5.1由递推公式求通项公式的方法总结
<教师备案>
．已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本讲就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧．
．教师在上课时需要注意：
⑴
确保学生基础知识的熟练，如基本的等差和等比数列的通项．
⑵
明确数列可以产生衍生数列，如：等等，而这些数列中的“”也会随着的项号的变化而变化．这点可以在后面第一次讲到用辅助数列的时候提到，但一定要举一些例子让学生体会．
⑶
教师要清晰的了解在高中阶段从递推关系求通项的核心思想就是通过代数变形将递推式转化为等差数列或等比数列的递推式．
⑷
高中阶段除了将递推数列转化为等差或等比数列进行求通项外，还有一小部分递推数列是周期数列．比如，就是周期数列．
考点1：
叠加法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法1．叠加法：若数列递推公式为，则通项．
<教师备案>我们知道等差数列可以通过叠加法求通项公式，对于数列有形如的递推式，且的和是可求的，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形为，……
将各式相加，得
．
经典精讲
【铺垫】已知数列满足，求．
【解析】
．
【例1】
⑴已知数列满足，且求．
⑵已知数列满足且（），求．
⑶已知数列满足求．
⑷在数列中，，则（）
A．
B．
C．
D．
【解析】
⑴
．
⑵
．
⑶
．
⑷
A；
【点评】
在运用叠加法时，要特别注意项数，计算时项数容易出错．正确写出要累加的首项和末项很重要．
考点2：
叠乘法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法2．叠乘法：若数列递推公式为，则通项．
<教师备案>我们知道叠乘法可以求等比数列的通项，对于数列有形如“”的递推式，且的积是可求的时候，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形成，……
将各式相乘，得．
经典精讲
【铺垫】已知数列中，求．
【解析】
．
【例2】
⑴已知数列中，，则数列的通项公式为（）
A．
B．
C．
D．
⑵已知数列中，求数列的通项公式．
⑶已知数列中，，求．
【解析】
⑴
B．
⑵
．
⑶
．
考点3：
构造法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法3．构造法：
⑴
若数列递推公式为，可以设成立，解得，即是等比数列．
⑵
（其中，且，是关于的多项式函数），可设，其中为与的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比较与的各项系数确定待定系数，即为等比数列；
⑶，其中且，，．
①若，则，即为等差数列；
②若，则可以设；
也可两边同时除以或：得或．
<教师备案>
构造法的主要思想是通过观察递推公式的形式，进行合适的代数恒等变换，构造出我们比较熟悉的等差、等比数列，或者类似等差数列（叠加）、类似等比数列（叠乘）．它主要处理递推形式给出的数列，一阶递推主要有两种：⑴；⑵．
这两种递推形式的处理方式如下：
⑴，；
与等比数列的递推公式作对比，发现多一个常数，故考虑构造一个等比数列，于是令，解得，从而得到的表达式，解得的表达式；
例3⑴就是这种形式．
⑵，①当时，即，且数列可以求和时，就是“叠加法”的情形，即；
②当时，ⅰ．是等差数列，故也可以像一样分解：
令，可解得的值，于是成等比数列，可得到的通项公式．
例3⑵就是这种形式．
ⅱ．当成等比数列时，即，若，两边同除以，则，得到数列是一个等差数列；
若，则用待定系数法：设；
也可两边同时除以或：得或，前边的递推式中可以用叠加法求得通项公式，后面的递推式中，可以用（ⅰ）中的待定系数法得到一个等差数列．
例3⑶就是这种形式．
经典精讲
【例3】
⑴在数列中，当时，有，求．
⑵在数列中，，．求．
【追问】如果递推关系中出现了更为复杂的函数，那么该如何进行配凑？
如：在数列中，．求．
⑶已知数列满足，求．
【解析】
⑴
．
⑵
．
【追问】
．
⑶
．
【挑战十分钟】⑴
在数列中，求的通项公式．
⑵
在数列中，求的通项公式．
⑶
在数列中，求的通项公式．
【解析】
⑴
．
⑵
．
⑶
．
【例4】
数列中，求数列的通项公式．
【解析】
．
【点评】本题和例3的区别在于，例3可以说完全是按部就班的套公式，本题需要先代数变形，变成可以去套公式的形式，不过两道例题的整体思想仍然是将递推式左右两边变化出形式类似的代数式，换元后形成（类似）等差或（类似）等比数列．
考点4：
倒数法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法4．倒数法：若数列递推公式为，两边式子取倒数，然后转化为方法3的情形．
