初中数学常用数学思想方法典题赏析

初中数学常用数学思想方法典题赏析

德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道：数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

不仅数学家体悟到了数学的魔力，就连希腊著哲学家柏拉图都在号召：哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。

那么，作为初中生，如何才能学好数学呢？有人曾调侃：数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!数学思想方法是数学的灵魂和精髓。数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其它科学中，都被广为使用。

所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，如建模思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想。所谓数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。初中学生应掌握的数学方法有配方法、换元法、待定系数法、参数法、构造法、特殊值法等。数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。

典例赏析

一、整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________

解析：把“a-b”看成一个整体代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7

二、方程思想

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

例2：一个凸多边形的内角和是外角和2倍，它是_________边形.解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和(n-2).180

设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2).180

=2*360，解得n=6

三、函数思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

例3:某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20kg。

（1）现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元能使商场获利最多？

解析：（1）解：设每千克应涨价x元，根据题意得：

（10+x）*(500-20x)=6000

解得x1=5,x2=10

为了使顾客得到实惠，应取x=5(元)。

（2）设每千克涨价x元时，总利润为y元。

y=（10+x）*(500-20x)

=-20x^2+300x+5000

=-20(x-7.5)^2+6125

根据二次函数性质，当x=7.5时，ymax=6125

四、转化思想

所谓的转化思想就是指在求解数学问题时,如果对当前的问题感到生疏困惑,可以把它进行变换,使之化生疏为熟悉，化繁为简,化难为易，从而使问题得以解决的思想方法.例4;解分式方程。

解析：把分式方程去分母转化为整式方程即可。

两边乘（x+3）(x-1)

2(x-1)=(x+3)

2x-2=x+3

x=5

经检验：x=5是方程的解

五、类比思想

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

例5：类比正比例函数研究反比例函数。

解析：通过研究正比例函数的图像、性质及应用，类比研究反比例函数的图像、性质及应用。

六、数形结合思想

“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化、具体化.例6：证明勾股定理。

解析：美国第二十任总统伽菲尔德借助下列图形证明了勾股定理。

七、分类讨论思想

分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的的策略.例7：若等腰三角形的一个内角为70，则它的顶角为

度．

解析：分类讨论，（1）该内角为顶角时，顶角为70；

（2）该内角为底角时，则顶角为：180-70*2=40

故顶角为70或40.八、归纳与猜想的思想方法

所谓归纳与猜想,就是在解决数学问题时,从特殊的、简单的、局部的例子出发,探寻一般的规律,或者从现有的已知条件出发,通过观察、类比、联想，进而猜想出结果的思想方法.例8：观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为

（用含n的代数式表示）．

解析：

第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=（n+1）2．

故答案为：（n+1）2．