求数列通项公式的方法总结史上最全的吐血分享[推荐5篇]

第一篇：求数列通项公式的方法总结史上最全的吐血分享

求数列通项公式的方法总结史上最全的各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1.已知数列an满足a111，an1an2，求an。2nn

变式: 已知数列{an}中a11，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式.类型2an1f(n)an

解法：把原递推公式转化为

例1:已知数列an满足a1

例2:已知a13，an1an1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2nan，求an。，an13n13n1an(n1)，求an。3n2

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1)an1(n≥2)，则{an}的通项an

类型3an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an1tp(ant)，其中t

例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.变式:（2006，重庆,文,14）

在数列an中，若a11,an12an3(n1)，则该数列的通项an_______________

变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）

已知数列an满足a11,an12an1(nN*).（I）求数列an的通项公式；

（II）若数列{bn}滿足41424n

（Ⅲ）证明：b1b1b1n11___n2q，再利用换元法转化为等比数列求解。1p(an1)bn(nN*),证明：数列{bn}是等差数列； an1a1a2n...n(nN*).23a2a3an12

类型4an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)）。（或an1panrqn,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q系数法解决。

例:已知数列an中，a1n1，得：an1pan1anp1bb引入辅助数列（其中），得：再待定bbn1nnnn1nnqqqqqqq511n1,an1an()，求an。632

412an2n1，n1,2,3, 333变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列an的前n项的和Sn

n

32n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti

2Sni1

类型5 递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an2san1t(an1san)其中s，t满足

stp

stq

解法二(特征根法)：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程x2pxq0，叫做数列an的特征方程。

n1n1

若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为anAx1，其中A，B由a1,a2决定（即把a1,a2,x1,x2和Bx2n1n1n1

代入anAx1，得到关于A、B的方程组）；当x1x2时，数列an的通项为an(ABn)x1，其中A，B由a1,a2n1,2，Bx2n1

决定（即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入an(ABn)x1，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列an：3an25an12an0(n0,nN)，a1a,a2b，求数列an的通项公式。例:已知数列an中，a11,a22,an2变式:

1.已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).（I）证明：数列an1an是等比数列；（II）求数列an的通项公式；（III）若数列bn满足4142...4n

b1b1

b1

an1an，求an。33

(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列

2.已知数列3.已知数列

an中，a11,a22,an22an11an，求an

an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，an12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；



an,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；⑶求数列an的通项公式及前n项和。n2

⑴设数列bn

⑵设数列cn

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))解法：这种类型一般利用an去an进行求解。

例：已知数列an前n项和Sn4an

S1(n1)

与anSnSn1f(an)f(an1)消去Sn(n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消

SS(n2)n1n

12n2

.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公式an.（2）应用类型4（an1panqn（其中p，q均为常数，(pq(p1)(q1)0)））的方法，上式两边同乘以2由a1S14a1

n1

得：2n1an12nan2

1nnn

a1a.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2a22(n1)2n2a1nnn

2122n1



变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式:(2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3()

n

1(n3),且S11,S2,求数列{an}的通项公式.类型7 an1pananb(p1、0，a0)

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

anxny是公比为p的等比数列。

例:设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛an｝中，a1

1、点（n、2an1an）在直线y=x上，其中n=1,2,3…2

(Ⅰ)令bnan1an3,求证数列bn是等比数列；(Ⅱ)求数列an的通项；(Ⅲ)设SSnTn

n、Tn分别为数列an、bn的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出n

类型8 arn1pan(p0,an0)

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛an｝中，a11,an1

1a

a2

n(a0)，求数列an的通项公式.变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）已知数列{a1

n}的各项都是正数,且满足:a01,an1

an(4an),nN.（1）证明anan12,nN;（2）求数列{an}的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=

11，求｛b2

n｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1a

nan23Tn1

类型9 a(n)an

n1

fg(n)ah(n)

