1排列组合与二项式定理教案(多份)范文大全

第一篇：1排列组合与二项式定理教案(多份)

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.1 计数原理1—乘法原理（分步计数原理）

一、问题引入

常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？

路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？

这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．

二、教学过程

1、（1）参照《课本》P49图，讨论从A到B的不同走法情况．

答：

（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分为n个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，„„，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法． ②注意：m1、m2、mn对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？（3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？（4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？（5）3封信投4个邮箱，几种投法？（6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？（7）四台不同型号电视机搞促销呢？（8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座

例

2、（1）a1a2a3b1b2b3b4c1c2展开后共有多少项？（2）540的不同正约数有多少个？

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

3、已知x1,2,3,4,5，y3,4,5,6，则Mx,y共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线yx上的点？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？

（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？（3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？（4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？

例

5、（1）已知A0,1,2,3，若a,b,cA，且a,b,c互不相等，则可表示的所有一元二次方程ax2bxc0有多少？

（2）若a1,2,3,5，b1,2,3,5，则能表示多少条不同的直线ybx？ a22（3）若a3,4,5，b0,2,7,8，r1,8,9，可表示多少不同的圆xaybr2？

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.2 排列

一、教学过程

1、排列：一般地，从n个元素中取出m（mn）个元素，按照一定次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 特点：元素顺序不同，对应了不同的情况． 如果问题3中改为选取2人充当主持而不分正副，则还是排列问题吗？

2、如何判断两个排列是否相同？ 答：判断元素是否相同；排列顺序是否相同． 例

1、判断下列问题是否排列问题：

（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？（3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？（4）在（3）中共有多少种不同的票价？

（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？（6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？（7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？

3、排列数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pnm表示． 注：关于排列数的计算，Pn1表示n个元素里选取1个元素排成一列的情况，即n个元素选1个元素的选法，所以Pn1n，至于其他情况，有如下分析．

4、排列数公式：一般地，排列数Pnm可以按从n个不同元素中取出m个元素依次填入m个空位来考虑． Pnmnn1n2nm1 共m项

例

2、用排列数表示nmnm1nm15，其中m,nN，mn．

5、全排列

①n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 这时，排列数公式中的mn，即有 

Pnnnn1n2321 这就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积． ②正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示． 规定，0!1． ③Pnnn!为了保证全排列mn时也能成立，我们规定0!1．

例3、1!2!3!4!5!100!的个位数字是多少？

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例

4、解方程：（1）n3!1m1 

（2）P23n10Pn

3（3）5P9m3mP10n2!3

nn1n例

5、求证：PmnPmPm1．

例

6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？

例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）

例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成两排，每排5人；（3）甲不在队首；

（4）甲乙丙必须在奇数位上；

（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上；（6）甲乙丙三人必须在一起；

（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间；（8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起；（9）甲始终坐在乙的右侧．

例9、5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？

（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？

（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）

一、教学过程

1、加法原理

如果完成一件事有n类的办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法．

2、注意

①各类方法间相互独立，通过每一类方法都能完成整件事； ②分类时，确定一个分类的标准，不重复不遗漏； ③分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性． 例

1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次，（1）可以组成多少个自然数？（2）可以组成多少个奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？

（4）可以组成多少个比2300大的四位数？（5）可以组成多少个比240135大的数？（6）可以组成多少个能被5整除的四位数？（7）可以组成多少个能被25整除的四位数？

例

2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？

例

3、某天课程表排入数学、物理、化学、语文、英语、体育各一节，（1）体育不排第一节，也不排第三节，几种不同排法？（2）第一节不排体育，第三节不排数学，有多少种不同的排法？

二、课后练习

1、将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有几种排法？

2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？（1）某一本书必须排在左端或右端；（2）某一本书不能排在两端；

（3）某两本书，A不能排在左端，B不能排在右端．2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.4 组合

