高二年级数学教案设计：直线的方程+高二年级数学教案设计：曲线和方程

高二年级数学教案设计：直线的方程

一、教学目标

（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程.（3）掌握直线方程各种形式之间的互化.（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力.（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点.（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法.教学建议

1.教材分析

（1）知识结构

由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式.（2）重点、难点分析

①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程.解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线.本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用.直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头.学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习.②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明.2.教法建议

（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显.教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬.（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础.直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证.教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点

（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解.（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件.两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要.教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮.求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程.根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程.（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）.（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力.（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用.教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力.（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上.二、教学设计示例

直线方程的一般形式

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化.（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点.教学重点、难点：直线方程的一般式.直线与二元一次方程

（、不同时为0）的对应关系及其证明.教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

（一）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：

问：说出过点

（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的次数为一次.肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述.再看一个问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么?

答：直线方程是

（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的次数为一次.肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的次数为一次”.启发：你在想什么（或你想到了什么）?谁来谈谈?各小组可以讨论讨论.学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗?”

（二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决?自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路.学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导.经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论.首先让学生陈述解决思路或解决方案：

思路一：…

思路二：…

……

教师组织评价，确定方案（其它待课下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率

存在或不存在.当

存在时，直线的截距

也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程.当

不存在时，直线的方程可表示为

形式的方程，它是二元一次方程吗?

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线

上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程

解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的.综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程.至此，我们的问题1就解决了.简单点说就是：直线方程都是二元一次方程.而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如

这样，要么形如

这样的方程”.同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达?

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式.这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程.启发：任何一条直线都有这种形式的方程.你是否觉得还有什么与之相关的问题呢?

【问题2】任何形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗?

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面.这是显然的吗?不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论.那么如何研究呢?

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程

（其中、不同时为0）系数

是否为0恰好对应斜率

是否存在，即

（1）当

时，方程可化为

这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线.（2）当

时，由于、不同时为0，必有，方程可化为

这表示一条与

轴垂直的直线.因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如

（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线.为方便，我们把

（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的.【动画演示】

演示“直线各参数.gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线.至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系.（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略

高二年级数学教案设计：曲线和方程

一、教学目标

（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题.（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念.（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点.（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法.（5）进一步理解数形结合的思想方法.教学建议

教材分析

（1）知识结构

曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究.因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题.（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想.②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.教法建议

（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.注意强调曲线方程的完备性和纯粹性.（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则.（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：

设

表示曲线

上适合某种条件的点的集合；

表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程（曲线的方程），这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.教学中对课本例2的解法分析很重要.这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

文字语言中的几何条件

数学符号语言中的等式

数学符号语言中含动点坐标，的代数方程

简化了的，的代数方程

由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程.”

（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”.二、教学设计示例

课题：求曲线的方程（第一课时）

教学目标：

（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题.（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线.（3）初步掌握求曲线方程的方法.（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力.教学重点、难点：求曲线的方程.教学用具：计算机.教学方法：启发引导法，讨论法.教学过程：

【引入】

1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线.学生思考并回答.教师强调.2.坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.【问题】

如何根据已知条件，求出曲线的方程.【实例分析】

例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程.首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决.解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决.可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线的方程?根据是什么，有证明吗?

（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）.证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解.设

是线段的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得

这说明点的坐标

是方程的解.（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.设点的坐标

是方程①的任意一解，则

到、的距离分别为

所以，即点

在直线

上.综合（1）、（2），①是所求直线的方程.至此，证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设

是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程

吗?可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

解法二：设

是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点

属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

将上式两边平方，整理得

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足.显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证.这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点

与两条互相垂直的直线的距离的积是常数

求点的轨迹方程.分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系.然后仿照例1中的解法进行求解.求解过程略.【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.说得更准确一点就是：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如

表示曲线上任意一点的坐标；

（2）写出适合条件的点的集合；

（3）用坐标表示条件，列出方程；

（4）化方程

为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明.上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正.下面再看一个问题：

例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到

点的距离减去它到

轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系.解：设点

是曲线上任意一点，轴，垂足是

（如图2），那么点

属于集合由距离公式，点

适合的条件可表示为

①

将①式

移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于

轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示.【练习巩固】

题目：在正三角形

内有一动点，已知

到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点

轨迹方程.分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示.设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为

.根据条件，代入坐标可得

化简得

①

由于题目中要求点

在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：

（1）解析几何研究研究问题的方法是什么?

（2）如何求曲线的方程?

（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么?

【作业】课本第72页练习1，2，3；