数学思想方法与应用

第一篇：数学思想方法与应用

沈括运粮故事浅析

田小宽

（数学与统计学学院 数学与应用数学 2010212449）

【摘要】：沈括在其著作《梦溪笔谈》中，涉及了军队运粮的有关问题。他把每人背的粮食，每天的食量作为已知定值，将士兵作战时不缺粮食的天数和需要的运量人数作为未知数，通过这样一个关系来说明军队作战乃是国之大事

【关键词】：运粮 运筹 军事

【引言】凡师行，因粮于敌，最为急务。运粮不但多费，而势难行远。予尝计之，人负米六斗，卒自携五日干粮，人饷一卒，一去可十八日；米六斗，人食日二升，二人食之，十八日尽；若计复回，只可进九日。二人饷一卒，一去可二十六日；（米一石二斗，三人食日六升，八日则一夫所负已尽，给六日粮遣回，后十八日，二人食日四或并粮）。叵计复回，止可进十三日。（前八日日食六升，后五日并回程，日食四升并粮）三人饷一卒，一去可三十一日，米一石八斗，前六日半四人食日八升，减一夫，给四日粮；十七日三人食日六升，又减一夫，给九日粮；后十八日，二人食日四升并粮。计复回止可进十六日，（前六日半日食八升，中七日日食六升，后十一日并回程日食四升并粮）。三人饷一卒，极矣。若兴师十万，辎重三之一，止得驻战之卒七万人，已用三十万人运粮，此外难复加矣。（放回运夫须有援卒，缘运行死亡疾病，人数稍减，且以所减之食，备援卒所费）。运粮之法，人负六斗，此以总数率之也。

一、军队运粮问题与运筹学联系

军队运粮需要注意许多的变量，并且在事先确定了一些量之后，可以确定另外的比较重要的量最合适的数值，比如：当每人背的粮食和食量、前往作战地所需的天数、作战人数等确定之后可以得到数学模型下的理想的作战的最长天数与运粮人数之间的一个关系式，即之间的一些线性关系，进而在作战之前可以把运粮的大致工作安排妥当，所以说兵马未动粮草先行。可见其是运筹学所研究的问题之一。

二、结合沈括著作《梦溪笔谈》中运粮篇

先设定以下的量：士兵人数已知，x个农夫饷一卒，其他量如同上文沈括运粮问题内。

在沈括《梦溪笔谈》运粮篇中，知道当两人饷一卒时，不计往返则是二十六天，三人饷一卒时不计往返可行三十一日，则此时足够到达作战地点，当四人饷一卒时，不计往返可行三十四日，也能到达地点，并且此时若最后一批农夫不回，可支撑士兵作战四天。具体计算如下：

1.一人饷一卒：设可坚持x天则有：2x+2(x-5)=60，x取整得18天

2．二人饷一卒：设第一个农夫在a天后回，则有：6a+2(a-2)=60，则a=8，加上最后一农夫所背粮食可支撑18天，则18+8=26 3.三人饷一卒：设第一个在b天后回，第二个在第一个回了c天后回，则有：8b+2(b-2)=60，则b取整为6天。又有：6c+2(b+c-2)=60，则c取整得7天，加上最后一人可支撑的18天，则有：6+7+18=31天

4.四人饷一卒：设第一个农夫在a天后回，第二个农夫在第一个回b天后回，第三个在第二个回c天后回，则：10a+2(a-2)=60,a取整得5,8b+2(b+5-2)=60,b取整得6天，2(c+5+6-2)+6c=60,c取整得5天，加上最后的18天，则5+6+5+18=34 用相同的方法以此类推，我们可以求得五人、六人以及更多人饷一卒的行军的时间。到此时，我们乍一眼观察，上面的运筹学模型没有问题，可以把农夫人数无限制的演算下去，但是结合各个未知量的实际意义，我们知道a是一个不能小于2的量，因为由(a-2)的实际意义知a-2>0。而当又当x=14时，a=2，所以上面的运筹学模型只适用于农夫人数不大于14人时。若要继续计算下去从十五人饷一卒开始，每增加一人多走一天，而当x>29时，此时农夫的增加和第一个农夫支撑天数a的对应关系又变。对于上述证明如下：

2(x+1)a+2(a-2)=60

a=32/(x+2)经过检验，当x=14时，a=2；当x=30时，a=1,这时，我们发现，实际情况是当x=29时，a=1！所以得证。

另外，当农夫人数增多时，四舍五入的方法也不在适用，在上面的计算时我们得到的一些数字采用了四舍五入，其中四人饷一卒时，b=5.6，若要当做6天计算，我们可以看到要多吃3.2升，那么农夫要空腹三四天才能返回，但此时显然与上面方程矛盾，因此四舍五入应有限度。