一、教学过程

1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关．

2、如何判断两个组合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、组合数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示． 1注：关于排列数的计算，Cn表示n个元素里选取1个元素的情况，即n个元素选1个元素的选法，所100nPn1n；Cn1；Cn以Cn表示n个元素里一个都不选的选法数，显然Cn表示n个元素里选取n个元素的选法数，显然，Cnn1，至于其他情况，有如下分析． Pnmnn1n2n!nm1

4、组合数公式：Cm，其中mn． m!m!nm!Pmmn例

1、解方程：CCC．

m1m1m例

2、证明：CnCn1．

n

15、组合的应用题

例

3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，（1）男甲、女A都必须当选，有几种选法？

（2）男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？（4）最多有三个女同学当选，有几种选法？

例

4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选；（2）A、B、C三人不能入选；（3）A、B、C三人只有一人入选；（4）A、B、C三人至少一人入选；（5）A、B、C三人至多二人入选．2n2n12n2 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？

（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？

6、组合数的性质 ①性质

1、CnmCnnm mm1m1CnCn②性质

2、Cn1 例

7、计算：CC

例

8、解方程：

x12x283C17Cn（1）C17

（2）Cn

n3n12n3C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nnnn；3Cn1

例

10、计算：

***6C4C5C6C7C8C9C6C7C8C9C7C8C9（1）C4；（2）C5；（3）C52C6

13m12C32C4CmCm例

11、证明：C211 1315810 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.5 二项式定理

一、教学过程

1、二项式定理： ①一般地，对于任意正整数n有 abn0n01n112n22nrrnrn11n1n0nCnabCnabCnabCnabCnabCnab ②右边的多项式叫做ab的二项展开式，它一共有n1项，其中各项的系数Cnr（r0，1，2，）叫做二项式系数，式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第r1项，用Tr1表示，即 rnrrTr1Cnab． n例

1、求1的二项展开式．

x14

1例

2、求2x的二项展开式．

x6

12例

3、（1）求xa的二项展开式的中间项；

1（2）求x的展开式中第四项的系数及二项式系数；

x91（3）求2x的展开式中x3的系数及二项式系数；

x912（4）求x的二项展开式中x的系数．

x8

x3例

4、（1）求的二项展开式中的常数项；

x31（2）求3x的二项展开式中的常数项；

x2（3）求x4的二项展开式中的有理项；

x15（4）若x2的二项展开式中x3的系数为，求a的值．

ax2691516

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

1例

5、已知x4的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．

2xn

1例

6、（1）设x2的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值；

2xn（2）若x2xnxn1ax3bx2cx2n（nN，n3）且a:b3:2，求n．

例

7、计算：

1n12n2rnrn（1）2nCn； 2Cn21Cn21Cn01n1nCnCnCn（2）Cn；

12n1n4Cn2n1Cn2nCn（3）12Cn；

例

8、求5051被7除所得的余数．

二、二项式系数性质： nrn1、观察二项式系数表，探究规律 ①每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； ②每一行两端都是1，其余位置的每一个数都等于它“肩上”两个数的和； ③每一行中，二项式系数先是逐渐增大至最大，然后逐渐减小，越靠近中间越大，左右对称．

2、一般地，二项式系数有如下两个性质： ①性质

1、ab的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； 这一性质可直接由公式CnmCnnm得到． ②性质

2、ab的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n． 1n1n将ab1分别代入ab和它的二项展开式中，即有2nCn0CnCnCn． nnn

例

8、求证：在ab的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

n 9

第二篇：高中数学 排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理

1．（西城区）在(2x2

A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续

数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种

3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）

A．18种B．36种C．54种D．72种

4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有

A．50种B．150种C．300种 D．600种（）

5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）

A．210种

x

6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x1

x)的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，n

若P+S=272，则n=,其展开式中的常数项为.210．(崇文区)若(x1

x2)展开式中只有第四项的系数最大，则，展开式中的第五n

项为

11．（丰台区）.在(x1

a)的展开式中，含x与x项的系数相等，则a的值是 754

12．（朝阳区）若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是

13．（宣武区）现有A、B、C、D、E、F、共6位同学站成一排照像，要求同学A、B相邻，C、D不相邻，这样的排队照像方式有

DBCCBC7.1715x411.53;12.±213.144

第三篇：高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点

１．计数原理知识点

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)２． 排列（有序）与组合（无序）

Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!

