小学数学典型题型

第一篇：小学数学典型题型

数学典型题型

一、和差问题

【含义】已知两数的和与差，求这两数。【数量关系】

大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2 例1：已知两数和是10，差是2，求这两数。

大数：（10+2）÷2=6 小数：（10-2）÷2=4 答：这两数分别是6和4。

例2：有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克？ 解题思路：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多32-30=2千克，且甲是大数，丙是小数，由此可解：

32-30=2（千克）

甲：（22+2）÷2=12（千克）丙：（22-2）÷2=10（千克）乙：32-12=20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例3：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

解题思路：“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是14 X 2+3=31，由此可解：

甲：（97+14 X 2+3）÷2=64（筐）乙：97-64=33（筐）

答:甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

二、和倍问题

【含义】已知两数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求这两数。【数量关系】

小数=总和÷（几倍+1）大数=总和-小数

例1：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

杏树：248÷（3+1）=62（棵）桃树：62 X 3=186（棵）

答：杏树是62棵，桃树是186棵。

例2：甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？ 解题思路：每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28-24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这是乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天后甲站的车辆数为：（52+32）÷（2+1）=28（辆）天数：（52-28）÷（28-24）=6（天）答：6天后乙站车辆数是甲站的2倍。

例3：甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

解题思路：乙丙两数都与甲数有关，因此把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变成甲数的3倍；这时（170+4-6）就相当于（1+2+3）倍。那么：

甲数：（170+4-6）÷（1+2+3）=28 乙数：28X2-4=52 丙数：28X3+6=90 答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

三、和比问题

【含义】已知整体，求部分。

例：甲乙丙三数和为27，甲：乙：丙=2:3:4，求甲乙丙三数。【口诀】

家要众人合，分家有原则。分母比数和，分子自己的。和乘以比例，就是该得的。

分母比数和，即分母为：2+3+4=9 分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9,3/9,4/9。和乘以比例，则甲为27X2/9=6，乙为27X3/9=9，丙为27X4/9=12

四、差倍问题（差比问题）

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求这两个数各是多少。【数量关系】

小数=两个数的差÷（几倍-1）大数=小数X 几倍

【口诀】

我的比你多，倍数是因果。分子实际差，分母倍数差。

商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。

例1：甲数比乙数大12，甲：乙=7:4，求两数。先求一倍的量，12÷（7-4）=4 所以 甲数为：4 X 7=28 乙数为：4 X 4=16 例2：果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

杏树：124÷（3-1）=62（棵）桃树：62 X 3=186（棵）

答：杏树是62棵，桃树是186棵。

例3：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

解题思路：如果把上月盈利作为1倍量，则（30-12）万元就相当于上月盈利的（2-1）倍，因此：

上月盈利：（30-12）÷（2-1）=18（万元）本月盈利：18+30=48（万元）

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

例4：粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

解题思路：由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138-94）。把几天后剩下的小麦看着1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138-94）÷（3-1）倍，因此：

剩下的小麦数量：（138-94）÷（3-1）=22（吨）运出的小麦数量：94-22=72（吨）运粮的天数：72÷9=8（天）

答：8天后剩下的玉米是小麦的3倍。

五、倍比问题

【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题是先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数。【数量关系】

倍数=总量÷一个数量 另一总量=另一数量X倍数 例：100千克油菜可以榨油40千克，现在有油菜3700千克，可以榨油多少？

3700÷100=37（倍）40X37=1480（千克）答：可以榨油1480千克。

六、相遇问题

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。【数量关系】

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）X相遇时间

例1：南京到上海的水路长392千米，同时从两港开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行驶28千米，从上海开出的船每小时行驶21千米，经过几小时两船相遇？

392÷（28+21）=8（小时）答：经过8小时两船相遇。

例2：小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

例3：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

七、追及问题

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点不同时出发），作同向运动，在后面的行进速度要快一些，在前面的行进速度要慢一些，在一定时间内，后面的物体追上前面的。【数量关系】

追及时间=追及路程÷（快速-慢速）追及路程=（快速-慢速）X追及时间

例1：好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解：劣马先走12天能走多少千米？75X12=900（千米）

好几天能追上劣马？

900÷（120-75）=20（天）

答：好马20天能追上劣马。

例2：小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米。求小亮的速度是每秒多少米。

解：小明第一次追上小亮时比小亮多跑了一圈，即200米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑了500米所用的时间。又知小明200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是：

