高二数学教案

第一篇：高二数学教案

不等式专题讲解

一、复习旧知

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

二、新课讲解

重难点：不等式的应用

考 点： 不等式在函数最值中的应用 易混点： 不等式的运算 ◆【典型例题】

【例1】 解不等式：a1a x2解：原不等式可化为：(a1)x(2a)＞0，x2即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.当a＞1时，原不等式与(x－若

a2)(x－2)＞0同解.a1a2a2≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原a1a1a2)∪(2，+∞).a1a2a2，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)a1a1不等式的解为(－∞，当a＜1时，若a＜0，解集为(综上所述：

当a＞1时解集为(－∞，a2a2)∪(2，+∞)； 当0＜a＜1时，解集为(2，)； a1a1a2，2).a1当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(【例2】 解关于x的不等式：log2x1log4[ax21]a0．

x1x101解：原不等式等价于ax210 ①，即x2.a2x1ax21xax2011x2由于a1，所以12，所以，上述不等式等价于

② aaxax201x2（1）当1a2时，不等式组②等价于 ax2或xa1a121此时，由于2a0，所以 2a．

aaa从而

21xa或x2． a33x（2）当a2时，不等式组②等价于所以

x，且x2． 22x

21x2（3）当a2时，不等式组②等价于 ax2或xa此时，由于2综上可知： 112，所以，2x2或xa． aa当1a2时，原不等式的解集为x2321xa或x2； a当a2时，原不等式的解集为xx，且x2；

1当a2时，原不等式的解集为x2x2或xa．

a【例3】 解关于x的不等式：4logaxlogax2a0，a1 解：原不等式等价于

4logax02logax42logax4logx20 2alogx3或logx0logx3logx0aaaa24logxlogx2aa3logax4，∴当a1时，原不等式的解集为xa3xa4

当0a1时，原不等式的解集为xa4xa3

【例4】 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时f(m)f(n)＞0.mn



(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式：f(x+

11)＜f()； 2x1(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围.解：(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知f(x1)f(x2)＞0，又 x1－x2＜0，x1x2f(x1)f(x2)·(x1－x2)

x1x2∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数.(2)解：∵f(x)在［－1，1］上为增函数，11x12131

解得：{x|－≤x＜－1，x∈R} ∴1x1211x2x1(3)解：由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2.∴t的取值范围是：{t|t≤－2或t=0或t≥2}.家庭作业

姓名__________年纪__________日期_________得分_____________ 1．不等式|ax1|a(aR)的解集是

（D）x1}

a

（A）{x|x

（B）{x|x1} 2a

（C）{x|111} x}

（D）{x|x0或0x2aa2a2．当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是（B）

（A）[2,)

（B）（1，2）

（C）(1,2]

（D）（0，1）

3．不等式logx1(2x3)logx1(x2)成立的一个充分但不必要条件是

（B）

（A）x2

（B）x4

（C）1x2

（D）x1 4．三个数log1124，20.，20.2的大小关系是

（B）

（A）log10.22220.1

（B）log11220.20.244

（C）20.120.2log1.224

（D）20.1log12420

5．若全集IR，Axx10，Bxx22lgx则AB是(B)A．2 B．1

C．

D．xx1

6．下列命题中，正确的是(C)A．若x2x，则x0

B．若x0，则x2x C．若x0，则x2x

D．若x2x，则x0

7．若a，b是任意实数，且ab，则(D)ab A．a2b2 B．ba1

C．lgab0

D．1122

8．设0ab且ab1，则下列四数中最大的是(A)A．a2b2

B．2ab

C．a

D．9．不等式a2x22a2x40对xR恒成立，则a的取值范围为(D A．，22， B．，22， C．2，2 D．2，2

10．不等式0.52lg|x|1的解集是(B)A．1，1 B．1，00，1 C．

D．，1122，

11.解不等式：a2x1ax2ax2(a0)解：∵ ax2+ax2=(a2+1a2)ax，变形原不等式，得

a2x(a21xx1a2)a10，即(aa2)(axa2)0)