Cnm = n!/(n-m)!m!

Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!

３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排

排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）

插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时，应注意：

(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；

(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；

(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；

(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：

①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn

特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m

最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和

Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n-1 ③通项为第r+1项： Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

第四篇：高中数学：排列组合与二项式定理测验试题(A)

《数学》第十章—排列组合与二项式定理测验试题(A卷)

班别：学号：姓名：成绩：

一、填空题：(每空2分，共30分)

1.加法原理和乘法原理的主要区别在于：加法原理针对的是问题；乘法原理针

对的是问题。

2.一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照排成一列，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

3.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序的属于组合问题。4.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的，叫做从n个不同元素

中取出m个元素的组合数。

5.乘积(a1a2a3)(b1b2)(c1c2c3c4)展开后共有

6.从3个不同元素a、b、c中任取2个元素的所有组合是。7.A

1A2A3A4。C1C2C3C4

444



8.已知9!=362880，则A7

99.已知A323206840，则C19C19

10.(nm1)!(nm)!

11.(x3x)1

2的展开式共有13项，其中，中间的项是第项。

12.(x

32x)7的展开式的第6项的二项式系数是6项的系数是

二、选择题：(每题3分，共15分)

1.下列各式中，不等于n!的是()。

A．An

nB．

1n

1An1nn1

n1C．An1D．nAn12.已知Cn1

n121，那么n等于()。

A．5B．6C．7D．8

3.5名同学听同时进行的4个外语讲座，每名同学可自由选择听其中1个讲座，不同选

法的种数是()。

A．4

5B．5

4C．C44

5D．A5

4.在(1+x)11

展开式中，C0210131111C11C11()C11C11C11

。A．>B．=C．>D．无法确定5.凸8边形的对角线的条数是()。A．872B．87C．85

2D．85

三、计算题：(每题8分，共40分)

1.(1)用1，2，3，4，5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数，其中有多

少个是偶数？

(2)壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种不同的币值？

2.从1、3、5、7、9中任取三个数，从2、4、6、8中任取两个数，组成没有重复数字的五位数，一共可组成多少个？

3.幼师某实习小组7名同学站成一排照相，(1)如果甲、乙两人必须站在两端，有多少种

照相方法？(2)如果7名同学站两排，其中3个女同学站在前排，4个男同学站在后排，四、证明题：(15分)m1m1mm11．求证：CnCn2CnCn2(7分)有多少种照相方法？

4.区教育厅幼儿园某兴趣班有10名小朋友,其中正副班长各1名，现选4名小朋友参加

某项活动：(1)如果正副班长必须在内，有多少种选法？

(2)如果正副班长至少有一人参加，有多少种选法？

5.在(11

2x)10展开式中，求含x-5的项的系数。

2.用二项式定理证明9910-1能被100整除。(8分)

第五篇：2011届高三数学精品复习之排列组合及二项式定理

2011届高三数学精品复习之排列组合及二项式定理

1.熟悉排列数、组合数的计算公式；了解排列数、组合数的一些性质：①(n1)!(n1)n!，由此可得：nn!(n1)!n!，n11，为相应的数列求和创造了条件； (n1)!n!(n1)!

mnmrrrrr1mm1m②Cn；③CnCnCn1Cn1，由此得：CrCr1Cr2CnCn1；

34354320193=___________ 11212312318

213243542019n(n1)解析：原式=；记an，数列{an}的前12121212122[举例] 119项和即为所求。记数列{an}的前n项和为Sn；该数列的求和办法有很多种，但都比较烦琐，这里介绍用组合数性质求解：注意到ann(n1)2=Cn1，2[来源学*科*网Z*X*X*K]

