《空间向量》专题3-1
非坐标运算
(4套,4页,含答案)
知识点:
非坐标运算:
(1)加减与数乘运算:
定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
;;;
(2)运算律:
⑴加法交换律:;
⑵加法结合律:;
⑶数乘分配律:;
(3)
用行路法分解向量,会比较简单,容易理解。
具体操作方法:假设自己行路,绕路行,如果行路方向与向量方向一致,则向量为正,否则为负;把行
路经过的向量相加即为该向量分解的结果。
(4)向量的数量积:
.
已知向量和轴,是上与同方向的单位向量,作点在上的射影,作点在上的射影,则叫做向量在轴上或在上的正射影.可以证明的长度.
(5)空间向量数量积的性质:
(1).(2).(3).
(6)空间向量数量积运算律:
(1).
(2)(交换律)(3)(分配律).
典型例题:
1.在空间四边形OABC中,+-等于(答案:C;
解析: +-=O-=+=.)
A.
B.
C.
D.
2.如图所示,已知平行六面体OABC-O′A′B′C′,=a,=c,′=b,D是四边形OABC的中心,则(答案:D;
解析: =+=+=+(+)=a-b+c.)
A.=-a+b+c
B.=-b-a-c
C.=a-b-c
D.=a-b+c
3.如图所示,已知正三棱锥A-BCD的侧棱长和底面边长都是a,点E,F,G是AB,AD,DC上的点,且AE∶EB=AF∶FD=CG∶GD=1∶2,求下列向量的数量积:
(1)A·D;(2)A·B;(3)G·A;(4)E·B.答案:-a2,0,-a2,a2;
解析:(1)|A|=a,||=a,〈A,D〉=120°,所以A·D=|||D|cos
120°=-a2.(2)因为B=A-A,所以A·B=A·(A-A)=A·A-A·A,又因为|A|=a,||=a,〈A,A〉=〈A,A〉=60°,所以A·B=a2-a2=0.(3)因为点F,G是AD,DC上的点,所以G==-A,所以G·A=-,因为=a2,所以G·A=-a2.(4)因为点E,F分别是AB,AD上的点,所以E=B,所以E·B=B·B,结合图形可知〈B,B〉=60°,所以E·B=B·B=×a×a×cos
60°=a2.随堂练习:
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的是(答案:D;
解析: ①(+)+=+=;
②(+)+=+=;
③(+)+=+=;
④(+)+=+=.)
①(+)+;
②(+)+;
③(+)+;
④(+)+.A.①③
B.②④
C.③④
D.①②③④
2.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若=a,=b,=c.试用a,b,c表示向量.答案:a-b+c;
解析: =(+)=(++)
=(-+--)
=-+
=a-b+c.3.在空间四边形ABCD中,A·C+B·A+C·B=___
答案:0;
解析: 设A=b,A=c,A=d,则C=d-c,B=d-b,=c-b.原式=0._____.《空间向量》专题3-2
非坐标运算
1.在平行六面休ABCD-A′B′C′D′中,若=x+2y+3z,则x+y+z等于(答案:B;
解析: 如图,=++
=+-,所以x=1,2y=1,3z=-1,所以x=1,y=,z=-,因此x+y+z=1+-=.)
A.1
B.C.D.2.如图,空间四边形OABC中,点M、N分别OA、BC上,OM=2MA,BN=CN,则MN=(答案:B;)
A.12OA−23OB+12OC
B.−23OA+12OB+12OC
C.12OA+12OB−12OC
D.23OA+23OB−12OC
3.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为(答案:D;
解析: ∵=A+A+,∴||==
∵AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,∴〈A,A〉=90°,〈A,〉=〈A,〉=60°.∴|A|==.)
A.B.C.D.《空间向量》专题3-3
非坐标运算
1.如图所示,在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中,M是AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与
相等的向量是(答案:A;
解析: =+=+(+)=c+(-a+b)=-a+b+c.)
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.-a-b+c
2.如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设O=a,O=b,O=c,E、F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示:B、B、A、E.答案:B=-a-b+c,B=-a-b+c,A=-a+b+c,E=a;
解析: 连结BO,则B=B=(B+O)=(c-b-a)=-a-b+c.B=B+C=-a+C=-a+(C+O)=-a-b+c.A=A+P=A+O+(P+O)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c.E=C=O=a.3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则=____
答案:-a+b-c;
解析: =-=-(+)=-a+b-c.____.(用a,b,c表示)
《空间向量》专题3-4
非坐标运算
1.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,M、N分别为BC、PD的中点,求满足M=x+y+z的实数x,y,z的值.
答案:x=-1,y=0,z=;
解析: =++=++=-+(-)=-+,∴x=-1,y=0,z=.2.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.
(1)化简++,并在图上标出结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,试求α、β、γ的值.
答案:作图略,α=,β=,γ=;
解析:
(1)如图所示,取AA1的中点E,在D1C1上取一点F,使得D1F=2FC1,则=++.(2)=+=+=(+)+(+)=++.∴α=,β=,γ=.3.在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且|MB|=2|AM|,|CN|=|ND|,求|MN|.答案:a;
解析: ∵M=M+B+C=A+(A-A)+(A-A)=-A+A+A.∴M·M=(-A+A+)·(-A+A+A)
=-A·A-A·A+A·A+2+
=a2-a2-a2+a2+a2+a2=a2.故|M|==a.即|MN|=a.