(1)当0 < a < 1时，a2

(2)当a>1时，a2

(3)当a=1时，a21a21a21a2，则a2 < ax < a-2，∵-2 < x < 2，则a-2 < ax < a2，∴-2

12．解不等式logx3x111

解：由x10且x0，x1，得x1，原不等式等价于3x11x

3x1x1

而x1；9x1x22x1 整理，x27x1002x5 ∴2x5为所求。

第二篇：高二数学教案：二项式定理

北京英才苑网站

http://www.xiexiebang.com与第r1项的系数是不同的概念。

三、教学重点、难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。

四、教学过程：

（一）复习：

1．二项式定理及其特例：

0n1nrnrrnn

（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，1rr

（2）(1x)n1CnxCnxxn.rnrr2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnab.（二）新课讲解：

例1（1）求(12x)7的展开式的第四项的系数；（2）求(x)的展开式中x的系数及二项式系数。19x3解：(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，∴(12x)的展开式的第四项的系数是280． 7

（2）∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x191r9r()r(1)rC9rx92r，xx∴92r3，r3，333∴x的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

4例2 求(x3x4)的展开式中x的系数。

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开。

解：（法一）(x3x4)[(x3x)4]

01C4(x23x)4C4(x23x)34

234C4(x23x)242C4(x23x)43C444，显然，上式中只有第四项中含x的项，33∴展开式中含x的项的系数是C434768

24444（法二）：(x3x4)[(x1)(x4)](x1)(x4)

04132234(C4xC4xC4xC4xC4)04132234(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

3433∴展开式中含x的项的系数是C44C44768． 22424

北京英才苑网站

http://www.xiexiebang.com4x(2Cm4Cn)x mn2211∴(2Cm4Cn)36，即m2n18，12xm14x展开式中含x2的项的系数为 n22222Cn42m22m8n28n，tCm∵m2n18，∴m182n，∴t2(182n)2(182n)8n8n16n148n612

3715337时，t取最小值，16(n2n)，∴当n448*2但nN，∴ n5时，t即x项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．

例4 已知(x1)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，24x

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。

解：由题意：2Cnr822211121Cn()2，即n29n80，∴n8(n1舍去）221r163rrrr1rr8rC80r8 24 ∴Tr1Cx(4)()C8xx1rx4222xrZ①若Tr1是常数项，则163r0，即163r0，∵rZ，这不可能，∴展开

4式中没有常数项； 8r②若Tr1是有理项，当且仅当163r为整数，∴0r8,rZ，∴ r0,4,8，4即展开式中有三项有理项，分别是：T1x4，T535x，T91x2.8256

五、课堂练习：课本第107页练习第5，6题。

六、课堂小结：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；

2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性。

七、作业：课本第143页 复习参考题十第12题，补充： 1．已知x3a8的展开式中x的系数是ax19展开式中倒数第四项的系数的2倍，求

a,a,a,a,前n项的和；

12．(xx4)n的展开式中第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中

x

常数项。

-23n3

第三篇：新人教版高二数学教案

【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了新人教版高二数学教案，希望能给大家带来帮助!

2.3.2离散型随机变量的方差

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

过程与方法：了解方差公式D(a+b)=a2D，以及若～(n，p)，则D=np(1p)，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：了解方差公式D(a+b)=a2D，以及若～(n，p)，则D=np(1p)，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，，中，各数据与它们的平均值 得差的平方分别是，，那么 + ++ 叫做这组数据的方差

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母、等表示

2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

5.分布列:

x1 x2 xi

P P1 P2 Pi

6.分布列的两个性质： ⑴Pi0，i=1，2，;⑵P1+P2+=1.7.二项分布:～B(n，p)，并记 =b(k;n，p).0 1 k n

P

8.几何分布： g(k，p)=，其中k=0,1,2,，.1 2 3 k

P

9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量的概率分布为

x1 x2 xn

P p1 p2 pn

则称 为的数学期望，简称期望.10.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

平均数、均值:在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值

12.期望的一个性质:

13.若 B(n,p)，则E=np

二、讲解新课：

1.方差: 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，，且取这些值的概率分别是，，，那么，= + ++ +

称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量的期望.2.标准差: 的算术平方根 叫做随机变量的标准差，记作.3.方差的性质：(1);(2);

(3)若～B(n，p)，则 np(1-p)

4.其它：

⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;

⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

三、讲解范例：

例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为 1 2 3 4 5 6 从而

例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息： 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2000 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位? 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得 EX1 = 12000.4 + 1 4000.3 + 16000.2 + 18000.1 = 1400 , DX1 =(1200-1400)2 0.4 +(1400-1400)20.3 +(1600-1400)20.2+(1800-1400)20.1 = 40 000;EX2=1 0000.4 +1 4000.3 + 1 8000.2 + 22000.1 = 1400 , DX2 =(1000-1400)20.4+(1 400-1400)0.3 +(1800-1400)20.2 +(2200-1400)20.l = 160000.因为EX1 =EX2, DX 1 例3.设随机变量的分布列为 1 2 n

P

求D

解：(略)，例4.已知离散型随机变量 的概率分布为

7

P

离散型随机变量 的概率分布为

3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3

P

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：;

;

;

=0.04,.点评：本题中的 和 都以相等的概率取各个不同的值，但 的取值较为分散，的取值较为集中.，，方差比较清楚地指出了 比 取值更集中.=2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：

+(10-9);同理有

由上可知，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些.点评：本题中，和 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同.=9，这时就通过 =0.4和 =0.8来比较 和 的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例6.A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

A机床 B机床

次品数1 0 1 2 3 次品数1 0 1 2 3

概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10

问哪一台机床加工质量较好

解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44，E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差

D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2

0.06+(3-0.44)20.04=0.6064，D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20.06+(2-0.44)2

0.04+(3-0.44)20.10=0.9264.D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好.四、课堂练习：

1.已知，则 的值分别是()

A.;B.;C.;D.答案：1.D 2.一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望.分析：涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3

当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P(=0)=

当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P(=1)=

当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P(=2)=

当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P(=3)=

所以，E=

3.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的.解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即 B(200，1%)，从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以 B(200，1%)因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E=2001%=2,D=2001%99%=1.98

4.设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数的方差不超过1/4

分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列.求出方差D=P(1-P)后，我们知道D是关于P(P0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为所有可能取的值为0，1且P(=0)=1-p,P(=1)=p，所以，E=0(1-p)+1p=p

则 D=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p)

5.有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

A 110 120 125 130 135 B 100 115 125 130 145

P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2

其中A、B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

分析： 两个随机变量A和 B都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值.A取较为集中的数值110，12 0，125，130，135;B取较为分散的数值100，115，125，130，145.直观上看，猜想A种钢筋质量较好.但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：先比较A与B的期望值，因为

EA=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125，EB=1000.1+1150.2+1250.4十1300.1+1450.2=125.所以，它们的期望相同.再比较它们的方差.因为

DA=(110-125)20.1+(120-125)2 0.2+(130-125)20.1+(135-125)20.2=50，DB=(100-125)20.1+(110-125)2 0.2+(130-125)20.1+(145-125)20.2=165.所以，DA DB.因此，A种钢筋质量较好

6.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元?

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题.本题的不考虑获利的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用

解：设一张彩票中奖额为随机变量，显然所有可能取的值为0，5，25，100 依题

意，可得的分布列为 0 5 25 100

P

答：一张彩票的合理价格是0.2元.五、小结 ：⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：①理解的意义，写出可能取的全部值;②求取各个值的概率，写出分布列;③根据分布列，由期望的定义求出E;④根据方差、标准差的定义求出、.若～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.⑵对于两个随机变量 和，在 和 相等或很接近时，比较 和

，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A组4 B组1,2

1.设 ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p

解：由二次分布的期 望与方差性质可知E =np D = np(1-p)

2.已知随机变量 服从二项分布即 ~B（6、)求b(2;6，)

解：p(=2)=c62()2()4

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和，已知 和 的分布列如下：(注得分越大，水平越高)

3

p A 0.1 0.6

3

p 0.3 b 0.3

试分析甲、乙技术状况

解：由0.1+0.6+a+1 a=0.3

0.3+0.3+b=1 a=0.4

E =2.3 , E =2.0

D =0.81 , D =0.6

七、板书设计(略)

八、教学反思：

⑴求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：

①理解的意义，写出可能取的全部值;

②求取各个值的概率，写出分布列;

③根据分布列，由期望的定义求出E;

④根据方差、标准差的定义求出、.若～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.⑵对于两个随机变量 和，在 和 相等或很接近时，比较 和，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

第四篇：高二数学教案：直线的方程

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直线的方程（1）

【教学目标】1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；

2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜率k及在y轴上的截距b）求直线方程； 3.掌握斜率不存在时的直线方程，即xx1．

