河南省2021年高三专题复习用不动点法求数列通项

用不动点法求数列的通项

定义：方程的根称为函数的不动点.利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.证明：因为

是的不动点

由得

所以是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件

（1）：若有两个相异的不动点，则

（这里）

（2）：若只有唯一不动点，则

（这里）

证明：由得，所以

（1）因为是不动点，所以，所以

令，则

（2）因为是方程的唯一解，所以

所以，所以

所以

令，则

例1：设满足，求数列的通项公式

例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式

定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,证明:

是的两个不动点

即

于是,方程组有唯一解

例3：已知数列中，求数列的通项.其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:

例4：已知且,求数列的通项.解:

作函数为,解方程得的不动点为

.取,作如下代换:

逐次迭代后,得:

已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

（１）求数列的通项公式；

（２）证明：

设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和．

已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．

（1）求的值；

（2）证明：对任意的正整数，都有；

（3）记，求数列的前项和

13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列满足，.令，证明：是等比数列；

(Ⅱ)求的通项公式。

2山东文20.（本小题满分12分）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记

求数列的前项和

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