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an1panq。

n例：已知数列｛an｝满足：an

an1

3a,a11，求数列｛an｝的通项公式。

n11

变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－12，且an＝2a1

n2，nN）n－1＋n－（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！

2、若数列的递推公式为a1

3,1a1

2(n)，则求这个数列的通项公式。n1an3、已知数列{an}满足a11,n2时，an1an2an1an，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：an



an1

3a,a11，求数列｛a｝的通项公式。

n11

n5、若数列｛an｝中，a1=1，an1=

2an

an∈N，求通项an．

n2

类型10apanq

n1

ra

nh

不存在,则说明理由.解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an1

panqh

（其中p、q、r、h均为常数，且phqr,r0,a1），rranh

那么，可作特征方程x等比数列。

1ax1pxq,当特征方程有且仅有一根x0时,则则n是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，是

axaxrxhn0n2

例：已知数列{an}满足性质：对于nN,an1

an4,且a13,求{an}的通项公式.2an3

13an25

.an3

例：已知数列{an}满足：对于nN,都有an1

（1）若a15,求an;（2）若a13,求an;（3）若a16,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？ 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）

数列{an}满足a11且8an1an16an12an50(n1).记bn

11an

(n1).（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.类型11 an1anpnq或an1anpqn

解法：这种类型一般可转化为a2n1与a2n是等差或等比数列求解。

例：（I）在数列{an}中，a11,an16nan，求an（II）在数列{an}中，a11,anan13n，求an 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法

变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an类型13双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列an中，a11；数列bn中，b10。当n2时，an

类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

(2an1bn1),bn(an12bn1)，求an,bn.33

例：若数列an满足an1

1

2a,(0a)nn62，若a1，则a20的值为___________。

72a1,(1a1)

nn2

变式:（2005，湖南,文，5）已知数列{an}满足a10,an1

an33an1

(nN*)，则a20=

（）

A．0

B． C．

D．

第二篇：高中数学数列求通项公式习题

补课习题

（四）的一个通项公式是（），A、anB、anC、anD、an2．已知等差数列an的通项公式为an32n , 则它的公差为（）

A、2B、3C、2D、

33．在等比数列{an}中, a116,a48,则a7（）

A、4B、4C、2D、

24．若等比数列an的前项和为Sn，且S1010，S2030，则S30

5．已知数列an通项公式ann210n3，则该数列的最小的一个数是

6．在数列{an}中，a1于．

7．已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}从哪一项开始小于0？

（3）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值． 11nan且an1，则数列nN的前99项和等2n1anan

8．已知数列an的前项和为Snn23n1，（1）求a1、a2、a3的值；

（2）求通项公式an。

9．等差数列an中，前三项分别为x,2x,5x4，前n项和为Sn，且Sk2550。

（1）、求x和k的值；

（2）、求Tn=1111;S1S2S3Sn

(3)、证明: Tn

1考点：

1.观察法求数列通项公式;2.等差数列通项公式;3.等比公式性质;4.等比公式前n项和公式应用;5.数列与函数结合;6.求通项公式;7.基本的等差数列求通项公式及其应用;8.求通项公式;9.等差数列性质应用及求和与简单的应用

答案：

1.B;2.C;3.A;4.70;5.-22;6.5049.7.（1）an398n（2）n=5(3)sn76、n=4;

8.（1）a1

5、a2

6、a38（2）an5;n1)2n2;n2)

9.（1）由4xx5x4得x2,an2n,.Snn(n1),k(k1)2550得k50

(2).Snn(n1),Sn111 n(n1)nn1

T1111111111n12334n1nnn1n1n1

11且0（3）Tn1n1n1

Tn1

第三篇：求数列的通项公式练习题

求数列的通项公式练习题

一、累加法

例 已知数列{an}满足an1an2n1,，求数列{an}的通项公式。

练习:已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

二、累乘法

例 已知数列{an}满足a11,an1

练习:已知数列{an}满足a11，ana12a23a3通项公式。

三、公式法

例已知a11,an1

n1an，求数列{an}的通项公式。n2求{an}的(n1)an1(n2)，1sn,求an 3

第四篇：根据数列递推公式求其通项公式方法总结

根据数列递推公式求其通项公式方法总结

已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。

一、an1anf(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为an1anf(n)，从而就有

a2a1f(1),a3a2f(2),,anan1f(n1).将上述n1个式子累加，变成ana1f(1)f(2)f(n1)，进而求解。例1.在数列{an}中,a12,an1an2n1,求an.解：依题意有

