2023衡水名师原创数学专题卷
考试时间：120分钟
满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列函数中,定义域与值域相同的有（）
①；
②；
③；
④.A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.已知函数，则的值为（）
A.B.C.D.3.函数的定义域是（）
A.B.C.D.4.已知函数，则（）
A.的图象关于点对称,B.的图象关于直线对称,C.在上单调递减,D.在上单调递减，在上单调递增.5.已知函数是上的增函数，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
6.若奇函数在区间上为增函数，且有最小值0，则它在区间上（）
A.是减函数，有最小值0
B.是增函数，有最小值0
C.是减函数，有最大值0
D.是增函数，有最大值0
7.若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）
A.B.C.D.8.设函数，则（）
A.是偶函数，且在单调递增
B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增
D.是奇函数，且在单调递减
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9.已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（）
A.B.直线是函数的图象的一条对称轴
C.函数在上为增函数
D.函数在上有四个零点
10.下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（）
A.B.C.D.11.下列函数,在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（）
A.B.C.D.12.下列函数中,在上单调递增的是（）
A.B.C.D.第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．
14.设是定义在R上且周期为2的函数,在区间上,其中.若,则的值是__________.15.已知函数是定义域为R的偶函数，都有,当时，则__________.16.已知函数为奇函数，则__________.四、解答题（本题共6小题，共70分。
）17.（本题满分10分）设二次函数
(且)满足条件:①当时,;②当时,;③在上的最小值为0.求函数的解析式
18.（本题满分12分）已知二次函数（为常数），对任意实数x都有成立，且
（1）求的解析式；
（2）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围.19.（本题满分12分）定义在R上的单调函数满足，且对任意都有．
（1）求证:为奇函数；
（2）若对任意恒成立，求实数k的取值范围．
20.（本题满分12分）设函数是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有成立.(1)证明是周期函数，并指出其周期.(2)若，求的值.(3)若，且是偶函数，求实数a的值.21.（本题满分12分）已知定义域为R的函数是奇函数
（1）求的值．
（2）判断的单调性，并用定义证明
（3）若存在，使成立，求k的取值范围．
22.（本题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式．
参考答案及解析
1.答案：A
解析：函数的定义域为,值域为,故①错误：函数的定义域为,值域为,故②错误；函数的定义域为,值域为,故③错误；的定义域为,值域为,故④正确.故定义域与值域相同的函数有1个.2.答案：A
解析：，则．
故选：A．
3.答案：B
解析：∵函数，∴；
解得，∴函数的定义域是.故选：D.4.答案：A
解析：,则函数定义域为，即,有关于点对称的可能,进而推测为奇函数，关于原点对称，,定义域为,奇函数且单调递增,∴为向右平移两个单位得到，则函数在单调递增,关于点对称
5.答案：D
解析：根据题意,函数是上的增函数，则有，解可得，即的取值范围是；
故选：D.6.答案：D
解析：由奇函数的性质，∵奇函数在上为增函数，∴奇函数在上为增函数，又奇函数在上有最小值0，∴奇函数在上有最大值0
故应选D.7.答案：D
解析：通解
由题意知在，单调递减，且.当时，令，得，；当时，令，得，又，；当时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为，选D.优解
当时，符合题意，排除B；当时，此时不符合题意，排除选项A，C.故选D.8.答案：D
解析：由得函数的定义域为，其关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，排除A，C.当时，易知函数单调递增，排除B.当时，易知函数单调递减，故选D.9.答案：ABD
解析：A：对于任意,都有成立,令,则,又因为是上的偶函数,所以.B：由A知,所以的周期为6，又因为是上的偶函数,所以，而的周期为6,所以，所以：,所以直线是函数的图象的一条对称轴。
C：当,且时,都有
所以函数在上为增函数，因为是上的偶函数,所以函数在上为减函数
而的周期为6,所以函数在上为减函数。
D：的周期为6，所以：，函数在上有四个零点。
故答案为：ABD
10.答案：BC
解析：对于A,设.则
又的定义域为R,所以为奇函数,故A不符合题意;对于B,设,显然为偶函数，当时，故在上单调递增,故B
符合题意;对于C易知是偶函数,且在上单调递增,故C符合题意;
对于D,易知在上不单调,故D不符合题意,故选BC
11.答案：AD
解析：由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数,由函数在定义域内单调递增,知在定义域内其导函数大于等于0.A中,为奇函数，故A满足题意;B中,函数的定义域为,其图象不关于原点对称,故B不满足题意;C中，所以函数为偶函数,故C不满足题意;D中，通过判断可知在定义域内单调递增,又,所以在定义域内单调递增且图象关于原点对称,故D满足题意.故选AD.12.答案：BC
解析：A中，令,∵在上单调递减,∴.∵在上单调递增,∴在上单调递减.B中，令,∵在上单调递增,∴.∵在上单调递增,∴在上单调递增.C中,在上单调递增.D中,图象的对称轴为直线,所以函数在上单调递增,在上单调递减.故选BC.13.答案：
解析：依题意，当时，恒成立．
当时，；
当时，则，即
解得．
综上，实数m的取值范围是．
故答案为:．
14.答案：
解析：由题意得，则，因此.15.答案：5