（500-200）÷［40×（500÷200）］=3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3：我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在16点从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在22点接到命令，以每小时30千米的速度从乙地开始追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几小时可以追上敌人？

解:敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）

＝220÷20＝11（小时）

答：解放军在11小时后可以追上敌人。

例4：一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距离两站中点16千米处相遇。求甲乙两站的距离。

解: 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）

列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝352（千米）答：甲乙两站的距离是352千米。

例5：兄妹二人同时由家上学，哥哥没分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家里学校有多远？

例6：孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮一开始就从家跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

八、植树问题

【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，求第三个量。【数量关系】

线性植树 棵数=距离÷棵距+1 环形植树 棵数=距离÷棵距

面积植树 棵数=面积÷（棵距X行距）

【口诀】

植树多少棵，要问路如何？ 直的加上1，圆的是结果。

例1：在一条长为120米的路上植树，间距为4米，植树多少棵？ 路是直的，因而植树为：120÷4+1=31（棵）

例2：在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？

路是圆的，因而植树为：120÷4=30（棵）

九、年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是两人的年龄倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。例1：母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

解：（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？

37－7＝30（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）

列成综合算式

（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：三年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例2：3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子的4倍，父子今年各多少岁？

例3：甲对乙说，“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你讲61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？

十、行船问题

【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】

（顺水速度+逆水速度）÷2=船速

（顺水速度-逆水速度）÷2=水速 顺水速度=船速X2-逆水速度=逆水速度+水速X2 逆水速度=船速X2-顺水速度=顺水速度-水速X2 例1：一只船顺水行驶320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行驶这段路程需用几小时？

解：由条件知 顺水速度=船速+水速=320÷8，而水速为每小时15千米，所以船速为 320÷8-15=25（千米）船的逆水速度为 25-15=10（千米）

船逆水行驶这段路程需用 320÷10=32（小时）答：这只船逆水行驶这段路程需用32小时。

例2：甲船逆水行驶360千米需要18小时，返回原地需要10小时，乙船逆水行驶同样一段距离需要15小时，返回原地需要多少时间？

例3：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞行几小时到达？

十一、列车问题

【含义】这是与列车行驶有关的问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】

火车过桥：过桥时间=（桥长+车长）÷车速

火车追击：追击时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速-乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速+乙车速）例1：一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？ 解：火车3分钟行驶的路程，就是桥长与车长之和。

900X3=2700（米）2700-2400=300（米）答：这列火车长300米。

例2：一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒的时间，大桥的长度是多少米？

例3：一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需多少时间？

十二、时钟问题

【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60°等。时间问题可与追击问题想类比。

【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。通常按追击问题来对待，也可按差倍问题来计算。例1：从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针与分针正好重合？ 解：钟面的一周为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格，时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走（1-1/12）=11/12。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格，所以分针追上时针的时间为：20÷（1-1/12）≈22（分）答：再经过22分钟时针与分针正好重合。例2：四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

解：钟面一周有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针前或后两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5X4）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5X4+15）格。再根据一分钟分针比时针多走（1-1/12）格就可以求二针成直角的时间。

四、鸡兔同笼问题

例：鸡兔同笼，有头36，有脚120，求鸡兔数。【口诀】

假设全是鸡，假设全是兔。多了几只脚，少了几只足？ 除以脚的差，便是鸡兔数。

求兔时，假设全是鸡，则兔子数=（120-36X2）÷（4-2）=24（只）求鸡时，假设全是兔，则鸡数=（36X4-120）÷（4-2）=12（只）

五、工程问题

例：一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲乙同时做两天后，由乙单独做，几天完成？ 【口诀】

工程总量设为1,1除以时间就是工作效率。

单独做时工作效率就是自己的，一起做时工作效率是众人的效率和。1减去已经做的便是没有做的，没有做的除以工作效率就是结果。

[1-（1/6+1/4）X2] ÷（1/6）=1（天）

七、盈亏问题 【口诀】

全盈全亏，大的减去小的；一盈一亏，盈亏加在一起。除以分配的差，结果就是分配的东西或者是人。例1：小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个，求有多少小朋友？多少桃子？ 一盈一亏，则为：