a2a11,a3a23,,anan12n3

逐项累加有ana1132n3而ann22n3。

注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.(12n3)(n1)(n1)2n22n1，从

2类似题型练习：已知

{an}满足a11，an1an1n(n1)求{an}的通项公式。

二、an1anf(n)型数列，（其中f(n)不是常值函数)此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为

an1f(n)，从而就有 anaaa2f(1),3f(2),,nf(n1)a1a2an1将上述n1个式子累乘，变成anf(1)f(2)f(n1)，进而求解。a1例2.已知数列{an}中a112n3,anan1(n2)，求数列{an}的通项公式。32n1 1

aa21a33a452n3,,,,n,将这n1个式子累乘，a15a27a39an12n1a131113得到n，从而an，当n1时，2(2n1)(2n1)34n1a1(2n1)(2n1)111aa，所以。1n224n134n1解：当n2时，注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.类似题型练习：在数列{an}中, an>0,a12,nan2(n1)an12an1an,求an.提示：依题意分解因式可得[(n1)an1nan](an1an)0，而an>0,所以，即(n1)an1nan0an1n。ann

1三、an1panq型数列

此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设

an1mp(anm)，展开整理an1panpmm，比较系数有pmmb，所以mb，所以ab是等比

np1p1数列，公比为p，首项为a1b。二是用做差法直接构造，an1panq，p1anpan1q，两式相减有an1anp(anan1)，所以an1an是公比为p的等比数列。

例3.在数列{an}中，a11，当n2时，有an3an12，求{an}的通项公式。解法1：设anm3即有an3an12m，对比an3an12，得m1，(an1m)，于是得an13(an11)，数列{an1}是以a112为首项，以3为公比的等比数列，所以有an23n11。

解法2：由已知递推式，得an13an2,an3an12,(n2)，上述两式相减，得an1an3(anan1)，因此，数列{an1an}是以a2a14为首项，以3为公比的等比数列。所以an1an43n1，即3an2an43n1，所以an23n11。

类似题型练习：已知数列an满足a11,an12an1(nN*).求数列an的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用基本数列可简捷地求出通项公式.四．an1panfn型数列（p为常数）此类数列可变形为

anan1anfn，则n可用累加法求出，由此求得an.n1nn1pppp 2

例4已知数列an满足a11,an13an2n1,求an.解:将已知递推式两边同除以2n1得

an13anan1b,设,故有nn1nn2222353n1n1n1bn12(bn2，)bn2,从而.a532nn22注：通过变形,构造辅助数列,转化为基本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.若f(n)为n的一次函数,则an加上关于n的一次函数构成一个等比数列;若f(n)为n的二次函数, 则an加上关于n的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．已知数列an满足a11,当n2时,an1an12n1,求an.2解:作bnanAnB,则anbnAnB,an1bn1A(n1)B代入已知递推式中得:bn1111bn1(A2)n(AB1).22221A20A42令 B61A1B10221bn1且bnan4n6 233显然,bnn1,所以ann14n6.22这时bn注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比较,把问题转化成基本数列,从而使问题得以解决.类似题型练习：

（1）已知an满足a12,an12an2n1，求an。

（2）已知数列{an}，Sn表示其前n项和，若满足Snann23n1，求数列{an}的通项公式。

S1n1提示：（2）中利用an，把已知条件转化成递推式。

SS,n2n1nan

五、AanBanC型数列（A,B,C为非零常数）

这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利 3

地转化为an1panq型数列。

例6．已知数列an满足a12,an12an,求an.an2解:两边取倒数得:

2111n111,所以(n1)，故有an。

nana122an1an22n1an类似题型练习：数列{an}中，an1n1,a12，求{an}的通项。

2an六.an2pan1qan型数列（p,q为常数）

这种类型的做法是用待定糸数法设an2an1an1an构造等比数列。例5．数列an中，a12,a23,且2anan1an1nN,n2，求an.解法略。

第五篇：初中数学复习专题：求数列通项方法汇总

5.1由递推公式求通项公式的方法总结

<教师备案>

．已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本讲就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧．

