2023衡水名师原创数学专题卷
考试时间：120分钟
满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在下列图象中，函数的图象可能是（）
A.B.C.D.2.函数的图象可能为（）
A．
B．
C．
D．
3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数的图像大致是（）
A．
B．
C．
D．
4.函数的图象大致为（）
A.B.C.D.5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象（）
A．
B．
C．
D．
6.函数的零点个数是（）
A．
B．2
C．1
D．0
7.已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（）
A.B.C.D.8.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9.空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：
指数
0-50
51-100
101-150
151-200
201-300
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
下图是某市12月1日～20日指数变化趋势
下列叙述正确的是（）
A．这20天中指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上的天数占
C．该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
10.若函数,其中,其.则函数在同一坐标系的大致图象可能是（）
A.B.C.D.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）
A.若在区间上的最大值与最小值分别为，则
B.曲线与直线相切
C.若为增函数，则a的取值范围为
D.在R上最多有3个零点
12.设函数,若函数有三个零点,则下列说法正确的是（）
A.b的值为-2
B.c的值为1
C.a的值无法确定
D.第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13.已知定义在上的奇函数满足,且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的跟则________.14.函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为：_________
15.用二分法求方程在上的近似解,取中点,则下一个有根区间为_________.16.已知函数
（，是自然对数的底数）.若有且仅有3个负整数，使得，，则的最小值是________.四、解答题（本题共6小题，共70分。
）17.（本题满分10分）已知函数，（且），．
（1）求函数和的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数和的图象；
（3）如果，请直接写出x的取值范围
18.（本题满分12分）画出函数与函数的图象，并比较两者在上的大小关系.19.（本题满分12分）已知二次函数，且是函数的零点.（1）求解析式，并解不等式;
（2）若求函数的值域.20.（本题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，有两个不同实数根，求实数m的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；
（2）当函数有两个零点，求实数a的取值范围.22.（本题满分12分）由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格（元）与时间t（天）的函数关系是，日销售量
(件)与时间t
(天)的函数关系是
.（1）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；
（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）
（2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？
参考答案及解析
1.答案：D
解析：由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应因变量的唯一的值，∴可作直线从左向右在定义域内移动，看直线与曲线图象的交点个数是否唯一，显然，A，B，C均不满足，而D满足，故选D
2.答案：A
解析：．根据题意，图数
有，即函数为奇函数，排除B、D
C．在区间上，有，且,则，排除C
故选：A．
3.答案：A
解析：,故函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD；
又，故排除C.故选：A.4.答案：A
解析：解法一
令，显然，为奇函数，排除C，D，由，排除B，故选A.解法二
令，由，故选A.5.答案：A
解析：由函数的图象知：，∴函数在定义域R上是减函数，∴选项不正确，,∴B选项不正确
综上所述，答案选择：A
6.答案：B
解析：画出函数的图像可得其图像与x轴有两个交点，则函数有2个零点
7.答案：B
解析：函数在上有两个零点,等价于与,有两个不同的交点 ,恒过,设与相切时切点为,因为,所以,解得,此时切线斜率为有函数图像可知：函数在上有两个零点,则实数的取值范围是
故选B.8.答案：B
解析：由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数，当时，函数有3个零点，即有3个不同根，画出函数与的图象如图：
要使函数与的图象有3个交点，则，且，即∴实数k的取值范围是．
故选：B．
9.答案：ABD
解析：A.20天中AQI指数值有10个低于100，10个高于100，其中位数略高于100，A正确；
B.20天中AQI指数值高于150的天数为4，即占总天数的，B正确；
C.该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天，空气质量越来越差，C错误；
D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D正确。
10.答案：AD
解析：由题意知是指数函数,是对数函数,且是一个偶函数,当时,单调递减,在上递减,此时A选项符合题意,当时,单调递增,在上单调递增,此时D选项符合题意,故选AD.11.答案：ACD
解析：因为对于任意，都有，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.，令，得，因为，所以方程无实数解，即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.若为增函数，则，即，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故C正确.令，得或.设，则，令，则.当时，当时，当时，所以函数为增函数，且，所以当时，从而单调递增.又因为对于任意，都有，所以为偶函数，其图象关于y轴对称.综上，在上单调递减，在上单调递增，则直线与最多有2个交点，所以在R上最多有3个零点，故D正确.故选ACD.12.答案：ABC
解析：作出函数的大致图像如图所示,由图可得关于x的方程的根有两个或三个(时有三个,时有两个),所以关于t的方程只能有一个根(若有两个根,则关于x的方程有四个或五个根),由根与系数的关系得，得,所以A,B正确;不妨设,令,可得得值分别为1,2,3,则,由,得,故a的值无法确定,所以C正确,D错误.故选ABC.13.答案：-8
解析：∵定义在上的奇函数满足,又∵是奇函数,∴,∴