22223223222=C3=C4= S19=C2C3C4C20C4C20C3C4C20

3„=C21=1330；

[巩固1]设xN且x10，则(20x)(21x)(29x)等于（）

1020x910（A）A20x（B）A29x（C）A29x（D）A29x*

[巩固2] 已知(1

则n=____ x)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，2．解排列组合应用题首先要明确需要完成的事件是什么；其次要辨析完成该事件的过程：分类相加（每一类方法都能独立地完成这件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各个步骤都完成了，才能完成事件）；较为复杂的事件往往既要分类，又要分步（每一类办法又都需分步实施）；分类讨论是研究排列组合问题的重要思想方法之一，分类时要选定讨论对象、确保不重不漏。

[举例] 设集合I={1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中的最大数，则不同的选择方法共有：（）种

A．50种B．49种C．48种D．47种

解析：本题要完成的事件是：构造集合I的两个非空子集；要求：B中最小的数大于A中的最大数；显然B中的最小数不可能是1，以下分类：① B中的最小数是2，B中可以有{2，3，4，5}中的1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，所有可能的情况有：0123=8种，此时A只有{1}这1种；集合A、B都确定了，才算完成事件，C3C3C3C

3∴完成事件有8×1=8中方法；② B中的最小数是3，B中可以有{3，4，5}中的1个元素、0122个元素或3个元素，所有可能的情况有：C2=4种，此时A中可以有{1，2}中C2C

212的有1个元素或2个元素，有C2=3种，∴完成事件有4×3=12种方法；③ B中的最C2

小数是4，B中可以有{4，5}中的1个元素或2个元素，所有可能的情况有2种，此时A中

123可以有{1，2，3}中的有1个元素、2个元素或3个元素，有C3=7种，∴完成事C3C

3件有2×7=14种方法；④ B中的最小数是5，只有{5}这1种，此时A中可以有{1，2，3，12344}中的有1个元素、2个元素、3个元素或4个元素，有C4=15种，∴完C4C4C

4成事件有1×15=15种方法；故完成事件的方法总数为：8+12+14+15=49，选B。

[巩固]从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．

3．对“按某种要求将n个元素排到m个位置”的问题，首先要确定研究的“抓手”：抓住元素还是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）优先的原则进行。

[举例] 从5位同学中选派4位同学在星期四到星期日参加公益活动，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，则不同的选派方法共有种。

解析：本题要完成的事件是：从5个不同的元素中选出4个元素，并按要求排在四个不同的位置。本题不宜抓住元素研究，因为每一个元素都不一定被选到，而每一个位置上都一定要有一个元素，故应该抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，优先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，优先）或除甲乙之外的一个同学，①安排乙：其它位置可任意安排，有

[来源学&科&网Z&X&X&K]

3种，②不安排乙：可以安排其他三位同学，星期日可以安排甲或另外两个同学，星期

四、A

4112112五可任意安排，有C3C3A3 种，故不同的选派方法共有：A4+C3C3A3=78种。

3[巩固]四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。（1）恰有两个空盒的放法有种；（2）甲球只能放入2号或3好盒，而乙球不能放入4号盒的不同放法有种。

4．解决排列组合问题还要遵循“先选后排”、“正难则反”（即去杂法）等原则；[来源:学。科。网Z。X。X。K]

[举例]某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）（福建文科第12题）Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．8320

解析：直接考虑带有数字“4”或“7”的情况太多，逐一讨论非常麻烦；考虑事件的反面：后四位不带有数字“4”或“7”的，有84个，故“优惠卡”的个数为104-84=5904。

[巩固]四位同学乘坐一列有6节车厢的动车组，则他们至少有两人在同一节车厢的的情况共有种？(用数字作答)．

5．熟悉几个排列组合问题的基本模型：①部分元素“相邻”（捆绑法），②部分元素“不相邻”（用要求“不相邻”的元素插空），③部分元素有顺序（n个元素全排，其中m个元素

m要求按给定顺序排列的方法数为Cn(nm)!=

nnCnkC(nk1)nC(nk2)nCnn!），④平均分组（kn个元素平均分成k组m!的方法数为k!），⑤相同元素分组（用“挡板法”）等。

[举例1]某校安排6个班到3个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种。

解析：先将6个班分成3组，在将3个组分到3个工厂。6个班分成3组，从每组的人数看

22C62C4C2有3类：①4，1，1，有C种；②3，2，1，有CC种，③2，2，2，有种； 3!

