2020-2021学年第一学期期末考试
高一数学试题
考试时间：120分钟；总分：150分
一．选择题（共12小题）
1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么cos（﹣α）等于（）
A．
B．
C．
D．
2．若2sinx﹣cos（+x）＝2，则cos2x＝（）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
3．已知两个单位向量，的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）
A．在方向上的投影为cosθ
B．＝
C．|•|＝1
D．（+）⊥（﹣）
4．在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，且4，则＝（）
A．
B．
C．
D．
5．若＝2，则sinθcosθ的值是（）
A．
B．
C．±
D．
6．若sinθ﹣cosθ＝，且θ∈（,π），则sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝（）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
7．已知实数a＝tan（sin），b＝tan（cos），c＝tan（tan），则（）
A．b＜a＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
8．已知向量＝（﹣1，2），＝（2m﹣1，1），且⊥，则|+2|＝（）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．已知非零向量，若||＝||，⊥（﹣2），则与的夹角是（）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）关于点对称
C．f（x）在上单调递减
D．f（x）的图象关于直线对称
11．已知点O为△ABC内一点，满足，若，则λ＝（）
A．
B．
C．
D．﹣2
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，为f（x）的零点：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在区间（﹣）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（）
A．13
B．15
C．17
D．19
二、填空题
13．一个扇形的面积为4，周长为8，则这个扇形的圆心角为
．
14．在△ABC中，tanA，tanB是方程2x2+3x+7＝0的两根，则tanC＝
．
15．在边长为4的等边△ABC中，＝，＝，则
＝
．
16．已知函数，则f（1）+f（2）+…+f（2020）＝
．
三、解答题
17．已知＝（1，3），＝（3，m），＝（﹣1，n），且∥．
（1）求实数n的值；
（2）若⊥，求实数m的值．
18．若角α的终边上有一点P（m，﹣4），且cosα＝﹣．
（1）求m的值；
（2）求的值．
19已知α∈（0，），β∈（﹣，0），cos（﹣α）＝，cos（β+）＝．
（Ⅰ）求sin2α的值；
（Ⅱ）求cos（α+β）的值．
20．已知函数的图象如图所示；
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调递减区间．
21．已知函数f（x）＝
sin（2x+）﹣2x．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）当时，求f（x）的值域．
A
22．设O为△ABC的重心，过O作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于M，N．若，,（1）求+的值；
O
M
N
（2）求λ•μ的取值范围．
2020-2021学年第一学期期末考试
高一数学试题参考答案
一．选择题（共12小题）
1．D
2．A
3．C
4．D
5．B．
6．B
7．A
8．A
9．C
10．C．
11．D．
解：如图，设，作平行四边形OAME，其中对角线OM与底边AB相交于点F，则，易知△OBF∽△MFA，故，则，又，故，则，∴，∵
∴λ＝﹣2．
12．B．
解：由题意知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝
为y＝f（x）图象的对称轴，x＝﹣为f（x）的零点，∴•＝，n∈N*，∴ω＝2n+1，n∈N*，f（x）在区间（﹣，）上有最小值无最大值，∴周期T≥（+）＝，即≥，∴ω≤16．
∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得﹣×15+φ＝kπ，φ＝﹣，函数为y＝f（x）＝sin（15x﹣），在区间（﹣，）上，15x﹣∈（﹣，），此时f（x）在15x﹣＝﹣时取得最小值，∴ω＝15满足题意．
则ω的最大值为15，二、填空题
13．2．14．
．
15．2．16．
1010．
解：∵＝
＝＝＝．
∴f（1）＝，f（2）＝，f（3）＝，f（4）＝．
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝．
又f（x）的周期为4．
∴f（1）+f（2）+…+f（2020）＝500[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝505×2＝1010．
三、解答题
17．解：因为＝（1，3），＝（3，m），＝（﹣1，n），所以＝＝（3，3+m+n），（1）因为∥．所以，即，解得n＝﹣3；
（2）因为＝＝（4，3+m），＝＝（2，m﹣3），又⊥，所以•＝0，即8+（3+m）（m﹣3）＝0，解得m＝±1．
18．解：（1）点P到原点的距离为
r＝|OP|＝
根据三角函数的概念可得cosα＝＝﹣，得m＝﹣3，或
m＝4（舍去）．
（2）＝＝sinα，由（1）可得
r＝＝10，sinα＝＝，∴原式＝sinα＝．
19．解：（Ⅰ）cos（﹣α）＝，得sin2α＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣；
（Ⅱ）由α∈（0，），β∈（﹣，0），可得﹣α∈（0，），β+∈（0，），则sin（﹣α）＝＝＝；
cos（β+）＝＝＝，则cos（α+β）＝cos[（β+）﹣（﹣α）]＝cos（﹣α）cos（β+）+sin[（﹣α）sin（β+）＝×+×＝．
20．解：（Ⅰ）由图知，A＝2．T＝π，ω＝＝＝2，由2sin（2×0+φ）＝1，即sinφ＝，又φ∈（0，），所以φ＝故f（x）＝2sin（2x+）．
（Ⅱ）g（x）＝f（x﹣）﹣f（x+）＝2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]
＝2sin2x﹣2sin（2x+）
＝2sin2x﹣2×（sin2x+cos2x）
＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．
21．已知函数f（x）＝
sin（2x+）﹣2x．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；
（2）当时，求f（x）的值域．
解：（1）f（x）＝
sin（2x+）﹣2x，＝（sin2xcos2x）﹣cos2x+1，＝，＝sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T＝＝π，令2x+＝，则x＝，k∈Z，故f（x）的最小正周期T＝π，对称轴x＝，k∈Z，（2），2x+∈[]，∴sin（2x+），故f（x）的值域为.22．
解：（1）连结AO并延长交BC于P，则P是BC的中点，则，．
又，∴＝，＝（）+．
∵M，O，Q三点共线，故存在实数t，使＝t，即（）+＝．
∴，两式相除消去t得1﹣3λ＝﹣，即．
（2）∵1﹣3λ＝﹣，∴，∵λ，μ∈（0，1），∴，解得．∴．
∴λμ＝＝．
∴当时，λμ取得最小值，当或2时，λμ取得最大值．
∴λμ的取值范围是[，）．
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