函数图像关于直线对称且,由知,∴
函数是以8为周期的周期函数。
又∵在区间上是增函数,∴在区间上也是增函数,如图所示,那么方程在区间上有四个不同的根不妨设,由对称性知.14.答案：
解析：
∵函数有且只有一个零点，∴函数与的图象有且只有一个交点，作函数与的图象如下，结合图象知，当时成立，当时，相切时成立，故；
故；
故；
综上所述,实数的取值范围为
故答案为：
15.答案：
解析：令.,.因为,故，所以下一个有根区间是.16.答案：
解析：由可得．
令，是极小值点，的图象如图所示．
显然，当时满足的负整数x有无数个，因此．
此时必须满足，即，解得．
故答案为：．
17.答案：（1），所以，所以，（2）
（3）
解析：
18.答案：函数与的图象如图所示.根据图象易得：
当时，当时，当时，.解析：
19.答案：（1）是的零点的两根为
解不等式的或，不等式的解集为
(2)
又的值域为
解析：
20.答案：（1），当时，在上单调递增；
当时，令，则，则时，单调递减，时，单调递增.综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意知，当时，有两个不同实数根，则，记，则.由（1）知，当时，在上单调递增，即，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，又当时，当时，.实数m的取值范围为.解析：
21.答案：（1）解：由题意得
①当时，令，则；令，则，∴在上单调递减，在上单调递增；
②当时，令，则或，（ⅰ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，∴在上单调递增；
（ⅲ）当时，令，则或；令，则，∴在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由1得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；
当时，在上单调递增，∴此时不符合题意；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
∴的处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，∵，∴在上有一个零点，（ⅰ）当时，令，当时，∵，∴在上有一个零点，∴此时符合题意；
（ⅱ）当时，当时，∴在上没有零点，此时不符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为.解析：
22.答案：（1）设日销售额为y元，则，所以．
即：
（2）．
当时，；
当时，．
故所求日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大
解析：2023衡水名师原创数学专题卷
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知，则的值为（）
A．
B．
C．
D．
2.已知,则（）
A.B.C.D.3.（）
A.B.C.D.4.（）
A.B.C.D.5.已知,且,则下列结论正确的是（）
A.B.C.D.6.已知,则（）
A.B.C.D.7.的内角的对边分别为.已知，则（）
A.B.C.D.8.的内角的对边分别为,已知,则（）。
A.6
B.5
C.4
D.3
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9.下列各式中，值为的是（）
A.B.C.D.10.在中，,则下列结论正确的是（）
A.B.C.D.11.下列说法正确的有（）
A.在中，B.在中，若，则为等腰三角形
C.中，是的充要条件
D.在中，若，则
12.在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（）
A.若，则
B.若，则可能为等腰三角形或直角三角形
C.若，则定为直角三角形
D.若且该三角形有两解，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13.已知，则________.14.计算________.15.在中，角的对边分别为，且角为锐角，则面积的最大值为_________.16.已知中,角的对边分别为,若,则_______.四、解答题（本题共6小题，共70分。
）17.（本题满分10分）已知.(1)求的值;
(2)已知,且角的终边是由角的终边逆时针旋转得到的,求的值.18.（本题满分12分）在中，求：
（1）的值；
（2）的值.19.（本题满分12分）已知，求的值.20.（本题满分12分）在中,角的对边分别为。
(1)若,求的值；
(2)若,求的值。
21.（本题满分12分）在平面四边形中。
(1)求；
(2)若,求。
22.（本题满分12分）在中,内角所对的边分别为,且。
(1)求角的大小；
(2)若,角的平分线,求的值。
参考答案及解析
1.答案：D
解析：，.，故选：D
2.答案：B
解析：由，得,又，所以,所以,故选B.3.答案：B
解析：，故选B.4.答案：A
解析：
.5.答案：A
解析：,由,得,则,又,函数在区间上单调递增,所以即,故选A.6.答案：D
解析：由,得
则,故，故选D
7.答案：A
解析：由题意，∴由正弦定理得，即解得
8.答案：A
解析：由题意及正弦定理得，所以由余弦定理得,化简得。
9.答案：CD
解析：因为，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C正确；
因为，所以D正确.故选：CD.10.答案：BD
解析：因为,所以,B正确.因为,所以.因为,所以,所以角A为锐角,所以,A错误，C错误，D正确.11.答案：AC
解析：由正弦定理
可得：
即成立，故选项A正确；
由可得或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
在中，由正弦定理可得，则是的充要条件，故选项C正确；
在中，若，则或，故选项D错误.故选：AC.12.答案：ABCD
解析：对于A选项，由正弦定理得，故A选项正确.对于B选项，由于，由于是三角形的内角，所以或，即或，所以可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确.对于C选项，由以及正弦定理得，即，所以，由于，所以，所以，故定为直角三角形.故C选项正确.对于D选项，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D选项正确.故选：ABCD.13.答案：
解析：因为，所以，即.14.答案：
解析：
15.答案：
解析：在中，，由正弦定理得，由，可得，即，∵角为锐角，由余弦定理得，，即，当且仅当时，等号成立，面积的最大值为
16.答案：6
解析：由及正弦定理,得.设,则.由余弦定理,得.整理,得,即,解得或(舍去).所以.17.答案：(1)解法一
由题意得,故,所以,所以.解法二
由题意得,故,所以.(2)由题意得，所以.由1知，所以,即.因为，所以.又,所以,所以,所以.解析：
18.答案：（1），为三角形的一个内角
由得
又
.（2）由（1）和
解析：
19.答案：将条件式两边平方得
.因为，所以
所以原式，这道题的关键就是第一步平方，因为所求式子中出现了二倍角，只能通过升次和倍角公式才能得到所以用平方来升次.解析：
20.答案：(1)因为,由余弦定理得，即。所以。
(2)因为,由正弦定理,得,所以。
从而,即,故。
因为,所以,从而。
因此。
解析：
21.答案：(1)在中,由正弦定理得。
由题设知，所以。
由题设知，所以。
(2)由题设及(1)知,。
在中,由余弦定理得。
所以。
解析：
22.答案：(1)由及正弦定理得，,。
又。
(2)在中，角的平分线,由正弦定理得,。。
由余弦定理得,。
解析：
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