46362

322C62C4C23故不同的安排方法共有：（C+CC+）×A3=540种。3!4

63623

[举例2]某文艺小分队到一个敬老院演出，原定6个节目，后应老人们的要求决定增加3个节目，但原来六个节目的顺序不变，且新增的3个既不在开头也不在结尾，则这台演出共有 种不同的演出顺序。

解析：思路一：着眼于“位置”。从9个“位置”中选出6个，安排原来的6个节目，且第41和第9两个位置必须选，而他们的顺序是既定的，无需排列，所以有C7种方法，剩下的3433个位置安排新增的3个节目，有A3种方法；故所有不同的演出顺序有：C7=210种。A3

思路二：在原有6个节目的基础上“插空”。原来6个节目形成7个“空”，但前后两“空”

3不能安排，共有3类情况：①新增的3个节目互不相邻，有A5种方法；②新增的3个节目

223恰有两个相邻，有A3种方法，故所有不同的A5种方法；③新增的3个节目相邻，有5A3

3223演出顺序有：A5+A3=210种。A5+5A3

[巩固1]记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）（07高考北京理科第5题）

Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种

[巩固2]学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩xi∈{89，90，91，92，93}（i=1，2，3，4）且满足x1x2x3x4，则这四为同学考试成绩所有可能的情况有

[巩固3]现有10个市级“三好生”名额分配给高三八个班级，每班至少1个，则有种不同的分配方案。

6．“抽象化归”是解决排列组合问题的“太极拳”，“逐一列举”是解决排列组合问题的“撒手锏”；有时，画“树状图”能使“逐一列举”变得更加简明、直观。

[举例1]已知两个实数集合A={a1,a2,„,a100},B={b1,b2, „,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤„≤f(a100),这样的映射共有(用符号作答)。解析：本题直接考虑集合A中每一个元素在B中的象的情况非常困难。注意到集合B中每个元素都有原象，即A中有50“组”元素分别与B中的50个元素对应；现将集合A中的100个元素按原有的顺序分成50组，每组至少一个元素；将集合B中的元素按从小到大的顺序

///排列为B={b1,b2, „,b50}；∵f(a1)≤f(a2)≤„≤f(a100)，∴A中的“第1组”元素的象为

///b1，“第2组”元素的象为b2，„，“第50组”元素的象为b50，此处没有排列的问题，即只要A中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而A中元素的分组可视为在由这100

4949个元素所形成的99个“空”中插上49块“挡板”，所以有C99种分法，即映射共有C99个。

[举例2]一个同心圆形花坛分为两个部分，如右图，中间小圆部分

种植草坪，周围的圆环分成5等份为a1,a2,a3,a4,a5,种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，则不同的种植的方法为种。

解析：本题解法甚多，这里介绍画“树状图”列举法。a1 a2 在右图中，区域a1种红花，a2种黄花时共有5种不同的种植方法；而区域a2种蓝花与种黄花情况相同，区

域a1种蓝花、黄花与种红花情况相同；故所有不同的种植的方法为：3×2×5=30种 黄[巩固1]显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或

1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显 红示，则该显示屏能显示信号的种数共有（）种

A．10B．48C．60D．80 蓝 a3 红4 黄 蓝黄 5 蓝 黄 蓝 黄 蓝

[巩固2] 函数f:{1,2,3}{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有（）

(A)1个(B)4个(C)8个(D)10个 [来源学+科+网]

7．二项式定理的核心是展开式的通项，Tr+1=Cnab(通项是展开式的第r+1项), r=0,1,2…n，二项展开式共有n+1项。展开式的通项中根式宜用分数指数表示。审题是要注意所求的是“项”还是“第几项”还是“项的系数”。rn-rr

