讨论:当直线倾斜角为90度时它的斜率不存在吗?.倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?斜率为正或负时,直线过哪些象限呢? 取值范围是0,.y2y1x2x1③ 直线斜率的计算:两点确定一直线,给定两点p1(x1,y1)与p2(x2,y2),则过这两点的直线的斜率k

思考 :(1)直线的倾斜角确定后, 斜率k的值与点p1,p2的顺序是否有关?

(2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上述公式ky2y1x2x1还适用吗? 2.教学例题: 例1,求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.例2:在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率分别为 1,2,3的直线l1,l2,l3.三.巩固与提高练习: 1.已知下列直线的直线倾斜角,求直线的斜率k.⑴ a300 ⑵ a450

⑶ a1200

⑷

1350 2:已知直线l过点A(1,2)、B(m,3),求直线l的斜率和倾斜角 3,已知a,b,c是现两两不等的实数,求经过下列两点直线的倾斜角.(1)A(a,b),B(b,c)

(2)P(b,bc),Q(a,ca)4.画出经过点(0,3)且斜率分别为3和-2的直线.四.小结:

倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.五:作业,P9

52题.第二课时

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

教学要求：明白两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系,能够 通过代数的方法,运用斜率来判定两直线平行与垂直关系.教学重点：用斜率来判定两直线平行与垂直.教学难点：用斜率来判定两直线平行与垂直.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：直线的倾斜角的取值范围是什么?如果计算直线的斜率? 2.在同一直角坐标系中画出过原点斜率分别是-3,3,1的直线的图象.3.探究：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?

二、讲授新课：

1.两条直线平行的判定：

① 由上述探究 →两条直线平行：两直线倾斜角都相等.即: 12 ，提问: 两直线平行,它们的斜率相等吗? l1l2k1k2 ② 两条直线平行的判定: 两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率相等.即: 12 , l1l2k1k2

注意: 上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在.2.两条直线垂直的判定：

探究两直线l1,l2垂直时,它们的斜率k1,k2的关系.① l1,l2的倾斜角1900,200时, 斜率k1,k2不存在;

② 当斜率k1,k2都存在时.设l1,l2的倾斜角分别为1,2, 其中01>2，则有1902

k1tan1tan(902)01tan21k2，即：k1k21

两条直线垂直的判定：两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1,k2的乘积k1k21。即：l1l2k1k21

3.教学例题：

例1：已知四边形的四个顶点分别为A(0,1),B(2,0),C(4,3),D(2,4)，试证明四边形ABCD为平行四形。

例2：已知A(5,1),B(4,5),P(1,2),Q(7,5)，试判断直线AB与PQ位置的关系。4． 练习与提高：

1，试判断分别经过下列两点的各对直线是平行还是垂直？ ⑴(3,4),(2,1)与(3,1),(2,2)

⑵

(m,4)m,(求m的值。

四.小结:

倾斜角、斜率的概念, 斜率的计算公式.五:作业, P9

46.7题.1与,3(2,1)(3,0)

2, l1经过点A(m,1),B(3,4)，l2经过点C(1,m),D(1,m1)，当直线l1与l2平行或垂直时，第三课时3.2.1

直线的点斜式方程

教学要求：明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定，会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，会根据直线的点斜式方程求直线的截距。

教学重点：直线点斜式方程的理解与求解，由点斜式方程求直线的截距。教学难点：直线点斜式方程的理解与求解。教学过程：

一、复习准备：

1.直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率? 2.提问：两条不重合的直线,斜率都存在.它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂直?

二、讲授新课：

直线点斜式方程的教学:

① 已知直线l上一点p0(x0,y0)与这条直线的斜率k，设p(x,y)为直线上的任意一点，则有：

kyy0xx0yy0k(xx0)

⑴

探究: 两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线的斜率能不能确定一直线呢?

满足方程⑴的所有点是否都在直线 l上? 点斜式方程 ：方程 ⑴:yy0k(xx0)称为直线的点斜式方程.简称点斜式.② 讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?(引导学生从斜率的角度去考虑)结论:不能表示垂直于x轴的直线.③ 斜截式方程: 由点斜式方程可知,若直线过点B(0,b)且斜率为k,则直线的方程为: ykxb

方程ykxb称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中b为直线在y轴上的截距.④ 能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.(截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标)⑤ 教学例题:

0⒈直线l经过点p0(2,5),且倾斜角为60,求直线l的点斜式方程并画出直线图象.⒉求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为3,在y轴上的截距为1:⑵斜率为2,在y轴上的截距为5;⒊把直线l的方程x2y60化成，求出直线l的斜率和在y轴上的截距，并画图．