有上述分析可知，解决这个运粮问题没有一个固定的运筹学模型，或者说这个数学模型应是分段的，而且每一段都是遵循线性规划模型的。

而且从上面分析，我们也应在四人饷一卒时应减去一天，即坚持33天。同样在三人饷一卒时不能取整的天数也都舍掉零头，这样的意义是农夫空腹返回的时间少于2天。

综上若要行军一月则至少需三人饷一卒，十万士兵就需要三十万农夫运粮，但古时作战士兵人数大多是在三十万以上的，著名的赤壁之战曹操号称百万大军，则需要三百万农夫。

由此可见古时两国交战是一件多么应该慎重的事，难怪真正懂得兵法人都说：兵者，国之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。甚至兵法圣典《孙子兵法》把它列在第一篇里的开头。由此也可见运筹学对于军事的重要贡献。【参考文献】

[1].刁在筠 刘桂真 宿洁 马建华

《运筹学》（2007年1月第三版）

高等教育出版社 第82页

[2].张俊杰 大众文艺出版社 北京 2009年7月第一版 第10页 《孙子兵法与三十六计》

第二篇：浅谈数学思想方法与数学教学设计

浅谈数学思想方法与数学教学设计

学院：数学科学院姓名：王富超学号：201240433029班级：应数（3）班

摘要：本文将说明什么是数学思想方法及教学模式设计作一介绍，并对教学模式设计利用数学思想的必要性、重要性及其意义和总结数学思想方法教学策略。

关键词：数学思想方法 数学教学模式设计

教学设计不仅是教师传递学生知识、更是引导学生探究认知知识的方案，教师的教不仅是是教学生基本知识，更是引导学生学习的思想方法，教学设计其精髓就是思想方法的表达方案，把这种思想应用到教学实际当中去，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。

一数学思想方法

数学思想数学思想是人们对数学科学研究的本质，及规律的深刻认识。它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。它具有导向性、统摄性、迁移性。中学数学教学中的基本数学思想有对应思想（函数思想、数形结合思想），系统与统计思想（整体思想、最优化思想、统计思想），化归与辩证思想（化归思想、转换思想）等。

数学方法数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。中学数学教学中的基本数学方法：一是科学认识方法：观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟；二是推理论证方法：综合法与分析法，完全归纳法与数学归纳法，演绎法、反证法与同一法；三是求解方程：配方法、换元法、消元法、待定系数法、此模式适用于规律课（定理、公式、性质）的教学，在教学中强调从特殊到一般的方法。例如：三角形中位线定理的教学，可采用如下研究方法。①让学生画△ABC，取AB、AC的中点D、E，连DE； ②度量DE与BC的长度，并观察二者的位置关系； ③猜想规律，引出定理。

2、教学模式二：比较、归纳——探究式。运用类比、对比帮助学生找出相关数学概念、相关数学命题之间的联系与区别，从而确切地去理解数学 概念系统，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式。此模式适用于新课，复习课。在教学中强调，结构思想、最优化思想、比较与分析、归纳与类比等方法。

例如：“幂”这个概念常与“乘方”混淆，在教学中可利用如下方法进行： 加法运算的结果 和 减法运算的结果 差 乘法运算的结果 积 除法运算的结果 商 乘方运算的结果 幂

通过对照，用已学过的知识来帮助理解“乘方”与“幂”的概念及它们之间的联系与区别。

教学模式三：建模——探究式，在数学实际应用问题中经过逐步抽象，概括而得到数学模型、其程序是：理解题意——理清数量关系——建立数学模型——解答——应用。此模式适用于数学实际应用问题教学，在教学中强调方程抽象、思想。

教学模式四：化归、转化——探究式。借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题。其程序是：对问题观察——联想——回忆旧知识——问题解决。此模式适用于“规律”课，复习课，在教学中强调化归思想、转化思想、数形结合思想。

在此模式中，主要强调的是联想和转化联想多数表现为接近联想、相似联想和类比联想。如分式性质联想到分数性质、二次函数联想到一次函数、立体几何知识联想到平面几何知识、形联想数、数联想形等等。

转化是一种重要的解题策略，人们在解决数学问题时往往要尽可能地把它转化为熟悉的、完题后进行反思。反思⑴解法是怎样想出来的？关键是哪一步？自己为什么没想出来？⑵能找到更好的解题途径吗？这个方法能推广吗？⑶通过解决这个题，我们应该学什么？这种反思能较好地概括思维本质，从而上升到数学思想方法上来。著名数学教育家弗赖母登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力。”我们要让学生养成反思的习惯。

策略五：学生提炼——不要包办代替。柏拉图说：他从不把自己看作一个教师而是看作一个帮助别人产生他们自己思想的“助产生”。学习有一条很重要的原则，就是不可代替的原则。对于数学思想方法的学习也不仅仅靠灌输。应将概念、结论性知识的教学设计成再发现、再创造的教学。通过探索研究活动，使学生在动脑、动手、动口的过程事领悟、体验、提炼数学思想方法，并逐步掌握及应用它。

四、数学思想方法教学的意义

1、有利于学生更好地掌握数学知识，提高思维能力。数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识，某个数学知识不可能单独存在，它必有它的来龙去脉，知识点之间是有关联的，知识点也只有在与其他知识的关联过程中，才能被理想、被录用，才能发挥它的作用。知识点关联在课本中并未明显叙述出来，而隐含在知识当中，需要教师挖掘，用数学思想方法去沟通知识间的内在联系，使得对本质及规律有深刻认识。例如，在初中数学《有理数》一章中利用数形结合思想可以解决许多数学问题。