（9+7）÷（10-8）=8（人）8X10-9=71（个）

例2：士兵背子弹，每人45发则多680发，每人50发则多200发，多少士兵？多少子弹？ 全盈问题，则大的减去小的：

（680-200）÷（50-45）=96（人）96X50+200=5000（发）

例3：学生发书，每人10本则差90本，每人8本则差8本，多少学生？多少书？

全盈问题，则大的减去小的：

（90-8）÷（10-8）=41（人）41X10-90=320（本）

八、余数问题

例：时钟现在表示的时间是18点整，分针旋转1990圈后是几点？ 【口诀】

余数有（N-1）个，最小的是1，最大的是（N-1）。周期性变化时，不要看商，只看余数。

分析：分针旋转1圈是1小时，旋转24圈就是时针转1圈，也就是时针回到原位。1990÷24的余数是22，所以相当于分针向前旋转22圈，分针向前旋转22圈相当于时针向前走22个小时，时针向前走22小时，也相当于时针向后走24-22=2个小时，即相当于时针向后拨了2小时。

即：18-2=16（点）

第二篇：小学数学典型应用题归纳汇总30种题型

小学数学典型应用题归纳汇总30种题型 归一问题

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1

买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？

0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。归总问题

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】

1份数量×份数＝总量 总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解（1）这批布总共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）（2）现在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）列成综合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）答：现在可以做904套。和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2

小数＝（和－差）÷ 2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1

甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。4 和倍问题

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数 总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。5 差倍问题

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

解（1）杏树有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。6 倍比问题

【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】总量÷一个数量＝倍数 另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）列成综合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。7 相遇问题 【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 解

392÷（28＋21）＝8（小时）答：经过8小时两船相遇。8 追及问题

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解（1）劣马先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）（2）好马几天追上劣马？

900÷（120－75）＝20（天）列成综合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好马20天能追上劣马。植树问题

【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1 环形植树棵数＝距离÷棵距 方形植树棵数＝距离÷棵距－4 三角形植树棵数＝距离÷棵距－3 面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1

一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。10 年龄问题

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例1

爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解

35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。11 行船问题

【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时

320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为

25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为

320÷10＝32（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。列车问题

【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速 火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车3分钟行多少米？

900×3＝2700（米）（2）这列火车长多少米？

2700－2400＝300（米）列成综合算式

900×3－2400＝300（米）答：这列火车长300米。时钟问题

【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1

从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

分针追上时针的时间为

20÷（1－1/12）≈ 22（分）答：再经过22分钟时针正好与分针重合。14 盈亏问题 【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1

给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

解按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少个苹果？

3×12＋11＝47（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。工程问题

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1

一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：两队合做需要6天完成。正反比例问题

【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1

修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

解由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为

300÷（4－3）×12＝3600（米）答：这条公路总长3600米。17 按比例分配问题

【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1

学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？ 解总份数为

47＋48＋45＝140 一班植树

560×47/140＝188（棵）二班植树

560×48/140＝192（棵）三班植树

560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。18 百分数问题

【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量 标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1

仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？

解（1）用去的占

720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占

6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。19 “牛吃草”问题 【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1

一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量 同理

1×15×10＝原有草量＋10天内生长量 由此可知（20－10）天内草的生长量为

1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为

50÷（20－10）＝5 20 鸡兔同笼问题

【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）假设全都是兔，则有

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1

长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？ 解假设35只全为兔，则

鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）鸡数＝35－12＝23（只）答：有鸡23只，有兔12只。21 方阵问题

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数） 内边人数＝外边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1

在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？

解

22×22＝484（人）

答：参加体操表演的同学一共有484人。商品利润问题

【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率）亏损＝进货价－售价

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

解设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原价下降了1%。23 存款利率问题 【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。

【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。

解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，所以总利率为（1488－1200）÷1200

又因为已知月利率，所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大强的存款期是30月即两年半。24 溶液浓度问题

【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？

50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？

50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。25 构图布数问题

【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。

【数量关系】根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例1

十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解符合题目要求的图形应是一个五角星。

4×5÷2＝10 因为五角星的5条边交叉重复，应减去一半。幻方问题

【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。

【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。三级幻方的幻和＝45÷3＝15

五级幻方的幻和＝325÷5＝65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。

例1

把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。

解幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。

设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4 2 7 6 9 5 1 4 3 8 即

45＋3Χ＝60

所以Χ＝5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。27 抽屉原则问题

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。

【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。【解题思路和方法】（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。