1[举例](12x)x的展开式中常数项为．（07高考全国Ⅱ卷理科第13题）x28

181r)的展开式中常数项以及含x-2的项；Tr1C8rx8r()r=C8(1)rx82r xx

18-4由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即(x)的展开式中常数项为C8，含x 2的项为 x解析：先求(x

1C(1)x；∴(12x)x的展开式中常数项为C84-2C85=

42x

n3[巩固] 若3x的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。585228

(07高考安徽理科第12题)

[迁移]f(x)=(x+1)n，且f ′(x)展成关于x的多项式后x2的系数为60，则n=（）

A．7B．6C．5D．4

n8．注意辨析“系数”与“二项式系数”的区别；二项式系数和=2，其中奇数项的二项式系

n-1数和=偶数项的二项式系数和=2，二项式系数先增后减，并关于中间项“对称”，二项展开

式中，中间项二项式系数最大；求二项展开式中系数绝对值最大的项，用“夹逼法”。

[举例]若(2x)n展开式中奇数二项式系数和为8192，则展开式中系数最大的项为。解析：2n1r14r=8192得n=14，则TrC142(x)r，由于(2x)14展开式中各项系数正负相间，故先求其展开式中系数绝对值最大的项，记为第r+1项，于是有：

r14rr115rr14rr113rC142C142①，C142C142②；由①②解得：4≤r≤5；

4104又r=5时系数为负，∴r=4，即展开式中系数最大的项为C142x。[来源:学§科§网Z§X§X§K] [来源:Z_xx_k.Com]

[巩固]若(x1n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）x

（07高考重庆理科第4题）

A．10B．20C．30D．120

23n9.研究多项式的“系数和”一般用“赋值法”。若多项式f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+……anx，则展开式中所有项的系数和=f(1)，其中奇数项的系数和=

=f(1)f(1)，偶数项的系数和2

[举例]设(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=.解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0①

令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32②由①②解得：a0 +a2 +a4 +a6=16，a1+ a3+ a5+a7=-16，在令x=0得a0=1，∴a2 +a4 +a6=15，∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。

[举例2]已知(1＋x)+(1＋x)2+(1＋x)3+„„+（1＋x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+„„+anxn，若a1+a2+„„＋an-1＝29-n,则正整数n＝____________

解析：只有（1＋x）n 的展开式中才有含xn 的项，它的系数为1，令x=0得a0=n，23nn+1n+1令x=1得a0+a1+a2+……＋an-1+an=2+2+2+„„+2=2-2,∴a1+a2+……＋an-1=2-2-1-n

∴2n+1-3-n=29-n得n=4.[来源:Zxxk.Com][来源学科网ZXXK]f(1)f(1)；展开式中的常数项=f(0)。2

[巩固1]设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2

则a0a1a2Ａ．2a11(x2)11，（07高考江西文科第5题）a11的值为（）Ｂ．1Ｃ．1Ｄ．2[来源学科网ZXXK]

[巩固2]已知(1x)2a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则

(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于安徽文科第12题)

[迁移]设(13x)a0a1xa2xa3xa4xa5xa6x，则集合 623456

a1,a2,a3,a4,a5,a6含2 个元素的所有子集的元素总和为()

A640B630C320D31

5[来源:学_科_网Z_X_X_K]

[来源:学科网]

[来源:学科网]

答案

1、[巩固1]D；[巩固2] 14或23；

2、[巩固]8424 ；

3、[巩固]84，96；

4、[巩固]936，5、[巩固1] B，[巩固2] 15，[巩固3]问题相当于：将10个相同的球放入8个盒子中，每盒至少一

2球，用“挡板法”，有C9=36种；

6、[巩固1]D，[巩固2]D；

7、[巩固]7；[迁移]B；

8、[巩

固] B；

9、[巩固1] A；[巩固2] 256；[迁移]D。