数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心，要使学生掌握数学知识并培养能力、发展智力和陶冶个性品质，数学思维问题是数学教育的核心。可见数字教学改革，思维是根本的，对学生各种能力的培养，其核心是进行思维能力的培养。

大纲对思维能力的界定：“观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，会合手逻辑地、准确地单述自己的思想和观点；会适用数学概念、原理、思想和方法辩明数学关系。”而观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比正是数学思想方法体系中重要的科学认识方法。这此方法是数学思维的基本形式，它们和思维内容，思维形式及思维品质相互联结，是数学思维结构的主要成份。只有加强数学思想方法的训练，才能优化思维结构，从而提高思维能力。

第三篇：初中思想方法与初中数学教学

《初中思想方法与初中数学教学》――学习心得1

通过参加这次学习，我得到了很多的启发，首先，我了解了什么是数学思想方法，并知道了数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它对数学教学有着重要的促进和指导作用，它不仅是学生形成良好认知结构的纽带，还是由知识转化为能力的桥梁，是培养学生数学意识，形成优良思维素质的关键，因此我们要有加强数学思想方法教学的意识并要在数学教学过程中不断地挖掘和渗透。其次，它也解决了我在数学教学过程中所遇到困惑与不解，使我明确了在今后的教学中应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想方法。我们的教学实践也表明：中小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想、方法及教学手段的现代化，加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键，特别是对能力培养这一问题的探讨与摸索，以及社会对数学价值的要求。使我们更进一步地认识到数学思想方法对数学教学的重要性。

第四篇：小学数学常见数学思想方法归纳与整理

小学数学常见数学思想方法归纳与整理

1、对应思想方法

对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。

2、转化思想方法：

这是解决数学问题的重要策略。是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。如几何形体的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等。在计算中也常常用到转化，如甲÷乙（零除外）=甲×，又如除数是小数的除法可以转化成除数是整数的除法来计算。在解应用题时，常常对条件或问题进行转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。

3.符号化思想方法：

数学的思维离不开符号的形式（图、表），这样可大大地简化和加速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要求。如定律a.b=b.a，公式S=vt等都是用字母表示数和量的一般规律，而运算的本身就是符号化的语言。所以说，符号化思想方法是数学信息的载体，也是人们进行定量分析和系统分析的一种载体。

4、分类思想方法：

分类的思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分类，若按能否被2整除可分为奇数和偶数，若按约数的个数分则可分为质数、合数和1。又如三角形既可按角分，也可按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。

5、比较思想方法

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

6、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。

7、代换思想方法：

它是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。

8、假设思想方法

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

9、可逆思想方法：

它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。

10、化归思想方法：

把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。

11、集合思想方法：

集合思想是近代数学的最基本思想，许多重要的数学分支，如数理逻辑、实变函数、概率统计等都建立在集合理论的基础上。小学数学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合的思想。如在数的认识时出现韦恩图，在讲述公约数和公倍数时孕伏了交集的思想方法。

12、数形结合思想方法：

数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数。一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。

13、统计思想方法：

数据处理方法随着现代化的发展进程，越来越深入到社会生活的各个领域。小学数学中的统计图表是一些最基本的统计方法。求平均数应用题就是体现出数据处理的思想方法。数学课程标准在学习内容制订中就十分强调要发展学生的统计观念。

14、极限思想方法：

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。这个变化过程中存在一个“关节点”，在小学数学讲述圆的周长、面积知识时，就以“极限”为“关节点”。“化曲为直”地从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

15、有序的思想方法：

思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，全面地观察和思考问题。如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。例15

左图中有几个三角形？

16、整体思想方法：

对数学问题的观察和分析应从宏观和大处着手，整体把握，化零为整往往不失为一种更便捷更省时的方法。

17、函数的思想方法

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。

18、运动的思想方法：

运动是永恒的，静止是相对的。用运动的、变化的眼光看事物，往往最能把握事物间的本质联系。如几何中的点到线，线到面，面到体，变化的根本原因就在一个“动”字。

19、数学模型的思想方法：

所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，达到简化和假设。它是把生活中实际问题转化为数学问题（模型）的一种思想方法。培养学生用数学的眼光去认识和处理周围事物或数学问题，乃数学教学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。

20、变中抓不变的思想方法：

在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓“不变量”作为突破口，往往问题就可迎刃而解。

除了以上介绍的这些主要思想方法外，小学数学还有其它的一些思想方法，如倒推法、类比法、列举法、假定法、实验法等。

第五篇：北大数学思想方法和应用视频教程相关介绍

北大数学思想方法和应用视频教程相关介绍

大家都知道，在解决数学问题时，若能正确的应用数学思想方法，科学的指导解决问题的全过程，不仅能十分简捷优美的解决数学问题，而且会达到事半功倍的最佳效果。这里为您提供的是由北京大学老师主讲的关于数学思想方法和应用的精品教程，欢迎您来观看学习。

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系;实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。