<教师备案>
除了一阶递推形式可以用构造法得到一个等差数列或等比数列，或是可以用叠加法或叠乘法处理的数列之外，高中数学中还常常会遇到递推形式为的分式递推数列．这样的数列形式与我们以前的一次分式函数非常相似，对于这样的递推形式，取倒数后分子上就没有了，实现了“变量分离”，得到的形式，于是数列满足的递推式就可以通过叠加法（）或构造法（）去求通项了．
经典精讲
【例5】
⑴已知数列满足，则_________．
⑵已知在数列中，求数列的通项公式．
【解析】
⑴；
⑵
5.2
两种形式的处理
考点5：
前项和与通项
知识点睛
1．已知求，直接用公式：
2．已知与的关系有两种处理方式：
⑴
把题目中的用替换，转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．
⑵
分别写出和的表达式，两式相减转化为关于的递推关系．
注意：使用得到的通项是在这个前提下成立的，所以要注意验证的情况．
<教师备案>由与的关系式求通项是高中阶段的重点，前面的讲次也有涉及到，在本讲我们结合前面求通项的方法进行一个简单的总结．例6是只有一种方法比较可行的，例7则是两种方法都可以．
经典精讲
【铺垫】已知在数列中，求数列的通项公式．
【解析】
．
【例6】
已知数列中，且对于任意正整数有，求通项．
【解析】
．
【点评】此题即属于将用替换，进而转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．如果用和的表达式相减的话则很难求出通项．
【例7】
设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与的等差中项等于与的等比中项，求数列的通项公式．
【解析】
．
【备选】（2010朝阳二模理20）
已知是递增数列，其前项和为，且．
⑴
求数列的通项；
⑵
是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【解析】
⑴．
⑵
满足条件的正整数不存在，证明如下：
假设存在，使得．
则．
整理，得
………①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数不存在．
<教师备案>
若数列的递推公式的一般形式为，这时的通项公式也可以求出．
分两种情况：
①当时，有．
是以为首项，为公比的等比数列．
②当时，存在，满足，与比较系数得，．
可见是二次方程的两个根，通过解此方程求，的值，再进一步推导的表达式．这种方法又称特征根法．
下面的竞赛题就用到了这样的方法，高中对这样的二阶递推式不作要求，这道题仅供学有余力的同学选做．
（2009年全国高中数学联合竞赛一试）
已知，是实数，方程有两个实根，数列
满足，⑴
求数列的通项公式（用，表示）；
⑵
若，求的前项和．
【解析】
⑴
由韦达定理知，又，所以，整理得
令，则．所以是公比为的等比数列．
数列的首项为：．
所以，即．
所以．
①当时，，变为．整理得，．
所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．
所以．
于是数列的通项公式为；
②当时，．
整理得，．
所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．
于是数列的通项公式为．
⑵
若，则，此时．
由⑴的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为，以上两式相减整理得，所以．
<教师备案>
此题老师可以再提及斐波那契数列，它的递推公式为，也是一个二阶递推式，可以用特征根法求得通项公式．
实战演练
【演练1】已知数列中，则_______．
【解析】
．
【演练2】在数列中，．则_______．
【解析】
．
【演练3】在数列中，．求的通项公式．
【解析】
．
【演练4】⑴
已知数列满足，求．
⑵
数列中，求．
【解析】
⑴
．
⑵
．
【演练5】已知数列满足：，又，求．
【解析】
．
【演练6】在数列中，为其前项和，且成等差数列，求的通项公式．
【解析】．
大千世界
（2012年北京高中数学联赛一试）
已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有如下关系成立：
问是否存在满足条件的无穷数列，使得?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式，若不存在则说明理由．
【解析】当时，∵
①
∴
②
①②有：
③
因各项均非零，所以③式两边约掉，有：
④
∴
⑤
④⑤有：
∴或
又∵，∴当时，；当时，∴．
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