一元二次方程
一、单选题
1．下列方程中属于一元二次方程的是（）
A．
B．
C．
D．
2．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数的个数是（）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．关于的方程（为常数）无实数根，则点在（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．已知直线不经过第一象限，则关于的方程实数根的个数是（）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1个或2个
6．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）
A．2018
B．2019
C．2020
D．2021
7．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（）
A．无实数根
B．有一正根一负根
C．有两个正根
D．有两个负根
8．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（）
A．
B．．
C．
D．
9．如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是（）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1
10．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，例如．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
11．为了促使药品及医用耗材的价格回归合理水平，减轻群众就医负担，国家近几年大力推进带量采购制度改革，在改革推进的过程中，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（）
A．
B．
C．
D．
13．两个关于的一元二次方程和，其中，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（）
A．2020
B．
C．-2020
D．
二、填空题
14．若方程，满足则方程必有一根为________．
15．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．
16．如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为____________平方米．
17．某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为___________________________．
18．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为______________．
三、解答题
19．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m的值．
20．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程
（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
21．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的玉米品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，预计玉米平均亩产量将在去年的基础上增加．因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，全部售出后预计总收入将增加．求的值．
22．某商店准备进一批季节性小家电，单价为每个40元，经市场预测，销售定价为每个52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个，定价每减少1元，销售量净增加10个，因受库存的影响，每批次进货个数不超过180个，商店准备获利2000元．
（1）该商店考虑涨价还是降价？请说明理由．
（2）应进货多少个？定价为每个多少元？
参考答案
1．A
解：A、∵，∴，根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确；
B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；
C、二次项系数为a是否为0，不确定，当=0，b≠0时，一元一次方程，当时是一元二次方程，不选C；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
2．B
解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．
3．B
解：
关于的一元二次方程有实数根，且
且
又为正整数，所以满足条件的值有个，4．A
解：∵a＝1，b＝−2，c＝a，∴△＝b2−4ac＝（−2）2−4×1×a＝4−4a＜0，解得：a＞1，∴点（a，a＋1）在第一象限，5．D
∵直线不经过第一象限，∴a=0或a＜0，当a＝0时，方程变形为4x+1=0，是一元一次方程，故由一个实数根；
当a＜0时，方程是一元二次方程，且△=，∵a＜0，∴-4a＞0,∴16-4a＞16＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，6．A
解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
7．C
解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，则x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得：x1＝4，x2＝2，故方程有两个正根．
8．A
解：∵，是一元二次方程两个根，∴由根与系数的关系得，，∴，9．A
解：，去分母得：
因为方程有正数解，所以
＞
＜
又
综上：＜且
关于的方程有两个不相等的实数根，＞
且
＞且
综上：＜＜且且
又因为为整数，10．C
∵，∴，∴变形为，∴△＝
＝＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，11．A
∵某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都为x，∴，12．C
解：根据题意得：；
故答案为：．
13．C
∵，a+c=0
∴，∵ax2+bx+c=0
和cx2+bx+a=0，∴，∴，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即是方程的一个根
14．-3
当时，代入原方程得：，即：，∴原方程必有一根为，15．2022
解：由题意可得：
a+b+1=0，∴a+b=-1，∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，16．120
解：设矩形铁皮的长为x米，则宽为（x-2）米，由题意，得
(x-4)(x-2-4)×2=96，解得：x1=12，x2=-2（舍去），所以矩形铁皮的宽为：12-2=10米，矩形铁皮的面积是：12×10=120（平方米）．
答：矩形铁皮的面积是120平方米．
17．x（49+1-2x）=200
解：设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，18．
解：∵，大正方形面积为m2，∴S2＝m2，设图2中AB=x，依题意则有：
4•S△ADC＝m2，即4××x2＝m2，解得：x1=m，x2＝−m（负值舍去）．
在Rt△ABC中，AB2＋CB2＝AC2，∴(m)2＋(m＋n)2＝m2，解得：n1=，n2＝−(负值舍去)，∴，19．（1）见解析；（2）方程的另一根为，m的值为
（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）
＝m2+6m+9﹣4m﹣4
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4＞0，∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另外一根为a，根据题意，得：，解得：，所以方程的另一根为，m的值为．
20．（1）m≥且m≠1，（2）k＝3
解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，∴，解得：m≥且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，∴m＝2，∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，解得：x＝0或x＝4，∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，k＝3，当x＝4时，16（k+1）+4+k-3＝0，∴k＝﹣1，∵k+1≠0，∴k＝﹣1舍去，综上所述，k＝3．
21．10．
解：根据题意可得：
解之得：，（不合题意，舍去）
．
22．（1）考虑涨价，见解析；（2）定价为60元，应进货100个
解：（1）考虑涨价，理由如下：
设每个商品的定价为元，若考虑涨价，则＞
则进货为个．
所以，解得，;
当时，是降价，不合题意，舍去；
当时，个＜180个，符合题意；
若考虑降价，则＜由题意得；
解得：（是涨价，不合题意，舍去）
当时，销售量为：＞，不合题意，综上：商店准备获利2000元，且每批次进货个数不超过180个，应该考虑涨价．
（2）由（1）得：商店若准备获利2000元，且每批次进货个数不超过180个，则定价为60元，应进货100个．
答：商店若准备获利2000元，则定价为60元，应进货100个．
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