例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的？

解由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的。28 公约公倍问题

【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

例1

一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？ 解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

60和56的最大公约数是4。答：正方形的边长是4厘米。29 最值问题

【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】一般是求最大值或最小值。

【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。

例1

在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？

解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。答：最少需要9分钟。30 列方程问题 【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。

【数量关系】方程的等号两边数量相等。

【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。

（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。

例1

甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？ 解第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30人。列方程：

90－Χ＝2Χ－30 解方程得Χ＝40

从而知

90－Χ＝50 第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得Χ＝40

从而得知

2Χ－30＝50 答：甲班有50

第三篇：不等式典型题型

2011高三文科必修（5）不等式经典题型

1、比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小（做差后配方）

+abba2、已知a、b∈R,且a≠b,证明：ab＞ab（做比）

9（x＞5）的最小值（利用均值不等式）x5

⑵设x>0,y>0,不等式xy≤axy恒成立，求a的最小值（利用均值不等式或两边同时平方）

14、⑴求g(x)=(3-x)·(2x-1)(x3)的最大值（利用均值不等式）2

x23x1⑵当x＞-1时，求f(x)= 的值域（利用均值不等式）x1

45（利用均值不等式）

5、已知x＞1,求证：x+x1

111+

6、已知：a、b∈R,且a+b+c=1,求证：9（利用均值不等式，将左边乘个a+b+c，然后打开括弧）abc117、已知a＞0,b＞0,a+b=1,求（21)(21)的最小值（利用均值不等式，采用1的代换）ab3、⑴求f(x)=4x+

aba2b28、求函数y=x3x的最大值（利用均值不等式：）229、若x,y∈R,x+y=5, 求3+3的最小值（利用均值不等式）10、11、12、已知锐角三角形ABC中，tanB+tanC=3.求证：∠A＞已知x＜xy（利用到两角和的正切公式和均值不等式）351,求函数y=4x-2+的最大值（利用均值不等式，注意先提个负号）44x52x1求不等式0的解集（注意x不能为0）x

若关于x的不等式13、14、15、(x-a)（xb)0的解集为[-1,2]∪[3,+∞),求a+b的值(待定系数，多项分式的解法)xc1

31｝,求a、c的值(待定系数)2

22若函数f(x)= kx6kx(k8)的定义域为R，求实数k的取值范围（恒成立问题）已知关于x的不等式ax+5x+c＞0的解集为｛x︱x

216、定义在（-3，3）上的奇函数f(x)在其定义域内递减且f(2-a)+f(1-a-a)＞0,求实数a的取值范围 ≥017、求不等式组≥0表示的平面区域的面积

≤

318、求（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，求a的取值范围

≥019、设x,y满足条件≥0

≤3

22⑴求p=2x-y+1和u= x+y的最大值和最小值

y的最大值和最小值（线性规划中的斜率问题，可以看成（5，0）点与（x,y）点连线的直线斜率）x520、求证：372（可用分析法证明）⑵求u=

21、若关于x的不等式ax-2x+2＞0对于满足1＜x＜4的一切实数x恒成立，求a的范围（恒成立问题，图像分析法）

222、已知，当∣m∣≤2时，不等式2x-1＞m(x-1)恒成立，求实数x的取值范围

第四篇：牛顿第二定律典型题型归纳

牛顿第二定律典型题型归纳

二.学习目标：

1、掌握牛顿第二定律解题的基本思路和方法。

2、重点掌握牛顿第二定律习题类型中典型题目的分析方法如瞬时问题、临界问题及传送带问题。

考点地位：牛顿第二定律的应用问题是经典物理学的核心知识，是高考的重点和难点，突出了与实际物理情景的结合，出题形式多以大型计算题的形式出现，从近几年的高考形式上来看，2007年江苏单科卷第15题、上海卷第21题、上海卷第19B、2006年全国理综Ⅰ卷、Ⅱ卷的第24题、2005年全国理综Ⅰ卷的第14题、第25题均以计算题目的形式出现，2007年全国理综Ⅰ卷第18题以选择题的形式出现。