三.:练习与提高: 1.已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和斜截式.2.方程y13x3表示过点______、斜率是______、倾斜角是______、在y轴上的截距是______的直线。3.已知直线l的方程为y12x1,求过点(2,3)且垂直于l的直线方程.四小结: 点斜式.斜截式.截距 五:作业, P110 3.5题.第四课时3.2.2

直线的两点式方程

教学要求：会由两点求直线的方程,明白直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.教学重点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.教学难点：直线两点式及一般式理解与求解.及各种形式互化.教学过程：

一、复习准备：

1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点C2,2,倾斜角是60；

二、讲授新课：

1.直线两点式方程的教学:

① 探讨:已知直线l经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点,如何求直线的点斜式方程?

yy1y2y1x2x1xx1x2x1(xx1)

两点式方程:由上述知, 经过p1(x1,y1),p2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)两点的直线方程为yy1y2y1

⑴，我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式.例1:求过A(2,1),B(3,3)两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.② 当直线l不经过原点时,其方程可以化为

1 ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中 b直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b.axyx2x1x2④ 中点:线段AB的两端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x,y),其中

yy1y22例2:已知直线经过A(2,0),B(0,3)两点,则AB中点坐标为______,此直线截距式方程为______、与x轴y轴的截距分别为多少？

2.巩固与提高:

① 已知ABC的三个顶点是A(0,7)B(5,3)C(5,-3)，求（1）三边所在直线的方程；

（2）中线AD所在直线的方程。

② 一直线经过点（-3，4）且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程 ③ 经过点（１，２），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有（）

A 1条

B 2条

C 3条

D 4条 ④ 上题若把点坐标改为(1,0)(2,2)呢? 3.小结:两点式.截距式.中点坐标.4.:作业P1104.题.第五课时3.2.3

直线的一般式方程

教学要求：引导学生体会直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，清楚直线与二元一次方程的对应关系．能由直线的一般式转化为所需要的其他直线形式.教学重点：直线一般式理解与求解.及一般式与点斜式、斜截式、两点式和截距式互化.教学难点：直线一般式理解与求解.及其它形式互化.教学过程：

一、复习准备：

1.写出下列直线的两点式方程.① 经过点A(-2,3)与 B(-3,0)；②经过点B(-3,0)与 C2,2；

2.探讨:点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?(我们需要直线的一般表示法)

二、讲授新课：

1问：直线的方程都可以写成关于x,y的二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线 关于x,y的二元一次方程:AxByC0(1),(叫直线的一般方程,简称一般式.① 当B0,(1)式可化为yABxCB,这是直线的斜截式.C② 当B0,A0时,(1)式可化为xA定义一般式: 关于x,y的二元一次方程:AxByC0(A,B不全为0)叫直线的一般式方程,.这也是直线方程.简称一般式.2.引导学生思考:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?(直线与二元一次方程是一对多的对应,同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.)出示例题:已知直线经过点(6,4),斜率为43,求直线的点斜式和一般式方程.3.探讨直线AxByC0,当A,B,C为何值时,直线①平行于x轴;②平行于y轴③与x轴重合④与y轴重合.4.出示例题:把直线l的一般方程3y2x50化成斜截式方程,并求出直线l与x轴、y轴的截距,画出图形.三.练习与提高: 1.设直线l的方程为(m2)x3ym,根据下列条件分别求的值.①l在x轴上的截距为2.② 斜率为1

2．若直线AxByC0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C满足条件（）(A)A、B、C

(B)AC<0,BC>0

(C)C=0,AB<0

(D)A=0,BC<0

3.已知直线l经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程． 四.小结:一般式..五.:作业P11010.题.

第三篇：高二数学教案：抛物线及其标准方程

一．课题：抛物线及其标准方程（1）

二．教学目标：

1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

三．教学重、难点：

1.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．

2.难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)

四、教学过程

(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形． 引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义

1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？ 2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结． 3．定义：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：

用心

爱心

专心

p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y=2pxp(p＞0)．

方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为： p={M||MF|=|MD|}．

22化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？ 引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)： 2

用心

爱心

专心

由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程．

方程是x=8y．

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(3，0)；

答案是：(1)y2=12x；

(2)y2=x；

(3)焦点到准线的距离是2．

(3)y2=4x，y2=4x，x2=4y，x2=4y．

由三名学生演板，教师予以订正．

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结：

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．

五、作业：

2到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

22222．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x=2y；(2)4x+3y=0；(3)2y+5x=0；(4)y6x=0． 3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(6，3)． 4．求焦点在直线3x4y12=0上的抛物线的标准方程． 作业答案：

3．(1)y=24x，y=2x，(2)x=12y(图略)2224．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x=12y或

用心

爱心

专心

用心

爱心专心y2=16x.