【教学重点】直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用.【教学难点】直线的点斜式的推导。【教学过程】

（一）复习：（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线上两个不同点(x1,y1),(x2,y2)，x1x2，求此直线的斜率k．

（二）新课讲解： 1．点斜式

问题引入：已知直线l经过点P1(x1,y1)，且斜率为k，求直线l的方程.设点P(x,y)是直线l不同于点P1(x1,y1)的任意一点，根据直线的斜率公式，得：kyy1xx1，可化为yy1k(xx1)．

可以验证：直线l上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线l上.这个方程就是过点P1，斜率为k的直线l的方程，叫做直线方程的点斜式．

2．两种特殊的直线方程

（1）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为0，则ktan00，直线l的方程是yy1；（2）直线l经过点P1(x1,y1)的倾斜角为90，则斜率不存在，因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，直线l的方程是xx1．

此时不能使用直线方程的点斜式求它的方程，这时直线l的方程是xx1。3．问：kyy1xx1与yy1k(xx1)表示同一直线吗？．

（三）例题分析：

例1．一条直线经过点P1(2,3)，倾斜角为45，求这条直线方程，并画出图形。

解：∵直线经过点P1(2,3)，且斜率ktan451，代入点斜式，得：y3x2，即xy50．

xy50

y

5 O x

例2．直线l斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，求直线l的方程。

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解：代入直线的点斜式，得：ybk(x0)，即ykxb．

说明：（1）直线l与x轴交点(a,0)，与y轴交点(0,b)，称a为直线l在x轴上的截距，称b为直线l在y轴上的截距；

（2）这个方程由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定，叫做直线方程的斜截式；

（3）初中学习的一次函数ykxb中，常数k是直线的斜率，常数b为直线在y轴上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直线l经过点P(2,1)，且倾斜角等于直线y2x1的倾斜角的2倍，求直线l的方程．

解：设已知直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角为2，2tan4 ∵tan2，∴ktan2，21tan3又∵直线l经过点P(2,1)，∴直线l的方程为y1(x2)，3即所求的直线方程为4x3y110． 4例4．求直线y3(x2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程。

解：设直线y3(x2)的倾斜角为，则tan3，又∵[0,180)，∴120，∴所求的直线的倾斜角为1203090，所以，所求的直线方程为x2．

例5：已知直线过点P（-2，3），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程。

分析：关键是求斜率k.解：因为直线与x轴不垂直，所以可设直线的方程为y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=12（|2k3）(3k3k3k2 由题意得：

2)|4，2)8,无解；若（2k3）(3k2)8,解得：k12,k92若（2k3）(

所求直线的方程为y312(x2)和y392(x2)

即x2y40和9x2y120规律：已知直线过一个点常选用直线方程的点斜式。

（四）．课堂练习：1．课本第39页练习1，2，3；

 2．求直线yxcot1,(,)的倾斜角； 3．求过点(2,1)且倾斜角满足sin

45的直线方程.3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！3eud教育网

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（五）．小结：要求直线方程，通过待定系数：直线上的一个点的坐标(x1,y1)及斜率k，或者直线的斜

率k及在y轴上的截距b，代入点斜式或斜截式求出直线方程.（六）．作业：课本第44页第1题（1）（3）（5）

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第五篇：高二数学教案：圆锥曲线方程：02

椭圆及其标准方程

一、教学目标(一)知识教学点

使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．(二)能力训练点

通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．

二、教材分析

1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

(解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．)2．难点：椭圆的标准方程的推导．

(解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．)3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因．(解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．)

三、活动设计

提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．

四、教学过程(一)椭圆概念的引入

前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：

问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？ 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．

提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．

问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？

一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：

“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．

比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．

教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等„„

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．

(二)椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程

(4)化简方程

化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：

①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要

(a＞b＞0)．

关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．

示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2． 2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到． 教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题与练习

例题

平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程． 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，这个椭圆的标准方程是

请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分

练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是

[

]

由学生口答，答案为D．(四)小结

1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形如图2-

15、2-16．

4．焦点：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作业

1．如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|A1F1|=2，A2 F1的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程．

3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求△ABF2的周长． 作业答案：

4．由椭圆定义易得，△ABF2的周长为4a．

六、板书设计