三.重难点解析：

1.动力学两类基本问题

应用牛顿运动定律解决的问题主要可分为两类：（1）已知受力情况求运动情况。（2）已知运动情况求受力情况。

分析解决这两类问题的关键是抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁——加速度。基本思路流程图：

基本公式流程图为：

2.动力学问题的处理方法

（1）正确的受力分析。

对物体进行受力分析，是求解力学问题的关键，也是学好力学的基础。（2）受力分析的依据。

①力的产生条件是否存在，是受力分析的重要依据之一。

②力的作用效果与物体的运动状态之间有相互制约的关系，结合物体的运动状态分析受力情况是不可忽视的。

③由牛顿第三定律（力的相互性）出发，分析物体的受力情况，可以化难为易。

3.解题思路及步骤

（1）由物体的受力情况求解物体的运动情况的一般方法和步骤。①确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力图。②根据力的合成与分解的方法，求出物体所受合外力（包括大小和方向）③根据牛顿第二定律列方程，求出物体的加速度。

④结合给定的物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动参量。（2）由物体的运动情况求解物体的受力情况。

解决这类问题的基本思路是解决第一类问题的逆过程，具体步骤跟上面所讲的相似，但需特别注意：①由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合力的方向，不能将速度的方向与加速度的方向混淆。②题目中求的力可能是合力，也可能是某一特定的作用力。即使是后一种情况，也必须先求出合力的大小和方向，再根据力的合成与分解知识求分力。

4.解题方法

牛顿运动定律是解决动力学问题的重要定律，具体应用的方法有好多，高中物理解题常用的方法有以下几种：

（1）正交分解法：

表示方法

为减少矢量的分解，建立坐标系时，确定x轴正方向有两种方法： ①分解力而不分解加速度。

分解力而不分解加速度，通常以加速度a的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别得x轴和y轴的合力

。根据力的独立作用原理，各个方向上的力分别产生各自的加速度，得方程组

②分解加速度而不分解力。

若物体受几个相互垂直的力作用，应用牛顿定律求解时，若分解的力太多，比较繁琐，所以在建立直角坐标系时，可根据物体受力情况，使尽可能多的力位于两坐标轴上而分解加速度a，得，根据牛顿第二定律得方程组

求解。这种方法一般是在以某个力的方向为x轴正方向时，其他力都落在两个坐标轴上而不需要分解的情况下应用。

（2）程序法：

在解题过程中，按照时间或者空间的先后顺序，对题目给定的物理过程（或者物理状态）进行分析、判断、计算的解题方法叫程序法。

运用程序法解题的基本思路是：

①根据题意，明确题设中有几个不同的运动过程，有多少个不同的运动状态，有多少个不同的研究对象。

②根据解题选定了的研究对象，对各个运动过程或者各个不同的运动状态，进行具体的分析。

③分析判断前、后两个物理过程之间的衔接点的物理意义与特点，此衔接点往往是解决物理问题的“切入口”或者是解题的“命门”。

④选用相应的物理规律、公式计算求解。

【典型例题】

问题1：瞬时问题分析方法与思路： 例：如图所示，A、B两小球质量相等，用细线相连，A用弹簧吊起，且悬于天花板上，整个系统都处于静止状态。现突然剪断细线的瞬间，A和B的加速度分别为方向__________，__________，方向_____________________。

_______，解析：本题考查的是牛顿第二定律的瞬时性。在突然剪断细线的瞬间，B受的细线的拉力突然消失，所以它的加速度不再为零，但这一瞬间，A由于惯性无位移，所以弹簧形变不变，仍保持原来的弹力，若分别对A，B进行受力分析，由牛顿第二定律可求解。

系统剪断线以前，处于平衡状态，分析A，B整体的受力情况。如图甲所示，弹力。

当剪断线瞬间，B只受力重力，由牛顿第二定律乙所示，由牛顿第二定律，向上。，向下，A受力情况如图

答案：g 向下 g 向上

变式：如图A所示，一质量为m的物体系于长度分别为端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为求剪断瞬时物体的加速度。的两根细线上，的一

线剪断，水平拉直，物体处于平衡状态。现将

（1）下面是某同学对该题的一种解法：

解：设l1线上拉力为T1，l2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用 下保持平衡

T1cosθ＝mg，T1sinθ＝T2，T2＝mgtgθ

剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度。因为mg tgθ＝ma，所以加速度a＝g tgθ，方向在T2反方向。