．教师在上课时需要注意：

⑴

确保学生基础知识的熟练，如基本的等差和等比数列的通项．

⑵

明确数列可以产生衍生数列，如：等等，而这些数列中的“”也会随着的项号的变化而变化．这点可以在后面第一次讲到用辅助数列的时候提到，但一定要举一些例子让学生体会．

⑶

教师要清晰的了解在高中阶段从递推关系求通项的核心思想就是通过代数变形将递推式转化为等差数列或等比数列的递推式．

⑷

高中阶段除了将递推数列转化为等差或等比数列进行求通项外，还有一小部分递推数列是周期数列．比如，就是周期数列．

考点1：

叠加法

知识点睛

由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）

方法1．叠加法：若数列递推公式为，则通项．

<教师备案>我们知道等差数列可以通过叠加法求通项公式，对于数列有形如的递推式，且的和是可求的，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形为，……

将各式相加，得

．

经典精讲

【铺垫】已知数列满足，求．

【解析】

．

【例1】

⑴已知数列满足，且求．

⑵已知数列满足且（），求．

⑶已知数列满足求．

⑷在数列中，，则（）

A．

B．

C．

D．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

⑷

A；

【点评】

在运用叠加法时，要特别注意项数，计算时项数容易出错．正确写出要累加的首项和末项很重要．

考点2：

叠乘法

知识点睛

由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）

方法2．叠乘法：若数列递推公式为，则通项．

<教师备案>我们知道叠乘法可以求等比数列的通项，对于数列有形如“”的递推式，且的积是可求的时候，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形成，……

将各式相乘，得．

经典精讲

【铺垫】已知数列中，求．

【解析】

．

【例2】

⑴已知数列中，，则数列的通项公式为（）

A．

B．

C．

D．

⑵已知数列中，求数列的通项公式．

⑶已知数列中，，求．

【解析】

⑴

B．

⑵

．

⑶

．

考点3：

构造法

知识点睛

由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）

方法3．构造法：

⑴

若数列递推公式为，可以设成立，解得，即是等比数列．

⑵

（其中，且，是关于的多项式函数），可设，其中为与的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比较与的各项系数确定待定系数，即为等比数列；

⑶，其中且，，．

①若，则，即为等差数列；

②若，则可以设；

也可两边同时除以或：得或．

<教师备案>

构造法的主要思想是通过观察递推公式的形式，进行合适的代数恒等变换，构造出我们比较熟悉的等差、等比数列，或者类似等差数列（叠加）、类似等比数列（叠乘）．它主要处理递推形式给出的数列，一阶递推主要有两种：⑴；⑵．

这两种递推形式的处理方式如下：

⑴，；

与等比数列的递推公式作对比，发现多一个常数，故考虑构造一个等比数列，于是令，解得，从而得到的表达式，解得的表达式；

例3⑴就是这种形式．

⑵，①当时，即，且数列可以求和时，就是“叠加法”的情形，即；

②当时，ⅰ．是等差数列，故也可以像一样分解：

令，可解得的值，于是成等比数列，可得到的通项公式．

例3⑵就是这种形式．

ⅱ．当成等比数列时，即，若，两边同除以，则，得到数列是一个等差数列；

若，则用待定系数法：设；

也可两边同时除以或：得或，前边的递推式中可以用叠加法求得通项公式，后面的递推式中，可以用（ⅰ）中的待定系数法得到一个等差数列．

例3⑶就是这种形式．

经典精讲

【例3】

⑴在数列中，当时，有，求．

⑵在数列中，，．求．

【追问】如果递推关系中出现了更为复杂的函数，那么该如何进行配凑？

如：在数列中，．求．

⑶已知数列满足，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【追问】

．

⑶

．

【挑战十分钟】⑴

在数列中，求的通项公式．

⑵

在数列中，求的通项公式．

⑶

在数列中，求的通项公式．

【解析】

⑴

．

⑵

．

⑶

．

【例4】

数列中，求数列的通项公式．

【解析】

．

【点评】本题和例3的区别在于，例3可以说完全是按部就班的套公式，本题需要先代数变形，变成可以去套公式的形式，不过两道例题的整体思想仍然是将递推式左右两边变化出形式类似的代数式，换元后形成（类似）等差或（类似）等比数列．