第四篇：高二数学教案：圆锥曲线方程：02

椭圆及其标准方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．

(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程(一)椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等„„

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．

(二)椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到． 教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题

平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[

]

由学生口答，答案为D．(四)小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-

15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长． 作业答案：

4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．

六、板书设计

第五篇：直线方程教案

Ⅰ.课题导入

［师］同学们，我们前面几节课，我们学习了直线方程的各种形式，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这是这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。现在大家回忆一下，我们都学习了直线方程的哪些特殊的形式。我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.点斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）适用于斜率存在的直线.斜截式的基本形式：y＝kx＋b适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：直线；

截距式的基本形式：

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）适用于斜率存在且不为0的y2y1x2x1xy＝1（a，b≠0）适用于横纵截距都存在且不为0的直线.ab在使用这些方程时要注意它们时要注意它们的限制条件。

那么大家观察一下这些方程，都是x,y的几次方程啊？［生］都是关于x，y的二元一次方程.那么我们原来在代数中学过二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板书）Ax＋By＋C＝0 我们现在来看一次这几种学过的特殊形式，它们经过一些变形，比如说去分母、移项、合并，这样一些变形步骤。能不能最后都化成这个统一的形式呢？比如说y＝kx＋b，xayb＝1，这些我们最终都可以吧它们变成这种形式。剩下的两种形式的变形留给同学们课下自己去完成。那么在学习这些直线的特殊形式的时候，应该说各有其特点，但是也有些不足。在使用的过程中有些局限性。比如说点斜式和斜截式它们的斜率都必须存在，两点式适用于适用于斜率存在且不为0的直线，截距式适用于横纵截距都存在且不为0的直线.那么我们现在想一想有没有另外一种形式，可以综合他们各自的一些特点，也就是这些方程最后化成一个统一的形式。能不能代表平面直角坐标系中的直线。要解决这些问题呢，要分两个方面进行讨论。

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.一个方面：是不是平面上的任意直线，表示它的方程都可以写成Ax＋By＋C＝0的形式，刚才大家做了一些练习，当然这只是特殊形式，是不是所有的直线都可以写成这种形式呢？直线按斜率来分类可以分几类？斜率存在和斜率不存在。这两类是不是都可以转化成一元二次方程的形式。当倾斜角不等于90°是斜率存在，直线方程可以写成y＝kx＋b的形式。可以转化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=k B=-1 C=b。当倾斜角等于90°斜率不存在，直线方程可以写成x=x0的形式。可以转化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比较发现什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我们就把它分为这两种情况，当斜率存在的时候我们一般把它设成一个简单的斜截式，斜截式经过变形就可以化成一般的形式。而对于斜率不存在的时候，它的方程形式就是x=x0直线方程也可以转化成这样的一个形式。那么由此可以下这样一个结论：平面上的任意的一条直线，表示它的方程最后都可以转化成二元一次方程的形式。刚才我们从这个角度考虑，就是直线都可以转化成二元一次方程，现在我们反过来看，是不是任意的一个二元一次方程最终在直角坐标系下都能够表示直线。

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－示与y轴平行或重合的直线方程x＝－

ACx和表BBC.A也就是说Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）大家想想如果AB都等于零这个直线方程就没了。现在我们考虑一下，这个方程能不能经过一些适当的变形，变成我们熟悉的形式，而确定它就是一个在平面直角坐标系中就是一条直线呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y轴上的截距。二元一次方程通过变形在直角坐标系下都表示一条直线。那么我们从两个方面在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.在平面直角坐标系中，二元一次方程都表示一条直线.根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.我们就把代数中的二元一次方程定义为直线的一般式方程。

定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程。我们在学习前面直线的几种特殊形式的方程，一眼就可以看出这条直线的某些特点，比如说点斜式就可以看出它的斜率还有过一个定点，还有两点式可以看出它过两个定点。那么我们怎么通过直线的一般式方程观察直线的一些特点呢？比如说A=0表示什么样一条直线？y=-平行于x轴的直线，也有可能与x轴重合。如果要平行于y轴这个系数要满足什么样的条件？如果旦旦是c等于零，通过原点的直线。假如AB都不等于零它的斜率我们怎么看出来？这些直线的特点我们要能掌握住。我们对直线的一般式方程有了一定的了解。直线的一般式方程和和那几种特殊的形式之间有一个互相的转化，那么我们来看一个例子，通过一些转化来解决实际问题。

［例1］已知直线经过点A(6，－４），斜率为－

4，求直线的点斜式和一般式方程.3分析：本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.解：经过点A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直线方程的点斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同学们在以后解题时，可能求直线方程的时候，求出不一定是一般式，可能是点斜式、两点式等等，如题目没有特殊要求我们都要把各种形式化成一般式。对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.