你认为这个结果正确吗？请对该解法作出评价并说明理由。

（2）若将图A中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图B所示，其他条件不变，求解的步骤和结果与（l）完全相同，即a＝gtgθ，你认为这个结果正确吗？请说明理由。

解：（1）错。

因为l2被剪断的瞬间，l1上的张力大小发生了变化。（2）对。

因为G被剪断的瞬间，弹簧U的长度未及发生变化，乃大小和方向都不变。问题2：临界问题分析：

例：（临界加速度问题）如图所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。试求当滑块以动时线中的拉力。的加速度向左运

解析：本题中当滑块向左运动的加速度较小时，滑块对小球存在支持力；当滑块向左运动的加速度较大时，小球将脱离滑块斜面而“飘”起来。因此，本题存在一个临界条件：当滑块向左运动的加速度为某一临界值时，斜面对小球的支持力恰好为零（小球将要离开斜面而“飘”起来）。我们首先求此临界条件。此时小球受两个力：重力mg；绳的拉力根据牛顿第二定律的正交表示，有，①

②

联立①②两式并将代入，得，即当斜面体滑块向左运动的加速度为当时，小球将“飘”起来，当。

时，小球恰好对斜面无压力。

时，小球已“飘”起来了，此时小球的受力代入，解得

。情况如图所示，故根据①②两式并将

此即为所求线中的拉力。

变式（2005年全国卷III）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B。它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d。重力加速度为g。

解：令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知

mAgsinθ＝kx ①

令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时A的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知

kx2＝mBgsinθ

②

F－mAgsinθ－kx2＝mAa ③

由②③式可得a= ④ 由题意 d＝x1＋x2 ⑤

由①②⑤式可得d＝ ⑥

问题3：传送带问题分析：

情景

1、水平放置的传送带类问题： 例： 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，如图所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率运行，一质量为的行李无初速度地放在A处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带之间的动摩擦因数离L=2m，g取。，A、B间的距

（1）求行李刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小与加速度的大小；（2）求行李做匀加速直线运动的时间；

（3）如果提高传送带的运行速率，行李就能被较快地传送到B处，求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。

解析：（1）滑动摩擦力加速度。

（2）行李达到与传送带相同速率后不再加速，则。

（3）行李始终匀加速运行时间最短，加速度仍为，所以传送带的最小运行速率为行李最短运行时间由答案：（1）（2）。

。，当行李到达右端时，（3），情景

2、倾斜放置的传送带类问题： 例：如图所示，传输带与水平面间的倾角为，皮带以10m/s的速率运行，在传输带上端A处无初速度地放上质量为0.5kg的物体，它与传输带间的动摩擦因数为0.5，若传输带A到B的长度为16m，则物体从A运动到B的时间为多少？

解析：首先判定与的大小关系，所以物体一定沿传输带对地下滑，不可能对地上滑或对地相对静止，其次皮带运动速度方向未知，而皮带运动速度方向影响物体所受摩擦力方向，所以应分别讨论。

（1）当皮带的上表面以10m/s速度向下运动时，刚放上的物体相对皮带有向上的相对速度，物体所受滑动摩擦力方向沿斜坡向下，（如图所示）该阶段物体对地加速度，方向沿斜面向下。

物体赶上皮带对地速度需时间在内物体沿斜面对地位移。

由于，物体在重力作用下将继续加速下滑，当物体速度超过皮带运动速度时物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，物体对地加速度。

物体以则即加速度运行剩下的11m位移需时间

，所需总时间。

（2）当皮带上表面以10m/s速度向上运动时，物体相对于皮带一直具有沿斜面向下的相对速度，物体所受滑动摩擦方向沿斜面向上且不变，设加速度为

。。即。物体从传输带顶滑到底所需时间为，则。答案：顺时针转2s，逆时针转4s。情景

3、组合型传送带类问题：

例：如图所示，将一物体A放在匀速传送的传动带的a点，已知传动带速度大小，A与传动带的动摩擦因数需要多长时间？（，，试求物块A运动到C点共）

解析：物块A相对地的运动可分为三个过程：①初速为零的匀加速直线运动。加速度；②当速度达到与传送带相等时，物体与传送带间无相对运动趋势，做匀速直线运动到达b点；③物体在bc段做匀加速直线运动，物块与传送带有相对滑动。