考点4：

倒数法

知识点睛

由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）

方法4．倒数法：若数列递推公式为，两边式子取倒数，然后转化为方法3的情形．

<教师备案>

除了一阶递推形式可以用构造法得到一个等差数列或等比数列，或是可以用叠加法或叠乘法处理的数列之外，高中数学中还常常会遇到递推形式为的分式递推数列．这样的数列形式与我们以前的一次分式函数非常相似，对于这样的递推形式，取倒数后分子上就没有了，实现了“变量分离”，得到的形式，于是数列满足的递推式就可以通过叠加法（）或构造法（）去求通项了．

经典精讲

【例5】

⑴已知数列满足，则_________．

⑵已知在数列中，求数列的通项公式．

【解析】

⑴；

⑵

5.2

两种形式的处理

考点5：

前项和与通项

知识点睛

1．已知求，直接用公式：

2．已知与的关系有两种处理方式：

⑴

把题目中的用替换，转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．

⑵

分别写出和的表达式，两式相减转化为关于的递推关系．

注意：使用得到的通项是在这个前提下成立的，所以要注意验证的情况．

<教师备案>由与的关系式求通项是高中阶段的重点，前面的讲次也有涉及到，在本讲我们结合前面求通项的方法进行一个简单的总结．例6是只有一种方法比较可行的，例7则是两种方法都可以．

经典精讲

【铺垫】已知在数列中，求数列的通项公式．

【解析】

．

【例6】

已知数列中，且对于任意正整数有，求通项．

【解析】

．

【点评】此题即属于将用替换，进而转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．如果用和的表达式相减的话则很难求出通项．

【例7】

设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与的等差中项等于与的等比中项，求数列的通项公式．

【解析】

．

【备选】（2010朝阳二模理20）

已知是递增数列，其前项和为，且．

⑴

求数列的通项；

⑵

是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由．

【解析】

⑴．

⑵

满足条件的正整数不存在，证明如下：

假设存在，使得．

则．

整理，得

………①

显然，左边为整数，所以①式不成立．

故满足条件的正整数不存在．

<教师备案>

若数列的递推公式的一般形式为，这时的通项公式也可以求出．

分两种情况：

①当时，有．

是以为首项，为公比的等比数列．

②当时，存在，满足，与比较系数得，．

可见是二次方程的两个根，通过解此方程求，的值，再进一步推导的表达式．这种方法又称特征根法．

下面的竞赛题就用到了这样的方法，高中对这样的二阶递推式不作要求，这道题仅供学有余力的同学选做．

（2009年全国高中数学联合竞赛一试）

已知，是实数，方程有两个实根，数列

满足，⑴

求数列的通项公式（用，表示）；

⑵

若，求的前项和．

【解析】

⑴

由韦达定理知，又，所以，整理得

令，则．所以是公比为的等比数列．

数列的首项为：．

所以，即．

所以．

①当时，，变为．整理得，．

所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．

所以．

于是数列的通项公式为；

②当时，．

整理得，．

所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．

于是数列的通项公式为．

⑵

若，则，此时．

由⑴的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为，以上两式相减整理得，所以．

<教师备案>

此题老师可以再提及斐波那契数列，它的递推公式为，也是一个二阶递推式，可以用特征根法求得通项公式．

实战演练

【演练1】已知数列中，则_______．

【解析】

．

【演练2】在数列中，．则_______．

【解析】

．

【演练3】在数列中，．求的通项公式．

【解析】

．

【演练4】⑴

已知数列满足，求．

⑵

数列中，求．

【解析】

⑴

．

⑵

．

【演练5】已知数列满足：，又，求．

【解析】

．

【演练6】在数列中，为其前项和，且成等差数列，求的通项公式．

【解析】．

大千世界

（2012年北京高中数学联赛一试）

已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有如下关系成立：

问是否存在满足条件的无穷数列，使得?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式，若不存在则说明理由．

【解析】当时，∵

①

∴

②

①②有：

③

因各项均非零，所以③式两边约掉，有：

④

∴

⑤

④⑤有：

∴或

又∵，∴当时，；当时，∴．