解析：由题知,函数为偶函数且周期为2,.16.答案：
解析：
因为为奇函数,所以，即即，所以。所以，即.当时，无意义，故舍去.当时，其定义域为满足题意
17.答案：由，即
得函数的图象的对称轴为
再结合③知
当时，令，得
代入，得
解析：
18.答案：（1）由题意可知，解得
由，可知，化简得，因为上式对任意的实数x恒成立，所以
所以，所以
（2）由在区间上有解，即在区间上有解，令，则原问题等价于，又在上单调递减
所以
所以，解得
∴
实数m的取值范围是
解析：
19.答案：（1）证明：，①
令，代入①式，得，即
．
令，代入①式，得，又，则有．即对任意成立，所以是奇函数．
（2）解：，即，又在R上是单调函数，所以在R上是增函数
又由1知是奇函数．，对任意成立．
令，问题等价于
令，其对称轴，对任意恒成立．
当即时，符合题意；
当时，对任意恒成立
综上所述当时，对任意
解得R恒成立．
解析：
20.答案：(1)由且，知，所以是周期函数，且是其一个周期.(2)因为为定义在R上的奇函数，所以，且，又是的一个周期，所以
(3)因为是偶函数，且，所以为偶函数.故为偶函数，即恒成立，于是恒成立.于是恒成立，所以.解析：
21.答案：（1）∵是R上的奇函数，∴
即
∴
即
经验证符合题意．∴
（2）
在R上是减函数，证明如下：
任取，且，∵
∴即
∴在R上是减函数．
（3）∵是奇函数．
∴
又∵是减函数，∴∴
设，∴问题转化为，∴
解析：
22.答案：（1）由奇函数的性质可知,，∴，∵,∴,（2）函数在上是增函数．
证明：任取,则
所以函数在上是增函数；
（3）由，∴．
故不等式的解集为
解析：2023衡水名师原创数学专题卷
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知，则的值为（）
A．
B．
C．
D．
2.已知,则（）
A.B.C.D.3.（）
A.B.C.D.4.（）
A.B.C.D.5.已知,且,则下列结论正确的是（）
A.B.C.D.6.已知,则（）
A.B.C.D.7.的内角的对边分别为.已知，则（）
A.B.C.D.8.的内角的对边分别为,已知,则（）。
A.6
B.5
C.4
D.3
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9.下列各式中，值为的是（）
A.B.C.D.10.在中，,则下列结论正确的是（）
A.B.C.D.11.下列说法正确的有（）
A.在中，B.在中，若，则为等腰三角形
C.中，是的充要条件
D.在中，若，则
12.在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（）
A.若，则
B.若，则可能为等腰三角形或直角三角形
C.若，则定为直角三角形
D.若且该三角形有两解，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13.已知，则________.14.计算________.15.在中，角的对边分别为，且角为锐角，则面积的最大值为_________.16.已知中,角的对边分别为,若,则_______.四、解答题（本题共6小题，共70分。
）17.（本题满分10分）已知.(1)求的值;
(2)已知,且角的终边是由角的终边逆时针旋转得到的,求的值.18.（本题满分12分）在中，求：
（1）的值；
（2）的值.19.（本题满分12分）已知，求的值.20.（本题满分12分）在中,角的对边分别为。
(1)若,求的值；
(2)若,求的值。
21.（本题满分12分）在平面四边形中。
(1)求；
(2)若,求。
22.（本题满分12分）在中,内角所对的边分别为,且。
(1)求角的大小；
(2)若,角的平分线,求的值。
参考答案及解析
1.答案：D
解析：，.，故选：D
2.答案：B
解析：由，得,又，所以,所以,故选B.3.答案：B
解析：，故选B.4.答案：A
解析：
.5.答案：A
解析：,由,得,则,又,函数在区间上单调递增,所以即,故选A.6.答案：D
解析：由,得
则,故，故选D
7.答案：A
解析：由题意，∴由正弦定理得，即解得
8.答案：A
解析：由题意及正弦定理得，所以由余弦定理得,化简得。
9.答案：CD
解析：因为，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C正确；
因为，所以D正确.故选：CD.10.答案：BD
解析：因为,所以,B正确.因为,所以.因为,所以,所以角A为锐角,所以,A错误，C错误，D正确.11.答案：AC
解析：由正弦定理
可得：
即成立，故选项A正确；
由可得或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误；
在中，由正弦定理可得，则是的充要条件，故选项C正确；
在中，若，则或，故选项D错误.故选：AC.12.答案：ABCD
解析：对于A选项，由正弦定理得，故A选项正确.对于B选项，由于，由于是三角形的内角，所以或，即或，所以可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确.对于C选项，由以及正弦定理得，即，所以，由于，所以，所以，故定为直角三角形.故C选项正确.对于D选项，且该三角形有两解，所以，即，也即，故D选项正确.故选：ABCD.13.答案：
解析：因为，所以，即.14.答案：
解析：
15.答案：
解析：在中，，由正弦定理得，由，可得，即，∵角为锐角，由余弦定理得，，即，当且仅当时，等号成立，面积的最大值为
16.答案：6
解析：由及正弦定理,得.设,则.由余弦定理,得.整理,得,即,解得或(舍去).所以.17.答案：(1)解法一
由题意得,故,所以,所以.解法二
由题意得,故,所以.(2)由题意得，所以.由1知，所以,即.因为，所以.又,所以,所以,所以.解析：
18.答案：（1），为三角形的一个内角
由得
又
.（2）由（1）和
解析：
19.答案：将条件式两边平方得
.因为，所以
所以原式，这道题的关键就是第一步平方，因为所求式子中出现了二倍角，只能通过升次和倍角公式才能得到所以用平方来升次.解析：
20.答案：(1)因为,由余弦定理得，即。所以。
(2)因为,由正弦定理,得,所以。
从而,即,故。
因为,所以,从而。
因此。
解析：
21.答案：(1)在中,由正弦定理得。
由题设知，所以。
由题设知，所以。
(2)由题设及(1)知,。
在中,由余弦定理得。
所以。
解析：
22.答案：(1)由及正弦定理得，,。
又。
(2)在中，角的平分线,由正弦定理得,。。
由余弦定理得,。
解析：
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