则第一阶段做初速为零的匀加速直线运动时所用时间

；

第二阶段匀速直线运动时的时间； 第三阶段做初速度匀加速直线运动所用时间：

即故物块A运动到C所需时间：答案：2.4s。

【模拟试题】

1.钢球在盛有足够深油的油罐中由静止开始下落，若油对球的阻力正比于其速率，则球的运动情况是（）

A.先加速后匀速

B.先加速后减速最后静止 C.先加速后减速最后匀速 D.加速度逐渐减小到零

2.如图所示，一木块在水平恒力的作用下，沿光滑水平面向右做加速运动，前方墙上固定有一劲度系数足够大的弹簧，当木块接触弹簧后，将（）

A.立即做减速运动 B.立即做匀速运动 C.在一段时间内速度继续增大

D.当弹簧压缩量为最大时，物体速度为零，处于平衡状态

3.如图所示，一物体从曲面上的Q点由静止开始下滑，通过一段粗糙的传送带，传送带静止，从A运动到B的时间为；若传送带的皮带在轮子转动的带动下，上表面向左匀速运动，再次把物体从曲面的Q点由静止开始下滑，达到A点时速度与第一次相同，从A到B运动的时间为A.C.，则（）

B.D.无法确定

4.质量为的物体放在A地，用竖直向上的力F拉物体，物体的加速度a与拉力F的关的物体在B地做类似实验，测得和

由图可判定（）

关系如图中的②所示，系如图中的①所示；质量为设两地重力加速度分别为A.C.B.D.5.匀速上升的升降机顶部悬有一轻质弹簧，弹簧下端挂一小球，若升降机突然停止，在地面观察者看来，小球在继续上升的过程中（）

A.速度逐渐减小 B.速度先增大后减小 C.加速度先减小后增大 D.加速度逐渐减小

6.从加速竖直上升的气球上落下一个物体，在物体刚离开气球的瞬间，下列说法正确的是（）

A.物体立即向下做自由落体运动 B.物体具有竖直向上的加速度

C.物体的速度为零，但具有竖直向下的加速度 D.物体具有竖直向上的速度和竖直向下的加速度

7.如图所示，用细线拉着小球A向上做加速运动，小球A、B间用弹簧相连，两球的质量分别为m和2m，加速度的大小为a，若拉力F突然撤去，则A、B两球的加速度大小分别为_______________，=_____________。

8.2008年奥运会将在我国北京举行，为此北京交通部门规定市区内某些区域汽车行驶速度不得超过30km/h。一辆汽车在规定的范围内行驶，突然采取车轮抱死紧急刹车，沿直线滑行了10m而停止，查得汽车与该路面的动摩擦因数为0.72，试判断该汽车是否违章超速行驶并说明理由。（g取）

9.如图所示，几个不同倾角的光滑斜面底边相同，顶点在同一竖直面内，物体从哪个斜面的顶端由静止滑下时，滑到底端所用时间最短？（）

10.如图所示的传送皮带，其水平部分AB长，一小物体P与传送带的动摩擦因数体从A点被传送到C点所用的时间。（BC与水平面夹角，长度，皮带沿A至B方向运行，速率为），若把物体P放在A点处，它将被传送带送到C点，且物体P不脱离皮带，求物

第五篇：数列典型题型

数列典型题型

1、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； a,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； ⑵设数列cnn

2n

⑶求数列an的通项公式及前n项和。

2、已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

3、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn4、设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{

求Tn5、、正数数列{an}的前n项和为Sn，且2nan1，求：

（1）数列{an}的通项公式；

（2）设bn11，数列{bn}的前n项的和为Bn，求证：Bn.anan12Sn}的前n项和，n6、在等比数列{an}中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比

中项为2.（1）求数列{an}的通项公式；

SnS1S2（2）设bnlog2an，数列{bn}的前n项和Sn，当最大时，求n的值.12n7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1

（Ⅰ）判断1,an2SnSn10(n2)，21是否为等差数列？并证明你的结论； Sn

（Ⅱ）求Sn和an8、已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。

（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式； '

（Ⅱ）、设bnm1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有nN都成立的最小正整数m； 20anan1